新人教版八年级数学上册第13章《轴对称》综合复习测试题

八年级数学上册第十三章《轴对称》综合测试题-人教版（含答案）题号一二三总分19 20 21 22 23 24分数一、选择题(每题3分，共30分)1以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A．1，1，2 B．1，1，3 C．2，2，1 D．2，2，52如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD3如图，DE是△ABC中AB边的垂直平分线，若BC＝6，AC＝8，则△BCE的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．164．如图，直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝120°，∠B＝110°，那么∠BCD的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°5．如图，在等腰△ABO中，∠ABO＝90°，腰长为2，则A点关于y轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，﹣2）C．（2，2）D．（2，﹣2）6．以下叙述中不正确的是（）A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C．等腰三角形一定是锐角三角形D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等7．如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿AB→BC的路径匀速运动，当点C停止，过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（s）的函数关系图象如图②所示，当点P运动2.5s时，PQ的长是（）cm．A．B．C．D．8.如图13-5，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q 恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上.若PM=2.5 cm，PN=3 cm，MN=4 cm，则线段QR的长为（）A.4.5 cmB.5.5 cmC.6.5 cmD.7 cm图13-5 图13-69.如图13-6，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D，E分别为垂足，下列结论中正确的是（）A.AC=2ABB.AC=8ECC.CE=12BDD.BC=2BD10. 如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3＝7：2：1，则∠α的度数为（）A．90°B．108°C．110°D．126°二、填空题(每题3分，共24分)11如图所示，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为P，Q，M，N的四个图形，按照“由哪个正方形剪开后拼成的轴对称图形”的对应关系：A与对应，B与对应，C与对应，D与对应．12如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地，此时可以判断C，D到B的距离相等，用到的数学道理是．13如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为．14设点P（2m﹣3，3﹣m）关于y轴的对称点在第二象限，则整数m的值为．15如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为．16定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，以点C为圆心、BC的长为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠ABE的大小为______.18.如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC ＝84°，则∠BDC＝______.三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)19．如图，已知△ABC，（1）分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2；（2）直接写出B1和B2点坐标．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBD＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．21．如图，△ABC中，AB＝AC，DE是腰AB的垂直平分线．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AB＝9，BC＝5，求△BDC的周长．22．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE＝∠A+∠ACB．23．已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE=DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．24．已知等腰ABC，AC AB⊥交BA延长线于点D，点P在直线AC上=，30ABC∠=︒，CD AB运动，连接BP，以BP为边，并在BP的左侧作等边三角形BPE，连接AE．(1)如图1，当BP AC≌△△；⊥时，求证：ABP ACD(2)如图2，当点D与点E在直线CP同侧时，求证：AP AB AE=+；(3)在点P运动过程中，是否存在定直线，使得线段BE、CE始终关于这条直线对称，若存在，指出这一条直线，并加以证明：若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(每题3分，共30分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D C D C C D B D B二、填空题(每题3分，共24分)11如图所示，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为P，Q，M，N的四个图形，按照“由哪个正方形剪开后拼成的轴对称图形”的对应关系：A与对应，B与对应，C与对应，D与对应．【考点】轴对称图形．【答案】见试题解答内容【分析】应根据各图形组成特征找出对应关系．【解答】解：A剪开后是三个三角形，B和C剪开后是两个直角梯形和一个三角形，D剪开后是两个三角形和一个四边形，因而，A与G对应，B与E对应，C与F对应，D与H对应．12如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地，此时可以判断C，D到B的距离相等，用到的数学道理是．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】三角形．【答案】见试题解答内容【分析】先根据题意得到AB垂直平分CD，然后根据线段垂直平分线的性质可判断C，D到B的距离相等．【解答】解：∵AB⊥CD，AC＝AD，∴AB垂直平分CD，∴BC＝BD，即C，D到B的距离相等．故答案为：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．13如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为．【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【答案】见试题解答内容【分析】根据等边三角形的性质得到AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，根据直角三角形的性质得到AE＝AD＝2，计算即可．【解答】解：等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，BC＝AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AFD＝∠CFE＝90°，∴AE＝AD＝2，∴CE＝8﹣2＝6，∴CF＝CE＝3，∴BF＝5，故答案为：5．14设点P（2m﹣3，3﹣m）关于y轴的对称点在第二象限，则整数m的值为．【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】平面直角坐标系；数感；运算能力．【答案】2．【分析】由于点P关于y轴的对称点在第二象限，则点P在第一象限，再根据点的坐标特征，即可得出整数m的值．【解答】解：由于点P关于y轴的对称点在第二象限，则点P在第一象限．依题意有解得＜m＜3．因为m为整数，所以m＝2，故答案为：2．15如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为．【考点】等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝14，求得EG＝8，于是得到结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14，∴EG＝8，∵CE＝CG＝4，∴AC＝BC＝10，故答案为：10．16定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或17．21°解析：∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠ABC＝∠ACB＝74°.依题意可知BC＝EC，∴∠BEC ＝∠EBC＝53°，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝74°－53°＝21°.18．96°解析：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于点F.∵AD是∠BAC的平分线，∴DE ＝DF .∵DP 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD .在Rt△DEB 和Rt△DFC 中，⎩⎨⎧DB ＝DC ，DE ＝DF ，∴Rt△DEB ≌Rt△DFC (HL)．∴∠BDE ＝∠CDF ，∴∠BDC ＝∠EDF .∵∠DEB ＝∠DFA ＝90°，∠BAC ＝84°，∴∠BDC ＝∠EDF ＝360°－90°－90°－84°＝96°.三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)19．如图，已知△ABC ，（1）分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2；（2）直接写出B 1和B 2点坐标．【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 关于x 轴、y 轴对称的点，然后顺次连接；（2）根据坐标系的特点，写出点B 1和B 2的坐标．【解答】解：（1）所作图形如图所示：；（2）B1（2，2），B2（﹣2，﹣4）．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBD＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．【分析】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形，首先证明△EBO≌△DCO，可得BO＝CO，根据等边对等角可得∠OBC ＝∠OCB，进而得到∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边可得AB＝AC，即可得到△ABC是等腰三角形．【解答】①③；②③；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形；证明：∵在△EBO和△DCO中，∵，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠EBO+∠OBC＝∠DCO+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．21．解：（1）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝＝70°．∵DE是腰AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝70°﹣40°＝30°；（2）由（1）得：AD＝BD，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝AB+BC＝9+5＝14．答：△BDC的周长是14．22．证明：∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，∴CE＝BE，∴∠ECB＝∠EBC，∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∴∠BCE＝∠A+∠ACB．23.【答案】（1）解：∵EF∥AB．∴∠FEC=∠A=30°．∠EFC=∠B=30°∴EC=CF．又∵AC=BC∴AE=BFD是AB中点．∴DB=AD∴△ADE≌△BDF．∴DE=DF（2）解：过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．∵AC=BC，∴∠A=∠B，又∵∠ACB=120°，∴∠A=∠B=（180°﹣∠ACB）÷2=30°，∴∠ADM=∠BDN=60°，∴∠MDN=180°﹣∠ADM﹣∠BDN=60°．∵AC=BC、AD=BD，∴∠ACD=∠BCD，∴DM=DN．