精心设计习题,提高教学实效

中学课　ｉ辅导　２０１４年４月　精ＪＩ！］Ｉ设计习题，提高教学实效　＠林雪嫦　摘要：练习是检查数学课堂教学成果的重要手段，也是将数　学知识转化为能力，培养学生良好思维品质的重要途径。高质量　的、有针对性的习题，不仅可以使学生跳出“题海”，而且能提高学　生的数学解题能力。本文结合笔者自身的教学实践，从五个方面　论述了如何精心设计数学习题，提高初中数学教学实效。　关键词：初中数学；习题设计；教学实效　

中图分类号：Ｇ６３＆６文献标识码：Ａ文章编号：１９９２—７７１１（２０１４）０４—０１１９　在数学学习中，学生有将近二分之一的时间在做练习。因此，　练习的质量优劣，直接影响着数学教学的效果好坏。然而，在教学　中，很多教师关注的比较多的是教学目标定位是否准确、教学环　节设计是否科学、教学方法是否创新以及教学课件制作是否精　巧。而对课后习题的关注往往很少。我们走进数学教师的办公室，　普遍看到的是现成的教辅或者是统一征订的试卷，很少有数学教　师亲自精选或编写习题。其实，练习是检查数学课堂教学成果的　重要手段，也是将数学知识转化为能力，培养学生良好思维品质　的重要途径。高质量的、有针对性的习题，不仅提高学生做题的兴　趣，而且提高学生数学的解题能力。优化习题设计，能更好地彰显　数学魅力，同时也能引导学生顺利地进入数学殿堂。可以说，习题　是打开数学大门的一把金钥匙。本文结合笔者的教学实践，谈谈　数学习题设计的方法。　一、精心设计易错题，打破学生思维定势　学生在解题的时候，往往受定势思维和解题习惯的影响．对　于习题中条件的变化，他们还是会照搬例题的解题方法和思路，　不能做到随题应变。因此，教师应通过易错题来帮助学生真正理　解和思考问题。然后让学生总结错识的原因，从而让他们发现在　解题时思维上的误区和方法上的不足。　案例１：《一元二次方程的应用》的习题。　一淘宝商家进了一批手机充电宝，准备在“双１１”促销，该充　电宝的进价为４０元。经市场预测，如果销售价标为５Ｏ元，可售出　１８０个，定价每增加ｌ元，销售量将减少ｌＯ个，该商家若准备在　这一天获利１６００元，则应该进货多少，定价为多少？　说明：该题与浙教版八年级下册数学教材第４ｌ页Ａ１题相　似。不同的是，教材中习题最后求出的两个根都是正数，且都符合　题意。而解本题：设定价为（５０　）元，则每销售一个获利（５０＋ｘ一４０）　元，共销售（１８ｏ一１ｏｘ）个。根据题意得（５Ｏ＋ｘ一４０）（１８０一］０ｘ）＝１６００，解　得方程的两个根　ｌ＝一２，ｘ２＝１０，其实也符合题意。但是学生往往会　把　ｌ＝一２舍去，以为涨价不能为负数。这是受“人数”、“长度”等量　不能为负数的定势思维的影响。因此，设计该题的目的是帮助学　生消除定势思维的影响，使之清楚地了解进价、定价、涨价各种量　之间的关系。避免解一元二次方程在两根的取舍上出现错误。设　计该题，既考虑到课题的主要内容，又考虑到学生的薄弱点。　二、精心选择针对性习题，激活学生解题思维　数学学习是一个循序渐进的过程，不同时期的作业应根据学　生的实际水平和课堂的教学目标进行精选，避免出现大量简单重　复机械操作的作业，那样就会让学生深陷题海的深渊。因此有针　对性地选择一些习题，学生通过知识的同类比较，异同比较，既可　以发挥学生的主体作用，化解教学的重难点，又能激活学生的解　题思维，提高学生的解题能力。　案例２：一次函数复习　例如：在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数　后，把相关知识归纳整理如下：　（１）一次函数的解析式就是一个二元一　次方程；　（２）点Ｂ的横坐标是方程　的解；　（３）点ｃ的坐标＠，ｙ）中的　，Ｙ的值是方　程组　的解。　（１）函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函数值ｙ大于０时，　自变量　的取值范围就是不等式③的　解集；　（２）函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函数值ｙ小于０时，　自变量　的取值范围就是不等式④的　解集。　ｆ１）请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应　的结论：　①；②；③——；④。　（２）如果点ｃ的坐标为（１，３），那么不等式ｋｘ＋ｂ≥　ｘ＋ｂ　的解　集是。　

