V ol 115,N o.2
管 理 工 程 学 报
Journal of Industrial Engineering ΠEngineering Management
2001年第2期
[收稿日期]2000204227(修改稿).[作者单位]复旦大学管理学院,上海200433。
一种新的计算组合预测权重的方法
黄 岩 张国春 王其藩 朱道立
摘 要 建立了基于最小二乘原理的组合预测模型,提出了求解此组合预测模型的一种新的算法,即Frank 2
W olfe 算法,并将其应用于实证研究。结果表明,Frank 2W olfe 方法用于求解组合预测问题的权重时,是一种行之有效
的方法。
关键词 组合预测;Frank 2W olfe 算法;预测精度
中图分类号:C934 文献标识码:A 文章编号:100426062(2001)022*******
引言
自1969年J.M.Bates 和C.W.J.G ranger 首次提出了组合预测的理论和方法以来,组合预测的理论在国内外得到了广泛的应用和发展,而且还在不断地丰富和完善之中,至今仍是预测领域的学术热点之一。为了提高预测结果的精度,对于同一预测问题,若有几种方法,可以采用组合预测方法。以不同的目标函数作要求进行组合,就可得到不同的权系数。为了有效地利用各种模型的优点,将不同的预测方法进行组合,以求产生较好的预测效果。组合预测方法表明,即使一个效果不佳的预测方法,只要它含有系统的独立信息,当其与一个较好的预测方法进行组合后,同样能够改善系统的预测性能,组合预测的目的是综合利用各种方法所提供的信息,避免单一模型丢失信息的缺憾,减少随机性,提高预测精度。求解组合预测问题权重的方法有线性、非线性、动态规划及神经网络等方法,本文提出了求解组合预测问题的一种新算法,即Frank 2W olfe 方法,并以组合预测的预测误差平方和最小为目标函数时,得到一组最优的加权系数,实证研究的结果表明,它是一种简便有效的方法。
1 组合预测模型的建立
设对同一预测对象,存在n 种不同的预测方法(或模
型)^Y it (i =1,2,… n ,t =1,2,……N ),若Y t 为第t 期的实际观测值,则可建立组合预测模型的一般形式为Y t =6n
i =1ωi ^Y it
+e t 。
e it =^Y it -Y t 为第i 种方法的预测误差,为随机扰动项。
ωi 为第i 种方法的组合预测模型中的权重,且满足
6n
i =1
ωi =1。
^Y t =6n
i =1ωi ^Y it 是选用的组合预测模型。
e t =^Y t -Y t 是组合预测模型的拟合偏差。
由e t =6n i =1
ωi (^Y it -Y t )=6n
i =1
ωi e it =(ω1,ω2,…,ωn )(e 1t ,e 2t ,
…,e nt )T ,t =1,2,…,N
所以e 2t =(ω1,ω2,…,ωn )(e 1t ,e 2t ,…,e nt )
T
(e 1t ,e 2t ,…,e nt )(ω1,ω2,…,ωn )T
=W T
E t W
其中W =(ω1,ω2,…,ωn )
T
E t =
e 2
1t
e 1t e 2t …e 1t e 2t e 2t e 1t
e 2
2t
…e 2t e nt …
…
……
e nt e 1t
e nt e 2t
…
e 2
nt
令J =6N t =1
e 2t =W T 6N
t =1
E t W =W T EW
其中
E =
6N
t =1e 21t
6N
t =1
e 1t e 2t
…6N
t =1e 1t e
nt 6N
t =1
e 2t e 1t
6N
t =1
e 22t …6N
t =1
e 2t e nt
…
…
……
6N
t =1
e nt e 1t
6N
t =1
e nt e 2t
…
6N
t =1
e 2nt
称E 为预测误差信息矩阵。
由此确定最优权重的数学规划模型为
min
J =W T
EW W T
R n =1W ≥0
(1)
其中 R n =(1,1,…,1)T -n 维
通过上述最小二乘原理,采用各种不同的最优化方法可求解最优权重。
2 组合预测的Frank 2W olfe 方法
Frank 和W olfe 于1956年提出求解线性约束问题的一种
非线性规划的算法。这正适合于求解如模型(1)的组合预测问题,因为组合预测模型(1)的目标函数是非线性,而约束条件是线性的。
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Frank2W olfe的一般算法是,当我们考虑非线性规划问题
min f(x)
s.t. Ax=b
x≥0
(2)
其中A是m×n矩阵,秩为m,b是m维列向量,f(x)是连续可微函数,x∈E n。我们把这问题的可行域记作
S={x|A x=b,x≥0}