由∠MDN=60°、∠EDF=60°，可知：一当M 与E 重合时，N 就一定与F 重合．此时：DM=DE 、DN=DF ，结合证得的DM=DN ，得：DE=DF ．二当M 落在C 、E 之间时，N 就一定落在B 、F 之间．此时：∠EDM=∠EDF﹣∠MDF=60°﹣∠MDF，∠FDN=∠MDN﹣∠MDF=60°﹣∠MDF，∴∠EDM=∠FDN，又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN ，∴△DEM≌△DFN（ASA ），∴DE=DF．三当M 落在A 、E 之间时，N 就一定落在C 、F 之间．此时：∠EDM=∠MDN﹣∠EDN=60°﹣∠EDN，∠FDN=∠EDF﹣∠EDN=60°﹣∠EDN，∴∠EDM=∠FDN，又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN ，∴△DEM≌△DFN（ASA ），∴DE=DF．综上一、二、三所述，得：DE=DF ．24. (1)证明∶如图1，∵CD ⊥AB ， BP ⊥AC ，∴∠ADC =∠APB =90°，∵在△ABP 和△ACD 中，ADC APB CAD BAP AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABP ≌△ACD ；(2)证明：如图3，在PA 上取一点M ，使得PM =AB ，∵△BPE是等边三角形，∴BE=PE，∠BEP=60°，∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠ACB=∠ABC=30°，∴∠BAP=∠ABC+∠ACB=60*，∴∠BEP=∠BAP，∴∠EPM=∠EBA，∴△PEM≌△BEA，∴EM=AE，∠PEM=∠BEA，∴∠AEM=∠AEB+∠BEM=∠PEM+∠MEB=∠BEP=60°，∴△AEM是等边三角形，∵AE=AM，∴AP=AM+PM=AE+AB；(3)解∶存在定直线，使得线段BE、CE始终关于这条直线对称，理由如下：①当点D与点E在直线CP同侧时，连接CE，如图4，∵△AEM是等边三角形，∴∠EAM=60°，∵∠BAP =60°，∴∠DAE =180°-∠DAE -∠EAM =60°，∴∠CAE =CAD +∠DAE =120°，∠BAE =∠BAP +∠AEM =120°，∴∠CAE =∠BAE ，∵在△CAE 和△BAE 中AE AE CAE BAE AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CAE ≌△BAE ，∴CE =BE ，∴点E 在线段BC 的垂直平分线上，△CEB 是等腰三角形，∵等腰三角形CEB 的对称轴为线段BC 的垂直平分线，∴线段BE 、CE 始终关于线段BC 的垂直平分线对称；②当点D 与点E 在直线CP 两侧时，在PC 上取一点M ，使得PM = BA ，如图5，∵△BPE 是等边三角形，∴BE =PE ，∠BEP =60°，∵AB =AC ，∠ABC =30°，∴∠ACB =∠ABC =30°，∴∠BAP =∠ABC +∠ACB =60°，∴∠BEP =∠BAP ，∴∠EPM =∠EBA ，∴△PEM ≌△BEA ，∴∠PME =∠BAE ， EM =AE ，∴∠PME =∠MAE ，∴∠MAE =∠BAE ，∵△ACE 和△ABE 中，CA AB MAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△ABE ，∴CE =BE ，∴点E 在线段BC 的垂直平分线上，△CEB 是等腰三角形，∵等腰三角形CEB 的对称轴为线段BC 的垂直平分线，∴线段BE 、CE 始终关于线段BC 的垂直平分线对称；即∶在点P 运动过程中，存在定直线（线段BC 的垂直平分线），使得线段BE 、CE 始终关于这条直线对称．。

人教版八年级数学上测第十三章《轴对称》检测题（含答案）一、选择题(每小题3分，共30分)1. 现实世界中，对称现象无处不在，下列汉字是轴对称图形的是（）A. 爱B. 我C. 中D. 华【答案】C.2.点M(1，2)关于x轴对称点的坐标为（）A.(－1，2)B.(－1，－2)C.(1，－2)D.(2，－1)【答案】C.3. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B度数为（）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°【答案】B.4.下列每个网格中均有两个图形，其中一个图形可由另一个轴对称变换得到的是（）A. B. C. D.【答案】B.5. 如图，∠MON内有一点P，点P关于OM、ON的对称点分别是G、H，连GH分别交OM、ON于A、B点，若GH＝10cm，则△P AB的周长为（）A. 5cmB.10cmC. 20cmD.15cm【答案】B. 提示：根据对称性，AG＝AP，BH＝GP，∴AP＋AB＋BP＝AG＋AB＋BH＝GH＝10.6.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A. 55° ，55°B. 70°，40或70°，55°C.70°，40°D. 55°，55°或70°，40°【答案】D.7. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△CDE，连接AE交CD于点F，则∠DF A的度数为（）A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°【答案】D. 提示：∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠DAF＝∠DEA＝15°，则∠DF A＝75°.8. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE的长度为（）A. 5cmB. 5.4cmC. 2.4cmD. 3cm【答案】C. 提示：作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，故设DE＝DF＝h，由S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，得：12(AB＋BC)h＝36，代入数值，解得h＝2.4，故选C.9. 如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（）A.2ba+B.2ba-C. a－b D. b－a【答案】C. 提示：AD＝BD＝BC＝b，CD＝AC－AD＝a－b.10. 如图OE是等边△AOB的中线，OB＝4，C是直线OE上一动点，以AC为边在直线AC下方作等边△ACD，连接ED，下列说法正确的是（）A. ED的最小值是2B. ED的最小值是1C. ED有最大值D. ED没有最大值也没有最小值【答案】B. 提示：连BD，则易得△AOC≌△ABD(SAS)，∴∠ABD＝∠AOC＝30°，当∠BDE＝90°时，ED最小，此时ED＝12BE＝1，故选B.二、填空题(每小题3分，共18分)11. 点P(m，n)和点Q(n－1，2m)关于x轴对称，则m＋n的值为__________.【答案】13. 提示：m＝n－1，2m＋n＝0，联立解得m＝－13，n＝23，∴m＋n＝13.12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC，若DE＝1，则BC的长是__________.【答案】3. 提示：由条件得AD＝BD，∠CAD＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，CD＝DE＝1，BD＝2DE＝2，∴BC＝CD＋BD＝3.13. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若AE＝3，△ABD周长为13，则△ABC周长为________.【答案】19. 提示：由题知AC＝2AE＝6，AD＝CD，∴BC＝BD＋AD，∵AB＋BD＋AD＝13，∴AB＋BC＝13，∴AB＋BC＋AC＝13＋6＝19.14. 如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的力向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋是________.【答案】1号袋. 提示：如图所示.15. 如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是___________ .【答案】92°. 提示：由飞镖模型，∠DNC＝∠C＋∠D＋∠DMC，即：180°－∠2＝46°＋46°＋(180°－∠1)，∴∠1－∠2＝92°.16 .已知A(1，2)、B(7，4)，点M、N是x轴上的动点(M在N左边)，MN＝3，当AM＋MN＋NB最小时，直接写出点M的坐标为___________.【答案】(2，0). 提示：作点A关于x轴的对称点A′，将点B向左平移3个单位得点B′，连接A′B′，交x轴于点M.三、解答题(共8小题，共72分)17. (8分)如图，已知点M、N和∠AOB，用尺规作图作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB两边的距离相等.(保留作图痕迹，不写作法)【答案】1.作∠AOB的平分线OC；2.连MN，作MN的垂直平分线EF；则射线OC与直线EF的交点P即为所求.18. (8分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足.(1)直接写出∠BAC的度数；(2)求∠DAF的度数；(3)若△DAF的周长为20，求BC的长.【答案】(1)∠BAC＝100°；(2)∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B＝30°，∠CAF＝∠C＝50°，∴∠DAF＝∠BAC－∠BAD－∠CAF＝100°－30°－50°＝20°；(3) ∵△DAF的周长为20，∴AD＋DF＋AF＝20，∴BC＝BD＋DF＋CF＝AD＋DF＋AF＝20.19. (8分)(1)如图，已知△ABC，请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'(其中A'、B'、C'分别是A、B、C的对应点)；(2)直接写出点A'、B'、C'点的坐标；(3)求△ABC的面积是多少?(4)用无刻度的直尺在y轴上找一点Q，使得QA＋QB之和最小.(用虚线表示画图过程)【答案】(1) A'(2，3)、B'(3，1)、C'(－1，－2)；(2)S△ABC＝5×4－12×1×2－12×3×4－12×3×5＝5.5；(3) 连接A′B(或AB′)交y轴于Q，即可.20. (8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，请添加一个条件，使DE＝DF，并说明理由.【答案】添加的条件是：D为BC的中点. 理由如下：方法1：连接AD.∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.方法2：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵D为BC中点，∴BD＝CD.在△BDE与△CDF中，∵∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.21. (8分)如图，△ABC 是等边三角形，点D 在BC 延长线上，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于G ，EF ⊥BC 于点F ，若CD ＝3AE ，CF ＝6，求AC 的长. 【答案】设AE ＝x ，则CD ＝3x .在等边△ABC 中，∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°， 又DE ⊥AB ，∴∠D ＝∠AGE ＝∠CGD ＝30°. ∴AG ＝2AE ＝2x ，CG ＝CD ＝3x ， ∴AB ＝BC ＝AC ＝2x ＋3x ＝5x . 则BE ＝5x －x ＝4x ，又∵EF ⊥BC ，∠B ＝60°，∴BF ＝12BE ＝2x ，∴BC ＝BF ＋CF ＝2x ＋6.∵BC ＝AC ，∴2x ＋6＝5x ，∴x ＝2. ∴AC ＝5x ＝10.22. (10分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，E 为BC 边上一点，以E 为顶点作∠AEF ，∠AEF 的边交AC 于点F ，使∠AEF ＝∠B . (1)如果∠ABC ＝40°，则∠BAC ＝________； (2)判断∠BAE 与∠CEF 的大小关系，并说明理由；(3)当△AEF 为直角三角形时，求∠AEF 与∠BAE 的数量关系.【答案】(1)100°； …………… 2分 (2)∠BAE ＝∠CEF ，理由如下： ∵∠AEC 是△ABE 的外角， ∴∠AEF ＋∠CEF ＝∠B ＋∠BAE . 又∵∠AEF ＝∠B ，∴∠CEF ＝∠BAE . …………… 5分(3)由(2)，设∠CEF ＝∠BAE ＝α，设∠AEF ＝∠B ＝∠C ＝β.则∠AFE ＝∠CEF ＋∠C ＝α＋β.∵∠AEF ＝∠B ＜90°，故分两种情况考虑：1°当∠EAF 为直角时，如图1，由∠AEF ＋∠AFE ＝90°，CBAFECBA备用图1CBA备用图2得β＋(α＋β)＝90°，∴α＋2β＝90°，故有：∠BAE＋2∠AEF＝90°.2°当∠AFE为直角时，如图2，得α＋β＝90°，即：∠BAE＋∠AEF＝90°.综上，当△AEF为直角三角形时，∠BAE＋2∠AEF＝90°或∠BAE＋∠AEF＝90°. …………… 10分23. (10分)已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为边在AD的右侧作Rt△ADE，AD＝AE，∠ADE＝∠AED ＝45°，连接CE.