四川省昭觉中学高一数学课件：一元二次方程根的分布

专题拓展：一元二次方程根的分布问题一、二次函数相关知识对于形如()20=++≠y ax bx c a 的二次函数，有以下性质：1、判别式：ac b 42-=∆；求根公式：aacb b x 242-±-=；2、韦达定理：a b x x -=+21，ac x x =21；3、二次函数对称轴a b x 2-=，定点坐标（a b2-，acb ac 442-）．二、一元二次方程根的0分布方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.0分布结合判别式、韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。

三、一元二次方程根的k 分布分布情况两根都小于k 即kx k x <<21,两根都大于k 即kx k x >>21,一根小于k ，一大于k 即21x k x <<大致图象（a >0）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()0<k f kkk大致图象（a <0）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()0>k f 综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()0<⋅k f a 四、一元二次方程根在区间的分布综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅n f m f ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 考点一：根在R 上的分布例1．（22-23高一下·安徽滁州·月考）“m>2”是“关于x 的方程2210x mx -+=有两个不等实根”的（）A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为关于x 的方程2210x mx -+=有两个不等实根，所以280m ∆=-＞，解得m -＜m ＞，所以“m>2”是“关于x 的方程2210x mx -+=有两个不等实根”既不充分也不必要条件.故选：D【变式1-1】（23-24高一上·福建莆田·月考）已知命题:p“x ∃∈R ，关于x 的一元二次方程20x m -+=有实数根”是真命题，则实数m 的取值范围是.【答案】3m ≤【解析】因为x ∃∈R ，关于x 的一元二次方程20x m -+=有实数根，所以2(40m ∆=--≥，解得3m ≤，故答案为：3m ≤【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）若关于x 的方程2690kx x -+=的解集为∅，则实数k 的取值范围是.【答案】(1,)+∞【解析】当0k =时，方程的解为32x =，不满足题意；当0k ≠时，因为关于x 的方程2690kx x -+=的解集为∅，所以Δ36360k =-<，解得1k >；综上，实数k 的取值范围是(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞.【变式1-3】（23-24高一上·江苏南京·月考）若下列两个方程：24430x ax a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围为.【答案】32a ≤-或0a ≥.【解析】24430x ax a +-+=有实根，则()2164430a a ∆=--+≥，解得12a ≥或32a ≤-，2220x ax a +-=有实根，则2480a a ∆=+≥，解得0a ≥或2a ≤-，故实数a 的取值范围是12a a ⎧≥⎨⎩或32a ⎫≤-⎬⎭ {0a a ≥或}2a ≤-32a a ⎧=≤-⎨⎩或}0a ≥.故答案为：32a ≤-或0a ≥.考点二：根的“0”分布例2.（23-24高一上·福建厦门·月考）关于x 的一元二次方程2(2)20x m x m +--=有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（）A ．(,2)(2,0)-∞--B ．(,2)-∞C ．(0,2)(2,)⋃+∞D ．(2,)-+∞【答案】A【解析】因为方程2(2)20x m x m +--=有两个不相等的正实数根，所以()22802020m m m m ⎧-+>⎪-+>⎨⎪->⎩，解得0m <且2m ≠-.故选：A.【变式2-1】（23-24高一上·四川绵阳·月考）关于x 的方程24260x mx m -++=至少有一个负根的充要条件是（）A ．32m ≥B ．1m ≤-C ．32m ≥或1m ≤-D ．3m ≤-【答案】B【解析】当方程没有根时，2168240m m ∆=--<，即2230m m --<，解得312m -<<；当方程有根，且根12,x x 都不为负根时，可得21212Δ16824040260m m x x m x x m ⎧=--≥⎪+=≥⎨⎪=+≥⎩，解得32m ≥，综上可知1m >-，即关于x 的方程24260x mx m -++=没有一个负根时，1m >-，所以24260x mx m -++=至少有一个负根的充要条件是1m ≤-.故选：B【变式2-2】（22-23高一下·河北保定·月考）若一元二次方程2240ax x --=（a 不等于0）有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围为（）A ．0a >B ．2a >C ．1a >D ．