(完整版)平行线几个压轴题有答案

初一相交线与平行线所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）知识点：1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。

性质是对顶角相等.2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），冋位角，内错角，同旁内角。

3、两条直线被第三条直线所截：同位角F （在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）内错角Z （在两条直线内部，位于第三条直线两侧）同旁内角U （在两条直线内部，位于第三条直线同侧）4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。

其中一条宜线叫做另外一条直线的垂线•他们的交点称为垂足。

5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

7、垂线段最短。

8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

③同旁内角互补，两直线平行。

11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直干同一条直线，那么这两条直线平行。

12、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等：②两直线平行，内错角相等：③两直线平行，同旁内角互补。

13、___________________________________________ 平而上不相重合的两条直线之间的位置关系为_________________________________ 或 _______14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。

②对应点的线段平行且相等。

平移:在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换•简称平移。

压轴题02：相交线与平行线综合专练20题（解析版）一、单选题1．如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE 的度数是（）A．102°B．108°C．124°D．128°【答案】A【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．【详解】∠四边形ABCD是矩形，∠AD∠BC，∠∠BFE=∠DEF=26°，∠∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，故选A．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．2．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，1）的点的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】首先根据题意，可得距离坐标为（2，1）的点是到l1的距离为2，到l2的距离为1的点；然后根据到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线，可得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个，据此解答即可．【详解】解：如图1，，到l 1的距离为2的点是两条平行直线l 3、l 4，到l 2的距离为1的点也是两条平行直线l 5、l 6，∠两组直线的交点一共有4个：A 、B 、C 、D ，∠距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．故选C ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：到l 1的距离为2的点是两条平行直线，到l 2的距离为1的点也是两条平行直线．3．如图1n //AB CB ，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）A ．540°B ．180°nC ．180°(n-1)D ．180°(n+1)【答案】C【分析】 根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．【详解】解：根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，∠1n //AB CB ，∠121180B B D ∠+∠=︒，2323180DB B B B E ∠+∠=︒，3434180EB B B B F ∠+∠=︒，……∠122323343411803B B D DB B B B E EB B B B F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒⨯，……∠123180(1)n n ∠+∠+∠++∠=︒⨯-；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明．4．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（ ） A ．50°、130°B ．都是10°C ．50°、130°或10°、10°D ．以上都不对 【答案】C【分析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x °，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．【详解】解：∠两个角的两边分别平行，∠这两个角相等或互补．设其中一角为x °，若这两个角相等，则x ＝3x ﹣20，解得：x ＝10，∠这两个角的度数是10°和10°；若这两个角互补，则180﹣x ＝3x ﹣20，解得：x ＝50，∠这两个角的度数是50°和130°．∠这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．5．如图，已知//AB CD ，M 为平行线之间一点连接AM ，CM ，N 为AB 上方一点，连接AN ，CN ，E 为NA 延长线上一点．若AM ，CM 分别平分BAE ∠，DCN ∠，则M ∠与N ∠的数量关系为（ ）．A ．90M N ∠-∠=︒B ．2180M N ∠-∠=︒C ．180M N ∠+∠=︒D ．2180M N ∠+∠=︒【答案】B【分析】 过点M 作//MO AB ，过点N 作//NP AB ，则//////MO AB CD NP ，根据平行线的性质可得12AMC ∠=∠+∠，223CNE ∠=∠-∠，318021∠=︒-∠，即可得出结论．【详解】解：过点M 作//MO AB ，过点N 作//NP AB ，//AB CD ，//////MO AB CD NP ∴，1AMO ∴∠=∠，OMC MCD ∠=∠， AM ，CM 分别平分BAE ∠，DCN ∠，21BAE ∴∠=∠，22NCD ∠=∠，2MCD ∠=∠，12AMC ∴∠=∠+∠，//CD NP ，22PNC NCD ∴∠=∠=∠，223CNE ∴∠=∠-∠，//NP AB ，∴∠=∠=︒-∠，NAB31802122(18021)2(12)1802180CNE AMC ∴∠=∠-︒-∠=∠+∠-︒=∠-︒，2180AMC CNE ∴∠-∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．6．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为直线AB 上一动点，连接PC ，则线段PC 的最小值是（ ）A ．3B ．2.5C ．2.4D ．2【答案】C【分析】 当PC ∠AB 时，PC 的值最小，利用面积法求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∠当PC ∠AB 时，PC 的值最小，此时：△ABC 的面积＝12•AB •PC ＝12•AC •BC ，∠5PC ＝3×4，∠PC ＝2.4，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．7．如图，已知直线AB 、CD 被直线AC 所截，//AB CD ，E 是平面内任意一点（点E 不在直线AB 、CD 、AC 上），设BAE α∠=，DCE β∠=．下列各式：∠αβ+，∠αβ-，∠a β-，∠360αβ︒--，AEC ∠的度数可能是（ ）A．∠∠B．∠∠C．∠∠∠D．∠∠∠∠【答案】D【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．【详解】解：（1）如图1，由AB∠CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，∠∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∠∠AE1C=β-α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∠CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，∠∠AE2C=α+β．