【k12高考数学模拟】2019届天津市和平区高三下学期第一次质量调查数学(文)试题(解析版)

2019届天津市和平区高三第二学期第二次质量调查数学（文）试题一、单选题1．设全集，集合,,则A．B．C．D．【答案】B【解析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案.【详解】因为全集,集合或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．已知满足约束条件则的最小值为A．2 B．4 C．D．【答案】C【解析】首先绘制出可行域，注意到目标函数取最小值时直线系方程在y轴的截距有最大值，据此结合直线方程确定目标函数取得最小值时点的坐标，然后代入目标函数确定其最小值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故选：C.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3．执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出A．B．C．D．【答案】B【解析】首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.【详解】由流程图可知，程序输出的值为：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．下列结论错误的是A．命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B．“”是“”的充分不必要条件C．命题：“，”的否定是“，”D．若“”为假命题，则均为假命题【答案】B【解析】由逆否命题的定义考查选项A，由不等式的性质考查选项B，由全称命题的否定考查选项C，由真值表考查选项D，据此确定所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：A. 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B. 若“”，当时不满足“”，即充分性不成立，反之，若“”，则一定有“”，即必要性成立，综上可得，“”是“”的必要不充分条件C. 特称命题的否定是全称命题，命题：“，”的否定是“，”，D. 由真值表可知：若“”为假命题，则均为假命题.即结论错误的为B选项.故选：B.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.5．已知函数的图象关于直线对称，当时，，若，，，则的大小关系是A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的图象关于直线对称,所以为偶函数，当时，，函数单增，;，,因为,且函数单增，故,即，故选D.6．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是A．B．C．D．【答案】A【解析】根据三角函数的伸缩变换规律，得到的解析式，求出它的对称中心，结合选项，选出正确的一个对称中心。

天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学（理）试题温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C2.设变量满足约束条件，则的最大值为（）A. 1B. 6C. 5D. 4【答案】C3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】B4.在中，，，则的面积为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】C5.不等式成立的充分不必要条件是A. B. C.或 D. 或【答案】A6.已知，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.【答案】D7.设双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为A. B. C. D.【答案】B8.已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C第Ⅱ卷非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

2. 本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.9.已知，且复数是纯虚数,则 _______.【答案】10.的展开式中的系数为__________.（用数字作答）【答案】8011.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为______cm3【答案】20．12.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，若直线(为参数)被曲线截得的弦长为，则的值为_____________.【答案】或13.如图，在直角梯形中，，.若分别是边上的动点，满足，，其中，若，则的值为____________.【答案】14.已知为正数，若直线被圆截得的弦长为，则的最大值是____________.【答案】三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.设的内角所对边的长分别是，且.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理可得，代入边长求解a的值即可；(Ⅱ)由余弦定理可得：，则，利用二倍角公式和两角和差正余弦公式求解的值即可.【详解】(Ⅰ)由可得，结合正弦定理可得：，即：，据此可得.(Ⅱ)由余弦定理可得：，由同角三角函数基本关系可得，故，，.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，两角和差正余弦公式，二倍角公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势.某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖.现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃.(Ⅰ) 求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；(Ⅱ) 这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用、表示，记，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.【解析】【分析】(1)设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件.由题意求解“四人中至多一人抽到16元代金券”的概率即可；(2)设“这4人中恰有i人抽到500元代金券”为事件.由题意可知可取0,3,4.求得相应的概率值，列出分布列，最后求解数学期望即可.【详解】(1)设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件.易知“四人中至多一人抽到16元代金券”的概率：.(2)设“这4人中恰有i人抽到500元代金券”为事件.由题意可知可取0,3,4.，，.故的分布列为：.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望的求解，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.如图，四棱锥的底面是菱形，底面，分别是的中点，，，.（I）证明：；（II）求直线与平面所成角的正弦值；（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置.【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，底面，底面，故，且，故平面，平面，(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：，设平面的一个法向量为,则：，据此可得平面的一个法向量为，而，设直线与平面所成角为，则.(Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在，设，，据此可得：，即：,从而点F的坐标为，据此可得：,，结合题意有：，解得：.故点F为中点时满足题意.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.已知数列的前n项和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令.求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和. 试题解析：（1）由题意知当时，，当时，，所以．设数列的公差为，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，两式作差，得所以．考点1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.【此处有视频，请去附件查看】19.已知椭圆经过点,左、右焦点分别、，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为.(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 设是椭圆上不在轴上的一个动点,为坐标原点,过点作的平行线交椭圆于、两点，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 1 .【解析】【分析】(Ⅰ)由题意可知,据此求得a,b的值确定椭圆方程即可；(Ⅱ)设,直线,则直线,联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和交点坐标确定的值即可.【详解】(Ⅰ)由题意可知,解得,故椭圆C的标准方程为.(Ⅱ)设,直线,则直线,由得,所以,所以,由得.所以,所以,即.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.设函数.(Ⅰ) 求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ) 讨论函数的单调性；(Ⅲ) 设,当时,若对任意的，存在，使得≥，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意可得，据此确定切线的斜率，结合切点坐标确定切线方程即可；(Ⅱ)由可得，据此分类讨论确定函数的单调性即可；(Ⅲ)由题意可得，则原问题等价于，据此求解实数b的取值范围即可. 【详解】(Ⅰ)，因为,且，所以曲线在点处的切线方程为：.(Ⅱ)令，所以，当时,，此时在上单调递减,在上单调递增；当时,，此时在上单调递增,在上单调递减.(Ⅲ)当时,在上单调递减,在上单调递增，所以对任意,有，又已知存在，使,所以，即存在,使，即，即因为当，所以,即实数取值范围是.所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，利用导数求解切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.页11第。

