二项分布及超几何分布期望与方差(2020年10月整理).pptx

一、二项分布
在 n 次独立重复试验中，每次试验中事件 A 发生的概率为 p（0 p 1），事件 A 发生
次数为 ，则 的概率分布列为：
0
1
2
…
k
…
n
P
Co p0 (1 p)n Co p1 (1 p)n1
n
n
Cno p2 (1 p)n2
…
Cno pk (1 p)nk
…
Co pn (1 p)0 n
在超几何分布中，当 N 时， M p （二项分布中的 p） N
2
（1）当 N 时，超几何分布的数学期望 E( X ) n M np E( X ) （二项分布 N
的数学期望）
（2）当 N 时，超几何分布的方差
D( X ) n M 1 M 1 n 1 np(1 p) （二项分布的方差）
二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推 导
高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者 给 出一推导过程仅供参考。
预备公式一
kCnk nCnk11 （ n 1），利用组合数计算公式即可证明。
预备公式二
D( ) E( 2 ) E( )2 ，证明过程可见教材。
预备公式三
C
n N
m k2
C C k 2 nk
M 2 N M
nM
nM 2
N N
M
(M 1)
C
n N
wenku.baidu.com
Cn2 N2
nM N
nM 2
N
M
(M 1) nn N N1
1
nM N
nM N
2
nM N nN M N N N1
nM
2
N
nM (1 M )(1 n 1 ) N N N 1
3.超几何分布的数学期望和方差与二项分布的数学期望和方差的关 系 根据极限知识，很容易得到：
…
k
…
m
CM0
Cn
N M
P
Cn
N
C C 1 n1 M N M Cn N
其中 m=min（n，M）。
C C 2 n2 M N M Cn N
…
C C k nk M N M Cn
N
…
C C m nm M N M Cn
N
1.超几何分布的数学期望
m
E( X )
kCMk
Cn
N M
k
k 0
Cn N
m
k
M
Ck
k0
k 1
n
n
k (k 1)Cnk pk (1 p)nk kCnk p k (1 p)nk n2 p2
k 1
k 1
n
n
k(k 1)Cnk pk (1 p)nk E( ) n2 p2 n(n 1)Cnk22 pk (1 p)nk np n2 p2
k 2
k2
n
n(n 1) p2
C p k 2 k2 n2
(1 p)nk np n2 p2 n(n 1) p2(1 p p) n2 np n2 p2
k 2
np(1 p)
1
二、超几何分布 一批产品共 N 件，其中有 M 件不合格品，N-M 件合格品，从中随机取出 n 件产品中，
不合格品数 X 的概率分布列为：
X
0
1
2
k(k 1)Ck n(n 1)Ck 2 （ n 2, k 2 ），利用组合数计算公式即可证明。
n
n2
预备公式四
C0Ck C1Ck 1 C2Ck 2 Ck C0 Ck (m, n, k N , k m, k n) ，利用恒等
nm
nm
nm
nm
mn
式 (1 x)mn (1 x)n (1 x)m 的二项展开式中 xk 的系数相等可证。
2.超几何分布的方差
D( X ) E( X 2 ) E( X ) 2
m
k
2
Ck Cnk M N M
k0
CNn
nM
2
N
m
k 2 CMkNCMnk
k 1
CNn
nM
2
N
m
k
k2
k 1
C Ck nk M N M
C
n N
m k 1
k
C C k nk M N M
C
n N
M
(M 1)
N M
Cn
k
k 1
Cn N
M
Cn N
m
C C k 1 nk M 1 NM
k 1
M Cn
C C C C 0
n1
M 1 N M
1
n2
M 1 NM
N
C C m1 nm M 1 NM
M Cn
C
n（1 利用预备公式四可得）
N 1
N
M n!(N n)!(N 1)! nM N!(n 1)!(N n)! N
1.二项分布的数学期望
n
n
n
E( ) kCnk pk (1 p)nk kCnk pk (1 p)nk nCnk11pk (1 p) nk
k 0
k 1
k 1
n
np
C k 1 n1
p
k
1
(1
p) nk
np(1
p
p) n1
np
k 1
2.二项分布的方差
n
n
D() E( 2 ) E( ) 2 k 2Cnk pk (1 p)nk (np)2 k 2Cnk pk (1 p)nk n2 p2
N
N
N 1
（3）当 N 时，超几何分布可近似为二项分布。
3