21.1《一元二次方程》教学设计
一、教学内容
一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式及一元二次方程的解（根）的概念．
二、教学目标
（1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，并理解一元二次方程的概念．
（2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式．
（3）会判定一个数是否是方程的根及解决一些概念性的题目．
（4）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
三、教学重、难点
重点：
一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点
1. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
2. 判定一个数是否是方程的根．
课时安排
1课时．
四、教学过程设计
（1）复习回顾
1、什么叫做方程？
2、我们都学过哪些方程？
3、我们如何定义方程的“元”和“次”？
（2）探究新知
1、集思广益
方程 2240+-=x x 属于什么方程？其他实际问题中是否也能列出这一类方程呢？
分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为(100―2x ) cm ，宽为(50―2x ) cm ．根
据方盒的底面积为3600 cm 2，得(100―2x )(50―2x )＝3 600．
整理，得 4x 2―300x ＋1 400＝0.
化简，得 x 2―75x ＋350＝0
问题一、如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 2cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题二、要组织一次排球邀请赛，参赛
的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应该邀请多少个队参赛？ 分析： 全部比赛共有28场． 若设应邀请x 个队参赛，则每个队要与其他x-1个队各赛一场，比赛共有x(x-1)/2场，由此，我们可以列出方程x(x-1)/2=28，化简得x 2―x=56.
042)2(22=-++-m x x m 【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．
学生活动：思考交流以上三个方程有什么共同点？
老师点评：（1）等号两边都是整式；(2）只含一个未知数x ；（3）未知数的最高次数是2；
二元一次方程的概念：像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比。
（3）例题讲解
例1、判断下列方程是否为一元二次方程.
.01)6( ;1)1( )5(;1)4( ;1 )3(;
4)2( ;3523 )1(2222222=+=-+=+==-=+x x x x x x x
x y x
注意：判断方程是否为一元二次方程要看整理后的结果
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式
)0( 02≠=++a c bx ax 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中2
ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
思考：为什么规定0≠a ？当0≠a 时，b,c 可以为0吗？
【设计意图】概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升。
例2、将关于x 的一元二次方程3x(x-1)=5(x+2)化成一般形式，并写出其中的二次项与二次项系数、一次项与一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．因此，方程3x(x ―1)＝5(x ＋
2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：略．
注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号．
练习2、将下列方程化为一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
10-6)5( )1(x x x =+ 1)1()1(2 )2(22+-=+x x
【设计意图】考察化简方程的能力，以及对一元二次方程一般形式的掌握情况。
例3、若关于x 的一元二次方程
的常数项是0，求m 的值？
0)22()42(2=+-+-a x b x a 分析：此方程是关于x 的一元二次方程，因此二次项系数02≠-m ，且常数项042
=-m ，
解出m 即可。
口答：当m 为何值时，此方程是关于x 的一元一次方程？
练习3、关于x 的方程 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
【设计意图】在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆。
(4)、一元二次方程的解（或根）的概念：使方程左右两边相等的未知数的值。
例4、(1) 判断下列哪些数是方程 2
x +x-2=0 的根？ -3，-2，-1, 0, 1, 2 , 3 （2）知关于x 的方程 2
x +x +2b-4=0 的一个根为0，则b = ________ .
分析：若一个数是方程的根，只要把其代入等式，等式两边相等． 练习4、关于x 的一元二次方程043)2(2222=-+++m x m x m 有一个根为0，求
3422+-m m 的值？
分析：此方程是关于x 的一元二次方程，因此二次项系数022
≠+）（m ，再把0=x 代入原
方程即可求出m 的值。 思考：1=x 是一元二次方程043)2(2222=-+++m x m x m 的一个解，求m 的值是多少？
【设计意图】通过辨析方程的元、次、项及解（根）看清方程的本质，从而深化理解，巩固
提高。
(4) 课堂小结
１．本节课你学到了哪些知识？
2．在学习过程中，有哪些典型的错误值得我们反思？
五、布置作业
教科书习题21.1及巩固复习第1、2、3题。
初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1 x ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页 问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ (2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？
人教版初中数学九年级上册第二十一章：一元二次方程(全章教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二十一章一元二次方程 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容． 方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”． 本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题． 【本章重点】 一元二次方程的解法及应用． 【本章难点】 1．一元二次方程根与系数的关系的应用． 2．利用一元二次方程解决实际问题． 【本章思想方法】 1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程． 2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型． 21.1一元二次方程1课时 21.2解一元二次方程4课时 21.3实际问题与一元二次方程1课时
21.1一元二次方程 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解一元二次方程及相关概念． 2．掌握一元二次方程的一般形式． 3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 【过程与方法】 从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念． 【情感态度与价值观】 通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 1．一元二次方程的概念及其一般形式． 2．判断一个数是不是一元二次方程的解． 【教学难点】 能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．解决下列问题： 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 【解析】设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)_cm__，宽为__(50－2x)_cm__.
