人教版七年级数学下册解题技巧专题

人教版七年级数学下册各单元知识点汇总第五章相交线与平行线5.1 相交线邻补角、对顶角对顶角相等直线a与直线b互相垂直，记作a b。

垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

垂线段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

同位角、内错角、同旁内角5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线在同一平面内，当直线a与直线b不相交时，我们就说直线a与直线b互相平行，记作//a b. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

即如果b a，c a，那么b c.5.2.2 平行线的判定判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

同位角相等，两直线平行。

判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

内错角相等，两直线平行。

判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

两直线平行，同位角相等。

性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

两直线平行，内错角相等。

性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

两直线平行，同旁内角互补。

5.3.2 命题、定理、证明判断一件事情的语句，叫做命题命题由题设和结论两部分组成。

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

数学中的命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。

如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。

题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题中做假命题。

第六章实数算术平方根、平方根、立方根的难点突破一、求算术平方根、平方根、立方根1. 一个自然数的算术平方根是a，则与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是2. 一个非负数的两个平方根分别是2a－1和a－5，则这个非负数是多少？3. 若x2＝4，y2＝9，且x＞y，求x－y的平方根4. 已知x－2的平方根是±1，2x＋y＋17的立方根是3，求x2＋y2的平方根和立方根．5. 已知M＝m－1m＋6是m＋6的算术平方根，N＝2m－3n＋3n＋6是n＋6的立方根，试求M－N的值．二、算术平方根的非负性6. 若x －3有意义，则x 的取值范围是___________ __．7. 已知y ＝x －8＋8－x ＋5，求x ＋y 的值8. 若y ＝x －12＋12－x －6，求xy 的值．9. 已知实数x ，y ，z 满足|4x －4y ＋1|＋132y ＋z ＋(z －12)2＝0，求(y ＋z)·x 2的值．三、利用算术平方根、立方根解决实际问题10. 如图，将两个边长为3的正方形对角线剪开，将所得的四个三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长是__________．11. 一种集装箱是正方体，它的体积是343 m3，则这种正方体集装箱的棱长是____________．12. 国际比赛的足球场长在100 m到110 m之间，宽在64 m到75 m之间．某地新建了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m2，请你判断这个足球场能用于国际比赛吗？并说明理由．13. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，溢出水的体积为40 cm3；小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.6 cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？(用计算器计算，结果精确到0.01 cm)14. 全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：d＝7×t－12(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；(2)如果测得一些苔藓的直径是35 cm，问冰川约是在多少年前消失的？15. 将一个体积为0.216 m3的大立方体铝块改铸成8个一样大的小立方体铝块，求每个小立方体铝块的表面积．四、探究算术平方根、平方根、立方根的变化规律16. 观察分析下列数据：0，－3，6，－3，12，－15，18，…，根据以上数据排列的规律，第n个数据应是_______________________.(n为正整数) 17. 观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：(1)2＝1.414，200＝14.14，20 000＝141.4，…0.03＝0.173 2，3＝1.732，300＝17.32，…由此可见，被开方数的小数点每向右移动_______位，其算术平方根的小数点向_______ __移动______ __位；(2)已知5＝2.236，50＝7.071，则0.5＝_____________，500＝___________； (3)31＝1，31 000＝10，31 000 000＝100，…小数点变化的规律是：(4)已知310＝2.154，3100＝4.642，则310 000＝__________，－30.1＝______________．18. 先观察，再解决问题 3227＝2327； 33326＝33326； 34463＝43463；…(1)请再写出一个类似的式子；(2)请用含n 的式子表示上述规律．19. 不用计算器，探究解决下列问题：(1)已知x 3＝10 648，则x 的个位数字一定是____；∵8 000＝203＜10 648＜303＝27 000，∴x 的十位数字一定是____，∴x ＝________；(2)已知x 3＝59 319，则x 的个位数字一定是____；∵27 000＝303＜59 319＜403＝64 000，∴x的十位数字一定是____，∴x＝_________；(3)已知x3＝148 877，则x的个位数字一定是____；∵125 000＝503＜148 877＜603＝216 000，∴x的十位数字一定是____，∴x＝______；(4)按照以上思考方法，直接写出x的值．①若x2＝857 375，则x＝______；②若x3＝373 248，则x＝______．答案：一、1. a2＋12. 解：根据题意，有(2a－1)＋(a－5)＝0，解得a＝2.∴这个非负数为(2a－1)2＝(2×2－1)2＝9.3. 解：∵x2＝4，y2＝9，∴x＝±2，y＝±3.∵x＞y，∴x＝±2，y＝－3.当x＝2，y＝－3时，x－y的平方根是±5；当x＝－2，y＝－3时，x－y的平方根是±1.4. 解：∵x－2的平方根是±1，∴x－2＝1，则x＝3.∵2x＋y＋17的立方根是3，∴2x＋y＋17＝27.把x＝3代入2x＋y＋17＝27中，得y＝4.∴x2＋y2＝32＋42＝25，∴x2＋y2的平方根是±5，立方根是3 25.5. 解：由题意可知m－1＝2，2m－3n＋3＝3，解得m＝3，n＝2.∴M＝9＝3，N＝38＝2，∴M－N＝3－2＝1.二、6. x≥37. 由题意可得x －8≥0，且8－x ≥0，∴x ＝8.当x ＝8时，y ＝5，∴x ＋y ＝13.8. 由题意可得x －12≥0，且12－x ≥0，∴x ＝12.当x ＝12时，y ＝－6，∴xy ＝12×(－6)＝－3.9. 解：根据题意可得4x －4y ＋1＝0，2y ＋z ＝0，z －12＝0， ∴x ＝－12，y ＝－14，z ＝12，∴(y ＋z)·x 2＝116. 三、 10. 611. 7m12. 解：这个足球场能用于国际比赛，理由：设足球场的宽为x m ，则长为1.5x m ，由题意得1.5x 2＝7 560，∴x 2＝5 040.∵x ＞0，∴x ＝ 5 040.又∵702＝4 900，712＝5 041，∴70＜ 5 040＜71，∴70＜x ＜71，∴105＜1.5x ＜106.5，符合要求，∴这个足球场能用于国际比赛．13. 解：设铁块的棱长为a cm ，根据题意，得a 3＝40，解得a≈3.42.设烧杯内部的底面半径为r cm ，根据题意，得πr 2×0.6＝40，解得r≈4.61(舍去负值)，则烧杯内部的底面半径约是4.61 cm ，铁块的棱长约是3.42 cm.14. 解：(1)当t ＝16时，d ＝7×t －12＝7×2＝14(cm )，则冰川消失16年后苔藓的直径为14 cm .(2)当d ＝35时，t －12＝5，即t －12＝25，解得t ＝37，则冰川约是在37年前消失的．15. 解：设每个小立方体铝块的棱长为x cm，则8x3＝0.216.∴x3＝0.027.∴x＝0.3.∴6×0.32＝0.54(m2)，即每个小立方体铝块的表面积为0.54 m2.16. (－1)n＋13（n－1）17. (1) 两右一(2) 0.7071 22.36(3) 被开方数的小数点向右(左)移动三位，其立方根的小数点向右(左)移动一位．(4) 21.54 －0.464218. (1) 解：355124＝535124.(2) 解：3n＋nn3－1＝n3nn3－1(n≠1，且n为正整数)．19. (1) 2 2 22(2) 9 3 39(3) 3 5 53(4) ① 95② 72。

