离散数学-第6章

第6章习题答案1．列举出从X到Y的关系S的各元素（1）X={0，1，2}，Y={0，2，4}，S={<x，y>|x+y∈X⋂Y}（2）X={1，2，3，4，5}，Y={1，2，3}，S={<x，y>|x=y2，x∈X，y∈Y}解：（1）S={<0，0>，<0，2>，<2，0>}（2）S={<1，1>，<4，2>}2．设P={<1，2>，<2，4>，<3，3>}Q={<1，3>，<2，4>，<4，2>}求dom（P），ran（P），并证明：dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）解：dom（P）={1，2，3}ran（P）={2，3，4}证明：对于任意xx∈dom（P⋃Q）⇔∃y（<x，y>∈P⋃Q）⇔∃y（<x，y>∈P∨<x，y>∈Q）⇔∃y（<x，y>∈P）∨∃y（<x，y>∈Q）⇔ x∈dom（P）∨x∈dom（Q）⇔ x∈dom（P）⋃dom（Q）所以，dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）3．若关系R和S自反的，对称的和传递的，证明：R⋂S也是自反的，对称的和传递的。

证明：设R和S是集合A上的关系。

因为R和S是自反的，所以，对于A中的任意元素x，有<x，x>∈R和<x，x>∈S。

因此<x，x>∈R⋂S，即R⋂S是自反的。

因为R和S是对称的，所以对于任意<x，y>，<x，y>∈R⋂S⇔<x，y>∈R∧<x，y>∈S⇔<y，x>∈R∧<y，x>∈S⇔<y，x>∈R⋂S因此，R⋂S是对称的。

因为R和S是传递的，所以对于任意<x，y>和<y，z><x，y>∈R⋂S ∧<y，z>∈ R⋂S⇔<x，y>∈R∧<x，y>∈S∧<y，z>∈ R∧<y，z>∈ S⇔（<x，y>∈R∧<y，z>∈ R）∧（<x，y>∈S ∧<y，z>∈ S）⇔<x，z>∈R∧<x，z>∈ S⇔<x，z>∈R⋂S因此，R⋂S是传递的。

离散数学结构第6章集合代数第六章集合代数1. 集合，相等，（真）包含，⼦集，空集，全集，幂集2. 交，并，（相对和绝对）补，对称差，⼴义交，⼴义并3. ⽂⽒图，有穷集计数问题4. 集合恒等式（等幂律，交换律，结合律，分配律，德·摩根律，吸收律，零律，同⼀律，排中律，⽭盾律，余补律，双重否定律，补交转换律等）学习要求1. 熟练掌握集合的⼦集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表⽰2. 熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、⼴义交、⼴义并的定义及其性质3. 掌握集合的⽂⽒图的画法及利⽤⽂⽒图解决有限集的计数问题的⽅法4. 牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零律、同⼀律、排中律、⽭盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）5. 准确地⽤逻辑演算或利⽤已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式6.1 集合的基本概念⼀．集合的表⽰集合是不能精确定义的基本概念。

直观地说，把⼀些事物汇集到⼀起组成⼀个整体就叫集合，⽽这些事物就是这个集合的元素或成员。

例如：⽅程x2－1＝0的实数解集合；26个英⽂字母的集合；坐标平⾯上所有点的集合；……集合通常⽤⼤写的英⽂字母来标记，例如⾃然数集合N(在离散数学中认为0也是⾃然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。

表⽰⼀个集合的⽅法有两种：列元素法和谓词表⽰法，前⼀种⽅法是列出集合的所有元素，元素之间⽤逗号隔开，并把它们⽤花括号括起来。

例如A={a，b，c，…，z}Z={0，±1，±2，…}都是合法的表⽰。

谓词表⽰法是⽤谓词来概括集合中元素的属性，例如集合B＝{x|x∈R∧x2－1＝0}表⽰⽅程x2－1＝0的实数解集。

许多集合可以⽤两种⽅法来表⽰，如B也可以写成{-1，1}。

但是有些集合不可以⽤列元素法表⽰，如实数集合。

集合的元素是彼此不同的，如果同⼀个元素在集合中多次出现应该认为是⼀个元素，如{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}集合的元素是⽆序的，如{1，2，3}＝{3，1，2}在本书所采⽤的体系中规定集合的元素都是集合。

离散数学第二版答案(6-7章)LT第六章 代数系统6.1第129页1． 证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。

该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。

2．证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不是可交换的。

任取,,x y z N ∈，由(*)**x y z x z x ==，*(*)*x y z x y x ==知，(*)**(*)x y z x y z =，*运算是可结合的。