人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识 点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二十一章 一元二次方程 21.1一元二次方程 1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。形如：()2 00ax bx c a ++=≠ 例1．关于x 的方程(m －4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程. 【答案】≠4，=4 【解析】 试题分析：根据一元二次方程、一元一次方程的定义即可求得结果. 由题意得当m≠4时，是一元二次方程，当m=4时，是一元一次方程. 考点：一元二次方程，一元一次方程 点评：熟练掌握各种方程的基本特征是学好数学的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般. 例2．关于x 的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________. 【答案】m ≠-1且m ≠2 【解析】 试题分析：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），由a≠0即可得到m2-m-2≠0，从而得到结果。 由题意得m2-m-2≠0，解得m ≠-1且m ≠2. 考点：本题考查的是一元二次方程成立的条件 点评：解答本题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），尤其注意a≠0. 2、a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 例1．一元二次方程3x2-6x+1=0中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是 （ ） A ．3，-6，1 B ．3，6，1 C ．3x2,6x ，1 D ．3x2,-6x ，1
第二十一章一元二次方程教学学案 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键 1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导． 课时划分 本单元教学时间约需16课时，具体分配如下： 21．1 一元二次方程 2课时 21．2 降次──解一元二次方程 7课时 21．3 实际问题与一元二次方程 5课时 发现一元二次方程根与系数的关系 2课时 第1课时 21．1 一元二次方程 教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+b x+c=0（a≠0）及其派生的概念；?应用一元二次方程概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目． 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键 1．?重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程 一、复习引入 学生活动：列方程． 问题（1）古算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。 借问竿长多少数，谁人算出我佩服。 如果假设门的高为x?尺，?那么，?这个门的宽为_______?尺，长为_______?尺，?根据题意，?得________． 整理、化简，得：__________． 问题（2）如图，如果AC CB AB AC ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．https://www.doczj.com/doc/b019150831.html, 如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________． 问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______． 整理，得：________． 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）?都有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0
21.1《一元二次方程》教学设计 一、教学内容 一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式及一元二次方程的解（根）的概念． 二、教学目标 （1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，并理解一元二次方程的概念． （2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式． （3）会判定一个数是否是方程的根及解决一些概念性的题目． （4）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 三、教学重、难点 重点： 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点 1. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 2. 判定一个数是否是方程的根． 课时安排 1课时． 四、教学过程设计 （1）复习回顾 1、什么叫做方程？ 2、我们都学过哪些方程？ 3、我们如何定义方程的“元”和“次”？ （2）探究新知 1、集思广益 方程 2240+-=x x 属于什么方程？其他实际问题中是否也能列出这一类方程呢？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为(100―2x ) cm ，宽为(50―2x ) cm ．根 据方盒的底面积为3600 cm 2，得(100―2x )(50―2x )＝3 600． 整理，得 4x 2―300x ＋1 400＝0. 化简，得 x 2―75x ＋350＝0 问题一、如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 2cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题二、要组织一次排球邀请赛，参赛 的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应该邀请多少个队参赛？ 分析： 全部比赛共有28场． 若设应邀请x 个队参赛，则每个队要与其他x-1个队各赛一场，比赛共有x(x-1)/2场，由此，我们可以列出方程x(x-1)/2=28，化简得x 2―x=56.