1a >-【答案】A【解析】因为一元二次方程2240ax x --=（a 不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为12,x x ，则()()212Δ244040a x x a ⎧=--⨯⨯->⎪⎨=-<⎪⎩，解得0a >，故选：A 【变式2-3】（23-24高一上·广西南宁·月考）设p ：实数m 满足10m -<<，q ：一元二次方程“2310x x m +++=”有两个负数解，则p 是q （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】命题q ：一元二次方程有两个负数解，所以()2Δ341010m m ⎧=-⨯⨯+⎨+>⎩，解得514m -<≤，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A.考点三：根的“k”分布例3.（22-23高一上·江苏宿迁·月考）已知二次函数()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m 可能为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】令()f x =()()222433m x m x m +-+++，则()12243321f m m m m =+--++=+，由题可知，2m ≠-，且()()210m f +<，即()()2210m m ++<，解得12, 2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故所有选项中满足题意的m 的值是：1-.故选：B.【变式3-1】（22-23高一上·江苏盐城·月考）关于x 的方程22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭有两个不相等的实数根12,x x 且121x x <<，那么a 的取值范围是（）A ．22,75⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,7⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．2,011⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设()2219f x x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()22Δ136021110a f a ⎧⎛⎫=+->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+<⎪⎩，解得：2011a -<<，即a 的取值范围为2,011⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D.【变式3-2】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（）A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞ 【答案】C【解析】令()2(2)5mf x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或则54m -<<-，即(5,4)m ∈--故选：C【变式3-3】（23-24高一上·北京·月考）已知方程240x x a -+=的两根都大于1，则a 的取值范围是（）A ．34a <≤B ．14a <≤C ．1a >D ．4a ≤【答案】A【解析】设方程240x x a -+=的两根为12,x x ，依题意有：121216404a x x x x a ∆=-≥⎧⎪+=⎨⎪=⎩，因12,x x 都大于1，则122x x +>，且12()1(1)0x x ->-，显然122x x +>成立，由12()1(1)0x x ->-得1212()10x x x x -++>，则有410a -+>，解得3a >，由1640a ∆=-≥解得：4a ≤，于是得34a <≤，所以a 的取值范围是34a <≤.故选：A考点四：根在区间上的分布例4.（22-23高一上·广东广州·月考）已知关于x 的方程20x x m ++=在区间()1,2内有实根，则实数m 的取值范围是（）A ．[6,2]--B ．(6,2)--C ．(,6][2,)-∞-⋃-+∞D ．(,6)(2,)-∞--+∞ 【答案】B【解析】因为关于x 的方程20x x m ++=在区间()1,2内有实根，所以2m x x =--在区间()1,2内有实根，令()2f x x x =--，()1,2x ∈，所以()f x 在()1,2上单调递减，所以()()()21f f x f <<，即()()6,2f x ∈--，依题意y m =与()y f x =在()1,2内有交点，所以()6,2m ∈--.故选：B【变式4-1】（23-24高一上·广西南宁·月考）关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】方程2(2)210x m x m +-+-=对应的二次函数设为：()2(2)21f x x m x m =+-+-因为方程2(2)210x m x m +-+-=恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①()()010f f ⋅<，()()21320m m --<，解得：1223m <<；②函数()f x 刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，把点()0,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：1=2m ，此时方程为2302x x -=，两根为0，32，而()30,12∉，不合题意，舍去把点()1,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：23m =，此时方程为23410x x -+=，两根为1，13，而()10,13∈，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，()22840m m ∆=--+=，解得6m =±经检验，当6m =-(0,1)内;综上：实数m的取值范围为{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦故选：D【变式4-2】（22-23高一上·江苏扬州·月考）已知一元二次方程210x mx -+=的两根都在(0,2)内，则实数m 的取值范围是（）A ．