（3）如图3，由AB∠CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，∠∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∠∠AE3C=α-β．（4）如图4，由AB∠CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∠∠AE4C=360°-α-β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即∠∠∠∠．故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．8．∠如图1，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；∠如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A＋∠C；∠如图3，AB ∥CD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；∠如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（）A．∠∠∠∠B．∠∠∠C．∠∠∠D．∠∠∠【答案】C【分析】∠过点E作直线EF AB∥，由平行线的性质即可得出结论；∠过点E作直线EF AB∥，由平行线的性质即可得出结论；∠过点E作直线EF AB∥，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；∠先过点P作直线PF AB∥，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．【详解】∥，解：∠过点E作直线EF AB∥∥，∠∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∠AB CD∥，∠AB CD EF∠∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故∠错误；∠过点E作直线EF AB∥，∠AB CD∥，∥∥，∠∠A＝∠1，∠2＝∠C，∠AB CD EF∠∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故∠正确；∠过点E作直线EF AB∥，∥∥，∠∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∠AB CD∥，∠AB CD EF∠∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故∠正确；∠如图，过点P作直线PF AB∥，∠AB CD∥∥，∥，∠AB CD PF∠∠1=∠FP A，∠C=∠FPC，∠∠FP A=∠FPC+∠CP A，∠∠1＝∠C＋∠CP A，∠AB ∠CD ，∠∠A ＝∠1，即∠A ＝∠C+∠C P A ，故∠正确．综上所述，正确的小题有∠∠∠．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 9．如图，//,AD BC D ABC ∠=∠,点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点F 是边AB 上一点，使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ︒∠=，则BEG ∠的度数是（ ）．A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】B【分析】 AD ∠BC ，∠D =∠ABC ，则AB ∠CD ，则∠AEF =180°-∠AED -∠BEG =180°-2β，在△AEF 中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．【详解】解：设FBE =∠FEB =α，则∠AFE =2α，∠FEH 的角平分线为EG ，设∠GEH =∠GEF =β，∠AD ∠BC ，∠∠ABC +∠BAD =180°，而∠D =∠ABC ，∠∠D +∠BAD =180°，∠AB ∠CD ，∠DEH=100°，则∠CEH=∠F AE=80°，∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，在∠AEF中，在∠AEF中，80°+2α+180-2β=180°，故β-α=40°，而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，故选：B．【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于∠AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-2β=180°，题目难度较大．10．如图，直线AB MN∥，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC 的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、BE，∠CED的角平分线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令ECMα∠=，用含α的式子表示∠EBC为（）．A．52αB．10α︒-C．1102α︒-D．1102α-︒【答案】D【分析】先求出∠ABC，再延长CE，交AB于点G，结合平行线的性质表示出∠BCE，然后根据三角形内角和定理表示∠CED，再根据角平分线得定义表示出∠CEB，最后根据三角形内角和定理得出答案．【详解】在∠ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°，∠∠ABC=50°．延长CE，交AB于点G，∠MN BA∥，∠EGBα∠=，∠ACM=∠BAC=40°，∠∠ACE=α-40°，∠∠BCE=90°-（α-40°）=130°-α．∠∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE，∠∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（α-40°）=α-20°．∠EF平分∠CED，∠∠CEF=111022CEDα∠=-︒，∠∠CEB=1110706022αα-︒+︒=+︒，∠∠EBC=11180(60)(130)10 22ααα︒-+︒-︒-=-︒．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，将待求角转化到适合的三角形是解题的关键．二、填空题11．如图，已知，∠ABG为锐角，AH∠BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∠AB交直线AH于点D，CE∠CD交AB于点E，CF∠AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF ＝n°，则∠BAF的度数为_____度．（用n来表示）【答案】n或180﹣n【分析】分两种情况讨论：当点M在线段BC上；点C在BM延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．【详解】解：过A作AM∠BC于M，如图1，当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，∠AD∠BC，CF∠AD，∠CF∠BG，∠∠BCF＝90°，∠∠BCE+∠ECF＝90°，∠CE∠AB，∠∠BEC＝90°，∠∠B+∠BCE＝90°，∠∠B＝∠ECF＝n°，∠AD∠BC，∠∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，过A作AM∠BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，∠AD∠BC，CF∠AD，∠CF∠BG，∠∠BCF＝90°，∠∠BCE+∠ECF＝90°，∠CE∠AB，∠∠BEC＝90°，∠∠B+∠BCE＝90°，∠∠B＝∠ECF＝n°，∠AD∠BC，∠∠BAF＝∠B＝n°，综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，故答案为：n或180﹣n．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是．【答案】6秒或19.5秒【分析】设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．【详解】解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∠t≤45﹣12，即t≤33．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：∠如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；∠如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．