2008,2009,2010海淀区九年级第一学期期中考试数学卷

第1篇一、选择题（每题3分，共30分）1. 若实数a、b满足a + b = 5，则a^2 + b^2的最小值为：A. 25B. 20C. 18D. 152. 下列函数中，是奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^43. 已知一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0，则方程的两根之积为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，公差为d，则Sn = 2n^2 - 3n 的数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 摆动数列D. 非等差非等比数列5. 下列命题中，正确的是：A. 两个平行四边形一定是相似的B. 两个等腰三角形一定是相似的C. 两个等腰梯形一定是相似的D. 两个正方形一定是相似的6. 在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（3，4），则线段AB的中点坐标为：A. （2，3）B. （2，2）C. （1，3）D. （1，2）7. 下列等式中，正确的是：A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. a^2 + b^2 = (a - b)^2C. (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2abD. (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab8. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，公比为q，则Sn = 32的数列是：A. 等比数列B. 等差数列C. 摆动数列D. 非等差非等比数列9. 下列图形中，是轴对称图形的是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰梯形D. 矩形10. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3)的值为：A. -7B. -5C. -3D. 1二、填空题（每题3分，共30分）11. 若a、b、c是等差数列的三项，且a + b + c = 12，则b的值为______。

12. 若函数y = 2x - 3是关于x的二次函数，则该函数的顶点坐标为______。

海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：2320.x x -+= ……………………………………………1分0)2)(1(=--x x ． ……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x ．∴2,121==x x . ………………………………………………………5分 18．解：∵抛物线a x x y ++=32与x 轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=．……………………………………………4分 ∴49=a ．……………………………………………5分 19．解：∵点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，∴k k -++⨯-=)3(33302．………………………………………2分 ∴9=k ．……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y ．∴对称轴为2=x ．……………………………………………5分20．解：∵P A ,PB 是⊙O 的切线，∴P A =PB ．………………………………………1分∴PBA PAB ∠=∠．………………………………………2分 ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥P A ．∴90=∠PAC º．………………………………………3分∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º．………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB P º．………………………………………5分 21．解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a ．………………………………………2分 ∴152-=-a a ．…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=．………………………………………5分22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA , OC ，过点O 作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分∴90ONC ∠=º.∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==． …………………………2分 在Rt △OAM 中， ∵1OA =，∴0.6OM ==． ………………………………3分 同理可得0.8ON =．………………………………4分∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了0.2米．…………………………5分23．（1）证明： 22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a ．……………………………1分∵0>a ， ∴2(3)0a +>．即0>∆．∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分 （2）解方程，得3,121ax x =-=．