52,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]5,22,2∞⎡⎫--⋃⎪⎢⎣⎭D ．(]5,22,2∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设()21f x x mx =-+，由题意可得()()2Δ400220102250m m f f m ⎧=-≥⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=-+>⎪⎩，解得522m ≤<.因此，实数m 的取值范围是52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.【变式4-3】（22-23高一上·湖南·期中）已知关于x 的方程()22140x m x m -++=的两根分别在区间()01，，()12，内，则实数m 的取值范围为．【答案】104⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】令()()2214f x x m x m =-++，根据题意得()()()()()22200401011402042140f m f m m f m m ⎧⎧>>⎪⎪<⇒-++<⎨⎨⎪⎪>-++>⎩⎩①②③，由①得：0m ≠，由②得：104m <<，由③得：x ∈R ，求交集得：104m <<故m 的取值范围为10,4⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：10,4⎛⎫⎪⎝⎭一、单选题1．（22-23高一上·福建福州·月考）关于x 的一元二次方程280x qx q ++-=有两个正实数根，则q 的取值范围是（）A ．8q >B ．4q <-C ．8q >或4q <-D ．8q <-【答案】D【解析】因为一元二次方程280x qx q ++-=有两个正实数根，所以2Δ=4(8)>0>08>0q q q q ----⎧⎪⎨⎪⎩，解得8q <-，故选：D2．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）关于x 的一元二次方程()()222120m x m x m -+++-=有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（）A ．34m >B ．324m <<C ．122m -<<D ．34m >且2m ≠【答案】B【解析】根据题意可知；202m m -≠⇒≠，由韦达定理可得()()222022102Δ21420m m m m m m -⎧>⎪-⎪+⎪->⎨-⎪⎪=+-->⎪⎩，解得324m <<，故选：B3．（22-23高一上·辽宁沈阳·月考）一元二次方程()25400ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个充要条件是（）A ．a<0B ．0a >C ．2a <-D ．1a >【答案】A【解析】因为一元二次方程()25400ax x a ++=≠有一个正根和一负根，设两根为1x 和2x ，所以212Δ544040a x x a ⎧=-⨯>⎪⎨=<⎪⎩，解得25160a a ⎧<⎪⎨⎪<⎩，故a<0.故选：A.4．（23-24高三上·四川·月考）若关于x 的方程2220x ax a -++=在区间()2,1-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A ．6,15⎛--⎫⎪⎝⎭B ．6,15⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()6,1,5⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭ D ．()6,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】令()222g x x ax a =-++，因为方程2220x ax a -++=在区间()2,1-上有两个不相等的实数解，所以()()Δ0212010a g g >⎧⎪-<<⎪⎨->⎪⎪>⎩，即()2Δ44202144201220a a a a a a a ⎧=-+>⎪-<<⎪⎨+++>⎪⎪-++>⎩，解得615a -<<-，所以a 的取值范围是6,15⎛--⎫⎪⎝⎭．故选：A ．5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知一元二次方程()22120x a x a +++-=的一根比1大，另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．(3,1)-B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ．(0,2)【答案】C【解析】记()2212y x a x a =+++-，则为开口向上的二次函数，要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要21|=1120x y a a =+++-<，解得10a -<<，故选：C6．（23-24高一山·全国·课后作业）关于x 的方程24260x mx m -++=至少有一个负根的充要条件是（）A ．32m ≥B ．1m ≤-C ．32m ≥或1m ≤-D ．