专题05 一元一次不等式及不等式组知识框架重难突破一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

2.一元一次不等式的解及解集（1）使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。

（2） 一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。

（3）解集在数轴上表示3、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a >或)x a x a ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。

备注：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321≤---x x 解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）移 项，得 23663-+≤-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变）a a a a < > ≤ ≥合并同类项，得 73≤-x （计算要正确）系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 例1．（2019·湖南广益实验中学初一期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）A ．1x ＞3B ．x 2＜1C ．x +2y ＞0D ．x ＜2x +1【答案】D【解析】解：A 、1x 是分式，因此1x＞3不是一元一次不等式，故此选项不合题意； B 、x 2是2次，因此x 2＜1不是一元一次不等式，故此选项不合题意；C 、x +2y ＞0含有2个未知数，因此不是一元一次不等式，故此选项不合题意；D 、x ＜2x +1是一元一次不等式，故此选项符合题意；故选：D ．练习1．（2018·六安市裕安中学初一期中）下列不等式中，一元一次不等式有（ ）①2x 32x +> ②130x -> ③ x 32y -> ④x 15ππ-≥ ⑤ 3y 3>- A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 【答案】B【解析】详解：①不是，因为最高次数是2；②不是，因为是分式；③不是，因为有两个未知数；④是；⑤是.综上，只有2个是一元一次不等式.故选B ．例2．（2019·洋县教育局初二期中）若437m x -+≤是关于x 的一元一次不等式，则m =__________．【答案】3【解析】解：∵437m x -+≤是关于x 的一元一次不等式，∴4-m =1，∴m=3，故答案为：3．练习1.（2019·山东省初二期中）已知12(m+4)x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为()A．4 B．±4 C．3 D．±3【答案】A【解析】根据题意|m|﹣3=1且m+4≠0解得：|m|=4，m≠﹣4所以m=4．故选：A．例3．（2018·浙江省初二期中）一元一次不等式2（x﹣1）≥3x﹣3的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解: 2（x﹣1）≥3x﹣3去括号, 得2x-2≥3x-3，移项, 合并同类项, 得-x≥-1，得：x≤1故在数轴上表示为:故选B.练习1．（2020·万杰朝阳学校初一期中）如图，张小雨把不等式3x＞2x-3的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是____．【答案】-3【解析】由3x＞2x-3，解得：x＞-3，∴阴影部分盖住的数字是：-3．故答案是：-3．例4．（2020·监利县新沟新建中学初一期中）解不等式：14232-+->-x x ． 【答案】x ＜−2【解析】解：去分母：2（x −1）−3（x ＋4）＞−12，去括号：2x −2−3x −12＞−12，合并同类项：−x ＞2，系数化1：x ＜−2． 练习1．（2018·福建省永春第二中学初一期中）解不等式3(21)x +＜13(43)x --，并把解集在数轴上表示出来．【答案】x ＜2，数轴见解析【解析】去括号，得 6x +3＜13-4+3x ，移项，得 6x -3x ＜13-4-3，即3x ＜6，两边同除以3，得x ＜2，在数轴上表示不等式的解集如下：例5．（2019·重庆市凤鸣山中学初一期中）关于x 的不等式22x a -+≥的解集如图所示，则a 的值是（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．4- 【答案】A【解析】解：解不等式22x a -+≥，得22a x- ，∵由数轴得到解集为x ≤-1， ∴212a -=- ，解得：a =0. 故选：A .练习1．（2019·陕西省初二期中）不等式-4x -k ≤0的负整数解是-1，-2，那么k 的取值范围是（ ） A ．812k ≤<B ．812k <≤C ．23k ≤<D ．23k <≤ 【答案】A【解析】解：∵-4x -k ≤0，∴x ≥-4k ， ∵不等式的负整数解是-1，-2，∴-3＜-4k ≤-2， 解得：8≤k ＜12，故选：A ．二、一元一次不等式组1、一元一次不等式组定义： 含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