故答案为：6秒或19.5秒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠B 的补角，则∠BAH的度数是_____．【答案】60°##60度【分析】首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BM AD，过点F作FN AD，根据平行线的性质，可得∠AFC ＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的补角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案．【详解】解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，∠∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，∠∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，过点B作BM AD，过点F作FN AD，如图所示：∠AD CE，∠AD FN BM CE ，∠∠AFN ＝∠HAF ＝x °，∠CFN ＝∠GCF ＝2y °，∠ABM ＝∠BAH ＝2x °，∠CBM ＝∠GCB ＝y °，∠∠AFC ＝（x +2y ）°，∠ABC ＝（2x +y ）°，∠∠F 的余角等于2∠B 的补角，∠90﹣（x +2y ）＝180﹣2（2x +y ），解得：x ＝30，∠∠BAH ＝60°．故答案为：60°【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．14．如图，已知AB //CD ，BE 、DE 的交点为E ，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠CDE 的平分线，交点为E 1，第二次操作，分别作∠ABE 1和∠CDE 1的平分线，交点为E 2，第三次操作，分别作∠ABE 2和∠CDE 2的平分线，交点为E 3，...第n （n ≥2）次操作，分别作∠ABEn ﹣1和∠CDEn ﹣1的平分线，交点为En ，若∠En ＝α度，则∠BED ＝___度．【答案】2n a【分析】先过E 作//EF AB ，确定BED ABE CDE ∠=∠+∠，再根据角平分线的性质确定n E ∠与BED ∠的关系，即可求解．【详解】解：如下图，过E 作//EF AB ，∠//AB CD ，∠////AB EF CD ，∠B BEF D DEF ∠=∠∠=∠，，∠BED BEF DEF ∠=∠+∠，∠BED ABE CDE ∠=∠+∠；如下图，∠ABE ∠和CDE ∠的平分线交点为1E ∠111111222DE B ABE CDE ABE CDE BED ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∠1ABE ∠和1CDE ∠的平分线交点为2E ， ∠22211111122412BE ABE CDE ABE CD E D E DE B B D ∠=∠+∠=∠+∠∠=∠=； ∠2ABE ∠和2CDE ∠的平分线交点为3E ， ∠33322211122812BE ABE CDE ABE CD E D E DE B B D ∠=∠+∠=∠+∠∠=∠=； … 以此类推，12n n E BED ∠=∠ ∠当n E α∠=度时，2n BED α∠=度．故答案为2n α ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，找到角之间的关系．15．如图，直线,,AB CD EF 与直线,,GH IJ KL 分别相交，图中的同位角共有__________对．【答案】156【分析】观察图形，直线 GH,IJ,KL 上，每条直线有5个交点，直线AB,CD,EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，根据每2个交点可以构成4对同位角，分别求得直线GH,IJ,KL 和AB,CD,EF 上的同位角的对数即可．【详解】观察图形，直线,,GH IJ KL 上，每条直线有5个交点，直线,,AB CD EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，则直线,,GH IJ KL 上存在的同位角的个数是：5(51)4310434031202-⨯⨯=⨯⨯=⨯=对，同理直线,,AB CD EF 上存在的同位角的个数是：3(31)43362-⨯⨯=对， 则总数是12036156+=对．故答案为：156．【点睛】 本题考查了找同位角，分类讨论是解题的关键．三、解答题16．探究并尝试归纳：(1)如图1，已知直线a 与直线b 平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A ，试求∠1+∠2+∠A 的度数，请加以说明．(2)如图2，已知直线a 与直线b 平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A 和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A +∠B ＝ 度．(3)如图3，已知直线a 与直线b 平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n 个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和： 【结果用含有n 的代数式表示，n 是正整数，不用证明】【答案】(1)360°(2)540(3)180(1)n ⋅+︒【分析】（1）过A 作AB //直线a ，再根据平行线的性质即可得到结论；（2）过A 作AC //直线a ，BD //直线a ，则AC//BD //直线b ，根据平行线的性质即可得到结论； （3）根据平行线的性质即可得到结论．(1)解：过A 作AB //直线a ，则AB //直线b ，1342180∴∠+∠=∠+∠=︒，12360MAN ∴∠+∠+∠=︒；(2)解：过A 作AC //直线a ，BD //直线a ，则AC //BD //直线b ，135642180∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，12540MAB ABN ∴∠+∠+∠+∠=︒，故答案为：540；(3)解：由（1），（2）知，当形成1个折时，所有角与1∠、2∠的总和180(11)360=⋅+︒=︒，当形成2个折时，所有角与1∠、2∠的总和180(21)540=⋅+︒=︒，当形成n 个折时，所有角与1∠、2∠的总和180(1)n =⋅+︒，故答案为：180(1)n ⋅+︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键．17．如图，已知AB CD ∥，E 、F 分别在AB CD 、上，点G 在AB 、CD 之间，连接GE GF 、．(1)当40BEG ∠=︒时，EP 平分,BEG FP ∠平分DFG ∠；∠如图1，当EG FG ⊥时，则P ∠=______°；∠如图2，在CD 的下方有一点Q ，若EG 恰好平分,BEQ FD ∠恰好平分GFQ ∠，求2Q P ∠+∠的度数；(2)在AB 的上方有一点O ，若FO 平分GFC ∠．线段GE 的延长线平分OEA ∠，则当100EOF EGF ∠+∠=︒时，直接写出OEA ∠与OFC ∠的关系．【答案】(1)∠45；∠140︒(2)3160OEA OFC ∠-∠=︒【分析】（1）根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；（2）过点O 作OT AB ∥，则OT CD ∥设OFC OFG ∠=∠β=，OEH HEA α∠=∠=，1802G BEG GFD αβ∠=∠+∠=+︒-，根据平行线的性质求得80αβ+=︒，进而根据()33222160OEA OFC ββαβα∠-∠=--=+=︒即可求解．(1)∠如图，分别过点,G P 作,GN AB PM AB ∥∥，BEG EGN ∴∠=∠，AB CD ∥，NGF GFD ∴∠=∠，EGF BEG GFD ∴∠=∠+∠，同理可得EPF BEP PFD ∠=∠+∠，EG FG ⊥，90EGF ∴∠=︒，EP 平分,BEG FP ∠平分DFG ∠；11,22BEP BEG PFD GFD ∴∠=∠∠=∠， ∴()114522EPP BEG GFD EGF ∠=∠+∠=∠=︒， 故答案为：45，∠如图，过点Q 作QR CD ∥，40BEG ∠=︒，EG 恰好平分,BEQ FD ∠恰好平分GFQ ∠，40GEQ BEG ∴∠=∠=︒，GFQ QFD ∠=∠，设GFQ QFD ∠=∠α=，QR CD ∥，AB CD ∥，1801802100EQR QEB QEG ∴∠=︒-∠=︒-∠=︒，CD QR ∥，180DFQ FQR ∴∠+∠=︒，180FQR α∴+∠=︒，100FQE α∴+∠=︒，100FQE α∴∠=︒-，由（1）可知240G P BEG EFD α∠=∠=∠+∠=︒+，210040140FQE P αα∴∠+∠=︒-+︒+=︒；(2)如图，在AB 的上方有一点O ，若FO 平分GFC ∠，线段GE 的延长线平分OEA ∠，设H 为线段GE 的延长线上一点，则OFC OFG ∠=∠，OEH HEA ∠=∠设OFC OFG ∠=∠β=，OEH HEA α∠=∠=如图，过点O 作OT AB ∥，则OT CD ∥TOF OFC β∴∠=∠=，2TOE OEA α∠=∠=2EOF βα∴∠=-HEA BEG α∠=∠=，1802GFD β∠=︒-由（1）可知1802G BEG GFD αβ∠=∠+∠=+︒-100EOF EGF ∠+∠=︒∴2βα-+1802αβ+︒-100=︒80αβ∴+=︒2,OFC OEA βα∠=-∠=β()33222160OEA OFC ββαβα∴∠-∠=--=+=︒即3160OEA OFC ∠-∠=︒【点睛】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．