高考数学大一轮复习 第五章 数列 5.5 数列的综合应用课时规范训练 文 北师大版

5—5 数列的综合应用课时规范练(授课提示:对应学生用书第275页)A组基础对点练1．（2018·龙泉驿区期末）等差数列{a n｝的公差为1，且a1，a3，a7成等比数列，则{a n}的前20项和为（ A )A．230 B．－230C．210 D．－2102．在等比数列{a n｝中,S n是它的前n项和，若q＝2,且a2与2a4的等差中项为18，则S5＝( A )A．62 B．－62C．32 D．－323．已知数列｛a n｝，定直线l：y＝错误!x－错误!，若（n，a n）在直线l 上,则数列{a n｝的前13项和为（ C ）A．10 B．21C．39 D．784．等差数列{a n}中的a4，a2 016是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点,则log错误!a1 010＝( D ）A。

错误!B．2C．－2 D．－错误!5．(2018·柳林县期末)已知x＞0，y＞0,x，a，b，y成等差数列,x,c,d，y成等比数列，则错误!的最小值是( C )A．0 B．1C．2 D．4解析：由x＞0，y＞0,x,a,b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，可得a＋b＝x＋y,xy＝cd，则错误!＝错误!≥错误!＝2，当且仅当x＝y时，等号成立，则错误!的最小值是2。

6．已知在等差数列{a n｝中，a1＝120，公差d＝－4，若S n≤a n(n≥2)，其中S n为该数列的前n项和，则n的最小值为( B ）A．60 B．62C．70 D．727．等差数列{a n｝的首项为1,公差不为0。

若a2,a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为( A )A．－24 B．－3C．3 D．88．设S n为等比数列{a n｝的前n项和．若a1＝1,且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n＝3n－1。

解析：由3S1,2S2，S3成等差数列,得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，得公比q＝3，所以a n＝a1q n－1＝3n－1. 9．(2017·江西师大附中检测）已知正项等比数列｛a n}的前n项和为S n，且S1，S3，S4成等差数列,则数列｛a n｝的公比为错误!。

第五章 数列 第三节 等比数列及其前n项和 课时规范练 A组——基础对点练 1．(2020·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( )

A．4 B．52 C．2 D.12 解析：由题意，得a1·a1q4＝16，a1q＝2，解得a1＝1，q＝2或a1＝－1，q＝－2(舍去)，故选C. 答案：C 2．(2020·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，a3＝8，则a6＝( ) A．16 B．32 C．64 D．128

解析：由题意得，等比数列的公比为q，由S3＝14，a3＝8，则a1（1＋q＋q2）＝14，a3＝a1q2＝8，解得a1

＝2，q＝2，所以a6＝a1q5＝2×25＝64，故选C. 答案：C 3．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( ) A．21 B．42 C．63 D．84 解析：设数列{an}的公比为q，则a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B. 答案：B 4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则log2a7＋log2a11的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由题意得a4a14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11

＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.

答案：C 5．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝( ) A．1 B．±1 C．2 D．±2 解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a33＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，