任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。

*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。

*运算没有左么元。

证明：采用反证法。

假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。

3．解： ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。

离散数学微课版第六章课后答案离散数学是一门重要的数学课程，它涉及数学中的许多基本概念，如逻辑、集合、函数和图论。

离散数学微课版第六章的主要内容是图论，图论是离散数学的重要组成部分。

本章主要讨论了图的基本概念、图的结构和图的表示方法。

图的基本概念是指图的元素，它由顶点和边组成。

顶点是图中的一个点，它可以是一个实体或一个抽象的概念，而边是两个顶点之间的关系。

图的结构是指图中顶点和边之间的关系，它可以是连通的、无向的或有向的。

连通的图中，任意两个顶点都有一条路径可以相连；无向图中，边的两个顶点之间没有方向性；有向图中，边的两个顶点之间有方向性。

图的表示方法有多种，其中最常用的是邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵是一个二维矩阵，它用来表示图中顶点之间的关系，如果顶点u和v之间有边，那么矩阵中的对应元素为1，否则为0；而邻接表则用一维数组来表示图中顶点之间的关系，它将每个顶点与其相邻顶点列出来，以此来表示图中的边。

离散数学微课版第六章课后答案是指离散数学微课版第六章的课后习题答案，其中包括了有关图的基本概念、图的结构和图的表示方法的习题。

答案可以帮助学生更好地理解图论的概念，并能够熟练地使用图的表示方法。

本章的课后习题答案可以帮助学生更好地理解图论，并能够熟练地使用图的表示方法。

首先，学生需要了解图的基本概念，包括顶点和边，并能够识别连通图、无向图和有向图；其次，学生需要了解图的表示方法，包括邻接矩阵和邻接表，并能够熟练地使用它们。

离散数学微课版第六章课后答案的重要性在于，它可以帮助学生更好地理解图论，并能够熟练地使用图的表示方法。

此外，它还可以帮助学生更好地学习离散数学，掌握离散数学中的重要概念和方法，从而为今后的学习和应用打下坚实的基础。

第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言：简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形（一般地正n 边形）、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。

画图解释：2．用根式求解代数方程的根（1）一元二次方程：20x bx c ++=⇒122b x -±=，。

注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。

（2）三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。

先作变换：用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=（不含二次项）， （*）其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。

利用恒等式：333()3()u v uv u v u v -+-=-，把它与（*）比较得：33,3,x u v uv m u v n =-=-=。

由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= （即*方程的解） 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式， 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。

关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是， 四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。

（3从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次(当然，这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。

直到1830年由法国人Galois （伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。

可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。

3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。

一．群的定义及简单性质1定义：设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统，如果⋅同时满足（1）结合律：即,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立；（2）存在单位元（也称为幺元，记为e ），即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈（3）中每个元素a 都有逆元（记为1a -）：即存在1a G -∈，使得11a a a a e --⋅=⋅=，则称G 关于运算⋅构成一个群。

离散数学练习题第一章一．填空1.公式)()(q p q p ∧⌝∨⌝∧的成真赋值为 01；102.设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题)()(s r q p →⌝↔→的真值为 03.公式)()()(q p q p q p ∧∨⌝∧↔⌝与共同的成真赋值为 01；104.设A 为任意的公式，B 为重言式，则B A ∨的类型为 重言式5．设p, q 均为命题，在 不能同时为真 条件下，p 与q 的排斥也可以写成p 与q 的相容或。

二．将下列命题符合化 1.7不是无理数是不对的。

解：)(p ⌝⌝，其中p: 7是无理数； 或p ，其中p: 7是无理数。

2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。

解：其中,q p ∧⌝p: 小刘怕吃苦，q ：小刘很爱钻研3.只有不怕困难，才能战胜困难。

解：p q ⌝→，其中p: 怕困难，q: 战胜困难或q p ⌝→，其中p: 怕困难， q: 战胜困难4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。

解：)(q p r →→⌝，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人 ，r: 困难解决了 或：q p r →∧⌝)(，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了5.整数n 是整数当且仅当n 能被2整除。