18．点O 是直线AB 上的一点，射线OC 从OA 出发绕点O 顺时针方向旋转，旋转到OB 停止，设AOC α∠=（0180α︒≤≤︒），射线OD OC ⊥，作射线OE 平分BOD ∠．(1)如图1，若40α=︒，且OD 在直线AB 的上方，求DOE ∠的度数（要求写出简单的几何推理过程）．(2)射线OC 顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线OD 在直线AB 的下方时，其他条件不变，请你用含α的代数式表示DOE ∠的度数，（要求写出简单的几何推理过程）．(3)射线OC 从OA 出发绕点O 顺时针方向旋转到OB ，在旋转过程中你发现DOE ∠与AOC∠（01800180AOC DOB ︒≤∠≤︒︒≤∠≤︒，）之间有怎样的数量关系？请你直接用含α的代数式表示DOE ∠的度数．【答案】(1)25DOE ∠=︒ (2)1452DOE α∠=-︒ (3)1452DOE AOC ∠=︒-∠即1452DOE α∠=︒-或1452DOE AOC ∠=︒+∠即1452DOE α∠=︒+或11352DOE AOC ∠=︒-∠即11352DOE α∠=︒-或1452DOE AOC ∠=∠-︒即1452DOE α∠=-︒ 【分析】（1）根据40α=︒，∠COD =90°，求出∠BOD =50°，根据OE 平分∠BOD ，即可得出结果；（2）先用α表示出∠BOC ，再根据∠COD =90°表示出∠BOD ，根据OE 平分∠BOD ，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出∠DOE 与∠AOC 的关系，用含α的代数式表示∠DOE 的度数即可．(1)解：∠OD ∠OC ，∠∠COD =90°，∠40α=︒，即40AOC ∠=︒，∠18050BOD COD AOC ∠=︒-∠-∠=︒，∠OE 平分∠BOD ， ∠1252DOE BOD ∠=∠=︒． (2)AOC α∠=，180BOC α∴∠=︒-，∠OD ∠OC ，∠∠COD =90°，∠BOD COD BOC ∠=∠-∠()90180α=︒-︒-90α=-︒∠OE 平分∠BOD ， ∠114522DOE BOD α∠=∠=-︒． (3)∠当090AOC ︒≤∠≤︒，OD 在直线AB 的上方时，如图所示：180BOD COD AOC ∠=︒-∠-∠18090AOC =︒-︒-∠90AOC =︒-∠，∠OE 平分∠BOD ， ∠114522DOE BOD AOC ∠=∠=︒-∠， 即1452DOE α∠=︒-． ∠当090AOC ︒≤∠≤︒，OD 在直线AB 的下方时，如图所示：∠90AOD COD AOC AOC ∠=∠-∠=︒-∠，∠18090BOD AOD AOC∠=︒-∠=︒+∠，∠OE平分∠BOD，∠114522DOE BOD AOC ∠=∠=︒+∠，即1452 DOEα∠=︒+．∠当90180AOC︒∠≤︒＜，OD在直线AB的上方时，如图所示：180BOC AOC∠=︒-∠，BOD DOC BOC∴∠=∠+∠90180AOC=︒+︒-∠270AOC=︒-∠，∠OE平分∠BOD，∠1113522DOE BOD AOC ∠=∠=︒-∠，即11352 DOEα∠=︒-．∠当90180AOC︒∠≤︒＜，OD在直线AB的下方时，如图所示：∠180BOC AOC ∠=︒-∠，BOD COD BOC ∴∠=∠-∠()90180AOC =︒-︒-∠90AOC =∠-︒，∠OE 平分∠BOD ， ∠114522DOE BOD AOC ∠=∠=∠-︒， 即1452DOE α∠=-︒． 综上分析可知，1452DOE AOC ∠=︒-∠即1452DOE α∠=︒-或1452DOE AOC ∠=︒+∠即1452DOE α∠=︒+或11352DOE AOC ∠=︒-∠即11352DOE α∠=︒-或1452DOE AOC ∠=∠-︒即1452DOE α∠=-︒． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据α的大小和OD 的位置分类讨论，是解决本题的关键．19．如图，AD //BC ，127DAC ∠=︒，15ACF ∠=︒，142EFC ∠=︒．(1)求证：EF //AD ；(2)连接CE ，若CE 平分∠BCF ，求∠FEC 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)19FEC ∠=︒【分析】(1)先根据平行线的性质，得到∠ACB 的度数，进而得出∠FCB 的度数，再根据∠EFC =140°，即可得到∠EFC =142°，即可得到EF ∠BC ，进而得出EF ∠AD ；(2)先根据CE 平分∠BCF ，可得∠BCE =19°，再根据EF ∠BC ，即可得到∠FEC =19°．(1)证明：∠AD BC ∥∠180ACB DAC ∠+∠=︒∠127DAC ∠=︒∠53ACB ∠=︒又∠15ACF ∠=︒∠38FCB ACB ACF ∠=∠-∠=︒∠142EFC ∠=︒∠180FCB EFC ∠+∠=︒∠EF BC ∥又∠AD BC ∥∠EF AD ∥(2)解：∠CF 平分∠BCF ∠1192BCE FCB ∠=∠=︒ ∠EF BC ∥∠19FEC ECB ∠=∠=︒答：∠FEC 的度数19°．【点睛】本题考查平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线定义，三角形的外角性质，邻补角定义，能综合运用定理运行推理是解此题的关键，难度适中．20．已知点B ，D 分别在AK 和CF 上，且∥CF AK ．(1)如图1，若25CDE ∠=︒，80DEB ∠=︒，则ABE ∠的度数为________；(2)如图2，BG 平分ABE ∠，GB 的延长线与EDF ∠的平分线交于H 点，若DEB ∠比DHB ∠大60︒，求DEB ∠的度数；(3)保持（2）中所求的DEB ∠的度数不变，如图3，BM 平分EBK ∠，DN 平分CDE ∠，作∥BP DN ，则PBM ∠的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．【答案】(1)55°(2)100°(3)不变，40°【分析】（1）过点E 作ES CF ，根据∥CF AK ，则ES CF AK ，运用平行线的性质计算即可．（2） 延长DE ，交AB 于点M ，则∠DEB =∠EMB +∠EBM ，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质计算即可．（3） 过点E 作EQ DN ，则EQ DN BP ，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．(1)解：如图1，过点E 作ES CF ，∠∥CF AK ，∠ES CF AK ，∠∠CDE =∠DES ，∠SEB =∠ABE ，∠∠CDE +∠ABE =∠DES +∠SEB =∠DEB ，∠∠CDE =25°，∠DEB =80°，∠∠ABE =∠DEB -∠CDE =80°-25°=55°．故答案为：55°．(2)解：如图2，延长DE ，交AB 于点M ，则∠DEB =∠EMB +∠EBM ，∠∥CF AK ，BG 平分ABE ∠，∠∠EMB =180°-∠MDF ，∠EBM =2∠ABG =2∠HBN ，∠MDH =∠HDF =∠HNK =12∠MDF ，∠∠HBN +∠DHB =∠HNK ，∠∠DEB =(180°-∠MDF ) +2∠HBN =180°-∠MDF +122MDF DHB ⎛⎫⨯∠-∠ ⎪⎝⎭， ∠∠DEB =180°-∠MDF +∠MDF -2∠DHB =180°-2∠DHB ，∠DEB ∠60DHB -∠=︒，∠∠DEB =180°-2(∠DEB -60°)，∠3∠DEB =300°，解得∠DEB =100°．(3)解：过点E作EQ DN，则EQ DN BP，根据（1）得，∠DEB=∠CDE+∠ABE，∠BM平分EBK∠，∠，DN平分CDE∠∠DEB=2∠NDE+180°-2∠EBM，∠∠DEB=100°，∠∠EBM-∠NDE=40°，∠EQ DN，∠∠DEQ=∠NDE，∠∠EBM =40°+∠DEQ，，，∠EQ DN DN BP∠EQ BP，∠∠EBM+∠PBM +∠BEQ =180°，∠40°+∠DEQ+∠PBM +∠BEQ =180°，∠40°+∠DEB+∠PBM =180°，∠∠PBM =180°-100°-40°=40°，∠∠PBM 的度数不变，值为40°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．。

