薛海龙第四课时：勾股定理在坐标系中的应用 (1)

勾股定理在坐标系中的应用欢迎阅读本篇文章，将要为您介绍勾股定理在坐标系中的应用。

勾股定理是数学中非常基础而重要的定理之一，可以用来解决各种几何问题。

在坐标系中，勾股定理的应用更加广泛，可以帮助我们计算距离、角度、面积等。

一、勾股定理的基本原理勾股定理是基于直角三角形的性质而成立的。

在直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。

那么根据勾股定理可以得出如下公式：a² + b² = c²这个公式被广泛应用于各个领域，坐标系中的应用是其中之一。

二、点间距离的计算在坐标系中，我们可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。

假设有两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以使用以下公式来计算它们之间的距离：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)通过这个公式，我们可以方便地计算任意两点之间的距离，无论是平面上的直线距离还是曲线距离。

三、角度的计算在坐标系中，我们也可以利用勾股定理来计算两条直线之间的夹角。

假设有两条直线L₁和L₂，分别由两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)以及C(x₃, y₃)和D(x₄, y₄)确定。

那么我们可以使用以下公式来计算它们之间的夹角：cosθ = ((x₂ - x₁)(x₄ - x₃) + (y₂ - y₁)(y₄ - y₃)) / (AB * CD)其中AB和CD分别表示线段AB和CD的长度，θ表示两条直线之间的夹角。