人教版九年级上册数学第二十一章一 元二次方程含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（） A.2 B.0 C.﹣2 D.3 2、若，，则以为根的一元二次方程是（） A. B. C. D. 3、方程x2﹣5x=0的解是( ) A.x 1=0，x 2 =﹣5 B.x=5 C.x 1 =0，x 2 =5 D.x=0 4、若关于x的方程x2+（m+1）x+ =0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是（） A.﹣ B. C.﹣或 D.1 5、公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为 （）
A. B. C. D. 6、已知方程x2+x﹣3=0，则下列说法中，正确的是（） A.方程两根之和是1 B.方程两根之积是3 C.方程两根之平方和是 7 D.方程两根倒数之和是3 7、关于x的方程x2﹣2x﹣2＝0的根的情况是( ) A.有两个不等实根 B.有两个相等实根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 8、方程x2+4x+4=0的根的情况是（） A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 9、若关于x的方程(x+1)(x-2)=m有两个不相等的实数根，则下列说法： ①4m+9>0；②当m=4时，x=-2或3；③当0 一、选择题 1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ） A ．（x ﹣3）2＝3 B ．（x ﹣3）2＝6 C ．（x+3）2＝12 D ．（x ﹣3）2＝12D 解析：D 【分析】 先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案． 【详解】 由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12， 配方得；（x ﹣3）2＝12． 故选：D ． 【点睛】 此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键． 2．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ） A ．10 B ．17 C ．20 D ．17或20B 解析：B 【分析】 根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可． 【详解】 解：∵217700x x -+=， ∴(10)(7)0x x --=， ∴110x =，27x =， ∵4610+=，无法构成三角形， ∴此三角形的周长是：46717++=． 故选B ． 【点睛】 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量． 3．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ） A ．5000（1+x ）＝6050 B ．5000（1+2x ）＝6050 第二十一章一元二次方程 21．1一元二次方程 1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式． 2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题． 3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识． 一、情境导入 参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】一元二次方程的识别 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( ) A．x2＋ 1 x2 ＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0 C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0 解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C. 方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可． 【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数 关于x的方程(k＋1)x＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________． 解析：由题意得 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧|k－1|＝2， k＋1≠0， ∴ ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧k＝3或k＝－1， k≠－1. ∴k＝3. 方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值． 探究点二：一元二次方程的一般形式 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)3x2－2＝5x； (2)9x2＝16； (3)2x(3x＋1)＝17； (4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2. 解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 解：(1)方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2. (2)方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16. (3)方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17. (4)方程化为一般形式为3x2－9x－3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3. 方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 探究点三：列一元二次方程 (2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．请根据题意列出方程． 解析：设花边的宽度为x m，则由图可知剩下部分的长为(2－2x)m，剩下部分的宽为(1.4－2x)m.∵剩下部分面积为1.6m2，∴可列方程(2－2x)(1.4－2x)＝1.6. 方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程． 探究点四：一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解 方程x－2x＝0的解为( ) A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝ 1 2 ，x2＝2 解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的x1＝0，x2＝2都能使方程x2－2x＝0的左右两边相等，所以选C. 方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 典型例题： 1、已知关于x的方程（）x 21 m- +（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得 x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是： ①移项； ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1； ③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根 第二十一章“一元二次方程〞简介 课程教材研究所章建跃 一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型。一元二次方程的解法和实际应用是初中阶段的核心内容。前面已经学习了一元一次方程、二元一次方程组以及分式方程等，本章学习一元二次方程的解法，讨论与方程的根有关的几个根本问题〔判别式与方程的根、根与系数的关系等〕，在此根底上学习利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。本章的学习将为后续的勾股定理、二次函数等打下学习根底，在学生的“四基〞、“四能〞的开展，特别是在运算能力、推理能力、模型思想和应用意识的培养上可以发挥较大作用。 本章教学时间约需13课时，具体分配如下〔仅供参考〕： 21．1 一元二次方程1课时 21．2 解一元二次方程 7课时 21．3 实际问题与一元二次方程 3课时 数学活动 小结2课时 一、教科书内容和本章学习目标 1.本章知识构造 现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程。因此，从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。 学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的根本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解。学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程。从数学知识的内部开展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元〞上的推广。自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程。类比二〔三〕元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次〞降为“一次〞，这是本章学习的另一条主线。 与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进展求解。这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的时机。根据?课程标准〔2021年版〕?的规定，教科书着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程。 解一元二次方程的根本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。具体地，根据平方根的意义，可得出方程x2=p和(x+n)2=p的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为(x+n)2=p的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程ax2+bx+c=0配方后得出的．如能将ax2+bx+c分解为两个一次因式的乘积，那么可令每个因式为0来解．一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点．一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了．当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它．在推导求根公式的过程中，从x2=p到 (x+n)2=p再到ax2+bx+c=0，是方程形式的不断推广，表达了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程那么是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，表达了化归思想。显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的。 与?课程标准〔实验稿〕?相比，?课程标准〔2021年版〕?重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等〞，“了解一元二次方 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点 1.只含有 个未知数，并且未知数的 方程叫一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项为 ，一次项 ，常数项 ，二次项系数 ，一次项系数 . 3.使一元二次方程左右两边 叫一元二次方程的解。 一．选择题 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．x-2=0 B ．x 2-4x-1=0 C ．x 2-2x-3 D ．xy+1=0 2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．5x+3=0 B ．x 2-x （x+1）=0 C ．4x 2=9 D ．x 2-x 3+4=0 3．关于x 的方程013)2(22=--+-x x a a 是一元二次方程，则a 的值是（ ） A ．a=±2 B ．a=-2 C ．a=2 D ．a 为任意实数 4．把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ） A ．2，-3 B ．-2，-3 C ．2，-3x D ．-2，-3x 5．若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．1或-1 D ．0 6．把方程2（x 2+1）=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ） A ．8 B ．9 C ．-2 D ．-1 7．（2013•安顺）已知关于x 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 8．（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ） A ．2018 B ．2008 C ．2014 D ．2012 二．填空题 9.当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m 是一元二次方程；人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(含答案解析)
(贵州)RJ人教版 九年级数学 上册(教学设计 电子教案)第二十一章 一元二次方程(全单元教案 含反思)
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