……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2，∴23>a． ∴6>a ．……………………………………………5分24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=．设BC 为x m. …………………………………1分依题意，得)2(22x x -=．.………………………………………3分 解得,511+-=x 512--=x （不符合题意，舍去）．……4分1 1.2≈．答：雕像的下部应设计为1.2m ．…………………………5分25． 解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=º． 在Rt △ACB 中，∵2=AB ，AC =∴BC =．∴45BAC ∠=º．………………2分 ∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º．………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º．………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒．∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º．∴CAD ∠为15º或105º． …………………5分26．解：（1）∵直线m x y +-=22经过点B （2，-3），∴m +⨯-=-223．∴1=m ．……………………………………………1分 ∵直线22y x m =-+经过点A （-2，n ），∴5n =．……………………………………………2分 ∵抛物线21y x bx c =++过点A 和点B ，∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b∴3221--=x x y ．……………………………………………4分 （2）12-. ……………………………………………5分27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分 ∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠ODC =90︒．∴∠POC+∠OCD =90º． ∴∠PCD+∠OCD =90º． ∴∠OCP =90º． ∴半径OC ⊥CP ．∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分 （2）解：①设⊙O 的半径为r . 在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=．∵1,BP CP ==∴222(1)r r +=+． ………………………4分解得2r =．∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分． ……………………………………………7分 28．解：（1）1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分 （2）如图所示：……………………………………5分1342x x x x <<<. .……………………………………………7分29. 解：（1）60. ……………………………………………2分（2）.……………………………………………3分连接,MQ MP .记,MQ PQ 分别交x 轴于,E F .∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形. ………………4分∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NMP ∠=∠=︒. ∴AMN QMP ∠=∠.∴△MAN ≌△MQP . .………………………………5分 ∴MAN MQP ∠=∠. ∵AEM QEF ∠=∠， ∴60QFE AMQ ∠=∠=︒.∴60α=︒. .…………………………………………….6分 （3）12）或（12-）. ………………………8分。

海淀区九年级第一学期期中练习数 学参考答案及评分标准 2010．11说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D 8．B 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．2 10．0或1 11．120︒ 12．（1，4）或（1，4-） 注：第10题和第12题答对一个给2分，答对两个给4分 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=231223-+-………………………….4分=1.…………………………….5分14．解：原方程可化为(3)(1)0x x -+=.…….…………………………….3分∴ 30x -=或10x +=. ∴ 123,1x x ==-. …….…………………………….5分15．解：由已知，有212()02x y y ++-=,……….…………………………….1分 20x y ∴+=且102y -=. ……….…………………………….2分 12y ∴=且124y x =-=-.…………………………….4分14x y ∴+=.…….…………………………….5分16．解：由OC AB ⊥，可知D 是AB 的中点， ∴142AD AB ==. …….…………………………….2分设⊙O 的半径为r ，连结OA ，在Rt △AOD 中，222OA OD AD =+.∴222(1)4r r =-+.ABCDO………………….4分 解得 172r =. ……….5分17．解：由题意，212530102t t =-⨯.………….…………………………….1分∴2530250t t -+=. ∴2650t t -+=. …………….