四、面积的计算勾股定理也可以被应用于计算各种几何图形的面积。

以直角三角形为例，假设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。

那么我们可以使用以下公式来计算其面积：S = (1/2) * a * b通过这个公式，我们可以计算得到直角三角形的面积。

同样地，勾股定理也可以应用于其他几何图形的面积计算，只需要根据具体情况进行适当修改和推导。

五、总结勾股定理在坐标系中的应用非常广泛，可以帮助我们计算距离、角度、面积等各种几何问题。

勾股定理的应用勾股定理是数学中的一条基本定理，也是数学与实际问题相结合的重要工具。

它被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域，为解决各种问题提供了简洁而有效的方法。

本文将从几个具体的应用角度，探讨勾股定理在实际问题中的作用。

1. 三角形问题勾股定理最常见的应用就是解决三角形问题。

在解析几何中，确定三角形的各个边长、角度、面积等问题，都可以通过勾股定理得到解决。

例如，已知一个直角三角形的两条边长，可以利用勾股定理计算出第三条边长。

在真实的测量和建模中，准确地计算三角形的属性是极为重要的，而勾股定理则是最常用的计算工具之一。

2. 导弹轨迹预测在导弹的制导与轨迹控制中，勾股定理被广泛用于预测导弹的飞行轨迹。

在给定导弹的出发点和目标点的坐标后，通过勾股定理可以计算出最短路径，并且确定导弹需调整的角度和加速度，以达到命中目标的效果。

勾股定理在空间导航中的应用，在军事和航天领域具有重要的意义。

3. 平面定位和测量勾股定理在平面定位和测量领域也发挥着重要的作用。

通过勾股定理，可以精确计算出两点之间的距离。

例如，现代的GPS技术就是基于勾股定理来确定接收器与卫星之间的距离，并基于此推算出接收器的位置坐标。

此外，测量工程中常用的三角测量法也离不开勾股定理的应用。

4. 建筑设计在建筑设计中，勾股定理被用于确定建筑物各个部分之间的位置关系和角度。

例如，设计一个房间的内角度，可以利用勾股定理来确定墙壁之间的直角，并确保结构的稳定性和准确性。

同时，勾股定理也可以用于计算墙壁的斜长、屋顶的高度等参数，为建筑设计提供便利和精确性。

5. 数字图像处理在数字图像处理中，利用勾股定理可以计算图像中两个像素点之间的距离。

这一应用广泛用于图像重建、边缘检测等算法中。

通过测量图像上的像素点之间的距离，可以准确还原出图像中的形状和结构，为图像处理提供了基础工具。

总结：勾股定理作为数学中的基本定理，在实际问题中有着广泛的应用。

本文从三角形问题、导弹轨迹预测、平面定位和测量、建筑设计以及数字图像处理等角度，阐述了勾股定理在各个领域中的重要性和应用方法。

勾股定理的应用测量与导航勾股定理的应用：测量与导航勾股定理是数学中的基本定理之一，被广泛应用于测量和导航领域。

该定理为我们提供了一种准确测量和导航的方法，能够在不同领域中帮助我们解决实际问题。

一、测量领域中的应用1. 三角测量和航海定位勾股定理在三角测量中扮演着重要的角色。

通过测量三角形的边长，我们可以利用勾股定理计算出角度、距离等相关信息。

这在地理测量、地图绘制、航海以及航空导航中都得到了广泛应用。

例如，在航海中，当我们知道船只与灯塔之间的距离和灯塔的方位角时，我们可以利用勾股定理计算船只与目标点之间的距离。

这对于航海定位和航行规划非常重要。

2. 土地测量和建筑规划在土地测量和建筑规划中，测量准确的地点和距离是至关重要的。

利用勾股定理，测量员可以计算出不同地点之间的距离与角度，从而绘制出精确的地图和平面图。

例如，在房地产开发过程中，测量员需要准确测量土地边界的长度与角度，以便进行土地规划和土地划分。

这些测量结果都依赖于勾股定理的应用。

二、导航领域中的应用1. 全球定位系统（GPS）全球定位系统（GPS）是现代导航中最常用的定位技术之一，其利用卫星信号和勾股定理提供精确的导航数据。

GPS接收器能够接收来自多颗卫星的信号，并通过测量信号的到达时间差来计算位置。

GPS中的勾股定理应用体现在测量卫星信号的传播时间和距离之间。

通过比对信号的到达时间与距离之间的关系，GPS能够准确计算出接收器所处的位置坐标。

2. 飞行导航在航空领域中，勾股定理被广泛应用于飞行导航和航空器自动驾驶系统。

勾股定理帮助导航系统计算出飞机与目标点之间的距离和角度，从而指导飞机的航行路线。

例如，在飞机飞行过程中，导航系统可以利用勾股定理计算飞机与目标机场之间的直线距离，以及飞机相对于目标机场的方位角。

这些数据是飞行员进行导航和飞行决策的重要依据。

总结：勾股定理在测量和导航领域发挥了重要作用。

它不仅为测量员提供了一种精确测量地点和距离的方法，也为导航系统提供了准确计算位置和航行路线的手段。

O x y A B C O x y A B C 勾股定理在坐标系中的应用（学案） 薛海龙活动1：求出线段AB 的长度；AB=_________; AB=__________; AB=____________.小结：_______________________________________ 活动2：例1、已知：如图，一次函数 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，（1）求线段AB 的长度及∠OAB 的度数；（2）若点C 是线段AB 上一点，且AC=2，在x 轴上求作一点P ，使得CP+BP 的值最小，求这个最小值。

(3)是否在y 轴上存在一点D 使得△ABD 为等腰三角形？若存在，请直接写出D 点的坐标.__________________________小结：__________ ； 333+-=x y (2,2)(-22,-2)O x y A B O x y A B(0,2)(-4,0)O x y B A 活动3： 例2、如图，M 为双曲线xy 3=上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线m x y +-=于点D 、C 两点，若直线m x y +-=与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD•BC 的值为 ．小结：练习1.已知A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数xy 2=的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴，且OA=OB,那么ΔAOB 的面积为__________2.已知函数1+-=x y 的图像与x 轴，y 轴分别交于点C 、B ，与双曲线xk y =交于点A （第二象限）、D （第四象限），若AB+CD=BC ，则k=_______. 3、已知：如图，一次函数3+=x y 的图像分别交y x ,轴于A 、B 两点，点C 在线段AB 的延长线上，且BC=22，求OC 的长；4、一次函数的图象分别交x 、y 轴于A 、B 两点，是否在坐标轴上存在一点C 使得△ABC 为直角三角形？若有，请求出C 点的坐标；小结：333+=x y O x yB A C。

