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解一元二次方程课标要求
包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．《义务教育数学课程标准（2011年
版）》对解一元二次方程一节相关内容提出的要求如下。
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．
3．了解一元二次方程的根与系数的关系．
四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．配方法解一元二次方程【例1】（2015•科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把二次项的系数化为1；（2）把常数项移到等号的右边；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．（4）用直接开平方法解这个方程.练1用配方法解方程：（1）x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.2．用配方法求多项式的最值【例2】（2015春•龙泉驿区校级月考）当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.练2（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．问题：（1）小华的求解过程正确吗？（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程．8．（2014秋•安陆市期末）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值为4仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．9．（2014春•乳山市期末）已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．10．（2014秋•江阴市期中）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a=﹣1．①当x=时，代数式﹣2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．②当x=时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？典例探究答案：【例1】【解析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A选项正确．B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C选项正确．D、∵3x2﹣4x﹣2=0，∴3x2﹣4x=2，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴（x﹣）2=．故D选项正确．故选：B．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．练1．【解析】（1）移项，得x2﹣2x=24，配方，得：x2﹣2x+1=24+1，即：（x﹣1）2=25，开方，得：x﹣1=±5，∴x1=6，x2=﹣4．（2）两边除以3，得：2810 3x x+-=,移项，得：2813x x+=，配方，得：222844()1()333x x++=+，即：2245 (x)()33+=，开方，得：4533x +=± ∴121,33x x ==- （3）整理，得：22120x x +=，配方，得：2211201x x ++=+， 即：2(1)121x +=， 开方，得：111x +=±∴1210,12x x ==-点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．【例2】【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．解：x 2+4x+4y 2﹣4y+1=x 2+4x+4+4y 2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y ﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y ﹣1）2的最小值是0，∴x 2+4x+4y 2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．点评：本题考查配方法的应用；根据﹣4y ，4x 把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．练2．【解析】将﹣8x 2+12x ﹣5配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a 2≥0这一性质即可证得．解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．练3．【解析】（1）将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；（2）将等式右边的项移至左边，然后配方即可．解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）∵a、b、c为△ABC三边的长，∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．（2）由a2+2b2+c2=2b（a+c）得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0∴a=b=c∴△ABC为等边三角形．点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方．课后小测答案：一、选择题1．【解析】二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方．解：x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2．故选：B．点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．2．【解析】先移项，得x2﹣8x=1，然后在方程的左右两边同时加上16，即可得到完全平方的形式．解：移项，得x2﹣8x=1，配方，得x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17．故选A．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，对多项式进行配方，不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于二次函数和判断代数式的符号等，应熟练掌握．二、填空题3．【解析】利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值．解：∵（x﹣3）2=x2﹣6x+9，∴a=9；故答案为：9．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．【解析】根据题意列出方程，两边除以3变形后，再加上1配方后，开方即可求出解．解：根据题意得：3x2﹣6x=12，即x2﹣2x=4，配方得：x2﹣2x+1=5，即（x﹣1）2=5，开方得：x﹣1=±，解得：x=1±．故答案为：1±．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三、解答题5．【解析】按照配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，配方得（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x1=1﹣，x2=1+．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．6．【解析】原式利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．解：原式=x2﹣2x+1+4y2+4y+1+3=（x﹣1）2+（2y+1）2+3≥3，当x=1，y=﹣时，x2+4y2﹣2x+4y+5有最小值是3．点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．【解析】对于x2+4x﹣3和x2﹣3x+4都是同时加上且减去一次项系数一半的平方．配成一个完全平方式与常数的和，利用完全平方式为非负数的性质得到原代数式的最小值．解：（1）正确（2）能．过程如下：x2﹣3x+4=x2﹣3x+﹣+4=（x﹣）2+∵（x﹣）2≥0，所以x2﹣3x+4的最小值是．点评：此题考查配方法的运用，配方法是常用的数学思想方法．不仅用于解方程，还可利用它解决某些代数式的最值问题．它的一个重要环节就是要配上一次项系数一半的平方．同时要理解完全平方式的非负数的性质．8．【解析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．解：（1）m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥．则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5．点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．【解析】先将原式变形为x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5，由非负数的性质就可以求出最小值．解：x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5．∵代数式x2﹣2m﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，∴﹣2m2+5m﹣5=﹣23解得m=﹣2或m=点评：本题考查了配方法的运用，非负数的性质，一个数的偶次幂为非负数的运用．解答时配成完全平方式是关键．10．【解析】①由完全平方式的最小值为0，得到x=1时，代数式的最大值为3；②将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；③设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为16m，表示出平行于墙的一边为（16﹣2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．解：①∵（x﹣1）2≥0，∴当x=1时，（x﹣1）2的最小值为0，则当x=1时，代数式﹣2（x﹣1）2+3的最大值为3；②代数式﹣x2+4x+3=﹣（x2﹣4x+4）+7=﹣（x﹣2）2+7，则当x=2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；③设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，∴花园的面积为x（16﹣2x）=﹣2x2+16x=﹣2（x2﹣8x+16）+32=﹣2（x﹣4）2+32，则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．故答案为：①1；大；3；②2；大；7点评：此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．。