…………………………….2分∴(5)(1)0t t --=. ∴(5)(1)0t t --=. ∴121,5t t ==.……….…………………………….4分答：当1t =或5t =时，物体处在离抛出点25m 高的地方. ………………….5分18．（1）正确作出△AB 1C 1得2分，右图为参考.（2）根据作图结果，连结B 1C . 在Rt △ABC 中，∵∠C =90°,∠A =30°，AB =2, ∴BC =1.∴222413AC AB BC =-=-=.…………………………….…………………………….4分由（1）可知∠B 1AB =60°，可得∠B 1AC =90°，又有AB =AB 1=2. 则在Rt △B 1AC 中，22211437B C AB AC =+=+=.∴17B C =.…………….…………………………….5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：设切去的小正方形边长为x .…………….…………………………… 1分 则 160(202)(142)x x =--. …………….…………………………….2分 整理得 217300x x -+=.…………….…………………………….3分解得 122,15x x ==（不合题意，舍去）.……………………….4分答：纸板各角应切去边长为2cm 的正方形. …….…………………………….5分 20．解：在△ABC 与△ADE 中，AB=AD ，AC=AE. 又∵1260,2360∠+∠=︒∠+∠=︒,BCA 1B 1C BCA1B1C∴13∠=∠.在△ABC 与△ADE 中, ,13,.AB AD AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC ∆≌ADE ∆, ………….…………………………….3分 ∴60B ADE ∠=∠=︒.……………….…………………………….4分∴6060120BDE ∠=︒+︒=︒. ……….…………………………….5分 21．解：由已知，二次方程21(31)04a x ax --+=的判别式为0. 即 2(31)0a a --=. 即 2310a a -+=.………….…………………………….2分 所以有 221a a a -+=,213a a +=.……….…………………………….3分代入2121a a a-++，得 221113213a aa a a a a a a+-++=+===.…………………. ………… 5分 22．证明: 在正方形ABCD 中，AC ⊥BD 且O 是AC 与BD 的交点.∴90AOF BOE ∠=∠=︒，OA OC OB ==. ∵CE =BF ,∴.OF OE =∴Rt △AOF ≌Rt △BOE . ……….…………………………….3分 ∴ OAF OBE ∠=∠.∵ 90OAF OFA ∠+∠=︒，OFA BFG ∠=∠. ∴90.OBE BFG ∠+∠=︒ ……………………………….4分∴90AGB ∠=︒，即AG ⊥EB . .…………………………….5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（1）解：连结OB ，OC .∵2,45BOC BAC BAC ∠=∠∠=︒, ∴90BOC ∠=︒ .…….…………………………….1分在Rt △BOC 中,有222OB OC BC +=,且OC =OB .∴222OC BC =. ∵BC =6, ∴32OC =.…….…………………………….3分即⊙O 的半径为32.ABCDE123（2）解：过O 作OM AE ⊥于M ， ON BC ⊥于N ，可得AM =ME ，132ON BC ==, …….…………………………….5分 易知四边形OMDN 是矩形. 得 MD =ON =3 .∴ AM =AD MD -=7-3=4=ME .∴431DE ME MD =-=-=. …….…………………………….7分24．（1）是 ；………………………………………………………1分（2）能 ；………………………………………………………2分 （3）证明：连结EF ，FG ，GH ，HE ，AE ，AH ，DG ，DH ， ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB =CD ，即以AB ，CD 分别为边的正方形的对角线也相等. ∵点E ，G 是上述两个正方形的对角线交点， ∴AE =DG.∵点H 是以AD 为一边的正方形的对角线交点, ∴AH =DH.………………………………………………………4分易知454590HDG HDA ADC CDG ADC ADC ∠=∠+∠+∠=︒+∠+︒=︒+∠. ∵平行四边形ABCD 中，有180BAD ADC ∠=︒-∠,∴360()360[45(180)45]90HAE HAD BAD BAE ADC ADC ∠=︒-∠+∠+∠=︒-︒+︒-∠+︒=︒+∠.∴HDG HAE ∠=∠. ∴HDG HAE ∆∆≌.………………………………………………………5分 ∴HG =HE 且EHA GHD ∠=∠. 同理可证HE =EF =FG. ∴四边形EFGH 是菱形.………………………………………………………6分AB COEDMNADCBHFE G∵点H 是正方形的对角线交点, ∴90AHD ∠=︒, 即90AHG GHD ∠+∠=︒. ∴90EHG ∠=︒.∴四边形EFGH 是正方形.………………………………………………………7分25．（1）证明：∵2(1)(23)30a x a x -+-+=为关于x 的一元二次方程, ∴10a -≠，即1a ≠,∴222(23)4(1)392416(34)a a a a a ∆=--⨯-⨯=-+=-. …………………………………1分∴∆≥0.∴当a 取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根.…………………………………2分（2）解：关于x 的一元二次方程2(1)(23)30a x a x -+-+=的两根为 2(23)(34)32|34|(1)2(1)2(1)a a a a x a a a --±--±-==≠--.