(1)〖发现问题〗如图1，当点D在边BC上时，①请写出BD和CE之间的数量关系为_____________，位置关系为____________；②求证：CE＋CD＝BC；(2)尝试探究:如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，(1)中BC、CE、CD 之间存在的数量关系是否成立? 若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系(不必证明)；(3)拓展延伸：如图3，当点D在CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段CD的长.【答案】(1)①BD＝CE，BD⊥CE，…………… 2分②由条件得∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD＝45°，∴CE＋CD＝BD＋CD＝BC. …………… 5分(2) 不成立，此时关系式为BC＋CD＝CE. …………… 7分提示：同上，证明△BAD≌△CAE(SAS)，得BD＝CE，即BC＋CD＝CE.(3) 由条件得∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE. ∵BD＋BC＝CD，∴CD ＝CE ＋BC ＝2＋6＝8. …………… 10分24. (12分)等腰Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点A 在x 轴正半轴上，C 在y 轴负半轴上.(1)如图1，求证：∠BCO ＝∠CAO ；(2)如图2，若OA ＝4，OC ＝2，M 是AB 与y 轴交点，求△AOM 的面积；(3)如图3，点C (0，2)，点Q 、A 均在x 轴上，且S △ACQ ＝6a (a 为已知数). 分别以AC 、CQ 为腰在第一、第二象限作等腰Rt △CAN 、等腰Rt △QCM ，连接MN 交y 轴于P 点，间：S △MON 是否发生改变?若不变，求出S △MON 的值；若变化，求S △MON 的取值范围.【答案】(1) ∵∠ACB ＝90°，∴∠BCO ＋∠ACO ＝90°. 又∵∠AOC ＝90°，∴∠CAO ＋∠ACO ＝90°. ∴ ∠BCO ＝∠CAO . …………… 3分(2) 过B 作BD ⊥y 轴于D ，则△BCD ≌△CAO (AAS )， ∴BD ＝CO ＝2，CD ＝AO ＝4，OD ＝CD －OC ＝2，∴B (－2，2). 又∵A (4，0)，C (0，－2)，由割补法，得S △ABC ＝4×6－12×2×4－12×2×4－12×2×6＝10， 又2142△△BCM ACM S BD S OA ===，∴S △ACM ＝23S △ABC ＝203. ∵S △AOC ＝12×2×4＝4，∴S △AOM ＝S △ACM －S △AOC ＝203－4＝83. (3) 过N 作NE ∥CM 交y 轴于E ，则∠CNE ＋∠MCN ＝180°，∵∠MCQ ＋∠ACN ＝90°＋90°＝180°， ∴∠ACQ ＋∠MCN ＝180°， ∴∠CNE ＝∠ACQ . 又∵∠ECN ＋∠ACO ＝90°，∠QAC ＋∠ACO ＝90°， ∴∠ECN ＝∠QAC . 在△ECN 和△QAC 中，∵∠CNE ＝∠ACQ ，CN ＝AC ，∠ECN ＝∠QAC ， ∴△ECN ≌△QAC (ASA )，∴CE＝AQ，EN＝QC＝MC.又NE∥CM，∴△PEN≌△PCM(ASA)，∴PE＝PC.∵点C(0，2)，S△ACQ＝6a，∴AQ＝6a.∴CE＝AQ＝6a，∴CP＝PE＝3a.∴OP＝OC＋CP＝2＋3a.过M作MF⊥y轴于F，过N作NG⊥y轴于G，∵△MCQ为等腰直角三角形，∴△MCF≌△CQO(AAS)，∴MF＝CO＝2，同理，NG＝OC＝2.则S△MON＝S△MOP＋S△NOP＝12OP·MF＋12OP·NG＝2OP＝6a＋4.。

人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷含答案一．选择题（共10小题）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC ＝6，则DC为（）A．5B．8C．9D．103．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝60°，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，若∠BAC＝100°，则∠ADC的度数为（）A．60°B．50°C．65°D．70°5．下列命题中：①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC一定与△A′B′C′全等；④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，则三角形周长为（）A．10B．11C．12D．10或117．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（）A．6B．4C．3D．28．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1B．2C．3D．49．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC是钝角．点D在底边BC上，连接AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°10．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（）A．4B．1.5或2C．2D．4或2二．填空题（共8小题）11．等边三角形的两条中线所成的锐角的度数是度．12．已知点P（1﹣a，3+2a）关于x轴的对称点落在第三象限，则a的取值范围是．13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则顶角为．14．如图，等腰三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝40°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2的度数为度．15．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是．16．如图，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点M，且过点M的直线DE∥BC，分别交AB、AC于D、E两点，若AB ＝12，AC＝10，则△ADE的周长为．17．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是秒．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为．三．解答题（共7小题）19．△ABC在直角坐标系内的位置如图所示：（1）分别写出点A，C的坐标：A的坐标：，C的坐标：；（2）请在这个坐标系内画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（3）求△A1B1C1的面积．20．已知一个三角形的两条边长分别为4cm，8cm．设第三条边长为x cm．（1）求x的取值范围．（2）若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长．21．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE．（1）求∠EDC的度数；（2）若AD＝2，求△AED的面积．22．如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形．23．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°．（Ⅰ）求∠CAE的度数；（Ⅱ）求∠FDC的度数．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线MF交AC 于F，交BC于M．（1）求∠BDE的度数；（2）证明△ADF是等边三角形；（3）若MF的长为2，求AB的边长．参考答案一．选择题（共10小题）1．B．2．A．3．：D．4．A．5．B．6．D．7．A．8．C．9．B．10．C．二．填空题（共8小题）11．60．12．a＞1．13．48°或132°．14．250．15．15．16．22．17．4．18．10．三．解答题（共7小题）19．解：（1）A（0，3），C（﹣2，1）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；点B1（﹣4，﹣4）；故答案为：（﹣4，﹣4）；（3）△A1B1C1的面积＝．20．解：（1）根据三角形三边关系得，8﹣4＜x＜8+4即4＜x＜12；（2）∵三角形是等腰三角形，等腰三角形两条边长分别为4cm，8cm，且4＜x＜12∴等腰三角形第三边只能是8cm∴等腰三角形周长为4+8+8＝20cm．21．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝60°AB＝AC＝BC∵AD为中线∴AD⊥CD∵AD＝AE∴∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°；（2）解：过D作DH⊥AC于H∴∠AHD＝90°∵∠CAD＝30°∴∵AD＝AE＝2∴．22．证明：∵AB∥CD∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE．∵DC平分∠ACE∴∠ACD＝∠DCE∴∠B＝∠A∴AC＝BC∴△ABC为等腰三角形．23．解：（Ⅰ）∵三角形ABC为等边三角形∴∠BAE＝60°∵∠BAD＝15°∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°∵∠DAE＝80°∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE∴∠ADE＝（180°﹣80°）＝50°∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°又∵∠ADE＝50°∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．24．（1）证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C∵FE⊥BC∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°∴∠F＝∠BDE∵∠BDE＝∠FDA∴∠F＝∠FDA∴AF＝AD∴△ADF是等腰三角形；（2）解：∵DE⊥BC∴∠DEB＝90°∵∠F＝30°∴∠BDE＝30°∵BD＝4∴∵AB＝AC∴△ABC是等边三角形∴AC＝AB＝BE+EC＝825．（1）解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠BAC）＝30°在△BDE中，BD＝BE∴∠BDE＝∠BED＝×（180°﹣∠B）＝75°；（2）证明：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M ∴DF＝CF，∠FMC＝90°∴∠FDC＝∠C＝30°∴∠AFD＝∠FDC+∠C＝60°在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°∴∠CAD＝∠AFD＝60°∴△ADF是等边三角形；（3）在Rt△FMC中，∠C＝30°，MF＝2∴CF＝2MF＝4∴DF＝CF＝4由（2）可知：△ADF是等边三角形∴AF＝DF＝4∴AB＝AC＝AF+CF＝4+4＝8．。

轴对称专题训练试题一、选择题1、点P（2，﹣3）关于x轴的对称点是（）A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）2、下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3、在以下四个银行标志中，属于轴对称图形的是………………………（）A. B. C. D.4、甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A ．B ．C ．D ．5、如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（）A．48°B．54°C．74° D．78°6、下面有4个图案，其中有（）个是轴对称图形．A．一个B．二个 C．三个 D．四个7、将△ABC的三个顶点坐标的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，则所得图形与原图的关系是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．将图形向下平移一个单位8、若一个图形上所有点的纵坐标不变，横坐标乘以－1，则所得图形与原图形的关系为（）A、关于x轴成轴对称图形B、关于y轴成轴对称图形C、关于原点成中心对称图形D、无法确定9、如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）．则∠OCD等于（）A 108°B 114°C 126°D 129°10、如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的△ADH中 ()A：AH=DH≠AD B：AH=DH=AD C：AH=AD≠DH D：AH≠DH≠AD11、已知A（2，3），其关于x轴的对称点是B，B关于y轴对称点是C，那么相当于将A经过（）的平移到了C。

A、向左平移4个单位，再向上平移6个单位。