1m <-【答案】B【解析】当方程没有根时，2168240m m ∆=--<，即2230m m --<，解得312m -<<；当方程有根，且根都不为负根时，21212Δ16824040260m m x x m x x m ⎧=--≥⎪+=≥⎨⎪=+≥⎩，解得32m ≥，综上，1m >-，即关于x 的方程24260x mx m -++=没有一个负根时，1m >-，所以关于x 的方程24260x mx m -++=至少有一个负根的充要条件是1m ≤-，故选:B.二、多选题7．（23-24高一上·山西太原·月考）已知关于x 的方程230+++=x ax a ，则（）.A ．当2a =时，方程有两个不相等的实数根B ．方程无实数根的一个充分条件是24a -<<C ．方程有两个不相等的负根的充要条件是6a >D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是4a <-【答案】BC【解析】对于A ：当2a =时，2250x x ++=，此时22415160∆=-⨯⨯=-<，此时方程没有实数根，故A 错误；对于B ：方程无实数根的充要条件是()2Δ4130a a =-⨯⨯+<，即26a -<<，所以方程无实数根的一个充分条件是{}26a a -<<的子集，显然24a -<<符合，故B 正确；对于C ：方程有两个不相等的负根的充要条件是()21212Δ41300,30a a x x a x x a ⎧=-⨯⨯+>⎪+=-<⎨⎪⋅=+>⎩解得：6a >，故C 正确;对于D ：方程有一个正根和一个负根的充要条件是()212Δ4130,30a a x x a ⎧=-⨯⨯+>⎨⋅=+<⎩解得：3a <-，故D 错误;故选：BC.8．（22-23高一上·江苏南京·期末）设m 为实数，已知关于x 的方程()2310mx m x +-+=，则下列说法正确的是（）A ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <【答案】BCD【解析】对于A 选项，3m =时2310x +=无实根，A 错误；对于B 选项，当0m =时方程有实根，当0m ≠时，方程无实根则2(3)40m m --<，解得19m <<，一个必要条件是1m >，B 正确；对于C 选项，方程有两个不等正根，则0m ≠，0∆>，30m m ->，10m >，解得01m <<；对于D 选项，方程有一个正根和一个负根，则0m ≠，10m<，解得0m <，D 正确；故选：BCD.三、填空题9．（23-24高一上·江苏南京·月考）设m 为实数，若二次函数2y x x m =-+在区间()1∞-，上有两个零点，则m 的取值范围是.【答案】10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】二次函数2y x x m =-+的对称轴为12x =，且开口向上，因为二次函数2y x x m =-+在区间()1∞-，上有两个零点，所以方程20x x m -+=在区间()1∞-，内有两个不同的根，记方程20x x m -+=的两根为12,x x ，则()()()()()1212121212Δ140112*********m x x x x x x x x x x m ⎧=->⎪-+-=+-=-<⎨⎪-⋅-=-++=-+>⎩，解得104m <<，所以104m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.故答案为：104⎛⎫ ⎪⎝⎭，10．（2023高一·全国·课后作业）关于x 的方程210x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的取值集合为.【答案】∅【解析】不妨设关于x 的方程210x ax -+=的两实数根为1x ，2x ，则121=x x ，若两根均大于1，则121x x >，矛盾，故不存在实数a ，使得关于x 的方程210x ax -+=的两根均大于1，即实数a 的取值集合为∅.故答案为：∅11．（23-24高一上·湖北·月考）命题“18x ∃≤≤时，方程2280x ax -+=有两个不等实数根”是真命题，则实数a 的取值范围是．【答案】810a <≤【解析】因为命题“18x ∃≤≤时，方程2280x ax -+=有两个不等实数根”是真命题，所以函数228y x ax =-+的图象在18x ≤≤上与x 轴有两个不同的交点，因此218464010013680a a a a ⎧<<⎪⎪⎪->⎨⎪-≥⎪-≥⎪⎩，解得810a <≤，所以实数a 的取值范围是810a <≤，故答案为：810a <≤四、解答题12．（23-24高一上·浙江金华·月考）已知关于 x 的方程()221260x m x m +-++=，当方程的根满足下列条件时，求m 的取值范围.(1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小；(2)至少有一个正根.【答案】(1)1m <-；(2)1m ≤-【解析】（1）设2()2(1)26f x x m x m =+-++，则由题意可得(2)660f m =+<，解得1m <-.（2）关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=无实数根时，()()2414260m m --+<，解得15m -<<，关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=有两个负实数根时，()()()2414260210260m m m m ⎧--+≥⎪--<⎨⎪+>⎩，解得5m ≥，所以关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=无实数根时或有两个负实数根时1m >-，可得关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=至少有一个正实数根，则1m ≤-.13．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知a 、b 、R c ∈，关于x 不等式22ax bx c x ++<的解集为()1,3．