高考数学系列之单元测评2

第二十二章 二次函数 选拔卷〔考试时间：90分钟 卷子总分值：120分〕一、选择题：此题共10个小题，每题3分，共30分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．〔2023·山东东营市·中考试题〕一次函数与二次函数在同()0y ax b a =+≠()20y ax bx c a =++≠一平面直角坐标系中的图象可能是〔 〕A ．B ．C ．D ．（答案）C（分析）逐一分析四个选项，依据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y 轴的位置关系，即可得出a 、b 的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．（详解）A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a <0，b <0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a >0，b <0，∴一次函数图象应该过第—、三、四象限，故本选项错误；C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a <0，b <0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a <0，b <0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．应选C ．（点睛）此题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．x的二次函数43的函数值C.c的图象关于直线错误；3的函数值，即.y轴交于点5A标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．，x，)；代入原抛物线解析式可得：方法等．，当1 1C象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．，∴该二次函数的开口方向是向上； ．度为〔 〕米3B 代入可求解．， ，∵32x 50，〕3625+，∴顶点为25，∴+想解答．．nD或a 函数 当∴，0的关键．7．〔2023·天津九年级二模〕二次函数，当且时，y 的最小值为2(1)5y x =--+m x n ≤≤0mn <，最大值为，则的值为〔 〕5m 5n m n +A ．0B ．C ．D ．1-2-3-（答案）D（分析）由且可得，依据题意画出函数图像，依据图像分情况商量；m x n ≤≤0mn <0m n <＜当时，y 随x 的增大而增大，可得当时y 有最小值，当时y 有最大值，代入1m n <<x m =x n =并验证；当时分两种情况：当时y 有最小值，当时y 有最大值，或当1m n <≤x m =1x =1x =时y 有最大值，当时y 有最小值，得出符合情况的值即可得出答案.x n =（详解）解：如图，二次函数的大致图像如下： 2(1)5y x =--+且时，，m x n ≤≤ 0mn <0m n ∴<＜①当时，y 随x 的增大而增大，1m n <<当时y 有最小值，即：，解得：或〔舍去〕；∴x m =()2155m m --+=4m =-1m =当时y 有最大值，即：，解得：或〔均不符合题意，舍x n =()2155n n --+=4n =-1n =去〕；②当时，当时y 有最小值，即：，解得：或〔舍1m n <≤x m =()2155m m --+=4m =-1m =去〕； 当时y 有最大值，即：，解得：，1x =()21155n --+=1n =或：当时y 有最大值，即：，解得：，1x =()21155n --+=1n =当时y 有最小值，即：，将代入解得：， x n =()2155n m --+=1n =5m =∴m最大值及最小值在哪里取得，再代入求解；熟练掌握分析函数最值的方法是此题解题关键.论的个数是〔 〕个C，进而得出④正确，即可得出结论．误；正确；，，故③错误；，，，．．A出发沿B C DD三段，分别求出函数表达式即可求解．AAPQ如图，同理可得：y=×PE×AD= 该函数为一次函数；12()148162,2t t ⨯-=-时，如图，同理可得：y=×PE×CQ= 12()()2118121048.22t t t t --=-+-该函数为开口向下的抛物线， 应选：D ．楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．1向左平移得到2A ．32m -≤<-B ．412-< D m 与抛物线， ． m 过m与抛物线5m与正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有肯定的难度．分。

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。

2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（二）（全国1卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U =,{3,4,5}A =,{1,2,5}B =,则{}1,2=（ ） A ．ABB ．()UA B ⋂C ．()UA B ∩D ．()()UU A B ⋂【答案】B 【解析】{}5AB =,故A 不正确；(){}1,2U A B =,故B 正确；(){}3,4UAB =,故C 不正确；()()UU A B ⋂=∅,故D 不正确.故选B2．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位),则下列说法正确的是（ ）A ．z 的虚部是-iB ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【答案】C【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-.对选项A,z 的虚部是1-,故A 错误.对选项B,1z i =-为虚数,故B 错误.对选项C,z ==故C 正确.对选项D,112z z i i +=-++=,故D 错误.