∴1213,1x x a ==-. ∵m ，n 是方程的两根，且1143m n +=, ∴1141331a +=-. ∴2a =.………………………………………………………3分 ∴13x =，21x =.∵m n <,∴1,3m n ==.∴直线l 的解析式为3y x =+.∴直线l 与x 轴交点(3,0)A -，与y 轴交点(0,3)B . ∴ABO 为等腰直角三角形.∴坐标原点O 关于直线l的对称点O '的坐标为(3,3)-.………………………………………4分∴反比例函数的解析式为9y x=-.………………………………………………………5分 （3）解：设点P 的坐标为（0, p ），延长PQ 和AO '交于点G . ∵//PQ x 轴，与反比例函数图象交于点Q ,∴四边形AOPG 为矩形.∴Q 的坐标为9(,)p p -.∴(3,)G p -.当045θ︒<<︒，即3p >时,∵93,3,3,GP GQ GO p GA p p'==-=-=,∴APGGQO APQO S SS''=-四边形1122GA GP GQ GO '=⨯⨯-⨯⨯1193(3)(3)22p p p=⨯⨯-⨯-⨯-2792p=-. ∴27399322p -=-. ∴33p =.经检验，33p =符合题意. ∴(0,33)P .………………………………………………………6分∴6AP =.点A 关于y 轴的对称点为(3,0)A '，连结A P ',易得6AA PA ''==. ∴AA AP A P ''==. ∴60PAO ∠=︒. ∵45BAO ∠=︒.∴604515PAO BAO θ=∠-∠=︒-︒=︒.………………………………………………………7分 当45︒≤90θ<︒，即3p <-时，可类似地求得33p =，这与3p <-矛盾，所以此时点P 不存在. ∴旋转角15θ=︒.………………………………………………………8分xyO1234567899-8-7-6-5-4-3-2-1-1234567899-8-7-6-5-4-3-2-1-AO 'GQP Bθll 'A '。

海淀区九年级第一学期期中练习数学2010．11学校班级姓名成绩一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1x的取值范围是（）A．1x≠B．x≥1 C．1x<D．x≥02．方程2360x x-+=的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定是否有实数根3．下列各图是一些交通标志的图案，其中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.4．下列计算中，正确的是（）= C.25．若方程2(1)10m x mx++-=是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A. 1m≠- B. 1m=- C. m≥1- D. 0m≠6．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转90︒，得到△M1N1P1 ，则其旋转中心可以是（）A. 点EB. 点FC. 点GD. 点H7．如图，⊙O中，∠AOB = 70°，∠OBC = 35°，则∠OAC等于（）A．20°B．35°C．60°D．70°118．如果关于x 的方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=有且只有一个实数根，那么关于x 的方程2(1)210m x mx m +-+-=的根为（ ）A ．1-或3-B ．1或3C ．1-或3D ．1或3-二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9= . 10．方程2x x =的根为 .11．如图, AB 是⊙O 的直径，点C , D 在⊙O 上，30BAC ∠=︒，则ADC ∠= .12．在平面直角坐标系中，半径为5的⊙M 与x 轴交于A （2-,0）与B （4,0），则圆心点M 坐标为 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13011(3)()2π--+--．解：14．解方程：2230x x --=.解：15．已知实数x ，y2104y y -+=，求x y +的值. 解：16．如图，AB 为⊙O 的弦，AB ＝8，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，求⊙O 的半径.解：17．对于竖直向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：212h vt gt =-，其中h 是上升高度，v 是初速度，g 是重力加速度（本题中取210m/s g =），t 是抛出后所经过的时间.如果将一物体以30m/s v =的初速度竖直向上抛出，物体何时处在离抛出点25m 高的地方？ 解：18．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°,∠A =30°，AB =2.（1）用尺规作图，作出△ABC 绕点A 逆时针旋转60º后得到的△AB 1C 1（不写画法，保留画图痕迹）；结论： 为所求.（2）在（1）的条件下，连接1B C ，求1B C 的长． 解：BCA四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．列方程解应用题：如图，有一块矩形纸板，长为20cm ，宽为14cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分沿虚线折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为160cm 2，那么纸板各角应切去边长为多大的正方形？ 解：20．如图，点C 在线段BD 上,△ABD 与△ACE 都为等边三角形,求∠BDE 的度数.解：21．已知关于x 的一元二次方程21(31)04a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式2121a a a-++的值. 