A.{−2}
B.{0}
C.{−2, −1,1}
D.{−1, 0,1}
2.设 x R, 则“ 2x 1 ”是“ 2 1”的（
）
8
x
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.阅读下边的程序框图，若输入 N 的值为 26 ，则输出 N 的值为（
）
A． −1
a − 2b
为
．
14.在梯形
ABCD
中，
AB∥CD
，
AB
=
2CD
=
2
，BAD
=
3
，若
uuur BA
uuur BD
=
2
uuur , CE
=
uuur ED
，
点F
为边 BC 上的动点
,则
uuur FE

uuur FA
的取
值范围为
.
三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
名同学承担文件翻译工作. （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 M 为事件“抽取的两名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率.
16.（本小题满分 13 分）在 ABC 中， a,b, c 分别为三个内角 A, B,C 的对边，
且 b2 − 2 3 bc sin A + c2 = a2 . 3
．
1+ i
10.已知函数 f (x) = (x2 − a) ln x ， f '(x) 是函数 f (x) 的导函数，若 f '(1)= −2 ,则 a 的值

天津市和平区高三上学期期末质量调查数学（文）期末质量调查试卷第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|60A x x x =--<，{}|31B x x =-≤≤，则AB 等于（ ）A ．[2,1)-B ．(2,1]-C ．[3,3)-D ．(3,3]-2.一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是（ ） A ．13B ．25C ．815D ．353.如图的三视图所对应的的立体图形可以是（ ）4.若双曲线2213x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5.“1x <”是“ln(1)0x +<”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且32()()23f x g x x x -=++，则(2)(2)f g +等于（ ） A ．9-B ．7-C ．7D ．97.如图，在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NC BC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]1,4C ．[]2,5D ．[]1,78.设函数()4cos()sin 2cos(2)6f x x x x ππ=--+，则函数()f x 的最大值和最小值分别为（ ） A ．13和11-B ．8和6-C ．1和3-D ．3和1-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若复数12z i =-，则复数1z的虚部为 ．10.已知函数1()ln xf x x x-=+，'()f x 为()f x 的导函数，则'(2)f 的值为 ． 11.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出T 的值为 ．12.直线3y kx =+(0)k ≠与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，若||AB =，则k 的值为 ． 13. 设0a b >>，则21()a b a b +-的最小值是 ．14.已知函数22,0,()2,0,x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程1()2f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分）在ABC ∆中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-． （1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积． 16. （本小题满分13分）某单位生产A 、B 两种产品，需要资金和场地，生产每吨A 种产品和生产每吨B 种产品所需资金和场地的数据如下表所示：现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A 种产品可获利润3万元；生产每吨B 种产品可获利润2万元，分别用x ，y 表示计划生产A 、B 两种产品的吨数． （1）用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问A 、B 两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润． 17. （本小题满分13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为BC 的中点，3AB =，14AC AA ==，5BC =． （1）求证：1AB A C ⊥； （2）求证：1//A B 平面1ADC ； （3）求直三棱柱111ABC A B C -的体积．18. （本小题满分13分）设数列{}n a 满足条件11a =，1132n n n a a -+=+⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若nnb n a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19. （本小题满分14分）已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）经过点(2,3)A ，离心率12e =．（1）求椭圆E 的方程；（2）若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当ABC ∆的面积最大时，求C 点的坐标． 20. （本小题满分14分） 已知函数3221()233f x x ax a x =-+-（a R ∈且0a ≠）． （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(2,(2))f --处的切线方程； （2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间和极值；（3）当[]2,22x a a ∈+时，不等式|'()|3f x a ≤恒成立，求a 的取值范围．