故选C3．设x ,y ∈R ,则“1≥x 且1y ≥”是“221x y +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为1x ≥且1y ≥,所以21x ≥且21y ≥,所以2221x y +≥>；若221x y +≥,可取0x =,1y =-,不满足1x ≥且1y ≥,所以前者是后者的充分不必要条件,故选A.4．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示.若实数n 满足224sin 184n ︒+=,则221sin188sin 18n ︒︒-=（ ） A ．14B ．12C．4D．2【答案】A【解析】根据题中的条件可得()22222221sin181sin181sin181sin188sin 188sin 184cos 188sin 368sin 1844sin 18n -︒-︒-︒-︒===︒︒⨯︒︒︒-︒()1sin181sin1811cos7241cos72482-︒-︒===-︒-︒⨯.故选A ． 5．已知非零向量a ,b 满足233a b =,且()a b b -⊥,则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】因为()a b b -⊥,所以()0a b b -=,即20a b b ⋅-=,得2cos 0a b θb -=, 又因为233a b =,22cos 0b θb -=,得cos 2θ=,所以6πθ=.故选A 6．若实数x 、y 满足20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩,且2z x y =+的最小值为3,则实数b 的值（ ）A ．2B ．94C ．52D ．3【答案】B【解析】画出可行域如图所示,将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+,平移直线 2y x =-,当过点B 时,在y 轴上的截距最小,此时目标函数取得最小值,由20x y y x b-=⎧⎨=-+⎩得2()33b b B ，,则22333b b ⨯+=,解得94b =,故选B. 7．设函数()f x 和()g x 的定义域为D ,若存在非零实数c D ∈,使得()()0f c g c +=,则称函数()f x 和()g x 在D 上具有性质P .现有三组函数：①()f x x =,()2g x x =；②()2-=x f x ,()x g x e =-；③()2f x x =-,()2x g x =,其中具有性质P 的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】对于①,()()2f xg x x x +=+,则()()11110f g -+-=-+=,合乎题意；对于②,()()20x xf xg x e -+=-=,可得102xx e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即()21x e =,解得0x =,不合乎题意；对于③,()()22x f x g x x +=-+,则()()2222220f g +=-+=,合乎题意.因此,具有性质P 的是①③.故选B.8．已知锐角ϕcos 1ϕϕ-=．若要得到函数()()21sin 2f x x ϕ=-+的图象,则可以将函数1sin 22y x =的图象（ ）．A ．向左平移7π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移7π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【答案】Acos 1ϕϕ-=知：2sin()16πϕ-=,即1sin()62πϕ-=,∴锐角3πϕ=,故()()221112sin sin cos(2)22323f x x x x ππϕ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭, 又12117cos(2)sin(2)sin(2)232626x x x πππ+=-+=+,∴17()sin(2)26f x x π=+,故()f x 是将1sin 22y x =向左平移7π12个单位长度得到,故选A9．在ABC 中,角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c ．若2cos b a A =,222a b c ab +-=,则下面式子中不可能成立的是（ ） A ．a c b << B ．a b c ==C ．c b a <<D ．223sin sin sin sin 4B A A B +-=【答案】C【解析】因为222a b c ab +-=,所以2221cos 22a b c C ab +-==,而(0,)C π∈,所以3C π=,又2cos b a A =,由正弦定理得sin 2sin cos sin2B A A A ==,,A B 是三角形内角,所以2B A =或2B A π+=,若2B A =,则由3C π=得,29A π=,49B π=,则a c b <<,A 可能成立,若2B A π+=,则由3C π=得,3A B π==,则a b c ==,B 可能成立,此时若c =则2222232cos 4a b ab C a b ab c +-=+-==,D 可能成立,只有C 不可能成立．故选C ． 10．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形,PA a =,点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心,当三棱锥P ABC -体积最大值时,三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．3B ．23a πC ．32a D ．