第五章相交线与平行线压轴题考点训练1．如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（）A．115°B．110°C．105°D．100°【答案】C【详解】解：过A作//AD a，Q，////a b\，AD b\Ð=°-Ð=°-°=°，180218015525DAB\Ð=°-Ð-Ð=°，180175CAD DABAD aQ，//\Ð=°-Ð=°，3180105CAD故选：C．2．①如图1，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，AB ∥CD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④【答案】C∥，【详解】解：①过点E作直线EF AB∵AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，∴∠A ＋∠1＝180°，∠2＋∠C ＝180°，∴∠A ＋∠C ＋∠AEC ＝360°，故①错误；②过点E 作直线EF AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，∴∠A ＝∠1，∠2＝∠C ，∴∠AEC ＝∠A ＋∠C ，即∠AEC ＝∠A ＋∠C ，故②正确；③过点E 作直线EF AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，∴∠A ＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A ＋∠AEC －∠2＝180°，即∠A ＋∠AEC －∠1＝180°，故③正确；④如图，过点P 作直线PF AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD PF ∥∥，∴∠1=∠FPA ，∠C=∠FPC ，∵∠FPA =∠FPC +∠CPA ，∴∠1＝∠C ＋∠CPA ，∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠1，即∠A ＝∠C+∠C PA ，故④正确．综上所述，正确的小题有②③④．故选：C ．3．如图，在ABC V 中，56A Ð=°，46C Ð=°，D 是线段AC 上一个动点，连接BD ，把BCD △沿BD 折叠，点C 落在同一平面内的点C ¢处，当C D ¢平行于ABC V 的边时，CDB Ð的大小为______．【答案】67°或118°【详解】根据题意可分类讨论：①如图，当//C D AB ¢时，∵//C D AB ¢，∴56C DA A ¢Ð=Ð=°．∴180********C DC C DA ¢¢Ð=°-Ð=°-°=°．根据折叠可知C DB CDB ¢Ð=Ð，∴11(360)(360124)11822CDB C DC ¢Ð=°-Ð=°-°=°；②如图，当//C D BC ¢时，∵//C D BC ¢，∴46C DA C ¢Ð=Ð=°．∴180********C DC C DA ¢¢Ð=°-Ð=°-°=°．根据折叠可知C DB CDB ¢Ð=Ð，∴111346722CDB C DC ¢Ð=Ð=´°=°．故答案为：67°或118°．4．如图，已知AB CD ∥，100B Ð=°，40E Ð=°，则C Ð=________度．【答案】110【详解】过E 作一条直线FG AB∥∵AB CD ∥，∴FG CD ∥，∵AB FG ∥，110ABE Ð=°，∴18070BEF ABE Ð=°-Ð=°，∴CEF BEF BEC Ð=Ð+Ð7040=°+°110=°又∵CD FG ∥，∴110C CEF Ð=Ð=°．故答案为：110．5．如图，已知BC ⊥AE ，DE ⊥AE ，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，BC 平分∠ABD ，则∠ACH ＝______°．【答案】57【详解】解：∵BC 平分∠ABD ，∴∠HBC =∠DBC =12ABD Ð，∵BC ⊥AE ，DE ⊥AE ，∴BC ∥DE ，∴∠3+∠DBC =180°，∵∠2＋∠3＝180°，∴∠DBC =∠2，∴CH ∥BD ，∴∠DBA =∠1=66°，∴∠DBC =∠2=11663322ABD Ð=´°=°，∴∠ACH =∠ACB -∠2=90°-33°=57°．故答案为：57．6．如图，在Rt △ABC ，∠B ＝90°，∠ACB ＝50°．将Rt △ABC 在平面内绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置，连接CC ′．若AB ∥CC ′，则旋转角的度数为_____°．【答案】100【详解】解：∵AB CC ¢∥，∴ACC CAB¢Ð=Ð∴9040CAB ACB Ð=°-Ð=°由旋转的性质可得AC AC ¢=∴40AC A C C C Ð=Ð=¢¢°∴180100CA AC A C C C C ¢¢¢Ð=°-Ð-Ð=°故答案为：100．7．如图，直线1l 分别与直线2l ，3l 交于点A ，B ，1102Ð=°，258Ð=°，若直线1l ，3l 保持不动，将直线2l 绕点A 逆时针旋转，使得23l l ∥，则旋转的最小角度是______．【答案】20°【详解】解：过点A 作43//l l ，∵43//l l ，∴4258Ð=Ð=°，∴3180141801025820Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．8．如图，在ABC V 中，40B Ð=°，30C Ð=°，点D 在BC 上，将ACD △沿直线AD 翻折后，点C 落在点E 处，连结DE ，如果DE AB ∥，那么ADB =∠______°．【答案】70【详解】解：由翻折性质可得ADC V ≌ADE V ，∴30C E Ð=Ð=°，12CAD EAD EAC Ð=Ð=Ð，∵DE AB ∥，∴30BAE E Ð=Ð=°，∵40B Ð=°，30C Ð=°，∴180110BAC B C Ð=°-Ð-Ð=°，∴80EAC BAC BAE Ð=Ð-Ð=°，∴1402Ð=Ð=°CAD EAC ，∵40CAD DAE Ð=Ð=°，∴70BAD Ð=°，在ABD △中，18070BDA B BAD Ð=°-Ð-Ð=°．故答案为：70．9．已知：AB ∥CD ．点E 在CD 上，点F ，H 在AB 上，点G 在AB ，CD 之间，连接FG ，EH ，GE ，∠GFB =∠CEH ．(1)如图1，求证：GF ∥EH ；(2)如图2，若∠GEH =α，FM 平分∠AFG ，EM 平分∠GEC ，试问∠M 与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M ）？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】(1)证明见解析过程；(2)∠FME =90°-2a，证明见解析过程．【解析】(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠CEH =∠EHB ，∵∠GFB =∠CEH ，∴∠GFB =∠EHB ，∴GF ∥EH ；(2)解：∠FME =90°-2a，理由如下：如图2，过点M 作MQ ∥AB ，过点G 作GP ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴MQ ∥CD ，∴∠AFM =∠FMQ ，∠QME =∠MEC ，∴∠FME =∠FMQ +∠QME =∠AFM +∠MEC ，同理，∠FGE =∠FGP +∠PGE =∠AFG +∠GEC ，∵FM 平分∠AFG ，EM 平分∠GEC ，∴∠AFG =2∠AFM ，∠GEC =2∠MEC ，∴∠FGE =2∠FME ，由（1）知，GF ∥EH ，∴∠FGE +∠GEH =180°，∵∠GEH =α，∴∠FGE =180°-α，∴2∠FME =180°-α，∴∠FME =90°-2a．10．已知：如图1，直线AB //CD ，EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，AEF Ð，CFE Ð的平分线相交于点M ．(1)求M Ð的度数；(2)如图2，AEM Ð，CFM Ð的平分线相交于点1M ，请写出1M Ð与M Ð之间的等量关系，并说明理由；(3)在图2中作1AEM Ð，1CFM Ð的平分线相交于点2M ，作2AEM Ð，2CFM Ð的平分线相交于点3M ，依此类推，作2020AEM Ð，2020CFM Ð的平分线相交于点2021M ，请直接写出2021M Ð的度数．