说明：在一次函数复习中，大部分学生对一次函数概念、图象　

位置、增减性都很清楚，真正困难在于：在图象和表达式中发现有　用的信息来解决问题；用不等式、方程、函数表示现实问题中数量　关系；用函数图象表示方程、不等式之间的相互关系等等。因此，　设计这样的一组习题，展开对函数、方程、不等式之间关系用数形　结合思想进行知识梳理，有的放矢，化解教学难点，提高学生的解　题能力。　三、精心设计梯度题组。纠正学生模糊认知　在数学学习过程中，学生难免会在认知上出现一些偏差，并　且他们自己也不会察觉。要澄清这些潜意识中存在的模糊认识，　就要采用一些适当的问题和方法，让学生加以辨析，这样有助于　学生明晰知识，进而促进学生深入理解数学知识，优化解题思维。　第一，并列式题组：　习题设计要立足于数学核心知识。因为紧扣核心知识点设计　题组，就是抓住了教学的重难点。而随着这些题组慢慢解开，教学　的重难点也就一步一步被攻克。　案例３：在复习特殊四边形时，笔者设置了这样一组题：　判断下列各题是对是错。对的说明理由，错误的举出反例。　１．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。　（）　２．一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形。（）　３．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。（）　４．对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形。（）　５．一组邻边相等，且有一条对角线平分一组对角的四边形是　菱形。（）　６．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。（）　７．两个角相等的梯形一定是等腰梯形。（）　说明：这一组问题都设有“陷阱”，学生假如没有认真分析，就　会出现错误。因此，通过这７个命题的分析，澄清学生的模糊认　网ｌ　２０１４年４月　知，增强了思辨能力。很多学生被第２、３、５、７题所蒙蔽。仅仅知道　它是错误的，却不能举出反例，表现出思维的肤浅。于是笔者组织　学生对习题进行充分讨论与交流，进行反例的构建，得出如下结　论：第２题、第３题、第５题的反例分别为：图１、图２、图３，第７　题的反例为“直角梯形”。　Ｂ　Ｃ　Ｄｔ　图１　图２　Ｃ　Ｃ　图３　Ｄ　第二，递进式题组：　数学习题设计的原则之一是由易到难，循序渐进，需要有层　次性。这样一步步将问题难度加深，让不同层次的学生都能达到　有效训练的目的。从而揭开题目的规律，发展学生的解题思维。　案例４：为了加深学生对等腰三角形性质的理解，笔者设计　了下列一组递进式题组：　（１）如果等腰ＡＡＢＣ的一个底角为７Ｏ。，那么它的顶角厶４度　数是多少？　（２）如果等腰ＡＡＢＣ的顶角　Ａ为７０。，那么它的底角　Ｂ、　／Ｃ度数是多少？　（３）如果等腰ＡＡＢＣ的一个内角为７０。，那么它的其余的内角　度数各是多少？　（４）如果等腰ＡＡＢＣ的一个内角为１１０。，那么它的其余的内　角度数各是多少？　（５）如果等腰ＡＡＢＣ的一个内角为ｎ。，那么它的其余的内角　度数各是多少？　说明：该题组中的（１）、（２）题立足于等腰三角形的两个底角相等　这一基本性质，第（３）题则需要考虑这个７Ｏ。内角的位置，第（４）题需　要强调的是，当内角为钝角时，它的位置只能是顶角。否则，就不符　合三角形三个内角的和等于１８０。的性质了。第（５）题则是用字母代　替数，需要综合考虑上述的各个因素，难度又有所增加。通过这样　的习题，加强了学生对等腰三角形的性质定理的理解和直接应用，　促进学生积极思维，培养了学生分析问题、解决问题的能力。　四、精心设计开放性习题。发展学生的求异思维　解决一个数学问题，方法往往是多种多样的。学生可以从不同的　角度、不同的方法去思考。而改变题目的条件或结论，增加题目的开　放程度，可以帮助学生寻找不同的解决途径和思维方式，从而使学生　掌握解决同类问题的方法和规律，提高学生的综合应变能力。　案例５：相似三角形复习课，笔者设计了如下的开放性习题：　（１）如图４，Ｄ、Ｅ两点分别在ＡＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上，当满足什　么条件时，ＡＡＤＥ与ＡＡＢＣ相似（写出一个即可）？　（２）如图５，锐角ＡＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，过ＡＢ上一点Ｄ作直线　ＤＥ交另一边于点Ｅ，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条　件的图形。　（３）如果将问题２中的“锐角ＡＡＢＣ”改为“ＲｔＡＡＢＣ”，（如图　６），其他条件不变，画出满足条件的图形。　图４　图５　图６　图７　图８　ｌ囤　中学．ｉ罘哥　辅导　说明：习题（１）是一个条件开放题，如果从边的角度思考，添加　的条件可以是　：筹或　＝籍。习题（２）可以从习题（１）中　

