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铅垂法求面积最值
求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．
【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．
【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：
构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”：
()111
222
ABC
ACD
BCD
S
S
S
CD AE CD BF CD AE BF =+=?+?=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离． 由题意得：AE +BF =6． 下求CD ：
根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：12
33y x =+
由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4， 将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2， 故D 点坐标为（4,2），CD =5,
1
65152
ABC
S =??=．
【方法总结】 作以下定义：
A 、
B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；
过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”． 如图可得：=
2
ABC S
?水平宽铅垂高
【解题步骤】
（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；
（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D
坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积．
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【2019海南中考（删减）】
如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）求该抛物线的表达式；
（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ?的面积的最大值．
【分析】
（1）265y x x =++，
（2）取BC 两点之间的水平距离为水平宽，过点P 作PQ ⊥x 轴交直线BC 于点Q ，则PQ 即为铅垂高．
根据A 、C 两点坐标得AC =4，
根据B 、C 两点坐标得直线BC 解析式：y =x +1， 设P 点坐标为（m ，m 2+6m +5），则点Q （m ，m +1）， 得PQ =-m 2-5m -4，
考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．
当52-时，△BCP 面积最大，最大值为278．
【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．
【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？
铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似： 【铅垂法大全】
（1）取AB 作水平宽，过点C 作铅垂高CD ．
（2）取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅垂高， =2
ABC
ABD
BCD
S
S
S
?-=
水平宽铅垂高
（3）取BC 作水平宽，过点A 作铅垂高AD ．
甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．
（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．
（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．
（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．
说这么多做法也不是要记住的，基本上从（3）开始往后都是用不上的，用以帮助我们了解铅垂法的解题原理，再来看个例子巩固下呗．
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【2019绵阳中考】
在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)
=>的图像向右平移1个单位，再向下平移2
y ax a
个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），1
OA=，经过点A的一次函数(0)
=+≠的图像与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个
y kx b k
交点为D，ABD
?的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图像下方，求ACE
?面积的最大值，并求出此时点E的坐标．
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【分析】
（1）抛物线解析式：21322y x x =
--； 一次函数解析式：11
22
y x =
+． （2）显然，当△ACE 面积最大时，点E 并不在AC 之间．
已知A （-1,0）、10,2C ??
???
，
设点E 坐标为21
3,22m m m ??-- ???，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AD 于F 点，
F 点横坐标为m ，代入一次函数解析式得1
1,2
2m m ??+ ???
可得213
222
EF m m =-++
考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．
既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了， 对坐标系中已知三点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ， 按铅垂法思路，可得：
1223312132131
2
ABC
S
x y x y x y x y x y x y =
++--- 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．
【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．