【高考核动力】2014届高考数学 5-5数列的综合应用配套作业北师大版1．设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1＜a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 a 1＜a 2且a 1＞0，则a 1(1－q )＜0，a 1＞0且q ＞1，则数列{a n }递增；反之亦然．【答案】 C2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2【解析】 ∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴2×12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2，设等比数列{a n }的公比为q 且q ＞0， 则a 3＝a 1q 2，a 2＝a 1q ，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或1－2(舍)，a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 9＋q a 7＋q＝q 2＝(2＋1)2＝3＋22，故选C. 【答案】 C3．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定【解析】 记等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7，又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 61＋q6q 3＝b 71＋q6q 3，又1＋q 6q3＝1q3＋q 3≥2(当且仅当q ＝1时，等号成立)，∴a 3＋a 9≥2b 7，即a 3＋a 9≥b 4＋b 10.【答案】 B4．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝________.【解析】 设公差d ，由题设3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )， 所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)－433a 1>0，所以n <374，则n ≤9，当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值． 【答案】 95．(2013·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． 【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n＋2n2＝n (n ＋1)． 因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6. 课时作业【考点排查表】1．(2013·济南模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( )A ．1B ．－1C ．1或－1 D. 2【解析】 依题意有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，整理得q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1(q 2＝－2舍去)，所以q ＝1或－1.【答案】 C2．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N ＋)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1000天D ．1200天【解析】 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为3.2×104＋n＋n ＋49102n＝3.2×104n＋n20＋4.95，当且仅当3.2×104n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.【答案】 B3．(2013·郑州模拟)已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.【答案】 D 4．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 等于( )A.1nB.1n ＋1C.nn ＋1D ．1【解析】 f ′(x )＝(n ＋1)x n，f (x )在点(1,1)处的切线斜率k ＝n ＋1，则切线方程：y －1＝(n ＋1)(x －1)．令y ＝0得切线与x 轴交点横坐标x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×…×nn ＋1＝1n ＋1. 【答案】 B5．已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．－72，＋∞B ．(0，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)【解析】 ∵{a n }是递增数列，∴a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ， ∴λ>－2n －1对于n ∈N *恒成立． 而－2n －1在n ＝1时取得最大值－3， ∴λ>－3，故选D. 【答案】 D6．(2012·上海高考)设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100【解析】 结合三角函数性质，寻求数列前n 项和的符号特点． ∵a n ＝1n sin n π25，∴1≤n ≤24时，sin n π25>0，即a 1，a 2，…，a 24>0；n ＝25时，a 25＝0；当26≤n ≤49时，a n ＝1n sin n π25＝－1n sinn －π25<0，且|a n |<1n －25sin n －π25＝a n －25；当n ＝50时，a 50＝0. ∴S 1，S 2，S 3，…，S 50>0， 同理可知S 51，S 52，S 53，…，S 100>0.∴在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数为100. 【答案】 D 二、填空题7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1,5,17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．【解析】 由题意知a 25＝a 1·a 17， 即a 25＝(a 5－4d )·(a 5＋12d )， ∴8a 5d －48d 2＝0，∵d ≠0，∴a 5＝6d ， ∴公比q ＝a 5a 1＝a 5a 5－4d ＝6d6d －4d＝3.【答案】 38．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒钟．【解析】 设至少需n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n ≥7.【答案】 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝ 23a n －13，若1＜S k ＜9(k ∈N *)，则k 的值为________． 【解析】 ∵S n ＝23a n －13，∴S 1＝23a 1－13＝a 1，a 1＝－1.a n ＝S n －S n －1(n ＞1)，即a n ＝(23a n－13)－(23a n －1－13)＝23a n －23a n －1，整理得：a na n －1＝－2，∴{a n }是首项为－1，公比为－2的等比数列，S k ＝a 1－q k1－q＝－k－1，3，∵1＜S k ＜9，∴1＜－k－13＜9，即4＜(－2)k＜28，当且仅当k ＝4时不等式成立．【答案】 4 三、解答题10．(2012·太原市高三调研)已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两个根，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－b n 2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .【解】 (1)∵a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两根，且数列{a n }的公差d >0， ∴a 3＝5，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 35－3＝2.∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝2n －1.