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数理统计试卷及答案汇编

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更多精品文档 安徽大学2011—2012学年第一学期

《数理统计》考试试卷（B卷）

（闭卷 时间120分钟）

院/系 年级 专业 姓名 学号

一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

1、设总体~(1,9)XN，129(,,,)XXX是X的样本，则（ ）.

（A）1~(0,1)1XN； （B）1~(0,1)3XN；

（C）1~(0,1)9XN； （D）1~(0,1)3XN．

2、设nXXX,...,,21为取自总体),(~2NX的样本，X为样本均值，212)(1XXnSinin，则服从自由度为1n的t分布的统计量为（ ）。

（A））Xn( （B）nSXn)(1 （C））Xn(1 （D）nSXn)(

3、若总体X～),(2N，其中2已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1减小，则的置信区间（ ）.

（A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.

4、在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n一定时，下列说法中正确的是（ ）.

（A）减小时也减小； （B）增大时也增大；

（C）,其中一个减小，另一个会增大； （D）（A）和（B）同时成立.

5、在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆYβX是残差向量，则（ ）.

（A）ˆn0； （B）1ˆ]XX2nCov()=[()IXX；

（C）ˆˆ1np是2的无偏估计； （D）（A）、（B）、（C）都对.

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 题 号 一 二 三 四 五 总分

得 分

得分

得分 学习-----好资料

更多精品文档 6、设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N，而129(,,)XXX和129(,,)YYY是分别来自X和Y的样本，则192219XXUYY服从的分布是_______ .

7、设1ˆ与2ˆ都是总体未知参数的估计，且1ˆ比2ˆ有效，则1ˆ与2ˆ的期望与方差满足_______ ______________.

8、设总体),(~2NX，2已知，n为样本容量，总体均值的置信水平为1的置信区间为),(XX，则的值为________.

9、设nXXX,...,,21为取自总体),(~2NX的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于2检验的拒绝域为2≤)1(21n，则相应的备择假设1H为________；

10、多元线性回归模型YβX中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______ ________.

三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

11、已知总体X的概率密度函数为1, 0(),0, xexfx其它其中未知参数0,

12(,,,)nXXX为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．

12、设nXXX,,,21是来自总体X～)(P的样本，0未知，求的最大似然估计量.

得分 学习-----好资料

更多精品文档 13、已知两个总体X与Y独立，211~(,)X，222~(,)Y，221212, , , 未知，112(,,,)nXXX和212(,,,)nYYY分别是来自X和Y的样本，求2122的置信度为1的置信区间.

14、合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本修正标准差为007.0S公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025，结果会怎样？

(023.19)9(2025.0, 919.16)9(205.0, 535.17)8(2025.0, 507.15)8(205.0)

15、设总体X～)1,(aN，a为未知参数，Ra，nXXX,,,21为来自于X的简单随机样本，现考虑假设：

00:aaH，01:aaH(0a为已知数）

取05.0，试用广义似然比检验法检验此假设（写出拒绝域即可）.（96.1025.0u，65.105.0u，024.5)1(2025.0，841.3)1(205.0）

四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

16、设总体X服从(1,)Bp分布，12(,,)nXXX为总体的样本，证明X是参数p的一个UMVUE． 得分 学习-----好资料

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17、设1,,nXX是来自两参数指数分布

()/1(;,),,0xpxex

的样本，证明(1)(,)XX是(,)充分统计量.

五、综合分析题（本大题共10分）

18、现收集了16组合金钢中的碳含量X及强度Y的数据，求得

162116162110.125,45.788,()0.3024,()()25.5218,()2432.4566.iiiiiiixyxxxxyyyy

(1)建立Y关于X的一元线性回归方程xy10ˆˆˆ;

(2)对Y与X的线性关系做显著性检验（05.0,60.4)14,1(05.0F, 1448.2)14(025.0t,

7613.1)14(05.0t）.