Frank2W olfe算法的基本思想是,在每次迭代中,将目标函数f(x)线性化,通过解线性规划求得可行下降方向,进而沿此方向在可行域内作一维搜索,即假设已知可行点x(k),我们将f(x)在x(k)展开,并用一阶T aylor多项式
f(x(k))+ f(x(k))T(x-x(k))= f(x(k))T x+[f(x(k))
- f(x(k))T x(k)]
逼近f(x),变为解线性规划问题:
min f(x(k))T x+[f(x(k))- f(x(k))T x(k)]
s.t. x∈S
(3)
去掉目标函数中的常数项,将此问题改写成
min f(x(k))T x
s.t.x∈S
(4)
若此问题存在有限最优解y(k),由线性规划的基本性质可知,这个最优解可在某极点达到。
求解线性规划(3)的结果必为下列两种情形之一:
11如果 f(x(k))T(y(k)-x(k))=0,则停止迭代,而且可
知x(k)是原问题(2)的K-T点。否则迭代不终止。
21如果 f(x(k))T(y(k)-x(k))≠0,则必有 f(x(k))T (y(k)-x(k))<0,因此y(k)-x(k)为x(k)处的下降方向。由于S是凸集,y(k)是S的极点,连结y(k)与x(k)的线段必含于S,即对每一个λ∈(0,1),有λy(k)+(1-λ)x(k)=x(k)+λ(y(k) -x(k))∈S
因此y(k)-x(k)是可行方向,故为可行下降方向。这时,从x(k)出发,沿此方向作一维搜索:
min f(x(k)+λ(y(k)-x(k)))
s.t. 0≤λ≤1
(5)
求得λ
k
,令x(k+1)=x(k)+λk(y(k)-x(k)),由于y(k)-x(k)≠0,且为下降方向,因此有f(x(k+1))与模型(1)对应,这里给定组合预测的Frank2W olfe方法的计算步骤如下:
S tep1.给定初始可行点W(1),即W(1)=(ω(1)1,ω(1)2,…,
ω(1)
n
)T(n为组合预测中选定的预测模型的个数),允许误差ε>0,且置k:=1。
S tep2.求解线性规划问题
min J(W(k))T W
s.t.W T R n=1
W≥0
(6)
得到最优解U(k),U(k)亦为n维。
S tep3.若| J(W(k))T(U(k)-W(k))|≤ε,则停止计算,得到点W(k);否则,进行S tep4。
S tep4.从W(k)出发,沿方向U(k)-W(k)在连结W(k)和U(k)的线段上搜索:
min J(W(k)+λ(U(k)-W(k)))
s.t.0≤λ≤1
(7)
得到λ
k
。
S tep5.令W(k+1)=W(k)+λk(U(k)-W(k))置k:=k+1,返回S tep2。
以上从S tep1到S tep5的迭代寻优过程,即是求解组合预测模型(1)的非负最优权重的过程。
3 实证分析
生产决定消费,国内生产总值总消费决定了居民的消费水平,为此很有必要对国内生产总值总消费进行科学预测,分析国内生产总值总消费发展趋势,为宏观经济政策的制定提供重要的参考。为了对上海市国内生产总值总消费进行预测,本文选择三种不同的预测方法,分别为复比增长曲线预测法、Holt双参数线性指数平滑预测法及三次指数平滑预测法。根据表1的实际数据资料,求得单个预测模型分别为:
1)复比增长曲线模型
^Y1(t+m)=41176×1119(t+m)
2)H olt双参数线性指数平滑模型(α=017,γ=0195)
^Y2(t+m)=1433186+166187m
3)三次指数平滑模型(α=0175)
^Y3(t+m)=1423165+166186m-
7103m2
以上三种预测模型中,m为预测超前期数,m=1,2,…为整数,根据三种预测模型求得误差信息矩阵为
E=
120226178-4123149-24518128
-41231493212212117723151
-245181281772315125209117
运用前面介绍的Frank2W olfe方法,在计算机上求得单个预测模型的最优权重依次为ω1=0.25,ω2=0.02,ω3=0173,因而组合预测模型为
^Y=0.25^Y1t+0.02^Y2t-0.73^Y3t
三种预测模型的均方误(具有误差信息放大作用)依次为MSE1=6011134,MSE2=1690.64,MSE3=1400.51,组合预测的均方误MSEc=692.80,可见组合预测具有最好的精度。各种预测值见表1。
前述的计算分析和误差分析表明,当我们对一些重要的国民经济指标进行预测时,组合预测可以提高预测的准确性和可靠性。下面利用前面所求出的组合预测模型及表1的数据资料,对上海市1998～2000年的国内生产总值总消费进行预测,预测结果如表2,表2说明上海市国内生产总值总消费的预测效果,组合预测的结果最为理想,同时也与上海市的实际经济发展水平相符,因而组合预测的结果可以作为我们进行经济决策时的重要参考依据。
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