【答案】(1)90°；(2)∠M 1=12∠M ．证明见解析；(3)（12）2021×90°【解析】(1)解：如图1中，∵AB ∥CD ，∴∠AEF +∠CFE =180°，∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M，∴∠MEF=12∠AEF，∠EFM=12∠CFE，∴∠MEF+∠MFE=12（∠AEF+∠CFE）=90°，∴∠M=180°-90°=90°；(2)结论：∠M1=12∠M．理由：如图2中，过点M1作M1J∥AB．∵AB∥CD，M1J∥AB，∴M1J∥CD，∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，∴∠AEM1=12∠AEM，∠CFM1=12∠CFM，∵∠EM1J=∠AEM1，∠JM1F=∠CFM1∴∠EM1F=∠AEM1+∠CFM1=12（∠AEM+∠CFM）=12×90°=45°；所以∠EM1F=12∠M．(3)由（2）可知，∠M1=12×90°，同法可知，∠M2=12∠M1=14∠M，•••，∠Mn=（12）n×90°，当n=2021时，∠M2021=（12）2021×90°．11．平面内有直线AB和直线CD，点E是平面内任意一点，连接AE、CE，∠AEC＝60°．(1)若直线AB∥CD；如图1，当点E在两条平行线之间时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系 ；如图2，当点E在两条平行线外部时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系 ；(2)若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图3，当点E在∠AOC内部，且∠AEC＝45°，猜想∠BAE与∠DCE的数量关系，并证明；(3)我们小学学习过三角形的内角和等于180°，若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图4，当点E在∠AOC外部，且∠AEC＝45°，分别作射线AM平分∠BAE、作射线CN平分∠DCE，反向延长AM 与CN交于点P，求∠APN的度数？【答案】(1)①∠BAE+∠DCE＝60°；②∠DCE﹣∠BAE＝60°；(2)∠BAE+∠DCE＝105°，见解析；(3)52.5°【解析】(1)解：①∠BAE+∠DCE＝60°，理由如下：如图1，过点E作EF∥AB，∴∠BAE＝∠AEF，∵AB//CD，∴EF//CD，∴∠DCE＝∠CEF，∵∠AEC＝60°，∴∠BAE+∠DCE＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝60°；故答案为：∠BAE+∠DCE＝60°．②∠DCE﹣∠BAE＝60°，理由如下：如图2，过点E作EF//AB，∴∠BAE＝∠AEF，∵AB//CD，∴EF//CD，∴∠DCE＝∠CEF，∵∠AEC＝60°，∴∠DCE﹣∠BAE＝∠CEF﹣∠AEF＝∠AEC＝60°．故答案为：∠DCE﹣∠BAE＝60°．(2)猜想：∠BAE+∠DCE＝105°，理由如下：如图3，连接OE，∵∠BAE是△AOE的外角，∠DCE是△COE的外角，∴∠BAE＝∠AOE+∠AEO，∠DCE＝∠COE+∠CEO，∵∠AOC＝60°，∠AEC＝45°，∴∠BAE+∠DCE＝∠AOE+∠AEO+∠COE+∠CEO＝∠AOC+∠AEC＝60°+45°＝105°；(3)如图4，设AO与CE相交于点G，设∠AGE ＝∠CGO ＝x °，则∠AGC ＝180°﹣x °，∵∠BAE 是△AEG 的外角，∠AEC ＝45°，∴∠BAE ＝∠AEC +∠AGE ＝45°+x °，∵AM 平分∠BAE ，∴∠BAM ＝∠EAM ＝12∠BAE ＝22.5°+12x °，∴∠PAG ＝∠BAM ＝22.5°+12x °，∵∠DCE 是△COG 的外角，∠AOC ＝60°，∴∠DCE ＝∠CGO +∠AOC ＝x °+60°，∵CN 平分∠DCE ，∴∠DCN ＝∠ECN ＝12∠DCE ＝12x °+30°，∵∠PAG +∠AGC +∠ECN +∠APC ＝360°，∴∠APC ＝360°﹣∠PAG ﹣∠AGC ﹣∠ECN＝360°﹣（22.5°+12x °）﹣（180°﹣x °）﹣（12x °+30°）＝127.5°，∴∠APN ＝180°﹣∠APC ＝52.5°．12．已知，如图1，直线AB CD ∥，E 为直线AB 上方一点，连接ED BE 、，ED 与AB 交于P 点．(1)若110,70ABE CDE Ð=Ð=°°，则E Ð=_________°(2)如图1所示，作CDE Ð的平分线交AB 于点F ，点M 为CD 上一点，BFM Ð的平分线交CD 于点H ，过点H 作HG FH ^交FM 的延长线于点G ，GF BE ∥，且2320E DFH Ð=Ð+°，求EDF G Ð+Ð的度数．(3)如图2，在（2）的条件下，25FDC Ð=°，将FHG △绕点F 顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的FHG △为FH G ¢¢V ，同时FDE Ð绕着点D 顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的FDE Ð为F DE Т¢，当FDE Ð旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t （秒），则当FH G ¢¢V 其中一条边与F DE Т¢的边DF′互相垂直时，直接写出t 的值．【答案】(1)40；(2)EDF G Ð+Ð=70°；(3)t 的值为10．【解析】(1)解：∵AB CD ∥，70CDE Ð=°，∴∠EPB =∠CDE =70°，∵∠ABE 是△BEP 的外角，110ABE Ð=°，∴∠E =∠ABE -∠EPB =110°-70°=40°，故答案为：40；(2)解：∵GF BE ∥，∴∠GFB =∠FBE ，∠HDF =∠PFD∵FH 平分BFM Ð，∴∠GFH =∠HFP ，∴∠GFB =2∠HFB =2∠HFD +2∠DFP∵DF 平分CDE Ð，∴∠FDH =∠FDE =∠PFD ，∴∠EPB =∠PDH =2∠PDF =2∠PFD∵∠EBF 为△EBP 的外角，∴∠EBF =∠E +∠EPB =∠E +2∠PFD ，∴2∠HFD +2∠DFP =∠E +2∠PFD ，∴∠E =2∠DFH ，∵2320E DFH Ð=Ð+°，∴4∠DFH =3∠DFH +20°，∴∠DFH =20°，∵HG FH ^，∴∠FHG =90°，∴∠G +∠GFH =90°，∴∠G +∠PFH =∠G +∠HFD +∠PFD =90°，∴∠G +∠PFD =90°-∠HFD =90°-20°-70°，∴EDF G Ð+Ð=70°；(3)当25FDC Ð=°时，∠HFP =∠HFD +∠DFP =45°，∴∠GFH =∠HFP =45°，∴∠G =45°，当FH G ¢¢V 其中一条边与F DE Т¢的边DF′互相垂直，分三种情况，当G′H′⊥DF′时，FH′交CD 与S ，FH′∥F′D ，∠FSC =∠CDF ′，∠CDF′=25°+5t ，∠FSC =45°+3°t ，∴25°+5t =45°+3°t ，解得t =10,当GF ⊥F′D 时，GF 交CD 于R ，交DF′于Q ，∠HDF ′=25°+5t ，∠CRG =∠GFA =3t -90°，∠QRD +∠QDR =90°即3t-90°+180°-(25+5t )=90°，解得t =-12.5＜0舍去，当H′F ⊥DF ′，H′F 交CD 于U ，交DF′于V ，∠HDF′=25°+5°t ，∠CUF =∠AFH′=3°t -90°-45°，∵∠VUD +∠UDV =90°， ∴180°-（25°+5°t ）+3°t -90°-45°=90°，解得t =-35＜0舍去，综合t 的值为10．13．如图①．已知AM CN ∥，点B 为平面内一点，AB BC ^于点B ，过点B 作BD AM ^于点D ，设BCN a Ð=．（1）若30a =°，求ABD Ð的度数；（2）如图②，若点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，使得BE 平分ABD Ð、BF 平分DBC Ð，求EBF Ð的度数；（3）如图③，在（2）问的条件下，若CF 平分BCH Ð，且3BFC BCN Ð=Ð，求EBC Ð的度数．