又当n ＝1时，有b 1＝S 1＝1－b 12，∴b 1＝13，当n ≥2时，有b n ＝S n －S n －1＝12(b n －1－b n )，∴b n b n －1＝13(n ≥2)． ∴数列{b n }是首项b 1＝13，公比q ＝13的等比数列，∴b n ＝b 1qn －1＝13n . (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝2n －13，∴T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －13n ，①13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －33n ＋2n －13n ＋1，② ①－②得23T n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13n ＋1＝13＋213＋13＋…＋13－2n －13， 整理得T n ＝1－n ＋13n.11．某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整修，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少15.第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加14.(1)设n 个月内的总投入为a n 万元，总收入为b n 万元，写出a n ，b n ； (2)问经过几个月后商场开始扭亏为盈．【解】 (1)由题意，得a n ＝80＋80×45＋80×452＋…＋80×45n －1＝80×1－45n 1－45＝4001－45n.b n ＝40＋40×54＋40×542＋ (40)54n －1＝40×1－54n 1－54＝16054n－1.(2)由题意，令a n <b n ， ∴4001－45n <16054n－1.设t ＝54n ，则51－1t <2(t －1)，即2t 2－7t ＋5>0.∵t >1，∴解得t >52，即54n >52.取n ＝4，则544＝52×125128<52；取n ＝5，则545＝52×625512>52.∴第5月开始扭亏为盈．12．(文)已知函数f (x )＝a x 的图象过点1，12，且点n －1，a n n 2(n ∈N *)在函数f (x )＝ax的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <5.【解】 (1)∵函数f (x )＝a x的图象过点1，12，∴a ＝12，f (x )＝12x.又点n －1，a n n 2(n ∈N *)在函数f (x )＝a x 的图象上，从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝n ＋22n－n 22n ＝2n ＋12n 得， S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ， 则12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12S n ＝32＋2122＋123＋…＋12n －2n ＋12n ＋1，∴S n ＝5－2n ＋52n (n ∈N *)，∴S n <5(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)．求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n. 【解】 ∵a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)， ∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，∴数列1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列．∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n .∴S n ＝12n .∵S 2n ＝14n 2<14n n －＝141n －1－1n (n ≥2)，S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n ＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋141－12＋…＋141n －1－1n ＝12－14n ； 当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1.综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n .四、选做题13．(文)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N )． (1)试判断数列{1a n}是否为等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和为S n ；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ，对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．【解】 (1)∵a 1≠0，∴a n ≠0， ∴由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是等差数列．(2)由(1)可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2， ∴S n ＝n＋3n －2＝n n －2.(3)将a n ＝1b n ＝13n －2代入λa n ＋1a n ＋1≥λ并整理得λ(1－13n －2)≤3n ＋1， ∴λ≤n ＋n －3n －3，原命题等价于该式对任意n ≥2的整数恒成立． 设C n ＝n ＋n －3n －3，则C n ＋1－C n ＝n ＋n －3n n －＞0，故C n ＋1＞C n ，∴C n 的最小值为C 2＝283，∴λ的取值范围是(－∞，283]．(理)(2013·北京四中模拟)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－2x ，x ≠12－1，x ＝12的图象上的任意两点(可以重合)，点M 在直线x ＝12上，且AM →＝MB →.(1)求x 1＋x 2的值及y 1＋y 2的值；(2)已知S 1＝0，当n ≥2时，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，求S n；(3)在(2)的条件下，设a n ＝2S n ，T n 为数列{a n }的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m －c T m ＋1－c <12成立，求c 和m 的值．【解】 (1)∵点M 在直线x ＝12上，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y M ， 又AM →＝MB →，即AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 1，y M －y 1，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12，y 2－y M ，∴x 1＋x 2＝1，①当x 1＝12时，x 2＝12，y 1＋y 2＝f (x 1)＋f (x 2)＝－1－1＝－2；②当x 1≠12时，x 2≠12，y 1＋y 2＝2x 11－2x 1＋2x 21－2x 2＝2x 1－2x 2＋2x 2－2x 1－2x 1－2x 2＝x 1＋x 2－8x 1x 21－x 1＋x 2＋4x 1x 2＝－4x 1x 24x 1x 2－1＝－2.由①②得y 1＋y 2＝－2.(2)由(1)知，当x 1＋x 2＝1时，y 1＋y 2＝－2.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －k n ＝－2，k ＝1,2,3，…n －1. n ≥2时S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，①S n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，② ①＋②得，2S n ＝－2(n －1)，则S n ＝1－n .n ＝1时S 1＝0也满足S n ＝1－n ，∴S n ＝1－n .(3)a n ＝2S n ＝21－n，T n ＝1＋12＋…＋12n －1＝2－22n ，T m －c T m ＋1－c <12得T m －c －T m ＋1－cT m ＋1－c<0，故c －T m －T m ＋1c －T m ＋1<0，T m ＋1＝2－12m ，2T m －T m ＋1＝4－42m －2＋12m ＝2－32m ，∴12≤2－32m <c <2－12m <c ，c 、m 为正整数， ∴c ＝1，当c ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧2－32m <1，2－12m>1.∴1<2m<3， ∴m ＝1.。