212a【答案】B【解析】如下图所示,延长PH 交BC 于点D ,连接AD ,H 为PBC 的垂心,则BC PD ⊥,AH ⊥平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,BC AH ∴⊥,AHPD H =,BC ∴⊥平面PAD ,AD ⊂平面PAD ,BC AD ∴⊥,连接BH 并延长交PC 于点E ,连接AE ,AH ⊥平面PBC ,PC ⊂平面PBC ,AH PC ∴⊥,BE PC ⊥,AHBE H =,PC ∴⊥平面ABE ,AB ⊂平面ABE ,AB PC ∴⊥,设点P 在平面ABC 内的射影为点O ,延长CO 交AB 于点F ,连接PF ,PO ⊥平面ABC ,AB 平面ABC ,PO AB ∴⊥,PO PC P =,AB ∴⊥平面PCF ,PF 、CF ⊂平面PCF ,则PF AB ⊥,CF AB ⊥,AD CF O =,O ∴为正ABC 的中心,且F 为AB的中点,PO ⊥平面ABC ,OA 、OB 、OC ⊂平面ABC ,PO OA ⊥,PO OB ⊥,PO OC ⊥,且OA OB OC ==,所以,POA POB POC ≅≅,PA PB PC a ∴===,当PB PC ⊥时,PBC 的面积取最大值,当PA ⊥平面PBC 时,三棱锥P ABC -的体积取得最大值,将三棱锥A PBC -补成正方体AEMN PBDC -,所以,三棱锥A PBC -的外接球的直径即为正方体AEMN PBDC -的体对角线长,设三棱锥A PBC -的外接球直径为2R ,则2R =,因此,三棱锥P ABC -的外接球的表面积为()222423R R a πππ=⨯=.故选B.11．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F,左、右顶点分别是12,A A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B,C 两点,若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A ．12±B ．2±C ．1±D ．【答案】C 【解析】,,,,所以,根据,所以,代入后得,整理为,所以该双曲线渐近线的斜率是,故选C.12．已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-,且当[]0,3x ∈时,()2x f x xe-=,若关于x 的不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解,则实数t 的取值范围是（ ） A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．112,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-,所以()()()6f x f x f x -==-,即()()6+f x f x =, 所以函数()f x 是以6为周期的周期函数,当[]0,3x ∈时,()2x f x xe-=,所以()22xx f x e -'=（1-）,当02x ≤<时,()0f x '>,函数()f x 递增；当23x <≤时,()0f x '<,函数()f x 递减； 当当2x =时,函数()f x 取得极大值()2f x e=,作出函数()f x 在(3,3]-上的图象,如图所示：因为不等式()()20fx tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解,所以不等式()()20f x tf x ->在(3,3]-上有且只有3个整数解,当()0f x =时,不符合题意,故不等式()f x t >在(3,3]-上有且只有3个整数解,因为()()1322133,f e f e--==,所以()()3311f f e=>,即13f f ,故不等式()f x t >在(3,3]-上的3个整数解分别为-2,2,3,所以,()()13f f t <<,即32123t e e --<<,故选B二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13. 某工厂生产A ,B ,C 三种不同型号的产品,某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a ,现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,已知B 种型号产品抽取了60件,则a =______. 【答案】5 【解析】由题意,605120a a =+,解得5a =． 14．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ,过点Fl 交C 于A ,B 两点,以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ,N 两点,设线段AB 的中点为Q ,若点F 到C 的准线的距离为3,则sin QMN∠的值为______． 【答案】58【解析】抛物线C ：()220y px p =>的焦点为(,0)2pF ,准线方程为2p x =-,由题意得3p =,则抛物线方程为236,(,0)2y x F =,则直线AB的方程为3)2y x =-,由23)26y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,得22731504x x -+=,设,A B 的横坐标分别为12,x x ,则125x x +=,所以AB 的中点Q的坐标为5(2,12538AB x x p =++=+=,则圆Q 的半径为4,在QMN 中,552sin 48QMN ∠==,故答案为5815．新冠疫情期间,甲､乙､丙三个家庭在某医院等候区等待核酸检测结果.等候区是6（列）×2（行）的座位.甲､乙家庭各有三人,且乙家庭有一个小孩,丙家庭有两人.现有相关规定：同一家庭的人需坐在同一行上,不同家庭的人之间不能太接近（左右不相邻）,小孩至少坐在其一位家长身边(左右相邻).则共有______种坐法. 