2020版【5年高考3年模拟】高考文数新课标版10.1 概率

开卷教育联盟·2020届全国高三模拟考试（五）数学（文科）时量：120分钟满分：150分1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log (4)A x y x ==-，{}2|230B x x x =--≥，则()A B ⋂=R（ ）.A. (3,4)B. (,1)-∞-C. (,1)(3,4)-∞-⋃D. (1,3)[4,)-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】求解对数型函数定义域和一元二次不等式，解得,A B ，再通过交运算和补运算求得结果. 【详解】由40x ->得4x <，所以{|4}A x x =<；由2230x x --≥得1x ≤-或3x ≥，所以{|1B x x =≤-或3}x ≥. 所以{|1A B x x ⋂=≤-或34}x ≤<， 则(){|13A B x x ⋂=-<<R或4}(1,3)[4,)x ≥=-⋃+∞.故选：D.【点睛】本题考查对数型函数的定义域求解，一元二次不等式的求解，集合的交运算和补运算，属综合基础题.2.已知复数11i z =+，222z i =-，则12z z =（ ）.A.12i B. 12i -C.1122i + D. i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，整理化简即可求得结果.【详解】因为121(1)(22)422(22)(22)82z i i i i i z i i i +++====--+， 故选：A.【点睛】本题考查复数的运算法则，属基础题. 3.下列说法正确的是（ ）.A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“00x ∃<，20010x x ++<”的否定是“0x ∀≥，210x x ++≥”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据否定题和逆否命题的定义，结合命题的否定以及命题充分性和必要性的判断，结合选项，进行逐一判断即可.【详解】命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误； 方程2560x x --=的解是1x =-或6，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误；命题“00x ∃<，20010x x ++<”的否定是“0x ∀<，210x x ++≥”，故C 错误；命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题的否命题和逆否命题的求解，涉及命题充分性和必要性的讨论，属综合基础题.4.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象． 【详解】当x<0时，f （x ）<0．排除AC ，f ′（x ）()()()32222333(1)11x xx xxxx e xe x e x eee+-+-==++，令33x x e xe +-=g (x )g ′（x ）()()312x x xe x e x e =-+=-，当x ∈（0，2），g ′（x ）＞0，函数g (x )是增函数，当x ∈（2，+∞），g ′（x ）＜0，函数g (x )是减函数，g (0)= 60>，g (3)=3>0， g (4)=4 3e -<0， 存在()03,4x ∈，使得g (0x )=0，且当x ∈（0，0x ），g (x )>0，即f ′（x ）＞0，函数f （x ）是增函数， 当x ∈（0x ，+∞），g (x )<0，即f ′（x ）＜0，函数f （x ）是减函数， ∴B 不正确， 故选D ．【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．5.设20192020log log a ==120002019c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算、指数函数的性质，利用12和1进行分段，由此比较出三者的大小关系.【详解】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=；2020202020201110log log 2019log 2020;222b <==<=120202019 1.c =>故选：C.【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题. 6.在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则2020a =（ ）. A. 2ln2020+ B. 22019ln2020+ C. 22020ln2020+ D. 2020ln2020+【答案】A 【解析】 【分析】通过赋值，利用累加法，即可求得结果. 【详解】因为12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以1ln(1)ln n n a a n n +-=+-， 所以21ln 2ln1a a -=-，32ln 3ln 2a a -=-，……20202019ln 2020ln 2019a a -=-，以上各式累加得20201ln 2020ln1a a -=-，即20201ln20202ln2020a a=+=+.故选：A.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，属基础题.7.如图，在等腰三角形ABC与ABD中，90DAB ABC∠=∠=︒，平面ABD⊥平面ABC，E，F分别为BD，AC的中点，则异面直线AE与BF所成的角为（）A.2πB.3πC.4πD.6π【答案】B【解析】【分析】设DA AB BC x===，利用向量的夹角公式，计算出异面直线AE与BF夹角的余弦值，由此求得异面直线AE与BF所成的角.【详解】由于在等腰三角形ABC与ABD中，90DAB ABC∠=∠=︒，平面ABD⊥平面ABC，根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面ABC，BC⊥平面ABD，所以AD BC⊥.依题意设DA AB BC x===，由于,E F是等腰直角三角形斜边的中点，所以22AE BF x==.设异面直线AE与BF所成的角为θ，则cos cos,AE BFθ=AE BFAE BF⋅=⋅()()12AB AD AF ABAE BF+⋅-=⋅()()1122AB AD AB BC AB AE BF⎡⎤+⋅+-⎢⎥⎣⎦=⋅()111222AB AD BC AB AE BF⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=⋅()214AB BC AD BC AB AB AD AE BF⋅+⋅--⋅=⋅2211142222AB x AE BF-⋅===⋅，由于π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以π3θ=.故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.8.已知函数()2sin cos2f x x x =+，则（ ）. A. ()f x 的最小正周期是π，最小值为1B. ()f x 的最小正周期是π，最小值为3-C. ()f x 的最小正周期是2π，最小值为1D. ()f x 的最小正周期是2π，最小值为3-【答案】D 【解析】 【分析】利用周期的定义，即可判断周期性；利用二倍角公式化简函数为二次型三角函数，即可求得函数最值.【详解】因为()2sin()cos2()2sin cos2()f x x x x x f x πππ+=+++=-+≠， 所以π不是()f x 的周期，故排除A ，B ；因为(2)2sin(2)cos2(2)2sin cos2()f x x x x x f x πππ+=+++=+=， 所以2π是()f x 的一个周期；又因为2213()2sin cos22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，因为sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-.故选：D.【点睛】本题考查函数周期的定义，涉及二次型正弦函数最值得求解，以及余弦的二倍角公式，属综合中档题.9.等比数列{}n a 中，11a =，128a =，函数()()()1212()f x x x a x a x a =--⋅⋅-…，则(0)f '=（ ）.A. 122B. 152C. 182D. 212【答案】C 【解析】 【分析】对多项式函数进行求导，即可求得结果.【详解】设()()()1212()g x x a x a x a =--⋅⋅-…，则()()f x xg x =， 所以()()()f x g x xg x +''=，所以()()666318121112112(0)(0)822f g a a a a a a '==⋅⋅====….故选：C.【点睛】本题考查多项式函数的导数求解，属中档题.10.已知ABC 内角,,A B C 对应边长分别是,,a b c ，且2a =，1b =，2C A =，则c 的值为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D ，根据余弦定理得到22222154024m m m m--+=，计算得到答案. 【详解】如图所示：作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D则12AD AC BD BC == ，设,2AD m BD m ==，则CD m =，分别利用余弦定理得到： 22222154cos ,cos 24m m ADC BDC m m --∠=∠= ，ADC BDC π∠+∠= 故222221546024m m m m m --+=∴=，36c AB m === 故选C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，意在考查学生解决问题的能力和计算能力. 11.已知ABC 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A. 33,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 2323,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 233⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D. 3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<，即可求得结果.【详解】因为ABC 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-， 由||1k AB tBC +>两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>， 即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=，解得3t <-或3t >. 故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.12.已知椭圆22221x y a b +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率=（ ）C.2D.3【答案】D 【解析】 【分析】利用直线过椭圆的焦点坐标，可得直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和112F B AF =的条件，建立a b c 、、的关系式，进而求椭圆的离心率即可．【详解】椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12F F 、，过10F c -（，）且斜率为1k =的直线为y x c =+联立直线与椭圆方程22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消x 后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b +++-=（） 因为直线交椭圆于A ，B ，设1122A x y B x y （，），（，）由韦达定理可得22222121222222y y ,y y cb c b a b a b a b -+=-=++ 且112F B AF =，可得212y y =-，代入韦达定理表达式可得 2222221122222,2cb c b a b y y a b a b --=--=++ 即222222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭化简可得229c 2a =所以3c e a ==故选：D ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转4π后经过点(3,4)，则tan α=__________. 【答案】7- 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，可得旋转后角度的正切值，利用正切的和角公式即可求得结果. 【详解】设旋转后对应的角为β，则4tan 3β=， 故tan tan4tan tan 741tan tan 4πβπαβπβ+⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭-⋅. 故答案为：7-.【点睛】本题考查三角函数的定义，以及正切的和角公式，属综合基础题.14.谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinskitriangle ）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.具体操作是：先取一个实心正三角形（图1），挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形）（图2），然后在剩下的三个小三角形中又各挖去一个“中心三角形”（图3），我们用黑色三角形代表剩下的面积，用上面的方法可以无限连续地作下去.若设操作次数为3（每挖去一次中心三角形算一次操作），在图中随机选取一个点，则此点取自黑色三角形的概率为__________.【答案】2764【解析】 【分析】根据三角形相似容易知黑色三角形面积与最大三角形面积之比，根据几何概型的概率计算公式，即可求得.【详解】由图可知，操作次数为n 时，黑色三角形的面积与最大三角形的面积之比为34n n .当3n =时，概率为2764. 故答案为：2764. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 的直线与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为点E ，O 为坐标原点，当OEF 的面积取到最大值时，双曲线C 的离心率为__________. 