概率论习题二答案

  • 格式:docx
  • 大小:658.15 KB
  • 文档页数:12

X P
1 2
-1 1 2
0 1-2q
1 ������ 2
+ 1 − 2q + ������ 2 解得:q = 1 −
解:(1) 0 ≤ 1 − 2������ ≤ 1 ������ 2 ≤ 1
1 2
分布律:
X P
-1 1 2
0 2−1 3 2
1
− 2
1
0
(2)由F ������ = P ������ ≤ ������ 知,F x =
2
������ < 1 − 1 ≤ ������ < 0
1 2
2−
0 ≤ ������ < 1 ������ ≥ 1
1
15. 设随机值变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现对X 进行3 次独立观测,试求至少有2次观测值大于3的概率.
1
解:因A = ������ > 3 且f x = P ������ = P ������ > 3 =
6− ������−7 36
, k=2,3,„12 1 2 1 + = 36 36 12
P ������ ≤ 3 = ������ ������ = 2 = ������ ������ = 3 = P ������ > 12 = ������ ∅ = 0
3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得 次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2}
16. 设一大型设备在任何长为 t 的时间间隔内发生故障的次 数 N(t)服从参数的泊松分布,求: (1)相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布; (2)在设备已经无故障工作 8 小时的情况下,再无故障运 行 8 小时的概率 Q. 解:事件N t k 表示设备在任何长为 t的时间间隔内发生 k次故障。 k t e t (k 0,1,2,3....) PN (t ) k
+∞ − ������ −∞
������������
������������ 4 2
1
+∞ −∞
������
−������ 2 2
������������ =
������������ 4 2
1
2������故,C=
������ 4 ������
1
13. 设X~N(108,9),(1)求P{101.1<x<117.6};(2)求常数a, 使P{X<a}=0.90. 解:(1)P 101.1 < x < 117.6 = Φ Φ
3 0������������ ������
+
0������������ =
2 3
6 2������������ 3 9
+
当k ∈ 3,−∞ 时, P ������ ≥ ������ =
2 9
6−k <
2 3 2 3
6 2������������ ������ 9
+
+∞ 6
0������������ =
解:P ������ = ������ =
������ ������ 5 −������ ������3 14 5 ������17
, P 1 ≤ ������ < 2 =
1 ������ 4 ������3 14 5 ������17
4.一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的 路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立 , 且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到 红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解: X 的可能取值为 0,1,2,3 车在第 i 个路口首次遇到红灯” ; ������1 , ������2 , ������3 相互独立,且P ������i = P ������������ = ,i=1,2,3
−1 1 −������ ������ 600 ������������ = ������ 3 600
P ������������ = P ������������ > 200 =
200
α = P ������1 ∪ ������2 ∪ ������3 = P − P ������1 ∪ ������2 ∪ ������3 = 1 − P ������1 ������2 ������3 = 1 − ������
12x2 − 12x + 3,0 < x < 1, , 0, 其他
P X ≤0.2,0.1<x ≤0.5 P 0.1<x ≤0.5
解:P X ≤ 0.2|0.1 < x ≤ 0.5 =
P 0.1<x ≤0.2 P 0.1<x ≤0.5
=
=
0.2 ������ 0.1 0.5 ������ 0.1
������ ������
,
k=0,1,2„,10 设A 此射手不能参加考核 ,有
2
P ������ = P ������ ≤ 2 =
������ =0 2
������ ������ = ������
=
������ =0
������ ������10 0.5������ 0.510 −������ ≈ 0.054
7 .设 X 服从泊松分布,且已知 P ������ = 1 = P ������ = 2 , 求 P ������ = 4 解:由P ������ = 1 =
������ 1 1!
������
−������
=
������ 2 2!
������ −2 = P ������ = 2 得到������=2 ������ −2 ≈ 0.0902
P ������ = 4 =
������4 4!
������
−������
=
24 1!
8.某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位: 小时)都服从同一指数分布,概率密度为 ������ ������ =
������−1 ������ ������ 个数.(1)求X 的分布律;(2)证������������ = ������������− 1 + ������������ −1
1 2 ������ 2 1 2
= ������ 2
解: (1)X的可能取值为0,1, 且P ������ = 0 =
������ −1 ������������ −1 ������ ������������
������ ������������ −1 ������ ������������
P ������ = 1 =
故分布律:
������ ������������ −1 ������ ������������
0
������ −1 ������ ������ ������ −1 ������ ������ −1 ������ ������ ������ ������ ������ ������
k! 当t 0时, P (T t ) 0
( 1)由于T是非负随机变量,可见 当t 0时,F (t ) PT t 0 设t 0,则事件T t与N (t ) 0等价,故当t 0时,有 F (t ) PT t 1 PT t 1 PN (t ) 0 1 e t 故服从参数为的指数分 布。
故要使得P ������ ≥ ������ =
,k 的取值范围是 1,3
6.设某射手每次射击命中目标的概率为 0.5, 现连续射击 10 次,求命中目标的次数 X 的概率分布,又设至少命中 3 次 才可以参加下一步的考核,求次射手不能参加考核的概率。 解 :
������ X~B(10,0.5)P ������ ≥ ������ = ������10 0.5������ 0.510 −������
=
0.148 0.256
≈ 0.578
2 +x
12.已知X 的概率密度为f(x)=C������ −������ 1= ������
+∞ −������ 2 +x ������������ −∞
1 2 1 ������−2 +4
,确定常数C.
������������ =
������−2 =
1 ������ 2
2 1
������ i (i=1,2,3)表示事件 “汽
对于 m =0,1,2,3 ,有 P ������ = 0 = P ������������ = P ������ = 2 = ������ ������1 ������2 ������3 1 1 P ������ = 1 = P ������1 ������2 = 2 2 2 1 1 = 3 P ������ = 3 = P ������1 ������2 ������3 = 3 2 2
1 3 2 9
������ ∈ 0,1 ������ ∈ 3,6 其他 若k
5.设随机变量 X 的概率密度为:f ������ =
2 3
0 使得P ������ ≥ ������ = , 求 k 的取值范围。 解: P ������ ≥ ������ =
62 ������������ 3 9 +∞ 0������������ 6 −∞ ������
������ ������������ (−∞ −∞
≤ ������ ≥ +∞) , 求得分布函数 F ������ ,
dy dx
可 通 过 对 F ������ 求 导 , 即
F ������ = f ������ ( 对 一 切
f ������ 的连续点处)求得密度函数f ������ 。 2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布, 并计算P{X≤3}和P{X>13}. 解:由题意 X 的正概率点为 2,3,„12 P ������ = k =