解：q p ↔，其中p: 整数n 是偶数，q: 整数n 能被2整除三、求复合命题的真值P ：2能整除5， q ：旧金山是美国的首都， r ：在中国一年分四季 1. ))(())((q p r r q p ∧→∧→∨2.r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()(( 解：p, q 为假命题，r 为真命题1.))(())((q p r r q p ∧→∧→∨的真值为02. r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()((的真值为1四、判断推理是否正确 设x y 2=为实数，推理如下：若y 在x=0可导，则y 在x=0连续。

y 在x=0连续，所以y 在x=0可导。

华东师范大学离散数学章炯民课后习题第6章答案p992.f:x？y、有什么需要吗？x、定义f（a）={f（x）|x？a}。

（1）证明f（a？B）=f（a）？f（b）（3）举例说明f(a?b)≠f(a)?f(b)。

证明：（1）? Y∈f（a？b）??x∈a?b，使y=f(x)??x∈a或?x∈b，使y=f(x)?y=f(x)∈f(a)或y=f(x)∈f(b)?y∈f(a)?f(b)?f(a?b)=f(a)?f(b)（2）举例：设f（x）=X2，a={1,2}，B={1，-2}。

则f(a?b)={1}，而f(a)={1,4}f(b)={1,4}f(a)?f(b)={1,4}故，f(a?b)≠f(a)?f(b)基本正确。

一些学生错误地认为函数值是一个值而不是一个集合。

4F:x？y、以下命题正确吗？（1）f是一对一的当且仅当对任意a,b?x，当f(a)=f(b)时，必有a=b；（2）f是一对一的当且仅当对任意a,b?x，当f(a)≠f(b)时，必有a≠b。

解：（1）设立（2）不成立，如f(x)=x2,部分学生第（2）判断错误5.下图显示了五种关系的关系图。

问：这些关系中哪些是函数？什么是一对一功能？它的功能是什么？哪些是一对一的通信？解：1是一个函数，一对一，但不是顶部；2是一个高达但不是一对一的函数；3是一个函数，一对一对应；4是功能；5不是一个函数。

对的9(1).f：x?y，g：y?z。

命题“f？G是一对一的当且仅当f和G都是一对一的”这是真的吗？解决方案：不成立。

F是一对一。

假设f不是一对一的,不妨设f(a)=b,f(b)=b(a≠b)f?g(a)=g(f(a))=g(b),f?g(b)=g(f(b))=g(b)Fg（a）=f？G（b），哪个和f相同？G是一对一的矛盾。

但g不一定是一对一的。

反例:如f的论域{1,2}:f(1)=5,f(2)=6,g的论域{4,5,6}:g(4)=a,g(5)=a,g(6)=c,f是一对一的,f?g也是一对一的,但g不是一对一的部分学生判断错误。