2 【解析】 【分析】由F 点到渐近线的距离即可求得FE ，利用均值不等式求得OEF 的面积取得最大值时对应的,a b 取值即可求得离心率. 【详解】由题意，2c =， 易得点(c,0)F 到直线by x a=的距离为22||bcFE b ca b ===+，所以||OE a =， 则OEF 的面积()2221111212444S ab ab a b c ==⋅≤+==，当OEF 的面积取到最大值时，a b ==..【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及利用均值不等式求最值，属中档题.16.函数3()f x x x =+，对于[0,2]x ∈，都有|(1)|2xf ax e -+≤，则实数a 的取值范围是___．【答案】21[1,]2e e - 【解析】 【分析】由题意，利用函数()f x 的奇偶性和单调性，转化得出2x x e ax e ax ⎧≥⎨≤+⎩，分别作出函数xy e =，y ax =和2y ax =+，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(),-∞+∞为单调递增，且()12f =，()212xf ax e -≤-+≤，即111xax e -≤-+≤，即2x x e axe ax ⎧≥⎨≤+⎩①作出xy e =与y ax =的图象，直线y ax =作为曲线xy e =切线可求得a e =，当[]0,2x ∈时，x e ax a e ≥⇔≤；②作出xy e =与2y ax =+的图象，[]0,2x ∈时，222x x e ax e a ≤+⇔≤+，故2112a e ≥-， 综上可得211,2a e e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数的图象的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和函数的单调性，转化为2x x e ax e ax ⎧≥⎨≤+⎩，利用函数xy e =，y ax =和2y ax =+，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理与计算能力，属于中档试题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.数列{}n a 满足212231n a a a n n n ++⋯+=++，*n ∈N . （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列1na 的前n 项和为n S ，求满足9n n a S ≤的n 的取值范围. 【答案】（1）2(1)n a n n =+（2）[3,)+∞，n ∈N . 【解析】 【分析】（1）利用递推公式，借助下标缩1，即可求得数列n a ；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n S ，解不等式即可求得结果. 【详解】（1）因为212231n a a a n n n ++⋯+=++，*n ∈N ，① 所以当1n =时，14a =. 当2n ≥时，2121(1)(1)23n a a an n n-+++=-+-…，② ①②两式相减，整理得2(1)n a n n =+，显然14a =也满足上式.所以{}n a 的通项公式是2(1)n a n n =+. （2）由（1）得111112(1)21n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以111111111122231212(1)n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…， 不等式9n n a S ≤，即18(1)2(1)n n n n+≤+， 整理得29n ≥，所以3n ≥，n ∈N .所以满足不等式的n 的取值范围是[3,)+∞，n ∈N .【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式，以及利用裂项求和法求数列的前n 项和，属综合中档题.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥， 且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =（1）证明：//CE 平面PAD ； （2）求点B 到平面ECD 的距离； 【答案】（1）见解析；（2）1313【解析】 【分析】（1）取PA 的三等分点F ，法一，利用线面平行的判定定理证明.法二，利用面面平行判定定理证明；（2）法一，利用等积转换即B ECD E BCD V V --=，即可求得，法二，利用空间向量法，求点到面的距离.【详解】(1)解法一：取PA 的三等分点F ，连结,DF EF ，则13PF PA = 又因为13PE PB =，所以13EF AB =且//EF AB ， 因为13CD AB=且//AB CD ，所以EF CD =且//EF CD ，四边形CDFE 是平行四边形， 所以//CE DF ，又平面DF ⊂平面 PAD ，CE ⊄平面 PAD ， 所以//CE 平面 PAD .解法二：取AB 的三等分点G ，连结,FG CG ，则13AG AB =， 又因为13PE PB =， 所以23EG PA =且//EG PA ，EG ⊄平面PAD ， PA ⊂平面PAD ， //EG ∴平面PAD ，因为13CD AB =且//AB CD ，所以AG CD =且//AG CD ，四边形ADCG 是平行四边形.所以//AD CG ，CG ⊄平面PAD ，DA ⊂平面PAD ，//CG ∴平面PAD ，又因为EG CG G ⋂=，,EG CG ⊂平面CEG ， 所以平面//CEG 平面PAD ， 又因为CE ⊂平面CEG ， 所以//CE 平面PAD .(2)解法一：设点B 到平面ECD 的距离为h .因为2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=，所以，PA AD ⊥，因为,PA AB AB AD A ⊥⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ， 点E 平面ABCD 的距离是43，3DF ==， 12112BCD S ∆=⨯⨯=，1112233ECD S CD DF ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 因为B ECD E BCD V V --=，所以，1141,333h h =⨯⨯=点B 到平面ECD. 解法二：设点B 到平面ECD 的距离为h .因为2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=所以，PA AD ⊥，因为,PA AB AB AD A ⊥⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ， 分别以,,AD AB AP 为x 轴y 轴z 轴，建立空间坐标系，4(0,0,0),(0,3,0),(2,1,0),(2,0,0),0,1,3A B C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭’40,2,3BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面CDE 法向量1(,,)n x y z =，因为04203y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以1(2,0,3)n =， 设BE 与平面ECD 所成角为θ， 则点B 到平面ECD的距离11||cos 1313BE n h BE nθ⋅====，点B 到平面ECD 的距离为13. 【点睛】本题主要考查的是直线与平面平行的证明，点到面的距离的求法，以空间向量法求距离的应用，及解题时要注意认真审题，注意等价转化思想的合理应用，是中档题. 19.自2017年起，部分省、市陆续实施了新高考，某省采用了“33+”的选科模式，即：考试除必考的语、数、外三科外，再从物理、化学、生物、历史、地理、政治六个学科中，任意选取三科参加高考，为了调查新高考中考生的选科情况，某地区调查小组进行了一次调查，研究考生选择化学与选择物理是否有关.已知在调查数据中，选物理的考生与不选物理的考生人数相同，其中选物理且选化学的人数占选物理人数的35，在不选物理的考生中，选化学与不选化学的人数比为1:4.（1）若在此次调查中，选物理未选化学的考生有100人，试完成下面的列联表：（2）根据第（1）问的数据，能否有99%把握认为选择化学与选择物理有关？（3）若研究得到在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为选化学与选物理有关，则选物理又选化学的人数至少有多少？（单位：千人；精确到0.001）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）列联表详见解析（2）有99%把握认为选择化学与选择物理有关（3）至少有11.943千人【解析】【分析】（1）根据题意，即可求得表格中缺失的数据；（2）结合列联表，计算2K，即可进行判断；（3）设选物理又选化学的人数为x千人，据此重新求得列联表，以及2K，根据其大于等于6.635，即可求得结果.【详解】（1）列联表如下：（2）由列联表可知22500(150********)2506.6352502502003003K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%把握认为选择化学与选择物理有关.（3）设选物理又选化学的人数为x千人，则列联表如下：所以22221042533955492333x x x K x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==⋅⋅⋅，在犯错误概率不超过0.01的前提下，则2 6.635K ≥，即56.6359x ≥，解得11.943x ≥（千人），所以选物理又选化学的人数至少有11.943千人.【点睛】本题考查根据题意补全列联表，2K 的计算，以及由犯错误的概率计算参数的范围，属综合中档题. 20.已知函数21()ln 2f x x m x =-，2()(1)g x x m x =-+，m ∈R . （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 的切线经过点(2,1)A ，求m 的值； （2）当m 1≥时，求函数()()()F x f x g x =-的零点的个数. 【答案】（1）12m =（2）有且只有一个零点 【解析】 【分析】（1）求导，可得含参数m 的切线方程，根据切线过点的坐标满足切线方程，即可求得m ； （2）求()F x 求导，利用导数研究函数单调性，同时对参数进行分类讨论，即可得到()F x 的零点个数.【详解】（1）由题知切点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，又由21()ln 2f x x m x =-得()m f x x x '=-，所以切线的斜率(1)1k f m '==-，切线方程为1(1)(1)2y m x -=--， 把点(2,1)A 代入切线方程， 解得12m =. （2）21()(1)ln 2F x x m x m x =-++-，定义域(0,)+∞，所以2(1)(1)()()(1)m x m x m x x m F x x m x x x-++--'=-++-=-=-. ①当1m =时，2(1)()x F x x-'=-，有()0F x '≤在(0,)+∞恒成立，()F x 在(0,)+∞上单调递减，此时21()2ln 2F x x x x =-+-，其中3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，所以函数()F x 有且只有一个零点.②当1m 时，易知当(1,)x m ∈时，有()0F x '>，()F x 单调递增； 当(0,1)x ∈或(,)x m ∈+∞时，有()0F x '<，()F x 单调递减. 其中1(1)02F m =+>， 令2001(1)02x m x -++=解得022x m =+或00x =（舍去）， 所以(22)ln(22)0F m m m +=-+<， 所以函数()F x 有且只有一个零点.综上所述，当m 1≥时，函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点.【点睛】本题考查导数的及意义，以及利用导数研究函数零点个数的问题，涉及分类讨论，属综合中档题.21.在平面直角坐标系xOy 中，一个动圆经过点(1,0)F 且与直线1x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）过点(4,0)C 作直线交曲线E 于A ，B 两点，问曲线E 上是否存在一个定点P ，使得点P 在以AB 为直径的圆上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2:4E y x =（2）存在；定点(0,0)P 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义，即可求得轨迹方程；（2）设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，结合PA PB ⊥，即可恒成立问题，即可求得P 点坐标.【详解】（1）由题意，圆心到点(1,0)F 的距离与到直线1x =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程是2:4E y x =. （2）因为过点(4,0)C 的直线交曲线E 于A ，B 两点，所以可设直线方程为4x my =+，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭， 由244x my y x=+⎧⎨=⎩整理得24160y my --=， 216640m ∆=+>，124y y m +=，1216y y =-，假设存在定点200,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，显然01y y ≠且02y y ≠， 则PA PB ⊥，即0PA PB ⋅=.因为221010,44y y PA y y ⎛⎫=--⎪⎝⎭，222020,44y y PB y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()()()()()()102010201020160y y y y y y y y y y y y --+++--=， 即()()()()()()102010201020160y y y y y y y y y y y y --+++--=， 因为10y y ≠且20y y ≠，所以()()1020160y y y y +++=， 即()2120120160y y y y y y ++++=，所以200164160my y -+++=，即20040y my +=，上式要恒成立，所以00y =，即定点(0,0)P . 