和平区第一学期高三年级 数学（文）期末质量调查试卷答案一、选择题1-5CDACB 6-8DCD二、填空题 9.25 10.14 11.120 12.34- 13.4 14.9(0,)16 三、解答题15.解：（1）由已知条件2a =，7c b =-，1cos 4B =-， 运用余弦定理，222cos 2a c b B ac+-=，（2）∵(0,)B π∈，∴sin4B===．而2a=，73c b=-=，由ABC∆的面积公式1sin2ABCS ac B∆=，得1232ABCS∆=⨯⨯=．16.解：（1）由已知，x，y满足的数学关系式为：2312,10050400,0,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即2312,28,0,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图的阴影部分：（2）设利润为z万元，则目标函数为32z x y=+．将其变形为322zy x=-+，这是斜率为32-，随z变化的一族平行直线，2z为直线在y轴上的截距，当2z取最大值时，z的值最大．因为x，y满足约束条件，所以当直线32z x y=+经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大，解方程组2312,28,x yx y+=⎧⎨+=⎩得点M的坐标(3,2)，∴max332213z=⨯+⨯=．答：生产A种产品3吨、B种产品2吨时，利润最大为13万元．17.（1）证明：在ABC∆中，3AB=，4AC=，5BC=，∴222AB AC BC +=， ∴AB AC ⊥．∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴1AA ⊥平面ABC ， ∵AB ⊂平面ABC ， ∴1AB AA ⊥， ∵1ACAA A =，∴AB ⊥平面1AA C ，∵1AC ⊂平面1AA C ， ∴1AB A C ⊥．（2）证明：设1A C 与1AC 交于E 点，连接ED ． ∵在1A BC ∆中，D 为BC 的中点，E 为1A C 的中点， ∴1//A B ED ，∵ED ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， ∴1//A B 平面1ADC ． （3）解：∵ABC ∆的面积13462S =⨯⨯=， 直三棱柱111ABC A B C -的高4h =，∴直三棱柱111ABC A B C -的体积6424V Sh ==⨯=．18.解：∵11a =，1132n n n a a -+-=⋅，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- (012)1323232n -=+⨯+⨯++⨯…1322n -=⨯-（2n ≥）．∵当1n =时，113221-⨯-=，式子也成立，∴数列{}n a 的通项公式1322n n a -=⨯-．（2）∵1322n n n b na n n -==⋅-，即013122b =⨯⨯-，123224b =⨯⨯-，233326b =⨯⨯-，…∴123n n S b b b b =++++ (0121)3(1222322)(2462)n n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-++++……．设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅…，①则2212 1222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅…，②①②，得0121(2222)2(21)2n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅…，∴(1)21n n T n =-⋅+，∴3(1)232(123)nn S n n =-⋅+-++++…3(1)2(1)3nn n n =-⋅-++．19.解：（1）由椭圆E 经过点(2,3)A ，离心率12e =， 可得22222491,1,4a b a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 解得2216,12,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆E 的方程为2211612x y +=． （2）由（1）可知1(2,0)F -，2(2,0)F ， 则直线1AF 的方程为3(2)4y x =+，即3460x y -+=， 直线2AF 的方程为2x =，由点A 在椭圆E 上的位置易知直线l 的斜率为正数． 设(,)P x y 为直线l 上任意一点，|2|x =-，解得210x y --=或280x y +-=（斜率为负数，舍去）．∴直线l 的方程为210x y --=．设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=，由221,161220x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，整理得2219164(12)0x mx m ++-=， 由22(16)4194(12)0m m ∆=-⨯⨯-=，解得276m =，因为m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距， 依题意，0m >，故m =∴C点的坐标为(1919-． 20.解：（1）∵当1a =-时，321()233f x x x x =---，2'()43f x x x =---， ∴82(2)8633f -=-+=，'(2)4831f -=-+-=． ∴[]2(2)3y x =--+，即所求切线方程为3380x y -+=． （2）∵22'()43()(3)f x x ax a x a x a =-+-=---．当0a >时，由'()0f x >，得3a x a <<；由'()0f x <，得x a <或3x a >． ∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3)a a ，单调递减区间为(,)a -∞和(3,)a +∞， ∵(3)0f a =，34()3f a a =-， ∴当0a >时，函数()y f x =的极大值为0，极小值为343a -． （3）2222'()43(2)f x x ax a x a a =-+-=--+， ∵'()f x 在区间[]2,22a a +上单调递减，∴当2x a =时，2max '()f x a =，当22x a =+时，2min '()4f x a =-． ∵不等式|'()|3f x a ≤恒成立，∴220,3,43,a a a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩解得13a ≤≤， 故a 的取值范围是[]1,3．。