【答案】（1）30°；（2）45°；（3）97.5°【详解】解：（1）延长DB ，交NC 于点H ，如图，//AM CN Q ，BD AM ^，DH NC \^．90BHC \Ð=°．30BCN a Ð==°Q ，9060HBC BCN \Ð=°-Ð=°．AB BC ^Q ，90ABC \Ð=°．18030ABD ABC HBC \Ð=°-Ð-Ð=°；（2）延长DB ，交NC 于点H ，如图，//AM CN Q ，BD AM ^，DH NC \^．90BHC \Ð=°．BCN a Ð=Q ，90HBC a \Ð=°-．AB BC ^Q ，90ABC \Ð=°．180ABD ABC HBC a \Ð=°-Ð-Ð=．BE Q 平分ABD Ð，12DBE ABE a \Ð=Ð=．90HBC a Ð=°-Q ，18090DBC HBC a \Ð=°-Ð=°+．BF Q 平分DBC Ð，114522DBF CBF DBC a \Ð=Ð=Ð=°+．11454522EBF DBF DBE a a \Ð=Ð-Ð=°+-=°；（3）BCN a Ð=Q ，180180HCB BCN a \Ð=°-Ð=°-．CF Q 平分BCH Ð，119022BCF HCF HCB a \Ð=Ð=Ð=°-．//AM CN Q ，1902DFC HCF a \Ð=Ð=°-．3BFC BCN Ð=ÐQ ，3BFC a \Ð=．7902DFB DFC BFC a \Ð=Ð-Ð=°-．由（2）知：1452DBF a Ð=°+．BD AM ^Q ，90D \Ð=°．90DBF DFB \Ð+Ð=°．1745909022a a \°++°-=°．解得：15a =°．4552.5FBC DBF a \Ð=Ð=°+=°．52.54597.5EBC FBC EBF \Ð=Ð+Ð=°+°=°．14．已知：直线AB 、CR 被直线UV 所截，直线UV 交直线AB 于点B ，交直线CR 于点D ，∠ABU +∠CDV ＝180°．（1）如图1，求证：AB ∥CD ；（2）如图2，BE ∥DF ，∠MEB ＝∠ABE +5°，∠FDR ＝35°，求∠MEB 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点N 在直线AB 上，分别连接EN 、ED ，MG ∥EN ，连接ME ，∠GME ＝∠GEM ，∠EBD ＝2∠NEG ，EB 平分∠DEN ，MH ⊥UV 于点H ，若∠EDC ＝17∠CDB ，求∠GMH 的度数．【答案】（1）见详解；（2）∠MEB＝40°，（3）∠GMH=80°【详解】（1）证明：∵∠ABU+∠ABD=180°，∠ABU+∠CDV＝180°．∴∠ABU=180°-∠ABD，∠CDV＝180°-∠ABU，∴∠ABD=∠CDV，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD；∴∠ABD=∠RDB，∴∠ABE+∠EBD=∠FDB+∠FDR，∵BE∥DF，∴∠EBD=∠FDB，∴∠ABE=∠FDR，∵∠FDR＝35°，∴∠ABE=∠FDR=35°，∴∠MEB＝∠ABE+5°=35°+5°=40°，（3）解：设ME交AB于S，∵MG∥EN，∴∠NES=∠GMS=∠GES，设∠NES=y°,∵∠EBD＝2∠NEG∴∠NEG=∠NES+∠GES=2∠NES=2y°，∴∠EBD =4∠NES=4y°,∵∠EDC＝17∠CDB，设∠EDC=x°，∴∠CDB=7x°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，即∠GBE+∠EBD+∠CDB=180°，∴35+4y+7x=180，∵∠BDE=∠BDC-∠EDC=7x-x=6x，∴∠BED=180°-∠EBD-∠EDB=180°-4y°-6x°，∵EB平分∠DEN，∴∠NEB=∠BED，∵∠NEB=∠NES+∠SEB=y°+40°，∴y°+40°=180°-4y°-6x°，∴7414565140x yx y+=ìí+=î，解得1510xy=ìí=î，∴∠EBD=4y°=40°=∠MEB，∴ME∥UV，∵MH⊥UV，∴MH⊥ME，∴∠SMH=90°，，∵∠SMG=∠NES=10°，∴∠GMH=90°-∠SMG=90°-10°=80°．15．已知AM ∥CN ，点B 为平面内一点，AB BC ^于B ．(1)如图1，直接写出A Ð和C Ð之间的数量关系．(2)如图2，过点B 作BD AM ^于点D ，求证：ABD C Ð=Ð．(3)如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分DBC Ð，BE 平分ABD Ð，若2ABF ABE Ð=Ð，求EBC Ð的度数．【答案】(1)90A C Ð+Ð=°；(2)见解析；(3)105°【解析】(1)解：如图，//AM CN Q ，C AOB \Ð=Ð，AB BC ^Q ，90A AOB \Ð+Ð=°，90A C ÐÐ\+=o ；(2)解：如图，过点B 作//BG DM ，BD AM ^Q ，DB BG \^，即90ABD ABG Ð+Ð=°，又AB BC ^Q ，ABD CBG \Ð=Ð，//AM CN Q ，//BG AM ，//CN BG \，C CBG \Ð=Ð，ABD C \Ð=Ð；(3)解：如图，过点B 作//BG DM ，BF Q 平分DBC Ð，BE 平分ABD Ð，DBF CBF \Ð=Ð，DBE ABE Ð=Ð，由（2）可得ABD CBG Ð=Ð，ABF GBF \Ð=Ð，设DBE a Ð=，ABF b Ð=，则ABE a Ð=，2ABD CBG a Ð==Ð，GBF AFB b Ð==Ð，33BFC DEB a Ð=Ð=，3AFC a b \Ð=+，180AFC NCF Ð+Ð=°Q ，180FCB NCF Ð+Ð=°，180FCB AFC BCF \Ð=Ð+Ð=°，可得(2)3(3)180a b a a b ++++=°，①由AB BC ^可得290b b a ++=o ，②由①②联立方程组，解得15a =°，15ABE \Ð=°，1590105EBC ABE ABC \Ð=Ð+Ð=°+°=°．16．已知//AB CD ，点M 、N 分别是AB 、CD 上的点，点G 在AB 、CD 之间，连接MG 、NG ．（1）如图1，若GM GN ^，求AMG CNG +∠∠的度数．（2）在（1）的条件下，分别作BMG Ð和GND Ð的平分线交于点H ，求MHN Ð的度数．（3）如图2，若点P 是CD 下方一点，MT 平分BMP Ð，NC 平分TNP Ð，已知40BMT Ð=°．则判断以下两个结论是否正确，并证明你认为正确的结论．①MTN P Ð+Ð为定值；②MTN P Ð-Ð为定值．【答案】（1）90° （2）135° （3）②是正确的，证明见解析【详解】（1）如图所示，过点G 作//GE AB ，∵//AB CD ，//GE AB ，∴////AB GE CD ，∴AMG MGE Ð=Ð，CNG NGE Ð=Ð，∴AMG CNG MGE NGE MGN Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，∵GM GN ^，∴90MGN Ð=°，∴90AMG CNG +=°∠∠.（2）如图所示，过点G 作//GE AB ，过点H 作//FH AB ，∵//AB CD ，∴//////GE AB FH CD ，∴180BMG MGE Ð+Ð=°，180DNG NGE Ð+Ð=°，∴360BMG DNG MGN Ð+Ð+Ð=°，∵90MGN Ð=°，∴270BMG DNG Ð+Ð=°，∵MH 平分BMG Ð，NH 平分DNG Ð，∴12BMH BMG Ð=Ð，12DNH DNG Ð=Ð，∴1()1352BMH DNH BMG DNG Ð+Ð=Ð+Ð=°，∵////AB HF CD ，∴BMH MHF Ð=Ð，DNH NHF Ð=Ð，∴135MHN MHF NHF BMH DNH Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°.（3）如图所示，∵//AB CD ，∴BMP DQP Ð=Ð，∵MT 平分BMP Ð，∴40BMT PMT Ð=Ð=°，∴80BMP DQP Ð=Ð=°，∴100MQN Ð=°，∵CN 平分TNP Ð，∴CNT CNP Ð=Ð，设CNT CNP x Ð=Ð=，则180100P PQD CNP x Ð=°-Ð-Ð=°-，∴360MTN PMT MQN CNT Ð=°-Ð-Ð-Ð36040100CNT =°-°-°-Ð220x =°-，∴120MTN P Ð-Ð=°，3202MTN P x Ð+Ð=а-，∴②中MTN P Ð-Ð的值为定值.故②是正确的.。