综上所述，存在定点(0,0)P 满足题意.【点睛】本题考查由抛物线定义求抛物线方程，以及抛物线中定点的寻求，属综合中档题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-.（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且111||||OA OB +=，求p 的值. 【答案】（1）(R)θαρ=∈；22(0)2p y p x p ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭（2）2p = 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可求得直线的普通方程，再化简为直角方程即可；利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，即可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）联立直线的极坐标方程和曲线的极坐标方程，求得,OA OB ，代值计算即可.【详解】（1）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），得当2πα=时，直线l 的普通方程是0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=； 当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=，直线l 过原点、倾斜角为α，其极坐标方程为θα=和θαπ=+.综上所述，直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<， 也可以写成(R)θαρ=∈. 由(0)1cos pp ρθ=>-，得cos p ρρθ-=，又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以222()x y x p +=+，整理得22(0)2p y p x p ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭. （2）设()11,A ρθ，(),B ρθ22，解方程组1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩，得11cos p ρα=-，即||1cos p OA α=-； 解方程组1cos p θαπρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩，得21cos p ρα=+，即||1cos p OB α=+. 所以111cos 1cos 2||||OA OB p p pαα-++=+=， 又已知111||||OA OB +=，所以2p =. 【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程之间的转化，极坐标方程和普通方程之间的转化，以及利用极坐标求解距离问题，属综合中档题. 23.已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=. （1（2）证明：1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c .【答案】（1；（2）见解析 【解析】 【分析】（12≤（12+12+12）（a +b +c ）＝3，即可得出结论． （2）将1a b c ++=代入所证等式的左边，利用基本不等式，证得结论. 【详解】（1）2≤（12+12+12）（a +b +c ）＝3，+当且仅当13a b c ===（2）111111111++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c a b c a b c a b c a b c28+++=⋅⋅⋅=b c a c a bbc a b c当且仅当13a b c===取“=”【点睛】本题考查了基本不等式与柯西不等式的应用，利用柯西不等式时，关键是如何凑成能利用一般形式的柯西不等式的形式，属于中档题．。

§10.2统计及统计案例挖命题【考情探究】分析解读从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义、频率分布直方图、平均数、方差的计算、识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的竖直方向的长度=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.破考点【考点集训】考点一抽样方法1.(2018山东烟台11月联考,4)《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号,根据该次比赛的成绩,按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为()A.2B.4C.5D.6答案B2.(2018宁夏银川一中月考,4)用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本,将300名学生从1~300编号,按编号顺序平均分组.若第16组应抽出的号码为232,则第一组中抽出的号码是()A.5B.6C.7D.8答案C考点二统计图表1.(2018四川达州模拟,4)某8人一次比赛得分的茎叶图如图所示,这组数据的中位数和众数分别是()A.85和92B.87和92C.84和92D.85和90答案B2.(2017河南新乡第一次调研,3)统计新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿体重在(2700,3000]克内的频率为()A.0.001B.0.1C.0.2D.0.3答案D考点三样本的数字特征1.(2018湖北华师一附中月考,3)某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况,将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图,则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为()A.4B.3C.2D.1答案B2.(2018山东济南一模,3)已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为,方差为s2,则()A.=4,s2<2B.=4,s2>2C.>4,s2<2D.>4,s2>2答案A考点四变量间的相关性1.(2018河南焦作四模,3)已知变量x和根据上表可得回归直线方程为=x-0.25,据此可以预测当x=8时,=()A.6.4B.6.25C.6.55D.6.45答案C2.(2018湖南张家界三模,4)已知变量x,y之间的线性回归方程为=-0.7x+10.3,且变量x,y之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误．．的是()A.变量x,y之间成负相关关系B.可以预测,当x=20时,=-3.7C.m=4D.该回归直线必过点(9,4)答案C考点五独立性检验1.(2017江西九校一模,7)随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,附表:由K2=-算得,K2=-≈9.616,参照附表,得到的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”答案C(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”?(2)已知在被调查的北方学生中有5名中文系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品附:K2=-.解析(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算,得K2=-=≈4.762.由于4.762>3.841,所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.(2)从5名中文系学生中任取3人的所有可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)},其中a i表示喜欢甜品的学生,i=1,2,b j表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3.Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A={(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}.事件A由7个基本事件组成,因而P(A)=.炼技法【方法集训】方法1解与频率分布直方图有关问题的方法1.(2016山东,3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56B.60C.120D.140答案D2.(2017江苏南京调研,3)为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速,所得数据均在区间[40,80]内,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的200辆汽车中,时速在区间[40,60)内的汽车有辆.答案80方法2样本的数字特征的求解及其应用1.(2015山东,6,5分)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A.①③B.①④C.②③D.②④答案B2.(2018四川德阳模拟,13)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(10分制)的频数分布直方图如图所示,如果得分的中位数为a,众数为b,平均数为c,则a、b、c中的最大者是.答案c方法3回归直线方程的求解与运用1.(2017安徽合肥一中等四校联考,6):根据上表可得回归方程=x+中的为9.4,据此估计,广告费用为7万元时销售额为()A.74.9万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元答案A2.(2018湘东五校12月联考,18)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验. (1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月数据的概率;(2)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据求出y关于x的线性回归方程=x+;(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?参考公式:=--=---,=-;参考数据:11×25+13×29+12×26+8×16=1092,112+132+122+82=498.解析(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的,其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种,所以P(A)==.(2)由数据求得=11,=24,由公式求得=,则=-=-,所以y关于x的线性回归方程为=x-.(3)由(2)知,当x=10时,=,-<2,当x=6时,=,-<2,所以,该小组所得线性回归方程是理想的.方法4独立性检验的思想方法1.(2018山西太原五中12月模拟,18)网购是当前民众购物的新方式,某公司为改进营销方式,随机调查了100名市民,统计其周平均网购的次数,并整理得到如下的频数直方图.这100名市民中,年龄不超过40岁的有65人.将所抽样中周平均网购次数不少于4次的市民称为网购迷,且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.(2)现将所抽取样本中周平均网购次数不少于5次的市民称为超级网购迷,且已知超级网购迷中有2名年龄超过40岁,若从超级网购迷中任意挑选2名,求至少有1名市民年龄超过40岁的概率.附:K2=-.K2=-≈3.297,因为3.297>2.706,所以据此列联表判断,在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为网购迷与年龄不超过40岁有关.(2)由频数分布直方图知,超级网购迷共有10人,记其中年龄超过40岁的2名市民为A、B,其余8名市民记为c、d、e、f、g、h、m、n,现从10人中任取2人,基本事件有AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、Am、An、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Bm、Bn、cd、ce、cf、cg、ch、cm、cn、de、df、dg、dh、dm、dn、ef、eg、eh、em、en、fg、fh、fm、fn、gh、gm、gn、hm、hn、mn,共有45种,其中至少有1名市民年龄超过40岁的基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、Am、An、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Bm、Bn,共17种,故所求的概率P=.2.(2017江西红色七校第一次联考,18)某学校为了了解学生使用手机的情况,分别在高一和高二两个年级中各随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频数分布表和频率分布直方图,将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”.高二年级的学生日均使用手机时间的频率分布直方图(1)将频率视为概率,估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大,请说明理由;(2)在对高二年级学生的抽查中,已知随机抽到的女生有55名,其中10名为“手机迷”.根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料,你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关附:K2=-,其中n=a+b+c+d.解析(1)估计高一年级的学生是“手机迷”的概率大.理由:由频数分布表可知,高一年级的学生是“手机迷”的概率为=0.26,由频率分布直方图可知,高二年级的学生是“手机迷”的概率为(0.0025+0.010)×20=0.25,因为0.26>0.25,所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大.