七年级数学专题五让“点”动起来人教版
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初一数学专题五让“点”动起来人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题五：让“点”动起来教学目的：使学生能够学会解决几何一类问题的方法教学过程：说明：在解答一个数学题时，不能认为获得了解法后解题就结束了。
应当清醒地认识到，获得一个解法决不是解题的全过程，而应当继续考察有无其他解法，全面认识题目的结构特征及本质属性，并在此基础上将图形进行演变，获得新题，并形成一个良性系列，这样就可以使我们的解题方法更加灵活，解题经验更加丰富。
将图形演变的重要方法就是让“点”动起来。
例 1 . 如图所示，AB CD，在点M运动时形成了一系列图形，试讨论∠BAM，∠AMC，∠MCD三个角的数量关系，并加以证明。
本题是利用运动的观点，把相关的题目串联起来形成的题组。
这是一个动态结构，是一种创造性思维。
从题组中条件之间、结论之间、条件与结论之间的内在联系，可以发现解法间的有机联系。
解答本题时可以使用下述结论：∠=∠+∠ACD A B。
证明：如图1所示，作CE BA。
1A（两直线平行，内错角相等）∴∠=∠∠=∠2B（两直线平行，同位角相等）12。
ACD A B∴∠=∠+∠=∠+∠B C D图1解：在如图（1）所示中，BAM MCD AMC∠+∠=∠（证明略）A BMC D图（1）在如图（2）所示中， ∠+∠=∠BAM AMC MCD证明： ∠=∠+∠MEB BAM AMC ， 又由AB CD MCD MEB //。
有，∠=∠ ∴∠+∠=∠BAM AMC MCDMA B EC D图（2）在如图（3）所示中， ∠+∠=∠AMC MCD BAM证明： ∠=∠+∠DFM AMC MCD ， 又由AB CD DFM BAM //，有，∠=∠ ∴∠+∠=∠AMC MCD BAMA BFC DM图（3）在如图（4）所示中，∠+∠+∠=BAM AMC MCD 360° （证明略）MC D图（4）在如图（5）所示中，∠+∠=∠AMC MCD BAM证明：延长BA 与MC 交于N ，则∠=∠+∠BAM AMC ANMAB CD ANM MCD AMC MCD BAM//，∴∠=∠∴∠+∠=∠图（5）在如图（6）所示中， ∠+∠=∠BAM AMC MCD （证明略）A BC DM图（6）想一想在上述6个结论中，哪些结论相同，它们的相应图形有什么关系？例 2. （1）如图2所示，AB CD ，∠=∠AOC AM BAO 72°，平分，CM 平分∠DCO ，求∠AMC 的度数。
O MC D图2（2）如图3所示，AB CD ，∠=∠=∠AOC OAN BAO 7213°，，∠=OCN 13∠∠=∠∠=∠∠∠DCO OAP BAO OCP DCO ANC APC ，，，求和2323的度数。
A BPOC DN图3（3）如图2所示，AB CD ，∠=AOC 72°，如果M 是AB 和CD 间的一点，且∠=∠∠=∠OAM n BAO OCM nDCO 11，（n 是正数求∠AMC 的度数。
分析：点M 在平行线AB 和CD 间移动，并受一定数量的约束，因此形成一个有思维价值的题组。
解：（1） AB CD //，∴∠+∠=∠∠=∴∠+∠=∠=∠∠=∠∴BAO DCO AOC AOC BAO DCO BAM BAO DCM DCO AB CD 又°，°，，由有72721212//∠=∠+∠AMC BAM DCM =∠+∠=∠=⨯=1212127236()BAO DCO AOC °° （2） AB CD //，∴∠+∠=∠∠=∴∠+∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=⨯=BAO DCO AOC AOC BAO DCO OAN BAO OCN DCO BAN BAO DCN DCO AB CD ANC BAN DCN BAO DCO AOC 又°，°，，，由，有°°7272131323232323237248 .//()同理，∠=∠+∠=∠=⨯=APC BAO DCO AOC 1313137224()°°（3）∠=∠+∠=-∠+∠AMC BAM DCM n nBAO DCO 1()=-∠=-⨯n n AOC n n1172°例3. 阅读下面材料，并回答问题。
如图4所示，已知正方形ABCD 的边长为a ，以顶点A 为圆心，AB 长为半径画弧，则阴影部分的面积可按下面的方法计算：A B图4解：设正方形ABCD 的面积为S ABCD 正方形，扇形ABD 面积为S ABD 扇形，阴影部分的面积为S 阴影。