解：ABCDE22．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在对角线AC ，BD 上，且CE =BF ，连结AF ，BE ，并延长AF交BE 于点G ，求证：AG ⊥EB .证明：五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．如图，在⊙O 中，弦AE ⊥弦 BC 于D ，BC =6，AD =7，∠BAC =45°. （1）求⊙O 的半径； 解：（2）求DE 的长. 解：24．已知四边形ABCD ，以此四边形的四条边为边向外分别作正方形，顺次连结这四个正方形的对角线交ACBDOF EG点E ，F ，G ，H ，得到一个新四边形EFGH .（1）如图1，若四边形ABCD 是正方形，则四边形EFGH （填“是”或“不是”）正方形； （2）如图2，若四边形ABCD 是矩形，则（1）中的结论 （填“能”或“不能”）成立； （3）如图3，若四边形ABCD 是平行四边形，其他条件不变， 判断（1）中的结论是否还成立？若成立，证明你的结论，若不成立，请说明你的理由.证明：25．已知关于x 的一元二次方程2(1)(23)30a x a x -+-+=．图1 图2 图3（1）求证：当a 取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根； 证明：（2）若m ，n （m n <）是此方程的两根，并且1143m n +=．直线l ：y mx n =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．坐标原点O 关于直线l 的对称点O '在反比例函数k y x =的图象上，求反比例函数ky x=的解析式； 解：（3）在（2）成立的条件下，将直线l 绕点A 逆时针旋转角(090)θθ︒<<︒，得到直线l '，l '交y 轴于点P ，过点P 作x 轴的平行线，与上述反比例函数ky x=的图象交于点Q ，当四边形APQO '的面积为9θ的值. 解：海淀区九年级第一学期期中练习数 学参考答案及评分标准 2010．11说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D 8．B 二、填空题（本题共16分，每小题4分）910．0或1 11．120︒ 12．（1，4）或（1，4-） 注：第10题和第12题答对一个给2分，答对两个给4分 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=12+-…………………………….…………………………….4分 =1.…………………………….…………………………….5分14．解：原方程可化为(3)(1)0x x -+=.…………………………….…………………………….3分∴ 30x -=或10x +=. ∴ 123,1x x ==-.…………………………….…………………………….5分15．解：由已知，有21()02y +-=,…………………………….…………………………….1分 20x y ∴+=且102y -=. …………………………….…………………………….2分 12y ∴=且124y x =-=-. …………………………….…………………………….4分 14x y ∴+=.…………………………….…………………………….5分16．解：由OC AB ⊥，可知D 是AB 的中点， ∴142AD AB ==. …………………………….…………………………….2分设⊙O 的半径为r ，连结OA ，在Rt △AOD 中，222OA OD AD =+.∴222(1)4r r =-+.………………….4分解得 172r =.………………………….5分17．解：由题意，212530102t t =-⨯.…………………………….…………………………….1分∴2530250t t -+=. ∴2650t t -+=.…………………………….…………………………….2分∴(5)(1)0t t --=. ∴(5)(1)0t t --=. ∴121,5t t ==.…………………………….…………………………….4分答：当1t =或5t =时，物体处在离抛出点25m 高的地方.….…………………………….5分18．（1）正确作出△AB 1C 1得2分，右图为参考.（2）根据作图结果，连结B 1C . 在Rt △ABC 中，∵∠C =90°,∠A =30°，AB =2, ∴BC =1.∴222413AC AB BC =-=-=. …………………………….…………………………….4分由（1）可知∠B 1AB =60°，可得∠B 1AC =90°，又有AB =AB 1=2.则在Rt △B 1AC 中，22211437B C AB AC =+=+=.∴1B C =…………………………….…………………………….5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：设切去的小正方形边长为x .…………………………….…………………………… 1分 则 160(202)(142)x x =--. …………………………….…………………………….2分 整理得 217300x x -+=.…………………………….…………………………….3分解得 122,15x x ==（不合题意，舍去）.…………….…………………………….4分答：纸板各角应切去边长为2cm 的正方形. ……………………….…………………………….5分 20．解：在△ABC 与△ADE 中，AB=AD ，AC=AE. 又∵1260,2360∠+∠=︒∠+∠=︒,∴13∠=∠.在△ABC 与△ADE 中,BCA 1B 1C BCA 1B 1C ABCDE123,13,.AB AD AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC ∆≌ADE ∆, …………………………….…………………………….3分 ∴60B ADE ∠=∠=︒.