【答案】9216【解析】由题甲、丙在一行, 乙在另一行和乙、丙在一行, 甲在另一行两类：（1）甲、丙在一行, 乙在另一行, 分4步处理如下：①先甲、丙选行,有12C 种；①再甲、丙选左右两边,有12C 种；①两边分别排甲、丙,甲、丙间隔一个位置,有3232A A 种；①排乙,乙在甲、丙另一行,又分3人相邻和只2人相邻两类,3人相邻有1343C A ,只2人相邻有122242C A A 种故共有()1132122132232242433456C C A A C A A C A +=种；（2）乙、丙在一行, 甲在另一行, 分4步处理如下①先乙、丙选行,有12C 种；①再乙、丙选左右两边,有12C 种；①两边分别排乙、丙,乙、丙间隔一个位置,有3232A A 种；①排甲,甲在乙、丙另一行,有36A 种,故共有12323223265760C C A A A =种坐法由（1）（2）共有345657609216+= 种.16．已知a ,b R ∈,满足22x x x be e a e+≥-对任意x ∈R 恒成立,当2a b +取到最小值时,2a b +=______. 【答案】24【解析】令x t e =,则0t >,所以22bt t a t+≥-,即3220t t at b -++≥对于0t >恒成立, 令32()2f t t t at b =-++()0t >,因为(2)8822f a b a b =-++=+,因为对于0t >时()0f t ≥恒成立,所以20a b +≥,当2a b +取最小值时,即20a b +=,此时在2t =时()f t 有最小值,因为函数()f t 的定义域为(0,)+∞,()202t ∈+∞=，，不是区间端点值,又在(2)f 处取得最小值,所以(2)f 也是函数的一个极小值,且2()34f t t t a '-=+,所以(2)3480f a '=⨯-+=,得4a =-,从而8b =故224a b +=.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且645,62.a S =-=- （1）求{}n a 通项公式；（2）求数列{||}n a 的前n 项和.n T解：（1）在等差数列{}n a 中,因为645,62a S =-=-, 所以1155,4662a d a d +=-+=-, 解得 120,3a d =-=,(3分)所以 1(1)323n a a n d n =+-=-.(5分) （2）令3230n a n =-≥,解得233n ≥, 当7n ≤时,0n a <,当8n ≥时,0n a >,(7分)所以当7n ≤时, ()()1221343 (2)n n n n n a a a a a T a -=-+=----++=-,(9分)当8n ≥时, 12789......n n T a a a a a a =----++++, ()()()127123432 (1542)n n n a a a a a a -=-+++++++=+,(11分) 所以()()343,72343154,82n n n n T n n n ⎧--≤⎪⎪=⎨-⎪+≥⎪⎩.(12分) 18.(12分) 在三棱柱111ABC A B C -中,1AB AC ==,1AA =AB AC ⊥,1B C ⊥平面ABC ,E 是1B C 的中点.（1）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ； （2）求直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值. 解：（1）由1B C ⊥平面ABC ,AB平面ABC ,得1AB B C ⊥,(2分)又AB AC ⊥,1CB AC C =,故AB ⊥平面1AB C ,(4分)AB 平面11ABB A ,故平面11ABB A ⊥平面1AB C .(5分)（2）以C 为原点,CA 为x 轴,1CB 为z 轴,建立如图所示空间直角坐标系, 则()0,0,0C ,()1,0,0A ,()1,1,0B又BC =11BB AA ==故11CB =,()10,0,1B ,10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()1,0,0CA =()111,1,1AA BB ==--,11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(7分)设平面11AAC C 的一个法向量为(),,n x y z =,则100n CA n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即00x x y z =⎧⎨--+=⎩,令1y =,则1z =, ()0,1,1n =,(9分) 设直线AE 与平面11AAC C 所成的角为θ,故1sin 2n AE n AEθ⋅===即直线AE 与平面11AAC C 分)19.(12分) 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,3M ,其上､下顶点分别为点A ,B ,且直线AM ,MB 的斜率之积为34AM BM k k ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左顶点(),0Q a -作两条直线,分别交椭圆C 于另一点S ,T .若2QS QT k k +=,求证：直线ST 过定点.（1）解：①()0,A b ,()0,B b -, ①333224MA MB b b k k -+⋅=⋅=-,解得212b =, 将212b =,()2,3M 都代入椭圆方程,得216a =,①椭圆方程为2211612x y +=；(5分)（2）证明：设()11,S x y ,()22,T x y ,直线ST 的方程为y kx t =+. 将y kx t =+代入椭圆方程,整理得()2223484480kxktx t +++-=,122843kt x x k +=-+,212244843t x x k -=+,(7分) 由1212244y y x x +=++,得1212244kx t kx tx x +++=++. 整理,得()()()121222488320k x x k t x x t -++-++-=,即()()2224488224883204343t kt k k t t k k -⎛⎫-⋅++-⋅-+-= ⎪++⎝⎭. 化简,得()228316120t k t k k -+++=,即()()4430t k t k ---=.(10分)当4t k =时,直线ST 的方程为()44y kx k k x =+=+,恒过左顶点,不合题意 当43t k =+时,直线ST 的方程为()4343y kx k k x =++=++,恒过点()4,3-.