一、选择题1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20°D解析：D【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键． 2．点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，则()2021a b +的值为（ ） A ．1-B ．1C ．0D ．2021- A解析：A【分析】 关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a ，b 的值，进一步可得答案．【详解】解：∵1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，得a-1=2017，1-b=2020．解得a=2018，b=-2019，∴()()()202120212021=2018201911a b +-=-=- 故选：A ． 【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 3．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…，在射线ON 上，点B ，1B ，2B ，3B ，…，在射线OM 上，112A B B ，223A B B △，334A B B △，…，均为等边三角形．若11OB =，则202020202021A B B △的边长为（ ）A ．20192B ．20202C ．20212D ．20222 A解析：A【分析】 先求出∠O=∠OA 1B 1=30°，从而A 1B 1=A 1B 2= OB 1=1，然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，∴∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O=60°，A 1B 1=A 1B 2，∵∠O=30°，∴∠A 2A 1B 2=∠O+∠A 1B 2O=90°，∵∠A 1B 1B 2=∠O+∠OA 1B 1，∴∠O=∠OA 1B 1=30°，∴OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1，在Rt △A 2A 1B 2中，∵∠A 1A 2B 2=30°，∴A 2B 2=2A 1B 2=2，同法可得A 3B 3=22，A 4B 4=23，…，A n B n =2n-1，∴202020202021A B B △的边长=22019，故选：A ．【点睛】本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．4．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（ ）A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒B解析：B【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数，即可得到答案．【详解】当∠A 是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，当∠B 是顶角时，则∠A 是底角，∴∠B=180°-80°-80°=20°，当∠C 是顶角时，则∠A 和∠B 都是底角，∴∠B=∠A=80°，综上所述：∠B 的度数为：50°或20°或80°．观察各选项可知∠B 不可能是60°．故选B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．5．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ）A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- C解析：C【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．6．如图，在△ABC 纸片中，AB=9cm ，BC=5cm ，AC=7cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△ADE 的周长为是（ ）A ．9cmB ．11cmC ．12cmD ．14cm B解析：B【分析】 根据折叠的性质得到：DE=CD ，BE=BC=5cm ，求出AE=4cm ，根据△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE 代入数值计算即可得解．【详解】由折叠得：DE=CD ，BE=BC=5cm ，∵AB=9cm ，∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm ，∴△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm ，故选：B ．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对应边相等，正确理解折叠的性质是解题的关键．7．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】分三种情况：当AB=AC 时，当BA=BC 时，当AC=AB 时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．【详解】当AB=AC 时，点C 与点O 重合；当BA=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有两个交点；当AC=AB 时，作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有一个交点，共有4个点C ，故选：C ． ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．8．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（ ）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒C解析：C【分析】 根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，进而得到DBC C ∠=∠，根据三角形内角和定理列式计算即可．【详解】∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ⊥，E 是BC 中点，∴DB=DC ，∴DBC C ∠=∠，∴ABD CBD C ∠=∠=∠，∴18087ABD CBD C ∠+∠+∠=︒-︒，解得：31C ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9．下列图案是轴对称图形的是有（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③C解析：C【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形． 故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．10．如果等腰三角形两边长分别是8cm 和4cm ，那么它的周长（ ）A ．8cmB ．20cmC ．16cm 或20cmD ．16cm B解析：B【分析】解决本题要注意分为两种情况4cm 为底或8cm 为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．【详解】解：∵等腰三角形有两边分别分别是4cm 和8cm ，∴此题有两种情况：①4cm 为底边，那么8cm 就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8=20，②8底边，那么4cm 是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去．∴该等腰三角形的周长为20cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形性质；解题时涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．二、填空题11．如图，已知∠AOB=30°，点P在射线OA上，OP=16，点E、点F在射线OB上，PE=PF，EF=6．若点D是射线OB上一动点，当∠PDE=45°时，DF的长为___________．5或11【分析】过点P作PH⊥OB于点H根据PE=PF可得EH=FH=EF=3根据∠AOB=30°OP=16可得PH=OP=8当点D运动到点F右侧或当点D运动到点F左侧时分别计算可得DF的长【详解】解析：5或11【分析】过点P作PH⊥OB于点H，根据PE=PF，可得EH=FH=12EF=3，根据∠AOB=30°，OP=16，可得PH=12OP=8，当点D运动到点F右侧或当点D运动到点F左侧时，分别计算可得DF的长．【详解】如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵PE=PF，∴EH=FH=12EF=3，∵∠AOB=30°，OP=16，∴PH=12OP=8，当点D运动到点F右侧时，∵∠PDE=45°，∴∠DPH=45°，∴PH=DH=8，∴DF=DH-FH=8-3=5；当点D 运动到点F 左侧时，D′F=D′H+FH=8+3=11．所以DF 的长为5或11．故答案为：5或11．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是分两种情况画图解答．12．如图，点C 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），在AB 的上方分别作△ACD 和△BCE ，且AC =DC ，BC=EC ，∠ACD =∠BCE =α，连接AE ，BD 交于点P ．下列结论：①AE=DB ；②当α=60°时，AD =BE ；③∠APB =2∠ADC ；④连接PC ，则PC 平分∠APB ．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上）①③④【分析】根据SAS 证明△ACE ≌△DCB 可判断①；根据△ACD 和△BCE 是等边三角形但AC 不一定等于BC 可判断②；由三角形的外角性质可判断③；由△ACE ≌△DCB 可知AE=BD 根据全等三角形的解析：①③④【分析】根据SAS 证明△ACE ≌△DCB 可判断①；根据△ACD 和△BCE 是等边三角形，但AC 不一定等于BC 可判断②；由三角形的外角性质可判断③；由△ACE ≌△DCB 可知AE=BD ，根据全等三角形的面积相等，从而证得AE 和BD 边上的高相等，即CH=CG ，最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得∠APC=∠BPC ，故可判断④．【详解】解：①∵∠ACD=∠BCE ，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE ，∴∠ACE=∠DCB ，在△ACE 和△DCB 中CA CD ACE DCB CE CB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴AE=DG ，故①正确；②∵AC =DC ，BC=EC ，∠ACD =∠BCE =60°，∴△ACD 和△BCE 是等边三角形，∴AD=AC=DC，BE=BC=EC，但AC不一定等于BC，故AD不一定等于BE，所以②错误；③∵∠APB是△APD的外角，∴∠APD=∠ADP+∠DAP由①得△ACE≌△DCB∴∠CAE=∠CDB∵AC=DC∴∠CAD=∠CDA∴∠APD=∠ADC+∠DAC=2∠ADC，故③正确；④如图，分别过点C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G，∵△ACE≌△DCB，∴AE=BD，S△ACE=S△DCB，∴AE和BD边上的高相等，即CH=CG，∴∠APC=∠BPC，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等．∠=︒，13．如图，点D、E是ABC的边BC上的点，且AED n∠∠∠=，若点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直CAD DAE BAE::1:3:2平分线上，则n=________．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C∠BEA=∠B再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x再根据三角形外角的性质可得∠AED【详解】解：∵点D在边AC的垂直平分线上点解析：80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C，∠BEA=∠B，再根据比例关系设∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x，再根据三角形外CAD x DAE x BAE x,3,2角的性质可得∠AED．【详解】解：∵点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直平分线上，∴AD=CD ，AE=BE ，∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，∴,2C x B x ∠=∠=，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴322180x x x x x ++++=︒，解得20x =︒，∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，故答案为：80．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．14．