第3节等比数列【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的判定与证明6,10,14等比数列的基本运算1,5,7,9等比、等差数列的综合2,4,11等比数列的性质8,13等比数列与其他知识的综合3,12,151.(2015沈阳模拟)已知数列{a n}是等比数列,且a1=错误!未找到引用源。

,a4=-1,则{a n}的公比q为( C )(A)2 (B)-错误!未找到引用源。

(C)-2 (D)错误!未找到引用源。

解析:由错误!未找到引用源。

=q3=-8⇒q=-2.2.(2015商丘一模)公差不为零的等差数列{a n}中,2a3-错误!未找到引用源。

+2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b6b8等于( D )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析:由等差数列的性质,2a3-错误!未找到引用源。

+2a11=0得错误!未找到引用源。

=2(a3+a11)=4a7,所以a7=4或a7=0.由数列{b n}是等比数列,且b7=a7,所以b7=4,所以b6b8=错误!未找到引用源。

=16.3.(2015山东一模)已知正数组成的等比数列{a n},若a1·a20=100,那么a7+a14的最小值为( A )(A)20 (B)25 (C)50 (D)不存在解析:因为正数组成的等比数列{a n},a1·a20=100,所以a7+a14≥2错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

=20. 当且仅当a7=a14时,a7+a14取最小值20.4.(2015湛江一模)已知等比数列{a n}的各项均为正数,且公比q≠1,若a2,错误!未找到引用源。

a3,a1成等差数列,则公比q等于( D )(A)错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:因为a2,错误!未找到引用源。

第四节 数列求和[考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．(对应学生用书第74页)[基础知识填充]1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)裂项时常用的三种变形： ①1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； ②14n 2－1＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.( )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )(4)如果数列{a n }是周期为k (k 为大于1的正整数)的周期数列，那么S km ＝mS k .( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1nn ＋，则S 5等于( )A ．1B ．56C ．16D ．130B [∵a n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]3．(2018·开封模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( ) 【导学号：00090174】 A ．9 B ．18 C ．36D ．72B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4， ∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B ．]4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________. 2n ＋1－2＋n 2[S n ＝－2n1－2＋n＋2n －2＝2n ＋1－2＋n 2.]5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n＝__________. 4－n ＋42n[设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ， 则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1.两式相减得12S ＝3×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －n ＋22n ＋1.∴S ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－n ＋22n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n ＝4－n ＋42n.](对应学生用书第74页)n n b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…)． 2分设等差数列{a n }的公差为D ． 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…). 5分(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1.因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.7分从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n＋2n －2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n－12. 12分[规律方法] 分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论．[变式训练1] (2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和． [解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.2分又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.5分(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1>n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 8分设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3， 当n ≥3时，T n ＝3＋－3n －21－3－n ＋n －2＝3n －n 2－5n ＋112，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112， n ≥2，n ∈N *. 12分n n n n 对任意正整数n ，a n ＝2(n ＋1)，3A n －B n ＝4n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)记c n ＝2A n ＋B n，求{c n }的前n 项和S n . [解] (1)由于a n ＝2(n ＋1)，∴{a n }为等差数列，且a 1＝4. 2分∴A n ＝n a 1＋a n2＝n＋2n ＋2＝n 2＋3n ，∴B n ＝3A n －4n ＝3(n 2＋3n )－4n ＝3n 2＋5n ， 当n ＝1时，b 1＝B 1＝8，当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝3n 2＋5n －[3(n －1)2＋5(n －1)]＝6n ＋2.由于b 1＝8适合上式，∴b n ＝6n ＋2.5分(2)由(1)知c n ＝2A n ＋B n ＝24n 2＋8n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，7分∴S n ＝14⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.12分[规律方法] 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的． 2．消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． [变式训练2] (2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和. 【导学号：00090175】[解] (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，2分两式相减得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝22n －1(n ≥2). 4分又由题设可得a 1＝2，满足上式， 所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. 6分(2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n . 由(1)知a n2n ＋1＝2n ＋n －＝12n －1－12n ＋1， 9分 则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1.12分n n n a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝a n ＋n ＋1b n ＋n，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5.2分设数列{b n }的公差为D ．由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.5分(2)由(1)知c n ＝n ＋n ＋1n ＋n＝3(n ＋1)·2n ＋1. 7分又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，9分两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋41－2n1－2－n ＋1×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2. 12分[规律方法] 1.如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，若{b n }的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．2．在书写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q 的同次幂项相减，转化为等比数列求和．[变式训练3] (2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12.而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0，解得q ＝－3或q ＝2. 又因为q >0，所以q ＝2. 所以b n ＝2n.3分由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.①. 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②， 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2.6分所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n .由a 2n ＝6n －2， 得T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n，2T n＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1. 8分上述两式相减，得－T n＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1＝－2n1－2－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16，10分所以T n＝(3n－4)2n＋2＋16.所以，数列{a2n b n}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16. 12分。