∴直线ST 过定点()4,3-.(12分)20.(12分) 某电子公司新开发一电子产品,该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成,各个电子元件能否正常工作的概率均为12,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C 中有超过一半的电子元件正常工作,则G 可以正常工作,否则就需要维修,且维修所需费用为500元. (1)求系统不需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G 组成,设E 为电子产品需要维修的系统所需的费用,求ξ的分布列与期望; (3)为提高G 系统正常工作概率,在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件,每个新元件正常工作的概率均为p ,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作,则C 可以正常工作,问:p 满足什么条件时,可以提高整个G 系统的正常工作概率?解：（1）系统不需要维修的概率为23233311112222C C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2分)（2）设X 为维修维修的系统的个数,则13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭,且500X ξ=, 所以()()3311,0,1,2,325002kkk P P k X k C k ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为()50037502E ξ=⨯⨯=. (7分) （3）当系统G 有5个电子元件时,原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作,G 系统的才正常工作. 若前3个电子元件中有1个正常工作,同时新增的两个必须都正常工作,则概率为21223113228C p p ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；若前3个电子元件中有两个正常工作, 同时新增的两个至少有1个正常工作,则概率为()()2221222323111131222228C C p p C p p p ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若前3个电子元件中3个都正常工作,则不管新增两个元件能否正常工作,系统G 均能正常工作,则概率为3331128C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为()2233131288848p p p p +-+=+, 于是由()3113214828p p +-=-知,当210p ->时,即112p <<时,可以提高整个G 系统的正常工作概率. (12分)21.(12分) 已知函数()22ln ln f x x x a x =---.（a R ∈）（1）令()()g x xf x '=,讨论()g x 的单调性并求极值； （2）令()()22ln h x f x x =++,若()h x 有两个零点；（i ）求a 的取值范围；（ii ）若方程()ln 0xxe a x x -+=有两个实根1x ,2x ,且12x x ≠,证明：12212x x e ex x +> 解：（1）因为()2ln 1x af x x x'=-- 所以()()2ln g x xf x x x a '==--,()0,x ∈+∞ 则()2x g x -'=,所以()g x 单调递减区间为()0,2,单调递增区间为()2,+∞ 极小值为()222ln 2g a =--,无极大值. (4分) （2）（i ）()ln h x x a x =-有两个零点. 因为()1a x ah x x x-'=-=①当0a ≤时,()0h x '>,()h x 单调递增,不可能有两个零点；①当0a >时,令()0h x '<,得0x a <<,()h x 单调递减；令()0h x '>,得x a >,()h x 单调递增.所以()()min ln h x h a a a a ==- 要使()h x 有两个零点,即使()0h a <,得a e >,又因为()110h =>,()0h e e a =-<,所以()h x 在()1,e 存在唯一一个零点, 且a e >,()2ee0aah a =->,所以()h x 在(),ae e上存在唯一一个零点,符合题意.综上,当a e >时,函数()h x 有两个零点. (8分) 法二：()ln h x x a x =-有两个零点.等价于1x ≠时,ln xa x =有两个实根,（1） 令()ln x F x x =,()2ln 1ln x F x x-'= 当()0,1x ∈时,()0F x '<,()F x 单调递减,且()0F x <； 当()1,x e ∈时,()0F x '<,()F x 单调递减； 当(),x e ∈+∞时,()0F x '>,()F x 单调递增；()F e e =,1x +→,()F x →+∞,x →+∞,()F x →+∞.要使（1）有两个实数根,即使()a F e e >=, 综上,当a e >时,函数()h x 有两个零点. (8分) （ii ）()()()e ln e ln e0xxxx a x x x a x x -+=->有两个实根,令e x t x =,()ln g t t a t =-有两个零点1t ,2t ,111e x t x =,222e x t x =所以1122ln 0ln 0t a t t a t -=⎧⎨-=⎩,所以()2121ln ln a t t t t -=-（1）()2121ln ln a t t t t +=+（2）要证12212x x e ex x +>,只需证()()12212x x x e x e e ⋅>,即证()()1212ln ln 2x x x e x e +>, 所以只需证12ln ln 2t t +>.