(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“手机迷”有(0.010+0.0025)×20×100=25人,“非手机迷”有100-25=75人.2×2列联表如下:将2×2列联表中的数据代入公式计算,得K2=-=≈3.030.因为3.030>2.706,所以有90%的把握认为“手机迷”与性别有关.过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一抽样方法(2018课标全国Ⅲ,14,5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.答案分层抽样考点二统计图表1.(2018课标全国Ⅰ,3,5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案A2.(2017课标全国Ⅲ,3,5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳答案A3.(2015课标Ⅱ,3,5分)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案D4.(2018课标全国Ⅰ,19,12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解析(1)(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).考点三样本的数字特征1.(2017课标全国Ⅰ,2,5分)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数答案B2.(2014课标Ⅰ,18,12分),由测量结果得如下频数分布表:(1)作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?解析(1)频率分布直方图如图.(2)质量指标值的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.质量指标值的样本方差为s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.考点四变量间的相关性1.(2017课标全国Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件,并经计算得=x i=9.97,s=-=-≈0.212,-≈18.439,(x i-)(i-8.5)=-2.78,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ii)在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(x i,y i)(i=1,2,…,n)的相关系数--r=.--≈0.09.--解析(1)由样本数据得(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=--=-≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(-3s,+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查. (ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为×(16×9.97-9.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09.2.(2016课标全国Ⅲ,18,12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:y i=9.32,t i y i=40.17,-=0.55,≈2.646.参考公式:相关系数r=----,回归方程=+t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:=---,=-.解析(1)由折线图中数据和附注中参考数据得=4,(t i-)2=28,-=0.55,(t i-)(y i-)=t i y i-y i=40.17-4×9.32=2.89,r≈≈0.99.(4分)因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(6分)(2)由=≈1.331及(1)得=---=≈0.10,=-=1.331-0.10×4≈0.93.所以y关于t的回归方程为=0.93+0.10t.(10分)将2016年对应的t=9代入回归方程得:=0.93+0.10×9=1.83.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.83亿吨.(12分)考点五独立性检验1.(2018课标全国Ⅲ,18,12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高,并说明理由;(2)求40m的工人数填入下面的列联表;(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=-,.解析(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知m==80.列联表如下:(3)由于K2=-=10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.2.(2017课标全国Ⅱ,19,12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,估计A的概率;(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.附:,K2=-.解析(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.因此,事件A的概率估计值为0.62.K2=-≈15.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一抽样方法1.(2015湖南,2,5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()A.3B.4C.5D.6答案B2.(2017江苏,3,5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.答案18考点二统计图表1.(2015湖北,14,5分)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a=;(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为.答案(1)3(2)60002.(2017北京,17,13分)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解析(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×=20.(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60×=30.所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.考点三样本的数字特征1.(2017山东,8,5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为()A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7答案A2.(2018江苏,3,5分)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为.8999011答案903.(2016江苏,4,5分)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.答案0.1考点四变量间的相关性1.(2015湖北,4,5分)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y正相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y负相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关答案C2.(2015重庆,17,13分)(年底余额)如下表:(1)求y关于t的回归方程=t+;(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.附:回归方程=t+中,=--=-.解析(1)列表计算如下:这里n=5,=t i==3,=y i==7.2.又l tt=-n=55-5×32=10,l ty=t i y i-n=120-5×3×7.2=12,从而===1.2,=-=7.2-1.2×3=3.6,故所求回归方程为=1.2t+3.6.(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).考点五独立性检验1.(2014江西,7,5分)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是()A.成绩B.视力C.智商D.阅读量答案D2.(2014安徽,17,12分)某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率;(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附:K2=-解析(1)300×=90,所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:结合列联表可算得K2=-=≈4.762>3.841.所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.C组教师专用题组考点一抽样方法1.(2015湖北,2,5分)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石答案B。

2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（3）文科数学本试题卷共5页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，∴，∴．选C．2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由已知有，因为，所以在第三象限，所以，，故表示的复数在复平面中位于第三象限，选C．3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则途中直角三角形中较大锐角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设小正方形的边长为，直角三角形的直角边分别为，，，由几何概型可得，解得，（舍），所以直角三角形边长分别为，，，直角三角形中较大锐角的正弦值为，选B．4．下列命题中：①“”是“”的充分不必要条件②定义在上的偶函数最小值为5；③命题“，都有”的否定是“，使得”④已知函数的定义域为，则函数的定义域为．正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①或，所以“”是“”的充分不必要条件；②因为为偶函数，所以，因为定义区间为，所以，因此最小值为5；③命题“，都有”的否定是“，使得”；④由条件得，，；因此正确命题的个数为①②④，选C．5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（）A．90，86B．94，82C．98，78D．102，74【答案】C【解析】执行程序：，，；，，；，，；，，，故输出的，分别为，．故选：C．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，∴该几何体的体积是，故选：D．7．已知实数，满足：，则的最大值（）A．8B．7C．6D．5【答案】D【解析】根据不等式组画出可行域是封闭的四边形区域，对目标函数进行分类，当时，令，，这时可行域为直线下方的部分，当目标函数过点时有最大值．当时，令，，这时可行域为直线上方的部分，这时当目标函数过点时有最大值，代入得到最大值为．故答案为：D．8．设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将的图象向右平移个单位后对应的函数为，∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，所以有，即，又，，故，故选A．9．已知函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据导函数与原函数的关系可知，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，由图象可知：当时，函数的图象在图象的下方，满足；当时，函数的图象在图象的下方，满足；22222正视图侧视图俯视图所以满足的解集为或，故选D ．10．若正项递增等比数列满足，则的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．4【答案】D 【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为，选D ．11．设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】取线段中点，设在底面的射影为，连接，，设，则，设，则正三棱锥的表面积，由体积得，，，，，，，选D ．12．已知，若函数恰有三个零点，则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，可知函数在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，如下图，，，，令，则，因为要有三个零点，∴有解，设为，，由，根据图象可得：当时，，，符合题意，此时，当时，可求得，不符合题意．综上所述，，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．向量，满足，，与的夹角为，则________．【答案】【解析】由可得，即，代入可得，整理可得，解得，故答案为．14．抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为____________．【答案】【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于这点到准线的距离，即．所以周长，填．15．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则面积的最大值为________．【答案】【解析】由已知有，，(1)q g x 2t 1210t t 12t t 124e t 222e44et 22214e+e4kt t 12240,et t 12241et t由于，，又，则，，当且仅当时等号成立．故面积的最大值为．16．