第2节等差数列【选题明细表】知识点、方法题号等差数列的判定与证明13,14等差数列的基本运算1,4,10等差数列的性质2,3,7,9等差数列的单调性及最值5,8,12等差数列的综合应用6,11,151.(2016昆明一中月考)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a3=3,S9-S6=27,则该数列的首项a1等于( D )(A)-错误!未找到引用源。

(B)-错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:由错误!未找到引用源。

得错误!未找到引用源。

解得a1=错误!未找到引用源。

.故选D.2.(2015河北石家庄二模)已知数列{a n}为等差数列,且a1+a7+a13=4,则a2+a12的值为( B )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)2 (D)4解析:因为a1+a7+a13=3a7=4,所以a7=错误!未找到引用源。

.所以a2+a12=2a7=2×错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.3.(2015云南第二次检测)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1∶a2=1∶2,则S1∶S3等于( D )(A)1∶3 (B)1∶4 (C)1∶5 (D)1∶6解析:因为S3=错误!未找到引用源。

=3a2,又因为a1∶a2=1∶2,所以S1∶S3=a1∶3a2=1∶6.4.(2015云南第二次检测)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,则错误!未找到引用源。

等于( D )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)4 (D)5解析:因为错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,所以错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,解得a1=-错误!未找到引用源。

.所以错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=5.5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=-9,a3+a7=-6,则当S n取得最小值时,n等于( D )(A)9 (B)8 (C)7 (D)6解析:因为a3+a7=2a5=-6,所以a5=-3,所以d=2,所以a6=-1,a7=1,所以S6最小.故选D.6.(2014高考辽宁卷)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{错误!未找到引用源。

第4节数列求和及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号公式法、分组法求和1,7,12并项法求和 2裂项相消法求和3,6,14错位相减法求和4,11数列的综合应用5,9,10,13,15数列的实际应用8基础对点练(时间:30分钟)1.数列{1+2n-1}的前n项和为( C )(A)1+2n(B)2+2n(C)n+2n-1 (D)n+2+2n解析:由题意令a n=1+2n-1,所以S n=n+错误!未找到引用源。

=n+2n-1,故选C.2.数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17等于( A )(A)9 (B)8 (C)17 (D)16解析:S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17=-1×8+17=9.故选A.3.(2015鞍山校级四模)数列{a n}的前n项和为S n,若a n=错误!未找到引用源。

,则S5等于( B )(A)1 (B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:因为a n=错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

,所以S n=（1-错误!未找到引用源。

）+（错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

）+…+（错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

）=1-错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.所以S5=错误!未找到引用源。

.故选B.4.S n=错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+…+错误!未找到引用源。

等于( B )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:由S n=错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+…+错误!未找到引用源。