1.3 勾股定理的应用一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．二、教学任务分析本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第一章《勾股定理》第３节．具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．当然，在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；一些探究活动具体一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力．本节课的教学目标是：1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点．四、教法学法1．教学方法引导—探究—归纳本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：（1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程；（2）从学生活动出发，顺势教学过程；（3）利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程．2．课前准备教具：教材、电脑、多媒体课件．学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具．五、教学过程分析本节课设计了七个环节．第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：做一做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业．第一环节：情境引入内容：情景1：多媒体展示：提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？情景2：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？意图：通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情．效果：从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．第二环节：合作探究内容：学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．效果：学生汇总了四种方案：学生很容易算出：情形（1）中A →B 的路线长为：'AA d +，情形（2）中A →B 的路线长为：'2dAA π+所以情形（1）的路线比情形（2）要短．学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA ’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A →B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．如图：（1）中A →B 的路线长为：'AA d +． （2）中A →B 的路线长为：''AA A B +>AB ． （3）中A →B 的路线长为：AO +OB >AB ． （4）中A →B 的路线长为：AB ．得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB ？在Rt △AA′B 中，利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=，若已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则22212(33),15A B A B =+⨯∴=．注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下： 1．审题——分析实际问题； 2．建模——建立相应的数学模型； 3．求解——运用勾股定理计算； 4．检验——是否符合实际问题的真实性．第三环节：做一做内容：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD 长是30厘米，AB 长是40厘米，BD 长是50厘米，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB 边吗？BC 边与AB 边呢？解答：（2）222230402500AD AB +=+=22500BD =222AD AB BD ∴+=∴AD 和AB 垂直．意图：运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．效果：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB ，AD 和BD 的长度，或在AB ，AD 边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．第四环节：小试牛刀A3220BA 内容：1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h 的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h 的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？解答：如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:00甲到达B 点，乙到达C 点．则:AB =2×6=12（km ） AC =1×5=5（km ）在Rt △ABC 中:22222251216913BC AC AB =+=+==． ∴BC =13（km ）． 即甲乙两人相距13 km ．2．如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离． 解答：2222152062525AB ∴=+==.3．有一个高为1.5 m ，半径是1m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m ，问这根铁棒有多长？解答：设伸入油桶中的长度为x m ．则最长时: 2221.522.5x x =+=．．∴最长是2.5+0.5=3（m ）． 最短时: 1.5x =． ∴最短是1.5+0.5=2（m ）． 答:这根铁棒的长应在2～3m 之间． 意图：对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算． 效果：学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解．第五环节：举一反三内容：1．如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s ，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s 内从A 爬到B ？解：如图，在Rt △ABC 中: 222221020AB AC BC =+=+=500．∵500＞202.∴不能在20 s 内从A 爬到B .2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解答：设水池的水深AC 为x 尺，则这根芦苇长为AD =AB =（x +1）尺，在直角三角形ABC 中，BC =5尺. 由勾股定理得:BC 2+AC 2=AB 2. 即 52+ x 2=（x +1）2.25+x 2= x 2+2x +1. 2x =24.∴ x =12，x +1=13．答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺． 意图：第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．效果：学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB位置，并正确计算．如有可能，还可把正方体换成长方体进行讨论．学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程．注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务．因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用．第六环节：交流小结内容：师生相互交流总结：1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时，往往考虑其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解．并赞叹我国古代数学的成就．第七环节：布置作业1．课本习题1．4第1，2，3题．2．如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?注意事项：作业2作为学有余力的学生的思考题．六、教学设计反思本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会观察，提高分析能力，渗透数学建摸思想．在设计中，我注重以下两点：1．要充分利用好教材提供的素材“蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，这个问题体现了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念很有好处．2．合理使用教材提供的练习本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组，使练习有梯度，既巩固了基本知识点，又训练了学生的应用能力．第一个作业让学生深入理解和应用勾股定理及逆定理．3．突破重点、突破难点的策略在教学过程中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力．4．分层教学根据本班学生实际情况可在教学过程中选择：基础训练——“小试牛刀”；提高训练——“举一反三”；拓展训练——作业第2题．5．评价方式根据新课标的评价理念，在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中所反映出的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力．在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值．附：板书设计。

1．3 勾股定理的应用1．能熟练运用勾股定理求最短距离；（难点）2．能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．（重点）一、情境导入一个门框的宽为1。

5m，高为2m，如图所示，一块长3m,宽2。

2m 的薄木板能否从门框内通过？为什么？二、合作探究探究点一：求几何体表面上两点之间的最短距离【类型一】长方体上的最短线段如图①，长方体的高为3cm，底面是正方形,边长为2cm，现有绳子从D出发，沿长方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米？解析：可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况,分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．解：如图②，在Rt△DD′B′中，由勾股定理得B′D2＝32＋42＝25；如图③，在Rt△DC′B′中，由勾股定理得B′D2＝22＋52＝29.因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5cm。

方法总结：此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中,问题便迎刃而解．【类型二】圆柱上的最短线段为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色,然后缠绕红色油纸，如图①。

已知圆筒的高为108cm,其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？解析：将圆筒侧面展开成平面图形,利用平面上两点之间线段最短求解，构造直角三角形，利用勾股定理来解决．解：如图②，在Rt△ABC中，因为AC＝36cm,BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB ＝45cm,所以整个油纸的长为45×4＝180（cm）．方法总结：解决这类问题的关键就是转化,即把曲面转化为平面，曲线转化成直线，构造直角三角形，利用勾股定理求出未知线段长．探究点二:利用勾股定理解决实际问题如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发,沿北偏东53°方向走了400m到达点B,然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解．解：如图,过点B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°。