得到启发，ＡＡＤＥ与ＡＡＢＣ相似有两种情况，（ＡＡＤＥ　ＡＡＢＣ　和ＡＡＥ２Ｄ￣，ＡＡＢＣ），同理，ＡＤＢＥ与ＡＡＢＣ相似也有两种情况，　这样的点Ｅ就有４个，如图７。习题（３）与习题（２）相似，但ＡＤＢＥ与　ＡＡＢＣ相似只有一种情况（ＡＢＥ　Ｄ—ＡＢＣＡ）。这样的点　就只有　３个，如图８。　这种开放性的习题，由于答案不是唯一，学生就有了想象与　创造的空间。他们在寻求答案的过程中，发散思维与求异思维得　到了发展。在讲评习题的过程中，全体学生参与讨论，他们各抒己　见、互相启发、取长补短，学习的积极性得到充分调动，教学效果　比较明显。　五、精心设计变式题。开拓学生解题思路　当前，很多学业考试的题目是由数学教材中的例题、习题进　行改编。这类原题知识覆盖面广，同时又强调对“四基”（即基础知　识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验）的考查，适当对教　材中的探究、例题、练习进行类比、加工、改造，设置不同的情境或　变换条件，让习题尽量多地回归教材，既能开拓学生的解题思路，　更能培养学生驾驭教材知识的能力。　原题１：如图９，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ、Ｆ分别是ＢＣ、ＣＤ上的　点，ＡＥ上ＢＦ，求证：ＡＥ＝ＢＦ。　原题２：如图１０，０是正方形ＡＢＣＤ的对角线的交点，ＥＦ、ＧＨ　都过点０，ＥＦ＿Ｉ＿ＧＨ，ＡＥ＝ＣＦ。　

Ｄ　Ｆ　Ｃ　

图９　图１０　图１１　图１２　

ｆ１）ｌ？ｇ点０为旋转中心，将整个图作旋转变换，问至少旋转多　少度，所得的像和原图形重合？　（２）根据第（１）题的结果，判断图中有哪些全等的四边形。　ｆ３）若ＣＦ＝２，ＣＧ＝６，求图中每个四边形的面积。　在设计习题时，我们可以对它进行变式：　变式１：如图１１，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ、Ｆ分别是ＢＣ、ＣＤ上　的点，ＡＥ、ＢＦ交于点０，厶４ＯＦ＝９０。，求证：ＢＥ＝ＣＦ。　变式２：如图ｌ２，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ、日、Ｆ、Ｇ分别在边　ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ上，ＥＦ、ＧＨ交于点０，　ＦＯＨ＝９０。，ＥＦ＝４，求ＧＨ　的长。　变式３：已知点Ｅ、日、Ｆ、Ｇ分别在矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ、　ＣＤ、ＤＡ上，ＥＦ、ＧＨ交于点０，Ｚ．ＦＯＨ＝９０。，ＥＦ＝４，直接写出下列两　题的答案：Ｄ　Ｆ　（１）如图１３，矩形ＡＢＣＤ由２个　全等的正方形组成，求ＧＨ的长；　（２）如图１４，矩形ＡＢＣＤ由ｎ个　Ｇ　全等　正方形组成，求ＧＨ的长。　Ａ