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，连接EF ，将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点'A 得折痕EN ，若6215'BEM ∠=︒，则AEN ∠=____．【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM 根据邻补角求出∠AEA′再根据折叠的性质即可求出∠AEN 【详解】解：根据折叠可知：EM 平分∠BEB′∴∠B′EM=∠BEM=62°15′∴∠AEA′=180°-解析：2745'︒【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM ，根据邻补角求出∠AEA′，再根据折叠的性质即可求出∠AEN ．【详解】解：根据折叠可知：EM 平分∠BEB′，∴∠B′EM=∠BEM=62°15′，∴∠AEA′=180°-2×62°15′=55°30′，EN 平分∠AEA′，∴∠AEN=∠A′EN=12∠AEA′=12×55°30′=27°45′， 故答案为：27°45′．【点睛】本题考查了折叠的性质，邻补角的定义，以及角的计算、度分秒的换算，解决本题的关键是掌握折叠的性质．15．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//EF BC 交BD 于点G ，若130BEG ∠=︒，则DGF ∠=______．25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明则是等腰三角形由顶角的度数算出底角的度数即可得出结果【详解】解：∵BD 平分∴∵∴∴∴是等腰三角形∵∴∴故答案是：【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定解题的解析：25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明EBG EGB ∠=∠，则BEG 是等腰三角形，由顶角的度数算出底角EGB ∠的度数，即可得出结果．【详解】解：∵BD 平分ABC ∠，∴EBG CBG ∠=∠，∵//EF BC ，∴CBG EGB ∠=∠，∴EBG EGB ∠=∠，∴BEG 是等腰三角形，∵130BEG ∠=︒， ∴180130252EGB ︒-︒∠==︒， ∴25DGF EGB ∠=∠=︒．故答案是：25︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定定理． 16．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形；若48OA =，则1n n n A B A +△的边长为______．【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA2=A2B2=OA3OA3=A3B3=OA4…再将解得OA3==OA2==OA1=找到规律进而得出答案【详解】解：∵△A1B1A2是等边解析：12n -【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA 2=A 2B 2=12OA 3，OA 3=A 3B 3=12OA 4…，再将48OA =解得OA 3=1842⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122-⨯==，找到规律，进而得出答案． 【详解】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠B 1A 1A 2=∠A 1B 1A 2=60°∵∠MON=30°，∴∠OB 1A 1=30°，∠OB 1A 2=90°∴OA 1=A 1B 1=12OA 2， 同理可得OA 2=A 2B 2=12OA 3，OA 3=A 3B 3=12OA 4 ∵48OA =∴OA 3=1842⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122-⨯==， 以此类推△A n B n A n+1的边长为2n-1．故答案为2n-1．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，根据得出的数值找到规律是解题的关键．17．若等腰三角形的一条边长为5cm ，另一条边长为10cm ，则此三角形第三条边长为__________cm ．10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm 但没有明确哪是底边哪是腰所以有两种情况需要分类讨论【详解】当5cm 为底时其它两边都为10cm5cm10cm10cm 可以构成三角形；当5cm 为腰时解析：10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm ，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】当5cm 为底时，其它两边都为10cm ，5cm 、10cm 、10cm 可以构成三角形；当5cm 为腰时，其它两边为5cm 和10cm ，因为5+5=10，所以不能构成三角形，故舍去．所以三角形三边长只能是5cm 、10cm 、10cm ，所以第三边是10cm ．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 18．已知等边三角形ABC ．如图，（1）分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点； （2）作直线MN 交AB 于点D ；（3）分别以点A ，C 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于H ，L 两点； （4）作直线HL 交AC 于点E ； （5）直线MN 与直线HL 相交于点O ；（6）连接OA ，OB ，OC ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①2OC OD =；②2AB OA =；③OA OB OC ==；④120DOE ∠=︒，正确的是____________．①③④【分析】根据题意可得点O 是三边中垂线的交点从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可【详解】由题可得点O 为等边三角形ABC 三边中垂线的交点即：MN ⊥ABHL ⊥AC ∴根据等边三角形 解析：①③④【分析】根据题意可得点O 是三边中垂线的交点，从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可．【详解】由题可得点O 为等边三角形ABC 三边中垂线的交点，即：MN ⊥AB ，HL ⊥AC ， ∴根据等边三角形的性质可得：∠DAO=∠EAO=30°，AD=AE ，∴△ADO ≌△AEO ，∴OD=OE ，又根据中垂线的性质得∠EAO=∠ECO=30°，∴在Rt △COE 中，OC=2OE ，∴OC=2OD，故①正确；在Rt△ABE中，显然AB=2AE，而OA＞AE，∴AB≠2OA，故②错误；根据中垂线性质可得OA=OB，OA=OC，∴OA=OB=OC，故③正确；在四边形ADOE中，∠ADO=∠AEO=90°，∠DAE=60°，∴∠DOE=360°-90°×2-60°=120°，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查等边三角形的性质以及垂直平分线的画法和性质，以及全等三角形判定与性质，理解题意中所作图形的本质是解题关键．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是______．10°【分析】设∠B＝∠C＝x∠CDE＝y分别表示出∠DAE构建方程解方程即可求解【详解】解：设∠B＝∠C＝x∠EDC＝y∵AD＝AE∴∠ADE ＝∠AED＝x＋y∵∠DAE＝180°−2（x＋y）＝解析：10°【分析】设∠B＝∠C＝x，∠CDE＝y，分别表示出∠DAE，构建方程解方程即可求解．【详解】解：设∠B＝∠C＝x，∠EDC＝y，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x＋y，∵∠DAE＝180 °−2（x＋y）＝180 °−20 °−2x，∴2y＝20 °，∴y＝10 °，∴∠CDE＝10 °．故答案为：10°【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=36°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，BD=5，P 是AD 上的一个动点，则线段BP ＋EP 最小值的是____________．10【分析】连结CP 利用等腰三角形顶角平分线所在直线为对称轴得BP=CPBD=CD=5当点CPE 在一直线是BP ＋EP 最小值最小值为BP ＋EP=EC 由∠BAC=36°AB=AC 求出∠ABC=∠ACB=解析：10【分析】连结CP ，利用等腰三角形顶角平分线所在直线为对称轴得 BP=CP ，BD=CD=5，当点C 、P 、E 在一直线是BP ＋EP 最小值，最小值为BP ＋EP= EC ，由∠BAC=36°，AB=AC ，求出∠ABC=∠ACB=72°，又CE 是△ABC 的角平分线有∠BCE=36°，求出∠BEC=72º，得CE=BC =10即可．【详解】连结CP ，点P 在AD 上运动，∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD 所在直线为对称轴，∴BP=CP ，BD=CD=5，当点C 、P 、E 在一直线是BP ＋EP 最小值,∴BP ＋EP=PC+EP=EC ，∵∠BAC=36°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=()1180-36=722︒︒︒， ∵CE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BCE=1ACB=362∠︒， ∴∠BEC=180º-∠EBC-∠BCE =180º-72º-36º=72º，∴∠BEC=∠EBC ，∴CE=BC=BD+CD=10．故答案为：10．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，轴对称性质，掌握等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，线段和最短问题经常利用轴对称性质作出对称线段，三点在一线时最短作出图形是解题关键．三、解答题21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC向上平移4个单位长度所得到的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；（2）画出△DEF关于x轴对称后所得到的△D1E1F1，并写出点E1，F1的坐标；（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴．解析：（1）图见解析，A1（3，2），B1（4，1）；（2）图见解析，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）见解析【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出点D1，E1，F1的坐标，然后描点即可；（3）直线C1F1和C1F1的垂直平分线都是△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形的对称轴．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（3，2），B1（4，1）；（2）如图，△D1E1F1为所作，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）如图，直线l和直线l′为所作．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．22．如图，,A B AE BE ∠=∠=，点D 在AC 边上，12,AE ∠=∠和BD 相交于点O ． （1）求证：AEC BED ∆≅∆（2）若70BDE ︒∠=，求1∠的度数．解析：（1）见解析；（2）40°【分析】（1）由12∠=∠得到BED AEC ∠=∠，然后根据ASA 即可证明AEC BED ∆≅∆； （2）由（1）得DE=CE ，70C BDE ∠=∠=︒，由三角形内角和即可求出1∠的度数．【详解】解：()11=2∠∠，BED AEC ∠=∠∴又,A B AE BE ∠=∠=()AEC BED ASA ∴∆≅∆；()2AEC BED ∆≅∆70,BDE C DE CE ∴∠=∠=︒=70C EDC ︒∴∠=∠=118027040︒︒︒∴∠=-⨯=；【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题．23．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，连接DE ．（1）若7AC BC ==，求DE 的长；（2）求证：BE CD BC +=．解析：（1） 3.5DE =；（2）见解析．【分析】（1）证明△ADE 为等边三角形，即可得结论；（2）在BC 上截取BH=BE ，证明两对三角形全等：△EBF ≌△HBF ，△CDF ≌△CHF ，可得结论．【详解】（1）∵AC=BC=7，∠A=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC=AB=7，又∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴11=3.5,=3.522==AD AC AE AB ， ∴AD=AE ，∵∠A=60°，∴△ADE 为等边三角形，∴DE=AE=3.5；（2）证明：在BC 上截取BH=BE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵BF=BF∴△EBF ≌△HBF （SAS ），∴∠EFB=∠HFB=60°．∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE ，∴∠CBD+∠BCE=60°，∴∠BFE=60°，∴∠CFB=120°，∴∠CFH=60°，∵∠BFE=∠CFD=60°，∴∠CFH=∠CFD=60°，∵CF=CF ，∴△CDF ≌△CHF （ASA ）．∴CD=CH ，∵CH+BH=BC ，∴BE+CD=BC ．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．已知，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，连接,AC BD ，判断,AC BD 的位置关系，并加以证明．解析：AC BD ⊥，见解析【分析】根据垂直平分线的判定证明即可．【详解】解：AC BD ⊥；证明：∵AB AD =，∴点A 在BD 的垂直平分线上，∵CB CD =，∴点C 在BD 的垂直平分线上，∴AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上和两点确定一条直线证明是解题关键．25．如图，ABC 和ADE 均为等边三角形，连接BD 并延长，交AC 于点F ，连接CD 并延长，交AB 于点G ，连接CE ．（1）求证：ABD ACE △≌△；（2）若ADG CED ∠=∠，求证：AG CF =．解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）根据等边三角形的性质得,,AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠，CAD ∠为公共角得出BAD CAE ∠=∠，根据SAS 可证全等.（2）根据全等三角形的性质,,ACE ABD ADB AEC ==∠∠∠∠联立题目条件ADG CED ∠=∠可得60BDG AED ==∠∠，根据三角形外角的性质得到AGD BFC ∠=∠证明()AGC BFC AAS ≅，即可证AG CF =.【详解】（1）∵ABC 和ADE 均为等边三角形，∴,,AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠， ∵CAD ∠为公共角，∴BAD CAE ∠=∠∴()ABD ACE SAS ≅△△（2）∵ABD ACE ≅,∴,,ACE ABD ADB AEC ==∠∠∠∠ ∵ADG CED ∠=∠，∴60BDG AED ==∠∠，∴GBD GDB GBD BAF +=+∠∠∠∠，即AGD BFC ∠=∠，在AGC 与BFC △中AGD BFC GAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AGC BFC AAS ≅∴AG CF =【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点；解题的关键是熟练掌握以上知识点.26．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，点E 在AD 上．（1）连接BE ，CE ，求证：BE CE =；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF AC ⊥，45BAC ∠=︒，原题设其他条件不变．求证：AB BF EF =+．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得出∠BAE=∠CAE ，再根据SAS 证明△ABE ≌△ACE 即可； （2）由BF ⊥AC ，∠BAC=45°就可以求出AF=BF ，在由条件证明△AEF ≌△BCF 就可以得出EF=CF ，结合已知AB=AC 即可得出结论．【详解】证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE=∠CAE ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE CAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴BE=CE ；（2）∵BF ⊥AF ，∴∠AFB=∠CFB=90°．∵∠BAC=45°，∴∠ABF=45°，∴∠ABF=∠BAC ，∴AF=BF ．∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF ⊥AC ，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF ，在△AEF 和△BCF 中，EAF CBF AF BFAFE BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEF ≌△BCF （ASA ）∴EF=CF ．∴AB=AC=AF+FC=BF+EF【点睛】本题考查了全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．27．在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．解析：（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②由“SAS”可证△ADB ≌△AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）∵AB=AC ，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC ，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①180αβ+=︒．理由：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B=∠ACE ．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．理由如下：∵DAE BAC ∠=∠，∴DAB EAC ∠=∠，在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△≌△ADB AEC(SAS)， ∴ABD ACE ∠=∠，∵ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，∴BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，∴BAC BCE ∠=∠，即αβ=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明△ABD ≌△ACE 是解本题的关键．28．如图，在平面直角坐标系xOy 中点(6,8)A ，点(6,0)B ．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P ，使点P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；①点P 到A ，B 两点的距离相等；②点P 到xOy ∠的两边的距离相等．（2）在（1）作出点P 后，直接写出点P 的坐标______．解析：（1）作图见解析；（2）（4，4）【分析】（1）作AB 的垂轴平分线和∠xOy 的角平分线，它们的交点即为P 点；（2）由于点P在AB的垂轴平分线上，则P点的纵坐标为4，再利用点P在第一象限的角平分线上，则点P的横纵坐标相同，从而得到P点坐标．【详解】（1）如图，点P为所作；（2）P点坐标为（4，4）．故答案为（4，4）．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．。

人教版八年级上册数学第13章轴对称单元测试卷一．选择题1．点A（﹣3，1）关于x轴的对称点为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（3，1）D．（3，﹣1）2．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为10，且BC﹣AC＝2，则BC的长为（）A．4 B．6 C．8 D．104．作已知点关于某直线的对称点的第一步是（）A．过已知点作一条直线与已知直线相交B．过已知点作一条直线与已知直线垂直C．过已知点作一条直线与已知直线平行D．不确定5．琪琪从镜中看到电子钟示数，则此时时间是（）A．12：01 B．10：51 C．11：59 D．10：216．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（）A．（1，7）B．（0，5）C．（3，4）D．（﹣3，2）8．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（） A．13 B．14 C．15 D．169．如图，在∠MON内有一点P，点P关于OM的对称点是点G，点P关于ON的对称点是点H，连接GH分别交OM，ON 于点A，B．若GH的长是12cm，则△PAB的周长为（）A．12 B．13 C．14 D．1510．等腰三角形的一边长为6，一边长为2，则该等腰三角形的周长为（）A．8 B．10 C．14 D．10或14二．填空题11．已知点A（m，3）与点B（2，n）关于x轴对称，则（m+n）2020的值为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB与BC边相交于点E，若BE＝3，CE＝5，则△CDE的周长是．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5，斜边AB的长为．14．如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝．15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（2，﹣1），在x轴上确定一点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有个．16．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），经过第1次变换后所得的A1坐标是（a，﹣b），则经过第2020次变换后所得的点A2020坐标是．17．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是．18．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角为60°，那么这个三角形是，它有条对称轴．19．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．20．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，点P2019的坐标是．三．解答题21．如图所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．（1）若△ADE的周长为6，求BC的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．22．已知点A（a+2b，﹣1），B（﹣2，a﹣b），若点A、B关于y轴对称，求a+b的值．23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，∠A＝50°，DE为AB的垂直平分线，分别交AB、AC于点E、D．（1）求△BCD的周长；（2）求∠CBD的度数．24．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1个单位，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示．（1）请写出点A，B，C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．25．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠MNA的度数是．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．26．如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．27．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．（1）求证：点D在BE的垂直平分线上；（2）若∠ABE＝20°，请求出∠BEC的度数．答案一．选择题1．B．2．C．3．B．4．B．5．D．6．D．7．C．8．C．9．A．10．C．二．填空题11．1．12．11．13．10．14．10．15．4．16．（a，﹣b）．17．10．18．等边三角形，319．．等边三角形． 20．（8，3）．三．解答题21．解：（1）∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+EA＝6．∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（2）∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∴∠B＝∠BAD＝∠ADE，∠C＝∠EAC＝∠AED．∵∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠EAC＝∠B+∠DAE+∠C＝100°，∴∠B+∠C＝100°﹣∠DAE，在△ADE中，∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（2∠B+2∠C）∴∠DAE＝180°﹣2（100°﹣∠DAE）∴∠DAE＝20°．