得分 学习-----好资料

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《数理统计》（B卷）考试试题参考答案及评分标准

一、选择题（每小题2分，共10分）

1、A 2、D 3、C 4、C 5、B

二、填空题（每小题2分，共10分）

6、)9(t 7、1212ˆˆˆˆ()(), ()()EEDD 8、2/n

9、202 10、1ˆ2Cov(β)=()XX

三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

11、解：（1）101()xvEXxfxdxxedx，用111niivXXn代替，所以

niiXXn11ˆ． ………………5分

（2）11ˆ()()()()niiEEXEXEXn，所以该估计量是无偏估计． ………10分

12、解: 总体X的分布律为(,),1,2,!xpxPXxexx

设12(,,,)nxxx为样本12(,,,)nXXX的一个观察值，似然函数

111()(),!!iixxnnnniiiiiiLPXxeexx …………………………4分

对数似然函数

1ln()lnln(!)niiiLnxx，

1111ˆ(ln())0,0,nniiiidLnxxdn

2221ˆ1(ln())0niixdnLxdx，

所以ˆx是的最大似然估计值，的最大似然估计量为ˆX. …………10分 学习-----好资料

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13、解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体YXSS2221 ,

/2121/212(1,1)(1,1)1PFnnFFnn，

则

222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)SSSSPFnnFnn，

所求2221的置信度为1的置信区间为

222212121/212/212//, (1,1)(1,1)SSSSFnnFnn．………10分

14、解：（1）2222021:0.005,~8nSH，则应有：

2220.050.0580.005,(8)15.507P，

具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005所以拒绝假设0H，即认为苹果重量标准差指标未达到要求． ………………5分

（2）新设 20:0.005,H 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求． ………………10分

15、解：似然函数为niiaXnneaxxL12)(212/1)2(1);,,(，

从而 niiaXnneaxxL120)(212/01)2(1);,,(

又参数a的极大似然估计为X，于是

niiXXnnRaeaxxL12)(212/1)2(1);,,(sup

得似然比函数为})(2exp{);,,();,,(sup),,(200111aXnaxxLaxxLxxnnRan， ………………5分

给定05.0，得

)ln2)(()|),,((05.00200001aXnPaaxxPn，

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考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编15 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． [2002年] 设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和．f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( )．

A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度

B．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数

C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数

D．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度

正确答案：B

解析：解一 由命题3．2．1．2知，仅(B)入选． 解二 F1(x)F2(x)=P(X1≤x)P(X2≤x)=P(X1≤x，X2≤x)． 取X=max{X1，X2)，并由于P(X1≤x，X2≤x)=P(max{X1，X2)≤x)，则由定义可知，F1(x)F2(x)必为随机变量X=max{X1，X2}的分布函数．仅(B)入选． 解三 因故(A)不正确． 又故(C)错误． 取Xi在区间[0，2]上服从均匀分布，则于是有 因而(D)也不成立．仅(B)入选． 注：命题3．2．1．2 若F1(x)，F2(x)，…，Fn(x)分别是随机变量X1，X2，…，Xn的分布函数，则也是分布函数，且是随机变量max{X1，X2，…，X2)的分布函数． 知识模块：概率论与数理统计

2． [2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．

A．f1(x)f2(x)

B．2f2(x)F1(x)

C．f1(x)F2(x)

D．f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)

正确答案：D

解析：解一 因f1(x)，f2(x)，F1(x)，F2(x)分别为随机变量的密度函数与分布函数，故f1(x)≥0，f2(x)≥0，0≤F1(x)≤1，0≤F2(x)≤1，所以f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)≥0．而 故f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)为概率密度．仅(D)入选． 解二 由题设有则

应用数理统计复习题及答案()

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应用数理统计复习题（2010）

一 填空题

1设621,,,XXX是总体)1,0(~NX的一个样本，26542321)()(XXXXXXY。当常数C= 1/3 时，CY服从2分布。

2 设统计量)(~ntX，则~2X F(1,n) ，~12X F(n,1) 。

3 设nXXX,,,21是总体),(~2uNX的一个样本，当常数C= 1/2（n-1） 时，11212)(niiiXXCS为2的无偏估计。

4 设)),0(~(2Nxy，),,2,1)(,(niyxii为观测数据。对于固定的0x，则0x~ 20201,xxNxnLxx 。

5．设总体X 服从参数为的泊松分布，1.9，2，2，2.1， 2.5为样本，则的矩估计值为ˆ＝ 2.1 。

6．设总体212~(,),,,...,nXNXXX为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 222212211,11nSnSnn 。

