1 简单迭代法的基本思想方法： 出发,作序列

python中的迭代法Python中的迭代法迭代法是一种常用的问题求解方法，在Python中也有广泛的应用。

它通过重复执行某个过程，逐步逼近问题的解，直到满足预定的条件为止。

本文将介绍Python中迭代法的基本概念、应用场景以及一些常见的迭代法算法。

一、迭代法的基本概念迭代法是一种基于循环的计算方法，通过多次重复执行相同的操作，逐步逼近问题的解。

在Python中，可以使用循环结构（如for循环、while循环）实现迭代法。

迭代法的基本思想是将问题分解为多个小的子问题，通过解决子问题逐步逼近最终解。

二、迭代法的应用场景迭代法在实际问题求解中有广泛的应用，以下是一些常见的迭代法应用场景：1. 数值计算：如求解方程的根、计算数列的和等；2. 优化问题：如求解最优化问题、最小二乘法等；3. 迭代算法：如迭代法求解线性方程组、迭代法求解非线性方程组等；4. 图像处理：如图像的模糊处理、边缘检测等。

三、常见的迭代法算法1. 二分法：二分法是一种简单而常用的迭代法算法，用于求解单调函数的零点。

基本思想是通过不断缩小目标值所在的区间，最终找到目标值的近似解。

例如，可以使用二分法求解一个函数f(x)=0的解。

2. 牛顿法：牛顿法是一种迭代法求解方程根的算法，具有快速收敛的特点。

它通过利用函数的切线逼近方程的解，不断迭代求解。

例如，可以使用牛顿法求解一个函数f(x)=0的解。

3. 雅可比迭代法：雅可比迭代法是一种常用的迭代法求解线性方程组的算法。

它通过将线性方程组转化为迭代形式，逐步逼近方程组的解。

例如，可以使用雅可比迭代法求解线性方程组Ax=b。

4. 高斯-赛德尔迭代法：高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进算法，具有更快的收敛速度。

它通过使用前一次迭代得到的解来逼近方程组的解，不断迭代求解。

例如，可以使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组Ax=b。

四、总结迭代法是一种常用的问题求解方法，在Python中也有广泛的应用。

第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。

这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。

本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。

二、本章知识梳理具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。

求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。

本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。

4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。

4.1.1对分法设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。

现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行计算2kk k b a x +=若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）()()k k k k k k b b a a a f x f ==<++11,,0则令()()k k k k k k b b x a a f x f ==>++11,,0则令 若M k =则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。

对分法的局限：对分法只能求实根，而且只能求单根和奇数重根，不能求偶数根和复数根4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。

= ϕ ' (ξ )( x * − x * *) ≤ L x * − x * *
又， L < 1
⇒ x* = x * *
计算方法
② ∀x0 ∈ [a, b] 则 xk +1 − x *= ϕ ( xk ) − ϕ ( x*) = ϕ ' (ξ )( xk − x*)
≤ L xk − x * ≤ L2 xk −1 − x * x k +1 − x *
计算方法
二、收敛性分析
定理2.1 （全局收敛定理） 全局收敛定理） 定理
在区间[a,b]上可导 上可导 设ϕ ( x )在[a, b] 在区间
a （1）当a ≤ x ≤ b时， ≤ ϕ ( x ) ≤ b;
( 2) ∀x ∈ [a, b], | ϕ ' ( x ) |≤ L < 1 ( L为常数） 为常数）
ϕ ′( x ) ≤ L < 1
计算方法
则对于任意的初始值 x0 ∈ S ，由迭代公式 收敛于方程的根。 产生的数列 { xn } 收敛于方程的根。 （这时称迭代法在 α 的S邻域具有局部收敛性。） 邻域具有局部收敛性。）
x n +1 = ϕ ( x n )
Remark1：全局与局部收敛定理中的条件都是充分 Remark1： 条件，条件满足则迭代法收敛，不满足则不能判定， 条件，条件满足则迭代法收敛，不满足则不能判定， 此时可以用试算来判定迭代法的是收敛性。 此时可以用试算来判定迭代法的是收敛性。
p! p!
由迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ) 及 x * = ϕ ( x * ) 有 ϕ ( p ) (ξ ) * * p
′( x* ) = ϕ ′′( x* ) = L = ϕ ( p−1) ( x* ) = 0, ϕ ( p ) ( x* ) ≠ 0 ϕ 邻域是p阶收敛的。 则迭代过程在 x * 邻域是p阶收敛的。

一、 名词解释1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差，简称误差。

2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。

如果近似值*x 的误差限是1102n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。

3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。

计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。

4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。

5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。

6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 的相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。

若||||A 满足（1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 的范数。