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于(、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长)．已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为，则双曲线的通径为__________．【答案】【解析】如图所示：连接，由双曲线的定义知，，当且仅当，，三点共线时取得最小值，此时，由到直线的距离，，由定义知通径等于，故答案为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．设是数列的前项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，∴当时，，得；····1分当时，，∴当时，，即，····3分又，····4分∴是以为首项，为公比的等比数列．····5分∴数列的通项公式为．····6分（2）由（1）知，，····7分，····8分当为偶数时，；····10分当为奇数时，，∴．····12分18．2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：年龄段人数（单位：人）180********约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众．（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事．完成下列列联表，并回答能否有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年12中年5总计30（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.841 5.024 6.63510.828．【答案】（1），；（2）列联表见解析，没有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；（3）．【解析】（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人····2分（2）列联表如下：热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年61218中年7512总计131730····4分，····6分∴没有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关．····7分（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为，，，，其余两人记为，，则从中选两人，一共有如下15种情况：，，，，，，，，，，，，，，，····10分抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，····11分所以．····12分19．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，平面平面，，，在棱上运动．（1）当在何处时，平面；（2）已知为的中点，与交于点，当平面时，求三棱锥的体积．【答案】（1）当为中点时，平面；（2）．【解析】（1）如图，设与相交于点，当为的中点时，平面，····2分证明∵四边形是菱形，可得：，又∵为的中点，可得：，∴为的中位线，····3分可得，····4分又∵平面，平面，∴平面．····6分（2）为的中点，，则，又，，且，又，．．．····9分又，点为的中点，到平面的距离为．····11分．····12分20．在平面直角坐标系中，点，圆，点是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线（斜率存在）与曲线相交于，两点，且存在点（其中，，不共线），使得被轴平分，证明：直线过定点．B【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，，圆的半径为，依题意有：，····1分····3分故点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即，，．故点的轨迹的方程为．····5分（2）令，，因，，不共线，故的斜率不为0，可令的方程为：，则由，得则，①····7分被轴平分，，即，亦即②····8分而代入②得：③····9分①代入③得：····10分∵直线的斜率存在，∴，∴，此时的方程为：，过定点，综上所述，直线恒过定点．····12分21．设函数．（1）讨论的单调性；（2）设，当时，，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）由题意得，．····1分当时，当，；当时，；∴在单调递减，在单调递增····2分当时，令得，，①当时，，；当时，；当时，；所以f(x)在，单调递增，在单调递减····3分②当时，，所以在单调递增····4分③当时，，；当时，；当时，；∴在，单调递增，在单调递减．····5分（2）令，有．····6分令，有，当时，，单调递增．∴，即．····7分①当，即时，，在单调递增，，不等式恒成立····9分②当，时，有一个解，设为根．∴有，，单调递减；当时，；单调递增，有．∴当时，不恒成立；····11分综上所述，的取值范围是．····12分l（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线．（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；（2）若直线（为参数）与，相交于，两点，且，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）的普通方程为，把，代入上述方程得，，∴的方程为，令，，所以的极坐标方程为；····5分（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，由，得，由，得，所以，∴，而，∴或．····10分23．选修4-5：不等式选讲已知函数，．（1）当时，若的最小值为，求实数的值；（2）当时，若不等式的解集包含，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或．····5分（2）当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是．····10分。

上饶市2020届第三次高考模拟考试数学（文科）试题卷1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题的，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}4U x N x *=∈≤，集合{}1,4A =，{}2,4B =，则()UA B =（ ）A. {}1,2,3B. {}1,2,4C. {}1,3,4D. {}2,3,4【答案】A 【解析】 【分析】由已知中全集{}{}{}|4,1,4,2,4U x N x A B *=∈≤==，根据补集的性质及运算方法，先求出A B ，再求出其补集，即可求出答案.【详解】全集{}*4U x N x =∈≤，集合{}1,4A =，{}2,4B =，{}4A B ∴⋂=， (){}1,2,3U C A B ∴⋂=，故选：A.【点睛】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键.2.已知i 为虚数单位，复数()43z i i =+，则z =（ ） A. 4 B. 5 C. 16 D. 25【答案】B 【解析】【分析】先化简复数为a bi +的形式，再求复数的模. 【详解】()=4433z i i i -++=,故()22453z =+=-.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算,考查复数的模的运算,属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a bi +的形式,再根据题意求解.3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3240a S +=，则10a =（ ） A. 512- B. 512 C. 1024 D. 1024-【答案】A 【解析】 【分析】由于212S a a =+,则()23211144=0a S a q a a q +=++,11a =代入即可求得结果.【详解】1321,40a a S =+=.()211140a q a a q ∴++=.2440q q ∴++=.解得:2q =-.199101(2)512a a q ∴=⋅=⋅-=-.故选:A【点睛】本题考查等比数列通项公式的基本量的计算,属于基础题. 4.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点44(sin,cos )33P ππ，则tan α=（ ） A. 33 C. 3-3【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算可得答案. 【详解】因为43sinsin 33ππ=-=41cos cos 332ππ=-=-,所以点31)2P ,所以1323a 2t n α-==-.故选:D.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,考查了利用三角函数的定义求角的三角函数值,属于基础题.5.已知,a b ∈R ，则“a b >”是“1ab>”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，举特例判断可得； 【详解】解：当1a =-，2b =-时，a b >，但112a b =<；当2a =-，1b =-时，1ab >，但a b <；综上，“a b >”是“1ab>”的既不充分也不必要条件，故选：D. 【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断，属于基础题.6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若()1a f =-，142log b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.32c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. a c b <<C. b c a <<D.a b c <<【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性可得，距离y 轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，所以可知距离y 轴近的点，对应的函数值较小；2221log log 224-==-，0.30221>=且0.31222<=，所以b c a >>，故选B.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养. 7. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A. 甲地：总体均值为3，中位数为4 B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体均值为2，总体方差为3 【答案】D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差8.关于函数()2sin(3)13f x x π=-+的图象向右平移12π个单位长度后得到()y g x =图象，则函数()g x 有（ ） A. 最大值为2 B. 最小正周期为πC. 图象关于直线1336x π=对称 D. 为奇函数【答案】C 【解析】【分析】先根据图象的平移变换得7()2sin(3)112g x x π=-+,再根据()g x 的解析式及正弦型函数的性质,可得答案.【详解】依题意可得()2sin[3()]1123g x x ππ=--+72sin(3)112x π=-+ 所以()g x 的最大值为3,最小正周期为23π,当1336x π=,131336367()2sin(3)1=2sin 1=3122g ππππ=⋅-++,所以图象关于直线1336x π=对称,()g x 既不是奇函数也不是偶函数. 故选:C【点睛】本题考查了函数图象的平移变换,考查了正弦型函数的最值,周期性,对称性和奇偶性,属于基础题.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A. 47a =B. 16240S =C. 1019a =D.20381S =【答案】D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【详解】当2n 时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+． 所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩，所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10.过双曲线22148x y -=的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，则满足8AB =的直线可作的条数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】先看当,A B 都在右支上时,若AB 垂直x 轴,根据双曲线方程求得焦点的坐标,把焦点横坐标代入双曲线方程求得交点的纵坐标,进而求得AB 的长等于8,即为垂直于x 轴的一条;再看若,A B 分别在两支先看,A B 为两顶点时,不符合题意进而可推断出符合题意的直线有两条,最后综合可得答案.【详解】解：①若,A B 都在右支,若AB 垂直x 轴, 2224,8,12a b c ===,所以(23,0)F则:23AB x =代入双曲线 22148x y -=,求得4y =±,所以128AB y y =-=所以||8AB =的直线有一条,即垂直于x 轴;②若,A B 分别在两支,2a =,所以顶点距离为2248+=<，所以||8AB =有两条,关于x 轴对称.综上,满足这样的直线l 的条数为3条. 故选:C.【点睛】本题主要考查了双曲线的对称性和直线与双曲线的关系,考查了学生分析推理和分类讨论思想的运用.11.圆222220x y x y ++--=上到直线:20l x y ++=距离为3的点共有（ ）个 A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论. 【详解】圆222220x y x y ++--=可化为22(1)(1)4x y ++-=, 所以圆心为(1,1)-,半径r 为2,圆心(1,1)-到直线:20l x y ++=的距离为:|112|111d -++==+,所以12d r =,=3d r +. 所以圆222220x y x y ++--=上到直线:20l x y ++=的距离为3的点共有1个.