7．设X服从二维正态),(2N分布，其中8221,10

令Y＝XYY202121，则Y的分布为 12,02TNAAAA 。

8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）：

表1 因素水平表

因素

水平 A B C D E

1 300 20 200 甲 80

2 320 30 250 乙 100

表2 极差分析数据表

列号

试验号 A

1 B

2

3 C

4 D

5 E

6

7 数据yi

(产率)

1

1 1 1 1 1 1 1 83.4

数理统计试卷(06、08、10、11)(1)

数理统计试卷(06、08、10、11)(1)

1

第一卷（2011年）

一、(12分)设两个独立样本X1,…,Xn, Y1,…,Yn分别来自总体N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)，令222211111111,,(),()11nnnniiXiYiiiiiXXYYSXXSYYnnnn，

及2,11()()1nXYiiiSXXYYn。

(1)当n=17时，求常数k使得22212,(2)0.95XYXYPXYkSSS

(2)求概率22(1)XYSPS。

二、(15分)设总体X的密度函数为(;)fx

,1

(1)求参数的矩估计量；

(2)求参数1()g的极大似然估计g；

(3)试分析g的无偏性、有效性和相合性。

三、(10分)某生产商关心PC机用的电源的输出电压，假设输出电压服从标准差为0.25V的正态分布N(μ,σ2)，

(1)问样本容量n为多大时，才能使平均输出电压的置信度为0.95的置信区间的长度不超过0.2V；

(2)设X1,…,Xn是来自总体X~N(0,)的样本，()1maxniinXX。统计假设：H0：≥3，H1：＜3的拒绝域为0()2.5nKX，求假设检验犯第Ⅰ类错误的最大概率max。

四、(10分)一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原止痛片至少缩短一片，因此厂方提出检验假设：

012112:2,:2HH。此处12,分别是服用原止痛片和新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体均值。设两总体均为正态分布且方差分别为已知值21和22，X1,…,Xn和 Y1,…,Yn是分别来自两个总体分布的相互独立样本。试分析上述假设检验的检验统计量和拒绝域。

1,(0,1)0,(0,1)xxx2

五、(15分)设样本(,)(1,2,...,)iixyin满足，01lniiiyx，且12,,...,n相互独立。

概率论和数理统计试题及答案

概率论和数理统计试题及答案

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一、填空题：

1 1

1、 设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)= .

3 2 ----------------

1 1 1

解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)] (1 ):

2 3 3

2、 设 X~U[1,3](均匀分布)，则 E(X2)= , D(2X)二 ______________.

E(5X _2) = ___________________ ,

解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3

E(X2) = D(X) E(X)2 =13/3

D( 2X 4D (X =) 4 / 3

E(5X - 2)= 5E X ) 2 10

2

Y~ P(3),Z ~ N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则 3、设随机变量X服从指数分布，即 X ~ E(2),定义随机变量

2,X 3 Y £,X =3 -1,X ：3

解： FY(Y)=P(Jy) 二 P(丫 乞 一1) = P(X :: 3)

2e'xdx = -e^x 0

FY(Y)二 P(Y D

二 P(—1 ：： 丫 乞1) = P(X 空 3)

3 =2e"dx=-e'x

0

FY(Y)二 P(丫 乞 y)

二 P(1 ：： Y ^2) = P(X 3)

0 则Y的分布列为

二 1 —e ■6 -2C

其中二是与y无关的量

2e"dx _ -e^x

0

4、设 X ~ B(200,0.1) E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________

2X E( D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =103

2

5、 设总体 X ~ N（j 匚）,Xi, X2, X3 为来自 X 的样本，二 0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数 丄的无偏估计，则 a = 。