,①得错误!未找到引用源。

S n=错误!未找到引用源。

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+…+错误!未找到引用源。

课时分层训练(三十) 数列求和A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝n 2＋1－12n .]2．(2016·安徽江南十校3月联考)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )【导学号：66482261】A ．100B ．110C ．120D ．130C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.]4．(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.] 5．已知函数f (x )＝x a的图像过点(4,2)，令a n ＝1f n ＋＋f n，n ∈N *，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝( )【导学号：66482262】A. 2 016－1 B ． 2 017－1 C. 2 018－1D ． 2 018＋1C [由f (4)＝2得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f n ＋＋f n＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 018－2 017)＝ 2 018－1.] 二、填空题6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sinn π2，n ∈N *，则S 2 016＝__________.【导学号：66482263】0 [a n ＝sinn π2，n ∈N *，显然每连续四项的和为0.S 2 016＝S 4×504＝0.]7．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.2n ＋1－2 [∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n.∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.]8．(2017·广州综合测试(二))设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为__________．n2n ＋1[令n ＝1得a 1＝S 1＝k －1，令n ＝2得S 2＝4k －1＝a 1＋a 2＝k －1＋12，解得k ＝4，所以S n ＝4n 2－1，1S n ＝14n 2－1＝1n ＋n －＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.] 三、解答题9．(2017·成都二诊)已知数列{a n }中，a 1＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n (n ∈N *)是公差为1的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . [解] (1)∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是首项为2，公差为1的等差数列， ∴2na n＝2＋(n －1)＝n ＋1，3分解得a n ＝2n n ＋. 5分 (2)∵a n ＝2nn ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 12分 10．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.[解] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.3分所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. 5分 (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35＜3，b n ＝2；8分当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n，则数列lg a 1,2lg a 2,22lga 3,23lg a 4，…，2n －1lg a n ，…的前n 项和S n 等于( )A ．n ·2nB ．(n －1)·2n －1－1C ．(n －1)·2n＋1D ．2n＋1C [∵等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，∴a 2n ＝102n ，即a n ＝10n ，∴2n －1lg a n ＝2n －1lg 10n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，①2S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n，② ∴①－②得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )·2n－1，∴S n ＝(n－1)·2n＋1.]2．(2017·合肥二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n，则S n ＝__________.【导学号：66482264】n ·2n (n ∈N *) [由S n ＝2a n －2n 得当n ＝1时，S 1＝a 1＝2；当n ≥2时，S n ＝2(S n －S n －1)－2n，即S n 2n －S n －12n －1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，则S n2n ＝n ，S n ＝n ·2n(n ≥2)，当n ＝1时，也符合上式，所以S n ＝n ·2n (n ∈N *)．]3．(2017·广州综合测试(二))设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3. 3分 ∴数列{a n }是以a 1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n. 5分(2)法一：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n，7分 ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×32－3n －11－3－(2n －1)·3n ＋1＝－6－(2n －2)·3n ＋1. 10分∴T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3. 12分法二：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n. 7分 ∵(2n －1)·3n ＝(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n]＝(n －1)·3n ＋1＋3. 12分。