(1)若方程20ax bx c ++=一根小于1-，另一根大于1-，求a 的取值范围；(2)在（1）条件在证明以下三个方程：24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数解．【答案】(1)1(0,4；(2)证明见解析【解析】（1）因为关于x 不等式22ax bx c x ++<的解集为()1,3，即2(2)0ax b x c +-+<的解集为()1,3，故0a >，且1，3为2(2)0ax b x c +-+=的两根，则2133b c a a-+=-⨯=，即42,3b a c a =-+=，又方程20ax bx c ++=一根小于1-，另一根大于1-，设2()f x ax bx c =++，而0a >，则(1)0f a b c -=-+<，即14230,4a a a a +-+<∴<，结合0a >，可得a 的取值范围为1(0,)4.（2）证明：假设24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=都没有实数解，则它们的判别式都小于0，即()2222164(43)0140480a a a a a a ⎧--+<⎪⎪--<⎨⎪+<⎪⎩，即312211320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪><-⎨⎪-<<⎪⎪⎩或，解得312a -<<-，这与a 的取值范围为1(0,)4矛盾，故24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数解．。

一元二次方程根的分布1.一元二次方程的跟的基本分布—零分布所为一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系，比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说两个根分布在零的两侧设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x 且12x x ≤定理12121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪>>⇔+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩定理2：2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪<<⇔+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩定理3：121200c x x x x a<<⇔=< 2.一元二次方程的根的非零分布----k 分布 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x 且12x x ≤，k 为常数，则一元二次方程的k 分布（即12,x x 相对于k 的位置）有以下若干定理（请画出图形分析） 定理1：21240()02b ac k x x af k b k a⎧⎪∆=-≥⎪<≤⇔>⎨⎪⎪->⎩定理2：21240()02b ac x x k af k b k a⎧⎪∆=-≥⎪≤<⇔>⎨⎪⎪-<⎩定理3：12()0x k x af k <<⇔<推论1：1200x x ac <<⇔<推论2：121()0x x a a b c <<⇔++<定理4：有且仅有11k x <（或2x ）2k <12()()0f k f k ⇔<定理5：11121222120()0()0()0()0a f k k x k p x p f k f p f p >⎧⎪>⎪⎪<<≤<<⇔<⎨⎪<⎪⎪>⎩或12120()0()0()0()0a f k f k f p f p <⎧⎪<⎪⎪>⎨⎪>⎪⎪<⎩定理6：211221212400()0()02b ac a k x x k f k f k b k k a ⎧⎪∆=-≥⎪>⎪⎪<≤<⇔>⎨⎪>⎪⎪<-<⎪⎩或21212400()0()02b ac a f k f k b k k a ⎧⎪∆=-≥⎪<⎪⎪<⎨⎪<⎪⎪<-<⎪⎩训练一（1） 若一元二次方程2(1)2(1)0m x m x m -++-=有两个正根，求m 的取值范围。

一元二次方程根的分布一．知识要点二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行研究．若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由c bx ax y ++=2的系数可判断出2121,,x x x x +∆的符号，从而判断出实根的情况．若在区间),(n m 内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定．分布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x <<大致图象（0>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f分布情况两根都在()n m ,内 两根有且仅有一根在()n m ,内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<kk k大致图象（>a ）得出的结论 ()()0002f m f n b m n a ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩ ()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()00f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩ 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。