第6章 函数一、选择题（每题3分）1、设{,,},{1,2,3}A a b c B ==，则下列关系中能构成A 到B 函数的是（ C ） A 、1{,1,,2,,3}f a a a =<><><> B 、2{,1,,1,,2}f a b b =<><><> C 、4{,1,,1,,1}f a b c =<><><> D 、1{,1,,2,,2,,3}f a a b c =<><><><>2、设R Z N 、、分别为实数集、整数集，自然数集，则下列关系中能构成函数的是（ B ） A 、)}10(),(|,{<+∧∈><y x N y x y x B 、)}(),(|,{2x y R y x y x =∧∈>< C 、)}(),(|,{2x y R y x y x =∧∈>< D 、{,|(,)(m o d 3)}x y x y Z x y <>∈∧≡3、设Z 为整数集，则二元关系{,23}f a b a Z b Z b a =<>∈∧∈∧=+ （ B ） A 、不能构成Z 上的函数 B 、能构成Z 上的函数 C 、能构成Z 上的单射 D 、能构成Z 上的满射4、设f 为自然数集N 上的函数，且1()0x f x x ⎧=⎨⎩若为奇数若为偶数，则f （ D ）A 、为单射而非满B 、为满射而非单射C 、为双射D 、既非单射又非满射 5、设f 为整数集Z 上的函数，且()f x 为x 除以5的余数 ，则f （ D ）A 、为单射而非满B 、为满射而非单射C 、为双射D 、既非单射又非满射 6、设R Z 、分别为实数集、整数集，则下列函数为满射而非单射的是（ C ） A 、:,()6f R R f x x →=+ B 、2:,()(6)f R R f x x →=+ C 、:,()[]f R Z f x x →= D 、6:,()6f R R f x x x →=+7、设R R Z +、、分别为实数集、非负实数集、正整数集，下列函数为单射而非满射的是（ B ）A 、2:,()71f R R f x x x →=-+- B 、x x f R Zf ln )(,:=→+；C 、:,()f R R f x x →= D 、:,()71f R R f x x →=+8、设Z N E 、、分别为整数集，自然数集，偶数集，则下列函数是双射的为（ A ） A 、f : Z E → , ()2f x x = B 、f : Z E → , ()8f x x =C 、f : Z Z →, ()8f x =D 、f : N N N →⨯, (),1f n n n =<+> 9、设3,4X Y ==，则从X 到Y 可以生成不同的单射个数为（ B ）． A 、12 B 、24 C 、64 D 、81 10、设3,2X Y ==，则从X 到Y 可以生成不同的满射个数为（ B ）．A 、6B 、8C 、9D 、64 11、设函数:f B C →，:g A B →都是单射，则:f g A C → （ A ）A 、是单射B 、是满射C 、是双射D 、既非单射又非满射 12、设函数:f B C →，:g A B →都是满射，则:f g A C → （ B ）A 、是单射B 、是满射C 、是双射D 、既非单射又非满射 13、设函数:f B C →，:g A B →都是双射，则:f g A C → （ C ）A 、是单射B 、是满射C 、是双射D 、既非单射又非满射 14、设函数:f B C →，:g A B →，若:f g A C → 是单射，则（ B ） A 、f 是单射 B 、g 是单射 C 、f 是满射 D 、g 是满射 15、设函数:f B C →，:g A B →，若:f g A C → 是满射，则（ C ） A 、f 是单射 B 、g 是单射 C 、f 是满射 D 、g 是满射 16、设函数:f B C →，:g A B →，若:f g A C → 是双射，则（ D ）A 、,f g 都是单射B 、,f g 都是满射C 、f 是单射, g 是满射D 、f 是满射, g 是单射二、填充题（每题4分）1、设,X m Y n ==，则从X 到Y 有2m n 种不同的关系，有m n 种不同的函数．2、设,X m Y n ==，且m n ≤，则从X 到Y 有m n A 种不同的单射．3、在一个有n 个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n 种不同的函数，有!n 种不同的双射．4、设f 为自然数集N 上的函数，且1()2x f x xx ⎧⎪=⎨⎪⎩，若为奇数若为偶数，,则(0)f =0，[{0}]f ={0} ，[{1,2,3}]f ={1}，[{0,2,4,6,}]f = N ．5、设,f g 是自然数集N 上的函数,x x g x x f N x 2)(,1)(,=+=∈∀，则()f g x = 21x +，()g f x = 2(1)x +．三、问答计算题（每题10分）1、设{234}A =，，，}12,10742{，，，=B ，从A 到B 的关系},,,{b a B b A a b a R 整除且∈∈><=，试给出R 的关系图和关系矩阵，并说明此关系R 及其逆关系1R -是否为函数？为什么？解：}12,4,4,4,12,3,12,2,10,2,4,2,2,2{><><><><><><><=R ，则R 的关系图为：R 的关系矩阵为 1101100001011RM⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦关系R 不是A 到B 的函数， 因为元素2，4的象不唯一逆关系1R -也不是B 到A 的函数 因为元素7的象不存在．2、设Z 为整数集，函数f ：Z Z Z ⨯→，且(,)f x y x y =+，问f 是单射还是满射？ 为什么？并求(,),f x x (,)f x x -．解：x Z ∀∈, 0,x Z Z ∃<>∈⨯，总有(0,)f x x =，则f 是满射； 对于1,2,2,1,Z Z <><>∈⨯，有(1,2)3(2,1)f f ==，而1,22,1<>≠<>，则f 非单射；(,)2,(,)0f x x x f x x =-=．3、设{1,2}A =，A 上所有函数的集合记为A A , “ ”是函数的复合运算，试给出A A 上运算“ ”的运算表，并指出A A 中是否有幺元，哪些元素有逆元？解：因为2A =，所以A 上共有224=个不同函数，令},,,{4321f f f f A A =，其中：14(1)1,(2)2;(1)1,(2)1;(1)2,(2)2;(1)2,(2)1f f f f f f f f ========1f 为AA 中的幺元，1f 和4f 有逆元．4、设R 为实数集，函数f ：R R R R ⨯→⨯，且(,),f x y x y x y <>=<+->， 问f 是双射吗？为什么？并求其逆函数1(,)fx y -<>及(,)f f x y <> ．解： 1122,,,x y x y R R ∀<><>∈⨯，若1122(,)(,)f x y f x y <>=<>， 有11112222,,x y x y x y x y <+->=<+->，则1122,,x y x y <>=<>，故f 是单射；,u v R R ∀<>∈⨯，令2u v x +=，2u v y -=，则,x y R R <>∈⨯，且(,),,f x y x y x y u v <>=<+->=<>，则f 是满射，故为双射；1(,),22x y x y fx y -+-<>=<> ；(,)(,)(2,2)f f x y f x y x y f x y <>=<+->=<> ．四、证明题（每题10分）1、设函数f ：A B →，g ：B C →，g 和f 的复合函数g f ：A C →， 试证明：如果g f 是双射，那么f 是单射，g 是满射． 证明：12,x x A ∀∈且12()()f x f x B =∈，则1122()[()][()]()g f x g f x g f x g f x === ，因g f 是单射，有12x x =，故f 是单射；c C ∀∈，因g f 是满射，a A ∃∈，使()[()]c g f a g f a == ，而()f a B ∈，故g 是满射．注：如果g f 是单射，那么f 是单射；如果g f 是满射，那么g 是满射． 2、设f 是A 上的满射，且f f f = ，证明：A f I =．证明：因f 是满射，则对A a ∈∀，存在A a ∈1，使得1()f a a =， 则11()[()]()f f a f f a f a == ，由 f f f = ，知1a a =， 于是()f a a =，由a 的任意性知A f I =． 3、设函数f ：A B →，g ：B A →，证明：若11,f g f g--==，则,A B g f I f g I == ．证明： 因1f g -=,则y B ∀∈,1()()g y fy x A -==∈，有(),()g y x f x y ==，于是，对y B ∀∈，有()[()]()()B f g y f g y f x y I y ==== ，知B f g I = ；又1f g-=，则对x A ∀∈,1()()f x gx y -==，有(),()f x y g y x ==，于是，对x A ∀∈，有()[()]()()A g f x g f x g y x I x ==== ，知A g f I = ． 4、设函数f ：A B →，g ：B A →，证明：若,A B g f I f g I == ，则11,fg f g--==．证明：因恒等函数A I 是双射，则g f 是A 上的双射，有f 是单射，g 是满射； 同样，恒等函数B I 是双射，则g f 是B 上的双射，有f 是满射，g 是单射； 所以，f 和g 都是双射函数，其反函数都存在，故有11,f g f g--==．注：设函数f ：A B →，g ：B A →，证明： 11,fg f g--==⇔ ,A B g f I f g I == ．5、设函数f ：A B →，g ：()B A ρ→，对于b B ∈，(){()}g b x x A f x b =∈∧=，()A ρ为A 的幂集，证明：如果f 是A 到B 的满射，则g 是B 到()A ρ的单射．证明：12x x B ∀≠∈,因f 是满射，12,y y A ∃∈,使1122()(),f y x x f y =≠=则12y y ≠； 又由g 的定义知，1122(),()y g x y g x ∈∈，故有12()()g x g x ≠，则g 是B 到()A ρ的单射．。