拐角问题——基本图形及辅助线方法技巧方法技巧1.过折线的拐点作平行线，用平行公理推论得到多条平行线，再转化角．2.涉及到角平分线问题，往往设未知数导角或列方程求解．题型一平行线＋单拐点（＋角平分线等）模型【例1】如图1，点A，C，B 不在同一条直线上，AD∥BE．（1）求证：∠B＋∠ACB－∠A＝180°；（2）如图2，HQ，BQ 分别为∠DAC，∠EBC 的平分线所在的直线，试探究∠C 与∠AQB 的数量关系；题型二平行线＋双拐点（＋角平分线等）模型【例2】如图1，AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，求∠F 的度数；【解答】分别过点E，F 作EM∥AB，FN∥AB．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN．又∵AB∥CD，AB∥FN．∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN ＝＝70°，易得∠EFN＝∠MEF＝∠BEF－∠BEM＝50°－20°＝30°．∴∠EFD＝∠EFN＋∠NIFD＝30°＋70°＝100°．（2）如图2，探索∠E 与∠F 之间满足的数量关系，并说明理由；．【解答】分别过点E，F 作EM∥AB，FN∥A B．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF＋20°，∠EFD＝∠EFN＋70°，∴∠EFD＝∠MEF＋70°，∴∠EFD＝∠BEF＋50°．（3）如图3，EP 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，FG 的反向延长线交EP 于点P，求∠P 的度数．【分析】过点F 作FH∥EP，结合（2）中结论，运用模型求解．【解答】过点F 作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF＋50°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝(2x＋50)°，∵EP 平分∠BEF，GF 平分∠EFD，∴∠PEF＝1∠BEF＝x°，∠EFG＝1∠EFD＝(x＋25)°，2 2∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG－∠EFH＝25°，∴∠P＝25°．针对练习 51．如图，CD∥BE，则∠2＋∠3－∠1 的度数等于（）A．90°B．120°C．150°D．180°2．如图，AB∥DE，∠C：∠D：∠B＝2：3：4，则∠B＝．3．如图，直线l3，l4 与l1，l2 分别相交于点A，B，C，D，且∠1＋∠2＝180°．（1）直线l1 与l2 平行吗？为什么？（2）点E 在线段AD 上，若∠ABE＝30°，∠BEC＝62°，求∠DCE 的度数．【解答】（1）直线l1 与l2 平行．理由如下：∵∠1＋∠BAE＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠BAE．∴l1∥l2．（2）过点E 作EF∥AB 交BC 于点F，可得∠BEF＝∠ABE＝30°．∴∠FEC＝62°－30°＝32°．∵l1∥l2，∴ EF∥CD，∴∠DCE＝∠FEC＝32°．5．将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，如图，将A，B，C，D，E，F 顺次首尾连结，若AF 恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD＋10°，∠CDE＝∠E＝105°．（1）求∠F 的度数；（2）计算∠B－∠CGF的度数是；（直接写出结果）（3）连接AD，∠ADE 与∠CGF 满足怎样数量关系时，BC∥AD？并说明理由．【解答】（1）∵AF∥DE，∴∠F＋∠E＝180°．∴∠F＝180°－105°＝75°．（2）作MC∥AF．∵AF∥DE，∴AF∥CM∥DE，∴∠BCM＝∠FGC，∠MCD＝∠CDE，∴∠BCD＝∠BCM＋∠MCD＝∠CGF＋∠CDE，∠B－∠CGF＝∠BCD＋10°－∠CGF＝∠CGF ＋∠CDE＋10°－∠CGF＝∠CDE＋10°＝115°．（3）当∠ADE＋∠CGF＝180°时，BC∥A D．理由如下：∵AF∥DE，∴∠GAD＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠CGF＝180"．∴∠GAD＝∠CGF．∴BC∥A D．整体思想求角题型一 设单个未知数求定角方法技巧巧设题目未知数，用该未知数表示其它未知角，然后运用角的和或差计算出定角【例 1】如图 1，直线 MN 与直线 AB ，CD 分别交于点 E ，F ，AB ∥CD ，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点 P ，EP 的延长线与 CD 交于点 G ，点 H 是 MN 上一点，且 CH ⊥EC ．（1） 求证：PF ∥GH ；（2） 如图 2，连接 PH ，K 是 GH 上一点，∠PHK =∠HPK ，作 PQ 平分∠EPK ，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由图 1 图 2【分析】（1）过点 P 作 AB 的平行线交 MN 于点 T ，运用平行线+拐点模型求∠EPF ，再根据 ∠ECH 的大小关系求解；（2）设∠PHK =∠HPK =x ，用 x 表示未知角，运用整体思想求解。