【全程复习方略】（陕西专用）2013版高考数学 5.5 数列的综合应用课时提能演练 理 北师大版(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2012·聊城模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8＝( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)162.2011年11月1日5时58分10秒“神八”顺利升空，若运载“神八”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km ，此后每秒钟通过的路程增加2 km ，若从这一秒钟起通过240 km 的高度，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( ) (A)10秒钟 (B)13秒钟 (C)15秒钟 (D)20秒钟3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P(n ，a n )和Q(n ＋2，a n ＋2)(n∈N ＋)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )(A)(2,4) (B)(－13，－43)(C)(－12，－1) (D)(－1，－1)4.(2012·滁州模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 2－1)3＋2 011(a 2－1)＝sin 2 011π3，(a 2 010－1)3＋2 011(a 2 010－1)＝cos 2 011π6，则S 2 011等于( )(A)4 022 (B)0 (C)2 011 (D)2 011 35.已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1>b 1，a 1、b 1∈N ＋(n∈N＋)，则数列{n b a }的前10项的和等于( )(A)65 (B)75 (C)85 (D)956.(2012·汉中模拟)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n≥1)，且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小整数n 的值为( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 二、填空题(每小题5分，共15分)7.(2012·温州模拟)设曲线y ＝x n(1－x)在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{a n n ＋1}的前n项和S n 等于 .8.(易错题)已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立.数列{a n }满足a n ＝f(2n)(n∈N ＋)，且a 1＝2，则该数列的通项公式为a n ＝ .9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出 万元资金进行奖励.三、解答题(第10题12分，第11题13分，共25分) 10.(2012·宝鸡模拟)已知等差数列{a n }，a 3＝3，a 2＋a 7＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n n a2，求数列{b n }的前n 项和.11.(预测题)已知数列{a n }，其前n 项和为S n ＝32n 2＋72n(n∈N ＋).(1)求数列{a n }的通项公式，并证明数列{a n }是等差数列； (2)如果数列{b n }满足a n ＝log 2b n ，请证明数列{b n }是等比数列；(3)设c n ＝9(2a n －7)(2a n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n∈N ＋都成立的最大正整数k 的值. 【选做•探究题】设数列{a n }(n ＝1,2，…)是等差数列，且公差为d ，若数列{a n }中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.(1)若a 1＝4，d ＝2，求证：该数列是“封闭数列”.(2)若a n ＝2n －7(n∈N ＋)，试判断数列{a n }是否是“封闭数列”，为什么？(3)设S n 是数列{a n }的前n 项和，若公差d ＝1，a 1＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使137150＜1S 1＋1S 2＋…＋1S 2 011＜119.若存在，求{a n }的通项公式；若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选D.∵数列{a n }是等差数列， ∴a 3＋a 11＝2a 7，由2a 3－a 27＋2a 11＝0，得4a 7－a 27＝0， 又a n ≠0，∴a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝42＝16.2.【解析】选C.设从这一秒钟起，经过x 秒钟，通过240 km 的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x ＋x(x －1)2×2＝240，即x 2＋x －240＝0.解得x ＝15或x ＝－16(舍去).3.【解题指南】解决本题首先明确方向向量的概念，然后通过已知求得数列的首项和公差，再求得直线的一个方向向量，与选项对比即可. 【解析】选B.由S 2＝10，S 5＝55，得 2a 1＋d ＝10,5a 1＋10d ＝55，解得a 1＝3，d ＝4，可知直线PQ 的一个方向向量是(1,4)，只有(－13，－43)与(1,4)平行，故选B.4.【解析】选C.由于2 011π3＝670π＋π3，2 011π6＝335π＋π6，sin 2 011π3＝sin π3＝32，cos2 011π6＝－cos π6＝－32.记f(x)＝x 3＋2 011x ，易知函数f (x)是奇函数，且f ′(x)＝3x 2＋2 011≥2 011>0，因此f(x)是R 上的增函数.依题意有f(a 2－1)＋f(a 2 010－1)＝0，于是有f(a 2－1)＝f(1－a 2 010)，a 2－1＝1－a 2 010，a 2＋a 2 010＝2，S 2 011＝2 011(a 1＋a 2 011)2＝2 011(a 2＋a 2 010)2＝2 011，选C.5.【解析】选C.应用等差数列的通项公式得 a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1， ∴n b a ＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n －1)－1 ＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3，∴数列{n b a }也是等差数列，且前10项和为10×(4＋13)2＝85.【方法技巧】构造等差数列求解在等差数列相关问题中，有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式，但是通过对数列变形可以构造成等差数列.(1)由递推公式构造等差数列一般是从研究递推公式的特点入手，如递推公式a n ＋1＝2a n ＋3·2n ＋1的特点是除以2n ＋1就可以得到下标和指数相同了，从而构造成等差数列{a n2n }.(2)由前n 项和S n 构造等差数列. (3)由并项、拆项构造等差数列.6.【解析】选C.由已知式子变形得3(a n ＋1－1)＝－(a n －1)，则{a n －1}是以8为首项，－13为公比的等比数列，则|S n －n －6|＝|a n －1＋a n －1－1＋…＋a 1－1－6|＝|8[1－(－13)n]1＋13－6|＝6×(13)n <1125，化简得3n －1>250，故满足条件的最小整数n 的值为77.