…………………………….…………………………….4分 ∴6060120BDE ∠=︒+︒=︒.…………………………….…………………………….5分21．解：由已知，二次方程21(31)04a x ax --+=的判别式为0. 即 2(31)0a a --=. 即 2310a a -+=.……….…………….…………………………….2分 所以有 221a a a -+=,213a a +=.……….…………….…………………………….3分代入2121a a a-++，得 221113213a aa a a a a a a+-++=+===.………….……………………………. ………… 5分22．证明: 在正方形ABCD 中，AC ⊥BD 且O 是AC 与BD 的交点.∴90AOF BOE ∠=∠=︒，OA OC OB ==. ∵CE =BF ,∴.OF OE = ∴Rt △AOF ≌Rt △BOE . ………………………….…………………………….3分∴ OAF OBE ∠=∠.∵ 90OAF OFA ∠+∠=︒，OFA BFG ∠=∠. ∴90.OBE BFG ∠+∠=︒ ……………………………………………….4分∴90AGB ∠=︒，即AG ⊥EB . ………………….…………………………….5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（1）解：连结OB ，OC .∵2,45BOC BAC BAC ∠=∠∠=︒, ∴90BOC ∠=︒ .………………………….…………………………….1分在Rt △BOC 中,有222OB OC BC +=,且OC =OB . ∴222OC BC =. ∵BC =6,∴OC = ………………………….…………………………….3分即⊙O的半径为（2）解：过O 作OM AE ⊥于M ， ON BC ⊥于N ，可得AM =ME ，132ON BC ==, …….…………………………….5分易知四边形OMDN 是矩形. 得 MD =ON =3 . ∴ AM =AD MD -=7-3=4=ME .∴431DE ME MD =-=-=. …….…………………………….7分24．（1）是 ；………………………………………………………1分 （2）能 ；………………………………………………………2分（3）证明：连结EF ，FG ，GH ，HE ，AE ，AH ，DG ，DH ， ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB =CD ，即以AB ，CD 分别为边的正方形的对角线也相等. ∵点E ，G 是上述两个正方形的对角线交点， ∴AE =DG.∵点H 是以AD 为一边的正方形的对角线交点, ∴AH =DH.………………………………………………………4分易知454590HDG HDA ADC CDG ADC ADC ∠=∠+∠+∠=︒+∠+︒=︒+∠.∵平行四边形ABCD 中，有180BAD ADC ∠=︒-∠,∴360()360[45(180)45]90HAE HAD BAD BAE ADC ADC ∠=︒-∠+∠+∠=︒-︒+︒-∠+︒=︒+∠.∴HDG HAE ∠=∠. ∴HDG HAE ∆∆≌.………………………………………………………5分∴HG =HE 且EHA GHD ∠=∠. 同理可证HE =EF =FG. ∴四边形EFGH 是菱形.………………………………………………………6分∵点H 是正方形的对角线交点, ∴90AHD ∠=︒, 即90AHG GHD ∠+∠=︒. ∴90EHG ∠=︒.∴四边形EFGH 是正方形.………………………………………………………7分25．（1）证明：∵2(1)(23)30a x a x -+-+=为关于x 的一元二次方程, ∴10a -≠，即1a ≠,∴222(23)4(1)392416(34)a a a a a ∆=--⨯-⨯=-+=-.…………………………………1分∴∆≥0.∴当a 取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根.…………………………………2分（2）解：关于x 的一元二次方程2(1)(23)30a x a x -+-+=的两根为)32|34|(1)2(1)a a x a a -±-==≠-. ∴1213,1x x a ==-. ∵m ，n 是方程的两根，且1143m n +=, ∴1141331a +=-. ∴2a =. ………………………………………………………3分∴13x =，21x =.∵m n <,∴1,3m n ==.∴直线l 的解析式为3y x =+.∴直线l 与x 轴交点(3,0)A -，与y 轴交点(0,3)B .∴ABO 为等腰直角三角形.∴坐标原点O 关于直线l 的对称点O '的坐标为(3,3)-. ………………………………………4分∴反比例函数的解析式为9y x=-. ………………………………………………………5分 （3）解：设点P 的坐标为（0, p ），延长PQ 和AO '∵//PQ x 轴，与反比例函数图象交于点Q ,∴四边形AOPG 为矩形.∴Q 的坐标为9(,)p p-.∴(3,)G p -.当045θ︒<<︒，即3p >时,∵93,3,3,GP GQ GO p GA p p'==-=-=,∴APGGQO APQO S SS''=-四边形1122GA GP GQ GO '=⨯⨯-⨯⨯1193(3)(3)22p p p=⨯⨯-⨯-⨯-2792p=-.∴27992p -=∴p =.经检验，p =符合题意.∴P .………………………………………………………6分∴6AP =.点A 关于y 轴的对称点为(3,0)A '，连结A P ',易得6AA PA ''==.∴AA AP A P ''==. ∴60PAO ∠=︒. ∵45BAO ∠=︒.∴604515PAO BAO θ=∠-∠=︒-︒=︒. ………………………………………………………7分当45︒≤90θ<︒，即3p <-时，可类似地求得p =，这与3p <-矛盾，所以此时点P 不存在. ∴旋转角15θ=︒.………………………………………………………8分。