S a S a S S S a a ABCD ABD ABCD ABD正方形扇形阴影正方形扇形，（）==∴=-=-222214141ππ.利用结论①计算图5中阴影部分的面积。
图5解：S a a a a a a a a 阴影=--⎛⎝⎫⎭⎪=-+=-2222222221421212πππ.例4. 根据图6所示，判断图中有几对内错角：A（1） （2） AC （3） （4）图6（1）在AC 上取一点D ，连BD ；（2）在AC 上取两点D ，E ，连BD ，BE ；（3）在AC 上取三点D ，E ，F ，连BD ，BE ，BF ；（4）在AC 上取四点D ，E ，F ，G ，连BD ，BE ，BF ，BG ；（5）如果在AC 上取D ，E ，F ，…共100个点，并分别与B 点连结起来。
解：（1）有2对内错角，它们是： ∠∠∠∠BDC ABD ADB DBC 和，和； （2）有6对内错角，它们是：∠∠∠∠∠∠∠∠BDC DBE BDC ABD ADB CBD CEB ABE 和，和，和，和，∠AEB和∠EBC ，∠∠AEB EBD 和； （3）有12对内错角，它们是：∠∠∠∠∠∠∠∠BDC EBD BDC FBD BDC ABD ADB DBC 和，和，和，和，∠BEC 和∠∠∠∠∠∠∠∠∠FBE BEC ABE AEB DBE AEB CBE BFC ABF ，和，和，和，和，∠∠∠∠∠∠AFB EBF AFB DBF AFB CBE 和，和，和；（4）有20对内错角。
（5）由本题可以归纳出，在AC 上取一个点时，可组成1112⨯+=()（对）内错角；在AC 上取两个点时，可组成2216⨯+=()（对）内错角；在AC 上取三个点时，可组成33112⨯+=()（对）内错角；在AC 上取四个点时，可组成44120⨯+=()（对）内错角。
∴在AC 上取100个点时，可组成100100110100⨯+=()（对）内错角。
【模拟试题】1. （1）如图1所示，AB CD ，求证：∠+∠+∠=B BED D 360°B A E图1（2）如图2所示，AB CD ，求证：∠+∠+∠+∠=B E F D 540°B A EFD C图2（3）如图3所示，AB CD ，求证：∠+∠+∠+∠+∠=B E F G D 720°B AEFG图3（4）如图4所示和如图5所示，AB CD，仿上探究这类问题的规律。
B AEFGHD C图4B AEFGHMD C图52. 如图所示，AB CD，试判断有标号1，2，3，4，5，…的角之间的关系。
A B1E 23图6A B 1 E 23 G M 45CD图7A B 123 4 5C D67图8【试题答案】1. 证明：（1）如图9所示，作EE BA '//，则由AB CD EE CD //'//.有EE BA B BEE EE DC E ED D B BEE E ED D B E D '//''//'''，°（两直线平行，同旁内角互补），°（两直线平行，同旁内角互补）°°∴∠+∠=∴∠+∠=∴∠+∠+∠+∠=∴∠+∠+∠=180180360360图9（2）如图10所示，作EE BA FF BA AB CD '//'////，，则由有BA EE’ FF’ DC. 由BA EE B BEE //''，有°∠+∠=180； 由EE FF E EF EFF '//'''，有°；∠+∠=180 由FF DC F FD D '//'，有°∠+∠=180∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=∴∠+∠+∠+∠=B BEE E EF EFF F FD D B E F D ''''540540°°ED C图10（3）请自己完成证明（见图11）E图11（4）如图12所示，∠+∠+∠+∠+∠+∠=B E F G H D 900°；如图13所示，∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=B E F G H M D 1080°。
FC图12FD C图132. 解：（1）如图14所示，作EF AB AB CD ////，则由，有EF CD 。
AB EF BEFEF CD FED BEF FED ////，，∴∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠=∠13132图14（2）如图15所示，作GH AB //，则由AB CD //，有GH CD 。
仿（1由AB GH ，有∠+∠=∠12EGH仿（1由CD GH HGM //，有∠+∠=∠54∴∠+∠+∠+∠=∠+∠∴∠+∠+∠=∠+∠152413524EGH HGMC D图15如图16所示，由（1）（2）可判断∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠1357246A B12345C D6 7图16。