【解析】∵y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1－(n ＋1)·2n＝－n ·2n －1－2n，∴切线方程为y ＋2n＝(－n ·2n －1－2n)(x －2)，令x ＝0得y ＝(n ＋1)·2n，即a n ＝(n ＋1)·2n， ∴a n n ＋1＝2n ，∴S n ＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－28.【解析】令x ＝2，y ＝2n －1(n ∈N ＋且n ≥2)，则f(x ·y)＝f(2n )＝2f(2n －1)＋2n －1f(2)，即f(2n )＝2f(2n －1)＋2n －1a 1，即a n ＝2a n －1＋2n，a n 2n ＝a n －12n －1＋1，所以数列{a n 2n }为等差数列，由此可得a n ＝n ·2n，且a 1＝2符合上式，则数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·2n. 答案：n ·2n9.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a 1，a 2，…，a 10， 则a n ＝12S n ＋1，则a 1＝2，a n －a n －1＝(12S n ＋1)－(12S n －1＋1)＝12(S n －S n －1)＝12a n ，即a n ＝2a n －1， 因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S 10＝2(1－210)1－2＝2 046.答案：2 04610.【解析】(1)由已知a 2＋a 7＝12可得a 4＋a 5＝12， 又因为a 3＝3，所以a 3＋a 4＋a 5＝15， 所以a 4＝5，∴d ＝a 4－a 3＝2， ∴a n ＝2n －3. (2)由(1)可知b n ＝n22n －3，设数列{b n }的前n 项和为T n .T n ＝1·2－1＋2·21＋3·23＋…＋n ·22n －3①4T n ＝1·21＋2·23＋…＋(n －1)22n －3＋n ·22n －1②①－②可得－3T n ＝2－1＋21＋23＋25＋…＋22n －3－n ·22n －1＝2－1(1－4n )1－4－n ·22n －1，∴T n ＝1－22n18＋n ·22n －13＝(3n －1)22n＋118.11.【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32[n 2－(n －1)2]＋72[n －(n －1)]＝32(2n －1)＋72＝3n ＋2，又a 1＝5满足上式，∴a n ＝3n ＋2(n ∈N ＋). ∵a n －a n －1＝3n ＋2－[3(n －1)＋2] ＝3(n ≥2，n ∈N ＋)，∴数列{a n }是以5为首项，3为公差的等差数列. (2)由已知得b n ＝n a2(n ∈N ＋)，∵b n ＋1b n＝n 1n aa 22 ＝n 1n a a 2＋－＝23＝8(n ∈N ＋)， 又b 1＝1a 2＝32，∴数列{b n }是以32为首项，8为公比的等比数列. (3)c n ＝9(2a n －7)(2a n －1)＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴T n ＝12[(11－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1.∵T n ＋1－T n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)>0(n ∈N ＋)，∴(T n )min ＝T 1＝13.∴13>k57，解得k<19，因为k 是正整数，∴k max ＝18. 【变式备选】已知等差数列{a n }满足：a n ＋1＞a n (n ∈N ＋)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{b n }的前三项.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式a n ，b n .(2)设T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n (n ∈N ＋)，若T n ＋2n ＋32n －1n ＜c(c ∈Z)恒成立，求c 的最小值.【解析】(1)设d 、q 分别为数列{a n }、数列{b n }的公差与公比.由题意知，a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，分别加上1,1,3后得2,2＋d,4＋2d 是等比数列{b n }的前三项， ∴(2＋d)2＝2(4＋2d)⇒d ＝±2. ∵a n ＋1＞a n ，∴d ＞0.∴d ＝2，∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋). 由此可得b 1＝2，b 2＝4，q ＝2， ∴b n ＝2n (n ∈N ＋). (2)T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ① 当n ＝1时，T 1＝12；当n ≥2时，12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1 ②①－②，得12T n ＝12＋2×(122＋123＋…＋12n )－2n －12n ＋1.∴T n ＝1＋1－12n －11－12－2n －12n ＝3－12n －2－2n －12n＝3－2n ＋32n .∴T n ＋2n ＋32n －1n ＝3－1n ＜3.∵(3－1n)∈[2,3)，∴满足条件T n ＋2n ＋32n －1n ＜c(c ∈Z)恒成立的c 的最小整数值为3.【选做•探究题】【解析】(1)a n =4+(n-1)·2=2n+2,对任意的m,n ∈N +,有a m +a n =(2m+2)+(2n+2) =2(m+n+1)+2,∵m+n+1∈N +于是，令p=m+n+1,则有a p =2p+2∈{a n }. ∴该数列是“封闭数列”.(2)∵a 1=-5,a 2=-3,∴a 1+a 2=-8,令a n =a 1+a 2=-8,即2n-7=-8,解得n=-12N +,所以数列{a n }不是封闭数列. (3)假设存在.由{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N ＋，必存在p ∈N ＋使a 1＋(n －1)＋a 1＋(m －1)＝a 1＋(p －1)成立，于是有a 1＝p －m －n ＋1为整数， 又∵a 1＞0，∴a 1是正整数.若a 1＝1，则S n ＝n(n ＋1)2，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 2 011＝2(1－12 012)＞119，不符合题意，若a 1＝2，则S n ＝n(n ＋3)2，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 2 011＝23(1＋12＋13－12 012－12 013－12 014)＝119－23(12 012＋12 013＋12 014)＜119，而119－23(12 012＋12 013＋12 014)＞119－23·32 012＝119－11 006＞137150，所以符合题意，若a 1＝3，则S n ＝n(n ＋5)2，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 2 011＝25(1＋12＋13＋14＋15－12 012－12 013－12 014－12 015－12 016) ＝137150－25(12 012＋12 013＋12 014＋12 015＋12 016)＜137150， 综上所述，a 1＝2时存在数列{a n }是“封闭数列”，此时a n ＝n ＋1(n ∈N ＋).。