22．解：∵点A（a+2b，﹣1），B（﹣2，a﹣b）关于y轴对称，∴，解得．故a+b＝0+1＝1．23．（1）解：∵DE为AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△BCD的周长＝AC+BC＝10+6＝16（cm）；（2）解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∵DA＝DB，∠A＝∠ABD＝50°，∴∠CBD＝65°﹣50°＝15°．24．解：（1）由图知，A（﹣4，5）、B（﹣2，1）、C（﹣1，3）；（2）△ABC的面积为3×4﹣×2×3﹣×1×2﹣×2×4＝4；（3）如图所示，△A1B1C1即为所求．25．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴∠ANM＝90°，∴∠NMA＝50°，故答案为：50°；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△BCM的周长＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，∴BC＝14﹣8＝6（cm）；②当P与M重合时，△PBC的周长最小．理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，∴当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．26．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形．27．（1）证明：连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴点D在BE的垂直平分线上；（2）解：∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE，∵∠ABE＝20°，∴∠BEC＝60°．。

2022-2023学年人教版八年级数学上册《第13章轴对称》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC中，AB＝AC、∠ABC＝72°，CD∥AB，BD交AC于E，且CE＝DE，则∠D的度数是（）A．.36°B．30°C．.22.5°D．40°3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝5，CP＝2，则P到AB的距离是（）A．5B．2C．3D．44．等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．条件不够无法计算5．如图，∠ABC是一个锐角，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交射线BC于点D，E．若∠ABC＝40°，∠BAD＝25°，则∠DAE的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°6．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（）A．50°B．100°C．130°D．150°7．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝118°，则∠EMF的度数为（）A．56°B．58°C．60°D．62°8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是（）A．14B．8C．16D．6二．填空题（共8小题，满分40分）9．已知三角形的三边长分别为5、a、10，则a的取值范围是；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长为．10．等腰三角形的一个底角为50°，则该等腰三角形的顶角度数为度．11．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在C′的位置上，若∠BFE＝68°，则∠ABE的度数为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，且AE＝AD，∠EDC＝α，则∠BAD＝．13．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若线段P1P2的长为12cm，则△PMN的周长为cm．14．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，点G在BC上，将△BDG 沿直线DG翻折后，点B落在点F处，联结DF，如果DF∥AC，那么∠B与∠BDG的数量关系是．15．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，则∠1+∠2＝度．16．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝°．三．解答题（共7小题，满分48分）17．如图，∠AOB＝40°，点D在OA边上，点C，E在OB边上，连接CD，DE．若OC ＝OD＝DE，求∠CDE的度数．18．如图，已知M、N分别是∠AOB的边OA上任意两点．（1）尺规作图：作∠AOB的平分线OC；（2）在∠AOB的平分线OC上求作一点P，使PM+PN的值最小．（保留作图痕迹，不写画法）19．如图，在△ABC中，∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数．（2）若BC的长为50，求△DAF的周长．20．在8×6的网格中，A，B，C是格点，D是AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示：（1）在线段AC上取点E，使DE＝CD；（2）画格点F，使EF∥AB；（3）画点E关于AB的对称点G；（4）在射线AG上画点P，使∠PDE与∠GAE互补．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ACB沿CD折叠，使点A 恰好落在BC边上的点E处．（1）求△BDE的周长；（2）若∠B＝37°，求∠CDE的度数．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．（1）若∠B＝70°，求∠BAC的大小．（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由．23．如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC于点F，AB∥DE．（1）判断△CEF的形状，并说明理由；（2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：A．风，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．和，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．日，是轴对称图形，故此选项符合题意；D．丽，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．2．解：∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝108°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝36°，∵CE＝DE，∴∠D＝∠ACD＝36°，故选：A．3．解：过P作PD⊥AB于D，∵∠C＝90°，∴PC⊥AC，∴AP平分∠CAB，∴PD＝PC，∵PC＝2，∴PD＝2，∴点P到边AB的距离是2，故选：B．4．解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15．故选：B．5．解：根据题意，得AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ABC＝40°，∠BAD＝25°，∴∠ADE＝40°+25°＝65°，∴∠AED＝65°，∴∠DAE＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故选：B．6．解：连接AP，延长BP交AC于D，∴∠BPC＝∠PDA+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，∴P A＝PB＝PC，∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，故选B．7．解：∵AD∥BC，∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝118°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∴∠DEM+∠AFM＝2×118°＝236°，∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣236°＝124°，在△EFM中，∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣124°＝56°，故选：A．8．解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A＝90°，∴AE＝DE，∵△CDE的周长为12，CD＝4，∴DE+EC＝8，∴AC＝AE+EC＝8，故选：B．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：根据三角形的三边关系可得：10﹣5＜a＜10+5，即5＜a＜15，∵这个三角形中有两条边相等，∴a＝10或a＝5（不符合三角形的三边关系，不合题意，舍去）∴周长为5+10+10＝25，故答案为：5＜a＜15；25．10．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2＝80°，∴顶角为80°．故答案为：80．11．解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE＝68°，根据折叠的性质得，∠BEF＝∠DEF＝68°，∴∠AEB＝180°﹣∠BEF﹣∠DEF＝180°﹣68°﹣68°＝44°，∵∠A＝90°，∴∠ABE＝90°﹣44°＝46°，故答案为：46°．12．解：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠C+α，AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝∠C+α，∴∠ADC＝∠C+2α，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝∠ADC﹣∠C＝∠ADC﹣（∠C+2α）＝2α．故答案为：2α．13．解：∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，∴NP＝NP2，MP＝MP1，∴△PMN的周长＝PN+MN+MP＝P2N+NM+MP1＝P1P2＝12cm，故答案为：12．14．解：∠B与∠BDG的数量关系是：∠B+2∠BDG＝90°，∵AC∥DF，∴∠DEB＝∠C＝90°，∴∠B+∠FDB＝90°，由翻折可得：∠BDG＝∠FDG，∴∠B+2∠BDG＝90°，故答案为：∠B+2∠BDG＝90°．15．解：延长AF、BE交于点D，∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠D＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠DFE+∠DEF＝180°﹣∠D＝140°，∵将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，∴∠CFE＝∠DFE，∠CEF＝∠DEF，∴∠DFC+∠DEC＝2（∠DFE+∠DEF）＝280°，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠DFC）+（180°﹣∠DEC）＝360°﹣（∠DFC+∠DEC）＝360°﹣280°＝80°，故答案为：80．16．解：如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80°．三．解答题（共7小题，满分48分）17．解：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠AOB＝40°，∴∠ODC＝（180°﹣∠AOB）÷2＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵OD＝DE，∴∠OED＝∠AOB＝40°，∴∠ODE＝180°﹣40°×2＝100°，∴∠CDE＝∠ODE﹣∠ODC＝100°﹣70°＝30°．18．解：（1）如图1所示，OC即为所求作的∠AOB的平分线．（2）如图2，作点M关于OC的对称点M′，连接M′N交OC于点P，则点P即为所求．19．解：（1）∵∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝95°，∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，F A＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝20°，∠F AC＝∠ACB＝65°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝10°；（2）由（1）可知，DA＝DB，F A＝FC，∴△DAF的周长＝DA+DF+F A＝DB+DF+FC＝BC＝50．