由（1）（2）可得()221121212122111ln ln ln ln ln 1t t t tt t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--, 只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-. 设120t t <<,令21t t t =,则1t >,所以只需证1ln 21t t t ->+,即证4ln 201t t +->+ 令()4ln 21h t t t =+-+,1t >,则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++, ()()10h t h >=,即当1t >时,4ln 201t t +->+成立. 所以12ln ln 2t t +>,即()()12212x x x ex e e ⋅>,即12212x x e x xe+>.(12分)(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)在直角坐标系 xOy 中,直线l 过点(0,2)P ,倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭.以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为：2cos 2sin 0ρθθ-=. （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ,B 两点,M 为AB 中点,且满足||,||,||PA PM PB 成等比数列,求直线l 的斜率.解：（1）因为直线l 过点(0,2)P ,倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭, 所以直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数),因为2cos 2sin ρθθ=,所以22cos 2sin ρθρθ=,所以曲线C 的直角坐标方程为：22x y =；(5分)（2）将直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数)代入22x y =可得：22cos 2sin 40t t αα--=,设A,B 所对应的参数为12,t t ,所以1212222sin 4,cos cos t t t t ααα-+=⋅=, 因为||,||,||PA PM PB 成等比数列,所以212122t t t t +⎛⎫= ⎪⎝⎭,即242sin 4cos cos ααα=, 解得2tan 4α=,tan 2α=±,故直线l 的斜率为2±. (10分) 23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知函数()21f x x =+,()|||21|g x x a x =---,12a ≥. （1）当12a =时,解不等式27()2g x <-；（2）对任意1x ,2x R ∈,若不等式12()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.解：（1）当12a =时,11()||21||22g x x x x =---=--,不等式27()2g x <,即217||22x --<-,即217||22x ->,解得24x >或23x <-(舍去),由24x >,解得2x <-或2x >.所以不等式27()2g x <-的解集是(,2)(2,)-∞-+∞. (5分)（2）由题意知,只需满足()min max ()g x f x ≥即可.()21f x x =+,()min 1f x ∴=,依题意,当12a ≥时,11,21()31,21,x a x g x x a x a x a x a ⎧+-<⎪⎪⎪=-++≤≤⎨⎪--+>⎪⎪⎩,由一次函数性质知,()g x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和(),a +∞上单调递减,max 11()()22g x g a ∴==-.由()min max ()g x f x ≥,得112a -≥,即32a ≤. 所以实数a 的取值范围是：1322a ≤≤. (10分)。

第十一、十二章 单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．2009年8月，“莫拉克”强台风给我国台湾地区带来了半个世纪以来最严重的洪水灾害．为有效地帮助台湾灾民消除灾后恐惧心理，某心理咨询中心拟从4名男咨询师和3名女咨询师中选派3名赴台湾救灾，则所选派的咨询师中既有男性又有女性的方法共有( )A ．180种B ．35种C ．31种D ．30种答案 D2．(1＋x )10(1＋1x)10展开式中的常数项为( )A ．1B ．(C 101)2C ．C 201D ．C 2010答案 D解析 因为(1＋x )10(1＋1x )10＝[(1＋x )(1＋1x )]10＝(2＋x ＋1x)10＝(x ＋1x)20(x >0)，所以T r ＋1＝C 20r (x )20－r (1x)r ＝C 20r x10－r，由10－r ＝0，得r ＝10，故常数项为T 11＝C 2010，选D.3．已知盒子中有散落的围棋子15粒，其中6粒黑子，9粒白子，从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.1735B.17C.16105D.3435答案 A解析 所求概率为C 62＋C 92C 152＝1735.4．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A.24 C ．16D ．12答案 C解析 依题意可知，二年级的女生数为2000×0.19＝380人，那么三年级的学生人数是2000－373－377－380－370＝500.经计算可得总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故应在三年级抽取的学生人数为64×28＝16.5．