故选: A【点睛】本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于基础题. 12.已知1()x f x e+=与22()(21)4e g x x x =++有相同的公切线:l y kx b =+，设直线l 与x轴交于点()0,0P x ，则0x 的值为（ ） A. 1 B. 0 C. eD. e -【答案】B 【解析】 【分析】 分别对1()x f x e+=与22()(21)4e g x x x =++求出导函数,分别设切点为()111,x A x e +，()22222,214e B x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据导数的几何意义分别写出切线方程,因为1()x f x e +=与22()(21)4e g x x x =++有相同的公切线,对应系数相等即可求得12,x x ,写出切线方程即可得解.【详解】1()x f x e+=的导数为1()x f x e+'=,22()(21)4e g x x x =++的导函数为2()(1)2e g x x '=+,设1()x f x e+=上切点()111,x A x e +,可得切线方程为()11111x x y ee x x ++-=-即:()111111x x y e x e x ++=+-,设22()(21)4e g x x x =++上的切点()22222,214e B x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,可得切线方程为: ()()()222222221142e e y x x x x x -++=+-,即()()222221124e e y x x x =++-+,两函数有公切线,即令上述两切线方程相同,则有: ()()()112122121212114x x e e x e e x x ++⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,化简可得: 2121x x =-,代入()121212x e ex +=+,即可求得121,1x x == ∴切线方程为: 2y e x =.直线l 与x 轴交于点()0,0P x ，则0x 的值为0.故选:B.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查过切点的切线方程,考查学生分析问题的能力和计算求解的能力,属于难题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答．第（22）题-第（23）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分． 13.函数()2ln f x x x =+在1x =处的切线斜率为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】先对函数()2ln f x x x =+求导，然后当1x =时，求出()1f '即可. 【详解】因为()2ln f x x x =+，所以()12f x x'=+，所以()13f '=，所以函数()2ln f x x x =+在1x =处的切线斜率为3.故答案为：3【点睛】本题主要考查导数的几何意义，解题的关键是明确切线的斜率与导数的关系. 14.抛物线24y x =-的准线方程为________________. 【答案】116y = 【解析】 解：由22114416y x x y y y -=-⇔=∴=焦点在轴上，准线方程为 15.已知向量(1,1)a =,(2,)b m =,若()a a b ⊥-,则实数m =__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由()a a b ⊥-得()0⋅-=a a b ，化简求解即可. 【详解】(1,1m)a b -=--，由()a a b ⊥-得()11a a b m ⋅-=-+-0m =-=，得0m =【点睛】本题考查向量四则运算，属于简单题.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为________；该六面体内有一球，则该球体积的最大值为________．【答案】 (1). 63 (2).646729π【解析】【分析】求出一个正三角形的面积乘以6即为所求六面体的表面积；取该六面体的一半记为正四面体S ABC-，取BC中点为D，连接SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，当六面体内的球体积最大时球心为O且该球与SD相切，过球心作OE SD⊥，则OE就是球半径，求出OE 代入球体体积计算公式即可得解.【详解】一个正三角形面积为1322322⨯⨯⨯=，该六面体是由六个边长为2的正三角形构成的，所以面积为63；该六面体也可看成由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为2，如图，在棱长为2的正四面体S ABC-中，取BC中点为D，连接SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，则22213AD SD==-=1333OD AD==，2226SO SD OD=-=，当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心作OE SD⊥，则OE就是球半径，因为SO OD SD OE⨯=⨯，所以球半径26326333SO ODR OESD⨯====，所以该球体积的最大值为：34266463V ππ=⨯⨯=⎝⎭. 故答案为：3646729π【点睛】本题考查多面体的表面积、球体体积、球与多面体内切外接问题，属于中档题. 三、解答题：（共70分）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足cos 12cos a c AC+=-． （1）若6b c ==，求ABC 的面积S ； （2）若23B π=，7b =，求a ． 【答案】（1）93（2）5a = 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边化角得()()sin 2cos sin 1cos A C C A -=+，进一步化简得2sin sin sin A C B =+，再由正弦定理进行角化边即可求得a ，推出三角形为等边三角形，代入三角形面积公式即可得解；（2）由（1）得27c a =-，再利用23B π=及余弦定理即可求得a .【详解】（1）因为cos 12cos a c A C+=-，所以()()sin 2cos sin 1cos A C C A -=+， 2sin sin cos sin sin cos A A C C C A -=+，2sin sin sin cos cos sin sin sin A C A C A C C B =++=+，由正弦定理得2a c b =+，若6b c ==，则6a =，ABC 是等边三角形，所以1166sin 9322sin 3b C S a π==⋅⋅⋅=． （2）因为7b =且2ac b =+，所以27c a =- 又23B π=，由余弦定理可得22222492cos 3a c ac a c ac π=+-⋅=++， 所以2249(27)(27)a a a a =+-+-，解得5a =，0a =（舍去）．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.18.某学校高三年级为了解学生在家参加线上教学的学习情况，对高三年级进行了网上数学测试,他们的成绩在80分到150分之间,根据统计数据得到如下频率分布直方图：若成绩在区,[)x s x s -+左侧，认为该课潜能生”，成绩在区间,[)x s x s -+之间，认为该课中等生”，成绩在区间,[)x s x s -+右侧，认为该课优等生”．（1）若小明的测试成绩为100分，请判断小明是否属于“网课潜能生”，并说明理由：（参考数据：计算得15s ≈）（2）该校利用分层抽样的方法从样本的[)80,90，[)90,100两组中抽出6人，进行教学反馈，并从这6人中再抽取2人，赠送一份学习资料，求获赠学习资料的2人中恰有1人成绩超过90分的概率．【答案】（1）是，见解析（2）815【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图,结合平均数的求法即可求得116.5x =,则101.5x s -=，131.5x s +=,由已知即可得解.(2) 由[)80,90,[)90,100的频率之比为1:2,根据分层抽样可知[)80,90抽取2人，[)90,100抽取4人, 设从[)80,90抽取的2人为1a ，2a ，从[)90,100抽取的4人为1b ，2b ，3b ，4b ，则随机抽取2人,列出基本事件,即可求得概率. 【详解】（1）可求得850.05950.11050.151150.31250.21350.151450.05=116.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯﹒15s =，101.5x s -=，131.5x s +=“网课潜能生”在101.5的左侧，“网课学优生”在131.5右侧．故小明属于“网课潜能生”． （2）由分层抽样[)80,90抽取2人，[)90,100抽取4人， 设从[)80,90抽取的2人为1a ，2a ，从[)90,100抽取的4人为1b ，2b ，3b ，4b ，则随机抽取2人， 赠送一份学习资料的基本事件有()()()()()()()()()121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b a b a b ()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,b b b b b b b b b b b b 共15种，其中满足恰有1人成绩超过90分共8种，所以所求概率为815P =． 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算,考查了古典概型概率的计算,考查学生数据处理能力与计算能力,属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PAD △是正三角形，且E 为AD 的中点，F 为PE 的中点，BE ⊥平面PAD ．(1)证明：平面PBC ⊥平面PEB ， (2)求点P 到平面BCF 的距离． 【答案】(1)见解析；(2)155. 【解析】 【分析】(1)要证平面PBC ⊥平面PEB ，只需证BC ⊥平面PEB 即可，故可证BC BE ⊥，BC PE ⊥；(2)因为F 为PE 中点，所以点P 到平面BCF 的距离与E 到平面BCF 的距离相等，利用等体积法，由F BCE E BCF V V --=，即可求出点P 到平面BCF 的距离． 【详解】(1)因为BE ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AD BE ⊥， 又PAD △是正三角形，E 为AD 的中点，所以AD PE ⊥， 又因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，所以BC BE ⊥，BC PE ⊥，又PE BE E ⋂=，,PE BE ⊂平面PEB ， 所以BC ⊥平面PEB ，又因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PEB ．(2)因为F 为PE 中点，所以点P 到平面BCF 的距离与E 到平面BCF 的距离相等， 即求E 到平面BCF 的距离相等，由F BCE E BCF V V --=，得1133BCEBCFEF h SS =⋅⋅，即1131115(23)2322322h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⋅，解得155h =即点P 到平面BCF 15． 【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理，等体积法求点到面的距离，属于中档题.在求点到面的距离时，若直接作高存在困难，则可以考虑等体积法完成，利用等体积法也很难完成时，可考虑辅助截面法，直接作点到平面的距离或利用线面平行的性质完成. 20.已知函数()ln f x x x =． （1）求()f x 的极值（2）作直线x t =与函数()()ef x g x x=，()1h x x =+的图像分别交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若对任意0t >，存在[]01,1x ∈-使得不等式021202xay y x e -≥-成立，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值1e-，无极大值；（2）2a ≥-. 【解析】 【分析】（1）先求出()ln 1f x x '=+，然后利用单调性分析函数的极值即可； （2）若对任意0t >，存在[]01,1x ∈-使得不等式021202xay y x e -≥-成立等价于等价于0212min 0min ||()2x a y y x e -≥-恒成立，也即02min 0min |1ln |()2x a x e x x e +--≥恒成立，分别令 ()1ln k x x e x =+-，2()2x am x x e =-，利用导数研究函数的最小值，进而得到不等式即可得解.【详解】（1）()ln f x x x =，所以()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，ln 10x +>，解得1x e>， 令()0f x '<，ln 10x +<，解得10x e<<， 则()ln f x x x =在1x e=处取到极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值；（2）若对任意t R ∈，存在0[1,1]x ∈-使得不等式021202xay y x e -≥-成立， 等价于0212min 0min ||()2xay y x e -≥-， )(n )l (ef x g xx x e ==，12min min |1ln |y y x e x -=+-， 令()1ln k x x e x =+-，()1e x e k x x x-'=-=， 可知当x e =时，()k x 取最小值()1k e =， 令2()2xa m x x e =-，2()2(2)x x xm x xe x e e x x '=+=+， 可知当0x =时，()m x 取最小值(0)2a m =-， 所以12a≥-，即2a ≥-．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和最值，考查逻辑思维能力和运算能力，考查转化能力，属于高考常考题型.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F 、2F 是左右焦点，且122F F =，P 在椭圆C 上且124PF PF +=． （1）求椭圆C 的方程：（2）过右焦点2F 直线交椭圆于点B ，C 两点，A 为椭圆的左顶点，若10FC AB ⋅=，求直线AB 的斜率k 的值．