工科离散数学第二版牛连强第六章《工科离散数学第二版》是牛连强教授所著的一本离散数学教材，第六章的内容是图论的应用。

首先，让我们简单介绍一下图论的应用这一章的主要内容。

在这一章中，牛连强教授将带领读者深入了解图论在实际问题中的应用，如最短路算法、网络流问题、图的着色理论等。

这些内容不仅可以帮助读者更好地理解图论的基本概念，还能培养读者运用图论解决实际问题的能力。

接下来，让我们分析一下这一章的重点和难点。

图论的应用涉及许多实际问题的解决，如网络优化、交通规划等，这些问题的解决需要深入理解图论的基本概念和算法，同时也需要一定的数学和计算机知识。

因此，本章的重点是掌握图论的基本概念和算法，难点则是如何将图论应用于实际问题，如何设计有效的算法来解决这些问题。

为了帮助读者更好地掌握这一章的内容，我们可以提供一些学习建议和技巧。

首先，建议读者仔细阅读牛连强教授的讲解视频和相关资料，了解图论的基本概念和算法。

其次，可以通过习题练习加深对图论的理解，特别是对于一些实际问题，需要尝试运用图论的方法来解决。

最后，可以通过实际应用案例来加深对图论应用的理解。

针对第六章图论的应用这一章，我们可以给出一些学习建议。

首先，需要掌握图论的基本概念和算法，如节点、边、路径、图、欧拉图等。

其次，需要理解如何运用图论的方法解决实际问题，如最短路算法、网络流问题等。

此外，还需要尝试将所学知识应用于实际问题的解决中，不断探索和总结经验。

总之，《工科离散数学第二版》中的第六章图论的应用是非常重要的一部分内容。

通过认真学习这一章的内容，读者不仅可以加深对图论的理解，还可以培养运用图论解决实际问题的能力。

在学习的过程中，建议读者注重理解基本概念和算法，并通过习题练习和实际应用案例来加深对图论应用的理解。