节假日时，国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚，若小王的同事中，给其发短信问侯的概率为1,0.8,0.5,0的人数分别为8,15,14,3(人)，今年五一节时，通常情况下，小王应收到同事问侯的短信条数为( )A ．8B ．27C ．37D ．38答案 B解析 E ξ＝8＋0.8×15＋0.5×14＋0×3＝27.6．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3球，以ξ表示取出的球的最大号码，则E ξ的值为( )A ．4B ．5C ．4.5D ．475 答案 C解析 ξ＝3,4,5.P (ξ＝3)＝1C 53＝110，P (ξ＝4)＝C 32C 53＝310，P (ξ＝5)＝C 42C 53＝610.∴E ξ＝3×110＋4×310＋5×610＝4510＝4.5.7．某市2010年有40000人参加高中毕业会考，从中随机抽取100名考生的数学试卷进行分析，其成绩统计的直方图如下：该市优秀(80分及80分以上)学生人数大致是( )A ．900B ．9000C ．11000D ．12000答案 B解析 因组距是10，则优秀(80分及80分以上)学生的概率是0.015×10＋0.0075×10＝0.225，则该市优秀学生人数大致是0.225×40000＝9000.8．同时抛掷4枚均匀的硬币80次．设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是( )A ．5B ．10C ．15D ．20答案 B解析 ξ～B (80，18)，E ξ＝80×18＝10.9．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为( ) A.19 B.112 C.115D.118 答案 B解析 将一个骰子连抛三次，共有n ＝63种不同情形．其中，落地时向上的点数依次成等差数列的有：①公差d ＝±1的有4×2＝8(种)；②公差为±2的有2×2＝4(种)；③公差d ＝0的有6种，共有m ＝8＋4＋6＝18(种)，故所求概率为P ＝m n ＝1863＝112.10．将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分成8个组，如下表：则第6A ．0.14 B ．14 C ．0.15 D ．15答案 C解析 运用频率、频数的定义，注意其区别以及频率范围，易知频数为15，则频率为0.15，故选C.11．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，记Φ(x )＝P (ξ<x )，则下列结论不正确的是( )A ．Φ(0)＝12B ．Φ(x )＝1－Φ(－x )C ．P (|ξ|<α)＝2Φ(α)－1(α>0)D ．P (|ξ|>α)＝1－Φ(α)(α>0) 答案 D解析 因为正态分布N (0,1)关于y 轴对称，所以A 、B 、C 正确．12．已知某一随机变量ξ的分布列如下，且E ξ＝6.3，则a 的值为( )A.5 C ．7 D ．8答案 C解析 由题意得0.5＋0.1＋b ＝1，且E ξ＝4×0.5＋0.1a ＋9b ＝6.3，因此b ＝0.4，a ＝7，选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．小明和小勇在五种课外读物中各自选购两种，则他们两人所选购的课外读物中至少有一种不相同的选法种数为________．答案 90解析 小明和小勇都有C 52种选购方法，根据乘法原理，选购方法总数是C 52C 52＝100种．选购的两本读物都相同的方法数是C 52＝10种．故所求的选法种数为100－10＝90.14．2012年奥运会足球预选赛亚洲区决赛(俗称九强赛)，中国队和韩国队都是九强赛中的队，现要将九支队随机分成三组进行决赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是________．答案 14解析 P ＝C 71×C 63·C 33A 22C 93·C 63·C 33A 33＝21C 93＝1415．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E ξ＝________.答案 1解析 由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (ξ＝0)＝C 32C 42＝12，P (ξ＝2)＝C 31C 42＝12，故E ξ＝0×12＋2×12＝1.16．设p 为非负实数，随机变量ξ的概率分布为：则E ξ的最大值为 答案 321解析 由表可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤12－p ≤1，0≤p ≤1，从而得p ∈[0，12]，期望值E ξ＝0×(12－p )＋1×p＋2×12＝p ＋1，当且仅当p ＝12时，E ξ最大值＝32； 方差D ξ＝(0－p －1)2×(12－p )＋(1－p －1)2×p ＋(2－p －1)2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，当且仅当p ＝0时，D ξ最大值＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)见如下表格，回答表格下面的问题：(1)完成上表；(2)根据上表，画出频率分布直方图；(3)据上表和图估计，数据在168.5～176.5范围内的概率是多少？ 解析 (1)(2)频率分布直方图如下：(3)P (168.5<ξ<176.5)＝0.518．(本小题满分12分)某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布，观众答对问题A 可获奖金a 元，答对问题B 可获奖金2a 元；先答哪个题由观众自由选择，只有第1个问题答对，才能再答第2个问题，否则中止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12，13.你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望较大？说明理由．