20．解：（1）如图，点E即为所求；（2）如图，线段EF即为所求；（3）如图，点G即为所求；（4）如图，点P即为所求．21．解：（1）由折叠可得，AC＝CE，DE＝AD，∵AC＝6，BC＝8，∴CE＝6，AB＝10，∵BC＝8，∴BE＝2，∴△BDE的周长＝DE+EB+BD＝AD+BD+EB＝AB+EB，∵AB＝10，∴△BDE的周长＝10+2＝12；（2）∵∠B＝37°，∴∠CED＝37°+∠BDE，∵∠A＝∠CED，∴∠CED＝37°+∠BDE，∵∠ACB＝90°，∴37°+∠BDE+37°＝90°，∴∠BDE＝16°，∴∠ADE＝180°﹣16°＝164°，∴∠CDE＝∠ADE＝82°．22．解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°；（2）∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．（3）当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，为AC长，最小值是8cm．23．解：（1）△CEF是等边三角形，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∵AB∥DE，∴∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB，∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF∴△CEF是等边三角形；（2）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝CD，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AB∥DE∴∠ABD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠CBD，∴BE＝DE，∴BC＝BE+EC＝DE+CF∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．。

人教版八年级数学第13章轴对称综合巩固训练一、选择题1. 下列作图，最有可能是作线段AB关于直线l的对称线段A′B′的是( )2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3.如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是(－2,3)，先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是( )A．(－3,2) B．(2，－3)C．(1，－2) D．(3，－1)4.如图，AD是△ABC的中线，下列条件中不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C B．AB－BD＝AC－CDC．AB＋BD＝AC＋CD D．AD＝BC5.如图，DE是△ABC中AB边的垂直平分线，若BC＝6，AC＝8，则△BCE的周长为( )A．10 B．12 C．14 D．166.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为( )A．4 B．12 C．18 D．307. 如图，线段AB与A'B'(AB=A'B')不关于直线l成轴对称的是()8. (2019•广西)如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为A．B．C．D．9. 如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于1 2AB的长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与点O重合)，连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是( )A．PA＝PB B．OA＝OBC．OP＝OF D．PO⊥AB10. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为()A.8B.10C.12D.14二、填空题11.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.12.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD③ AB＋BD＝AC＋CD ④ AB－BD＝AC－CD13. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为cm.14.如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长为________．15. 画图:试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格.根据上表，猜想正n边形有条对称轴.16. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．17. 规律探究如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝_ _______．18.如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠A＝105°，点P在△ABC的三边上运动，当△P AC为等腰三角形时，顶角的度数是__________．三、解答题19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.20.如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点O，BC与AE相交于点P.求证：∠AOB＝60°.21.已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB ＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD⊥BC；(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．22. 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC的垂直平分线DE于点D，点E在BC上，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N.求证:BM=CN.人教版八年级数学第13章轴对称综合巩固训练-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】B【解析】∵|x－4|＋y－8＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】 B 解析：顶点A的坐标是(－2,3)，△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1的顶点A的坐标是(2,3)，△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2的顶点A2的坐标是(2，－3) 1．4. 【答案】 D [解析] 由∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C可得∠ADB＝∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，又BD＝DC，由垂直平分线的性质可得AB＝AC .由等式的性质，根据AB－BD＝AC－CD，AB＋BD＝AC＋CD，又BD＝CD，均可得AB＝AC.选项D不能得到AB＝AC.5. 【答案】 C [解析] ∵DE是△ABC中AB边的垂直平分线，∴AE＝BE.∵BC＝6，AC＝8，∴△BCE 的周长＝BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝14.6. 【答案】 B [解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B ＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB＝10，BD＝6，∴AD ＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.7. 【答案】A[解析] 选项A中，A'B'是由线段AB平移得到的，所以线段AB与A'B'不关于直线l成轴对称.8. 【答案】C【解析】由作法得，∵，∴平分，，∵，∴．故选C．9. 【答案】 C [解析] 由作图可知，EF垂直平分AB，因此可得OA＝OB，PO⊥AB，由线段垂直平分线的性质可得PA＝PB，但不能得到OP＝OF.10. 【答案】D[解析] 如图，连接AD，MA.∵△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，∴AD⊥BC.∴S△ABC=BC·AD=×4AD=24，解得AD=12.∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC.∴MC+DM=MA+DM≥AD.∴AD的长为MC+MD的最小值.∴△CDM的周长的最小值为(MC+MD)+CD=AD+BC=12+×4=14.故选D.二、填空题11. 【答案】46 [解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.序号正误逐项分析①×△BAD与△ACD中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的角和边，所以不能判定两三角形全等，因而也就不能得出AB＝AC②√∠BAD＝∠CAD结合AD是△ABC的边BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形③√由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD ，得AB－BD＝AC－CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形④√由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD ，得AB＋BD＝AC＋CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形13. 【答案】10[解析] ∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，∴AE=BE，AF=CF.∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm.14. 【答案】15 [解析]由多边形的内角和定理可知，这个六边形的每个内角都是120°，因此直线AB，CD，EF围成一个等边三角形，且这个等边三角形的边长为7.因此AF＝4，EF＝2.所以这个六边形的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.15. 【答案】解:如图.故填3，4，5，6，n.16. 【答案】16 [解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.17. 【答案】918. 【答案】105°或55°或70°[解析](1)如图①，点P在AB上时，AP＝AC，顶角∠A＝105°.(2)∵∠B＝20°，∠BAC＝105°，∴∠ACB＝180°－20°－105°＝55°.点P在BC上时，如图②，若AC＝PC，则顶角∠C＝55°.如图③，若AC＝AP，则顶角∠CAP＝180°－2∠C＝180°－2×55°＝70°.综上所述，顶角为105°或55°或70°.三、解答题19. 【答案】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵AD是BC边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ＝90°，(3分)∵BE ⊥AC,∴∠CBE ＋∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠BAD.(5分)20. 【答案】证明：∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∴∠ACB ＋∠BCE ＝∠DCE ＋∠BCE ，即∠ACE ＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD.∴∠CAE ＝∠CBD.又∠APC ＝∠BPO ，∴∠AOB ＝∠ACB ＝60°.21. 【答案】解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∴点A 在BC 的垂直平分线上．∵DB ＝DC ，∴点D 在BC 的垂直平分线上．∴直线AD 是BC 的垂直平分线．∴AD ⊥BC.(2)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD.∴∠BAD ＝∠EDA.∴DE ＝AE.(3)DE ＝AC ＋BE.理由：同(2)得∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD.∴∠BAD ＝∠EDA.∴DE ＝AE.∵AB ＝AC ，∴DE ＝AB ＋BE ＝AC ＋BE.22. 【答案】证明:连接BD ，CD.∵DE垂直平分BC，∴BD=CD.∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMB=∠DNC=90°，DM=DN.在Rt△BMD和Rt△CND中，∴Rt△BMD≌Rt△CND(HL).∴BM=CN.。