【答案】（1）22143x y +=；（2）612k =±. 【解析】 【分析】（1）易得1c =，2a =，再根据a ，b ，c 的关系求得b ，最后写出椭圆的方程即可； （2）设直线AB 的方程()2y k x =+，与椭圆的方程联立可得：2222(34)1616120k x k x k +++-=，由韦达定理得221612234A B B k x x kx -⋅=-=+，进而可得2228612(,)3434k k B k k-+++，直线2BF 的方程24(1)14k y x k =--，直线1CF 的方程1(1)y x k =-+， 可求得()281,8C k k --，又点C 在椭圆上，得()22281(8)143k k --+=，解方程即可得解.【详解】（1）122F F =，所以椭圆的22c =，1c =， 根据椭圆的定义：124PF PF +=， 所以24a =，2a =，∴2a =． 又∵1c =，∴3b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设直线AB 的方程():2AB l y k x =+，由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：2222(34)1616120k x k x k +++-=，∴221612234A B B k x x kx -⋅=-=+， ∴228634B k x k -+=+，∴212(2)34B Bk y k x k =+=+， ∴2228612(,)3434k kB k k-+++， 若12k =，则3(1,)2B ，3(1,)2C -， 1(1,0)F -，∴134CF k =-，则1F C 与AB 不垂直； 同理12k =-也不成立，∴12k ≠±， ∵()21,0F ，22414BF k k k =-，11CF k k=-， ∴直线2BF 的方程224:(1)14BF kl y x k =--，直线1CF 的方程11:(1)CF L y x k=-+ 由24(1)141(1)k y x k y x k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-+⎪⎩，解得2818x k y k ⎧=-⎨=-⎩，∴()281,8C k k --， 又点C 在椭圆上，得()22281(8)143k k --+=，即()()22241890k k -+=，即2124k =，6k =±． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目必须与所涂题目一致，并在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知直线l 的参数方程为315415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知()1,1P -，求11PA PB+的值. 【答案】（1）24y x =，4370x y --=；（2437. 【解析】 【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式化简求解即可；（2）联立直线的参数方程与曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，利用韦达定理和参数t 的几何意义求解即可.【详解】（1）因为直线l 的参数方程为315415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，可得直线l 的普通方程为4370x y --=， 因为曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=， 即22sin 4cos ρθρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）将直线的参数方程315415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入24y x =，得21643025t t --=， 设1PA t =，2PB t =，则12254t t +=，127516t t =-， 所以12121212121111t t t t t t t t t P P t A B +-=+==+()21212124437t t t t t t +-==.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式和利用直线的参数方程中参数t 的几何意义进行求值；考查运算求解能力和转化与划归能力；属于中档题、常考题型. 23.已知()121f x x x =+--，其中a R ∈． （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若()2log f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}|02x x <<；（2）[22,)+∞. 【解析】 【分析】（1）()0f x >即121x x +>-，两边平方后去掉绝对值号后解不等式即可； （2）将()f x 化为分段函数后求得()f x 的最大值，由()2log f x a ≤恒成立可得：2log ()max a f x ≥，进而建立关于a 的不等式，从而得解.【详解】（1）由题意得121x x +>-，所以22121x x +>- 整理：220x x -<，解得02x <<， 故不等式解集{}|02x x <<；（2）由已知可得，()2log a f x ≥，2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩，可知12x =时，()f x 取得最大值32，所以23log 2a ≥，22a ≥ 所以实数a 的取值范围为[22,)+∞．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 -。

2020届第三次模拟考试文科数学试题参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑ 一、选择题（10小题，每小题5分，共50分） 1、设U R =，若集合{}|12M x x =-<≤，则U C M =A. (],1-∞-B. ()2,+∞C. ()[),12,-∞-⋃+∞D. (](),12,-∞-⋃+∞ 2、设i 为虚数单位，则复数343i i +为A.43i --B.43i -+C.i 4+3D.i 4-33．等比数列{}n a 中，21a =，864a =，则5a =A ．8B ．12C ．88-或D ．1212-或 4、下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上存在零点的是 A 、1y x=B 、lg ||y x =C 、x y e -=D 、21y x =-- 5．总体编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01 6．若如图所示的程序框图输出的S 是62，则在判断框 中M 表示的“条件”应该是A . 3n ≥B . 4n ≥C . 5n ≥D . 6n ≥7、在平面直角坐标系中，O （0,0），P （6,8），将向量OP uuu r按逆时针旋转2π后，得向量OQ uuu r ，则点Q 的坐标是A 、（－8，6）B 、（－6,8）C 、（6,－8）D 、（8，－6）8、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为第6题图A ．3y x =± B ． 32y x =±C ．33y x =±D ． 32y x =± 9、若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是A. [)3+∞，B. []83-，C. (],9-∞D. []89-，10、设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“倍约束函数”。

专题十计数原理【真题典例】10.1 排列、组合挖命题【考情探究】分析解读从近五年的考查情况来看,本节主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列、组合的应用,一般以选择题、填空题的形式单独考查或以古典概型为载体进行考查,有时也与概率问题相结合以解答题的形式呈现.主要考查学生的逻辑推理能力.破考点【考点集训】考点计数原理、排列、组合1.(2018四川德阳三校联考,7)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A.48B.72C.90D.96答案 D2.(2018广东中山一中第五次统测,7)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )A.85B.49C.56D.28答案 B3.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的游览线路有( )A.6种B.8种C.12种D.48种答案 D炼技法【方法集训】方法1 求解排列问题的常用方法1.(2018安徽合肥调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数,这样的四位数有( )A.250个B.249个C.48个D.24个答案 C2.(2017河南百校联考质检,7)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为( )A.60B.96C.48D.72答案 C3.(2017江西八所重点中学联合模拟,13)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整,要求其中恰有2人座位不调整,则不同的调整方案的种数为.(用数字作答)答案20方法2 分组、分配问题的求解策略1.(2018广东珠海模拟,7)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有( )A.480种B.360种C.240种D.120种答案 C2.(2017河南豫南九校2月联考,10)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有( )A.72种B.36种C.24种D.18种答案 B过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种答案 D2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B3.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个答案 C4.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案16B组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168答案 B2.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C3.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案12604.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答) 答案660C组教师专用题组1.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B2.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案 D3.(2014四川,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种答案 B4.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130答案 D5.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案15606.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C 不相邻,则不同的摆法有种.答案367.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案60【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019届广东肇庆第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有( )A.72种B.108种C.180种D.360种答案 C2.(2018河北唐山二模,6)用两个1,一个2,一个0可组成不同四位数的个数是( )A.18B.16C.12D.9答案 D3.(2018河南商丘二模,8)高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有( )A.×种B.×54种C.×种D.×54种答案 D4.(2017江西新余二模,9)2017年3月25日,中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C5.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( ) A.90种 B.180种 C.270种 D.360种答案 B6.(2018河南豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( )A.18种B.24种C.48种D.36种答案 B7.(2018山西长治二模,10)某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有( )A.22种B.24种C.25种D.36种答案 C二、填空题(每小题5分,共25分)8.(2019届河北衡水中学第一次摸底考试,15)由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有个.答案1209.(2019届山东青岛高三9月期初调研检测,15)将4个大小相同、颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有种.答案1010.(2019届河南开封10月定位考试,15)从5名学生中选出4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,乙只能参加数学竞赛,则不同的参赛方案种数为.答案3611.(2018山西太原第三次模拟,14)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有种(用数字作答).答案12012.(2017广东佛山二模,14)有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.答案12。