解析 设甲先答A 、B 所获奖金分别为ξ、η元，则有P (ξ＝0)＝1－12＝12，P (ξ＝a )＝12(1－13)＝13， P (ξ＝3a )＝12×13＝16.P (η＝0)＝1－13＝23， P (η＝2a )＝13(1－12)＝16，P (η＝3a )＝13×12＝16.所以E ξ＝0×12＋a ×13＋3a ×16＝5a6；E η＝0×23＋2a ×16＋3a ×16＝5a6.由于两种答序获奖金的期望相等，故先答哪个都一样．19．(本小题满分12分)为备战2012年伦敦奥运会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下：(1)该选手一次射击命中8环以上(含8环)的概率；(2)该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率． 解析 以该选手射击的频率近似估算概率． (1)射击一次击中8环以上的概率约为P ＝20＋35＋25100＝0.8.(2)记一次射击命中10环为事件P 1，则P 1＝0.2， 一次射击命中9环为事件P 2，则P 2＝0.35，于是两次射击均命中10环的概率约为P (A )＝(P 1)2＝0.04， 两次射击一次命中10环，一次命中9环的概率约为P (B )＝C 21P 1P 2＝0.14，即该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率约为0.18.20．(本小题满分12分)在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(1)恰有两道题答对的概率； (2)至少答对一道题的概率．解析 视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为14.由独立重复试验的概率计算公式得： (1)恰有两道题答对的概率为P 4(2)＝C 42(14)2(34)2＝27128. (2)法一：至少有一道题答对的概率为 1－P 4(0)＝1－C 40(14)0(34)4＝1－81256＝175256.法二：至少有一道题答对的概率为C 41(14)(34)3＋C 42(14)2(34)2＋C 43(14)3(34)＋C 44(14)4(34)0＝108256＋54256＋12256＋1256＝175256. 21．(本小题满分12分)(2010·天津卷，理)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．解析 (1)设X 为射手在5次射击击中目标的次数，则X ～B (5，23)，在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 52×(23)2×(1－23)3＝40243. (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中， 有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝(23)3×(13)2＋13×(23)3×13＋(13)2＋(23)3＝881. (3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝(13)3＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×(13)2＋13×23×13＋(13)2×23＝29；P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝(23)2×13＋13×(23)2＝827； P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝(23)3＝827.所以ξ的分布列是22.(本小题满分12(同时进行)比赛，名额分配如下 ：(1) (2)从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率； (3)如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛(假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的)，记观看足球比赛的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解析 (1)设“从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛”为事件A .则P (A )＝C 102＋C 62＋C 42C 202＝3395.即从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛的概率是3395.(2)解法一 设“所选的3名学生均没有观看足球比赛”为事件B .则P (B )＝C 103C 203＝219，所以P (B )＝1－P (B )＝1719.即从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率为1719.解法二 设“从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛”为事件C .则P (C )＝C 101·C 102＋C 102·C 101＋C 103C 203＝1719.(3)解法一 ξ的可能取值为0,1,2,3,4. 由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为13.所以P (ξ＝0)＝C 40(13)0(23)4＝1681；P (ξ＝1)＝C 41(13)1(23)3＝3281； P (ξ＝2)＝C 42(13)2(23)2＝2481＝827； P (ξ＝3)＝C 43(13)3(23)1＝881；P (ξ＝4)＝C 44(13)4(23)0＝181.随机变量ξ的分布列为：所以E ξ＝0×1681＋1×81＋2×81＋3×81＋4×81＝3.解法二 由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为13.则随机变量ξ～B (4，13)．所以随机变量ξ的分布列为：所以E ξ＝np ＝4×3＝3.。