2020年高考数学（文）模拟试卷（新课标版）03注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟。

答题前，现将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷。

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{1,0,1,2,3}A =-，集合{}2|20B x x x =->，则R A B =I ð（ ）A ．{1,3}-B ．{0,1}C ．{0}D ．{0,1,2}【来源】2020届重庆市高三上学期期末测试卷文科数学（一诊康德卷) 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合B ，求出R C B ，按照交集的定义，即可求解. 【详解】{}2|20{|0B x x x x x =->=<或{}|22},0R x B x x C >=≤≤， R A B =I ð{0,1,2}.故选:D. 【点睛】本题考查交集、补集的混合运算，属于基础题.2．（5分）欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发xi 现的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，6i e π表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【来源】2020届内蒙古赤峰二中普通高等学校招生第三次统一模拟考试文科数学 【答案】A 【解析】 【分析】由cos sin ixe x i x =+可知当6x π=时,6=cossin66ii e πππ+,化简即可求得结果.【详解】Q cos sin ix e x i x =+,∴ 当6x π=时,61=cossin=+6622ie i i πππ+,∴6i e π表示的复数对应的点为12⎫⎪⎪⎝⎭在第一象限. 故选:A. 【点睛】本题考查复数与平面内点的对应关系,难度容易.3．（5分）给出下列三个命题：①“若0a b >>，则22a b >”的逆命题为假命题；②“21a ≥”是“函数()221f x x ax =++至少有一个零点”的充要条件；③命题“00,30x x R ∃∈≤”的否定是“,30x x R ∀∈>”.其中真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期一摸数学（文)试题 【答案】D 【解析】 【分析】对命题①，先求逆命题，再判断真假；对命题②，先将()221f x x ax =++至少有一个零点作等价转化，再结合充要条件判断；对命题③，结合命题的否定一般方法加以否定即可 【详解】对①，“若0a b >>时，则22a b >”的逆命题为：“若22a b >时，则0a b >>”，当3,2a b =-=时不成立，逆命题为假命题，说法正确； 对②，若函数()221f x x ax =++至少有一个零点，等价于0∆≥，即224401a a -≥⇒≥，故②为真命题；对③，存在命题的否定：存在改全称，“≤”改成“>”，故③为真命题 故真命题的个数为3个 故选：D 【点睛】本题考查命题真假的判断，属于基础题4．（5分）现将“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排列：若每一个“□”或“○”占1个位置，即上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是 “□”，则在第2017位之前（不含第2017位），“○”的个数为（ ） □,○,□,○,○,○,□,○,○,○,○,○,□,○,○,○,○,○,○,○L L A ．1970B ．1971C ．1972D ．1973【来源】2020届安徽省合肥二中高三下学期3月线上考试数学(文)试题 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，以“□,○”为第1组，“□,○,○,○,”为第2组，如此类推，发现规律，将问题转化为计算等差数列前n 项和，即可求得结果. 【详解】记“□,○”为第1组，“□,○,○,○,”为第2组，“□,○,○,○,○,○”为第3组， 以此类推，可知第k 组共有2k 个图形， 故前k 组共有(1)k k +个图形，因为44451980201645462070⨯=<<⨯=， 所以在前2016位中共有45个“□”， 从而可知有2016−45=1971个“○”.故选：B. 【点睛】本题本质上在考查等差数列的求和，处理问题的关键是合理的分段和转化，属基础题. 5．（5分）若将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到的函数()g x 的图象，函数()g x （ ） A ．图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是2πC ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上递增 D ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是1 【来源】2020届湖南省株洲市高三一模数学(文)试题 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换关系求出函数()y g x =的解析式，结合三角函数的性质分别进行判断即可. 【详解】若将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，向下平移一个单位得到的函数()y g x =的图象，则()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， A.20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()g x 关于,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故A 错误， B.函数的周期22T ππ==，故B 错误， C.当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()y g x =为增函数，故C 正确，D.由C 知当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()y g x =无最大值，故D 错误， 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的图象变换法则求出函数的解析式，以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大.6．（5分）已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）.AB ．3:1C ．2:1D 2【来源】福建省普通高中2019-2020学年高三3月文科数学试题 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥SC 的底面半径为r ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值. 【详解】设圆锥SC 的底面半径为r ，则高为3r ，∴圆锥SC 的母线长l =，∴圆锥SC 的侧面积为2rl r π=；圆柱OM 的底面半径为2r ，高为h ， 又圆锥的体积23133V r r r ππ=⋅=，234r h r ππ∴=，4rh ∴=， ∴圆柱OM 的侧面积为2224rh rh r πππ⋅==，∴圆锥SC 与圆柱OM 22:r r π=.故选：A . 【点睛】本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题. 7．（5分）执行如图所示的程序框图，当15p =时，则输出的n 值是A ．3B ．4C ．5D ．6【来源】湖南省益阳市、湘潭市2019-2020学年高三上学期9月教学质量统测数学（文)试题 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】执行程序框图如下： 输入：15p =， 初始值：1,0n S ==，第一步：015=<S ，进入循环体，0021S =+=，112n =+=； 第二步：115=<S ，进入循环体，1123S =+=，213n =+=； 第三步：315=<S ，进入循环体，2327S =+=，314n =+=； 第四步：715=<S ，进入循环体，37215S =+=，415n =+=； 第五步：1515==S ，结束循环，输出5n =； 故选C 【点睛】本题主要考查循环程序框图输出的结果，逐步执行框图，即可得出结果.8．（5分）已知向量()1,2a =r ，()2,3b x =--r ，且a b ⊥r r，则b =r （ ）A．9B ．3C ．D ．【来源】湖南省益阳市2019-2020学年高三下学期4月复学摸底考试文科数学试题 【答案】C 【解析】 【分析】由a b ⊥r r得出0a b ⋅=r r ，结合向量数量积的坐标运算求得x 的值，进而利用向量的模长公式可求得b r 的值.【详解】a b ⊥r rQ ，()22340a b x x ∴⋅=-+⨯-=--=r r ，解得4x =-，()6,3b ∴=-r ，因此，b ==r故选：C. 【点睛】本题考查向量模长的计算，涉及向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.9．（5分）下边茎叶图记录了甲､乙两位同学在5次考试中的成绩（单位:分）.已知甲成绩的中位数是124，乙成绩的平均数是127，则x y +的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【来源】2020届湖北省宜昌市高三下学期3月线上统一调研测试数学(文)试题 【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图由甲成绩的中位数是124,可得4x =；利用平均数的公式即可求得y ,进而求解. 【详解】由甲成绩的中位数是124,可得4x =；乙成绩的平均数是127,可得()11121231341351301275y ⨯+++++=,所以1y =, 所以5x y +=, 故选:C 【点睛】本题考查茎叶图的应用,考查由中位数、平均数求参数.10．（5分）在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为、、A B C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高.由此判断，下列推断正确的为（ ） A ．A 来自1班B ．B 来自1班C ．C 来自3班D ．A 来自2班【来源】2020届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学（文)试题 【答案】B 【解析】 【分析】由题分析得B 不是来自2班，A 不是来自2班，C 来自2班，再进一步分析得解. 【详解】由题得，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班，又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高， 所以B 不能来自3班，只能来自1班. 故选：B 【点睛】本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．（5分）设函数22()ln ,()f x x x x g x x a x =-=++，对任意的11[,2]4x ∈，存在2[2,4]x ∈，使12()()1f x g x -<成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．7(4ln 2,)2--+∞ B ．9(,)2-+∞ C ．211(ln 2,)48-++∞ D ．(3,)-+∞【来源】四川省成都石室中学2019-2020学年高三上学期期中数学（文)试题 【答案】B【解析】 【分析】对任意的11[,2]4x ∈，存在2[2,4]x ∈，都有12()()1f x g x -<，等价于max max ()()1f x g x <+，再利用导数求函数的最值即可得解. 【详解】解：因为对任意的11[,2]4x ∈，存在2[2,4]x ∈，都有12()()1f x g x -<，即12()()1f x g x <+，所以max max ()()1f x g x <+.当[2,4]x ∈时，函数()g x 在[2,4]为增函数，则max 29()442g x a a =++=+，又因为'()12ln f x x x x =--，设()12ln h x x x x =--，1[,2]4x ∈，所以'()2ln 3h x x =--，又'()h x 在1[,2]4单调递减，则''11()()2ln 34ln 23044h x h ≤=--=-<，所以'()f x 在1[,2]4单调递减，由于'(1)0f =，所以()f x 在1[,1)4单调递增，(1,2]单调递减，max ()(1)1f x f ==，于是9112a <++，所以9(,)2a ∈-+∞， 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式恒成立及有解问题，重点考查了利用导数求函数的最值，属中档题.12．（5分）若椭圆E 的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E 的离心率等于（ ）A ．2B C ．12或2D ．2【来源】福建省泉州市2019-2020学年高三上学期期末质检文数学试题 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形对角线互相垂直可转化为，在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成一个直角三角形，结合椭圆的对称性，只须考虑三种情况，作出图形，从而求得椭圆的离心率. 【详解】依题意，由菱形对角线互相垂直可转化为，在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成一个直角三角形，结合椭圆的对称性，只须考虑三种情况：（1）如图1，若以顶点D 焦点B 为菱形顶点，C 为中心，则DC BC ⊥，由勾股定理得，2222()()a b a a c ++=+，由222b a c =-化简得220c ac a +-=，两边同除以2a ，得210e e +-=，又因为01e <<，可得12e =． （2）如图2，若以焦点A ,B 为菱形顶点，C 为中心，则AC BC ⊥，故45OCB ∠=o，易得2c e a ==； （3）如图3，若以焦点B 为菱形的中心，C ,E 为顶点，则CB EB ⊥，易得2c e a ==，故选D.【点睛】本题考查椭圆的离心率及椭圆的对称性性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是画出几何图形，并能进行完整的分类讨论.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。