专题统计的应用青海一中李清聚焦考点☆温习理解1．统计图是表示统计数据的图形，是数据及其之间关系的直观表现常见的统计图有：(1)条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形；(2)折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形；(3)扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比大小，这样的统计图叫扇形统计图；(4)频数分布直方图、频数折线图：能显示各组频数分布的情况，显示各组之间频数的差别．2．频数分布直方图(1)把每个对象出现的次数叫做频数(2)每个对象出现的次数与总次数的比(或者百分比)叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度．(3)频数分布表、频数分布直方图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况(4)频数分布直方图的绘制步骤是：①计算最大值与最小值的差(即：极差)；②决定组距与组数，一般将组数分为5～12组；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．名师点睛☆典例分类考点典例一、条形统计图与折线统计图【例1】已知2001年至2012年杭州市小学学校数量(单位：所)和在校学生人数(单位：人)的两幅统计图．由图得出如下四个结论：①学校数量2007年～2012年比2001～2006年更稳定；②在校学生人数有两次连续下降，两次连续增长的变化过程；③2009年的在校学生人数学校数量大于1000；④2009～2012年，相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是2011～2012年．其中，正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．①②D．③④【答案】B．试题解析：①根据条形统计图可知，学校数量2001～2006年下降幅度较大，最多1354所，最少605所，而2007年～2012年学校数量都是在400所以上，440所以下，故结论①正确；②由折线统计图可知，在校学生人数有2001年～2003年、2006年～2009年两次连续下降，2004年～2006年、2009年～2012年两次连续增长的变化过程，故结论②正确③由统计图可知，2009年的在校学生445192人，学校数量417所，所以2009年的2531067417=在校学生人数学校数量＞1000，故结论③正确；④∵2009～2010年学校数量增长率为408417741-≈-2.16%，2010～2011年学校数量增长率为409408408-≈0.245%，2011～2012年学校数量增长率为415409409-≈1.47%，1.47%＞0.245%＞-2.16%，∴2009～2012年，相邻两年的学校数量增长最快的是2011～2012年；∵2009～2010年在校学生人数增长率为453897445192445192-≈1.96%，2010～2011年在校学人数增长率为465289453897453897-≈2.510%，2011～2012年在校学生人数增长率为472613465289465289-≈1.574%，2.510%＞1.96%＞1.574%，∴2009～2012年，相邻两年的在校学生人数增长最快的是2010～2011年，故结论④错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：B．考点：折线统计图；条形统计图．【点睛】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况．【举一三】1.．(2015·湖北武汉，8题，3分）下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况，根据图中信息，下列说法错误的是（）A．4:00气温最低B．6:00气温为24℃C．14:00气温最高 D．气温是30℃的为16:00[【答案】【解析】试题分：根据折线统计图可得：4:00气温最低；6:00的气温为24℃；14:00时气温最高；气温是30℃的为12:00和16:002.（2015·辽宁营口）云南鲁甸发生地震后，某社区开展献爱心活动，社区党员积极向灾区捐款，如图是该社区部分党员捐款情况的条形统计图，那么本次捐款钱数的众数和中位数分别是( ).A．100元，100元 B．100元，200元 C．200元，100元 D．200元，200元【答案】B.考点：数据的统计分析与描述.考点典例二、扇形统计图【例2】(2015·黑龙江哈尔滨）（本题8分）某中学为了解八年级学习体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名.【答案】50名；16名；略；56名.【解析】试题分析：根据A等级的人数和百分比求出总人数；根据总人数和A、B、D三个等级的人数求出C等级的人数；利用总人数乘以D等级人数的百分比得出答案.试题解析：(1)、10÷20%=50(名) 答：本次抽样共抽取了50名学生。

专题03 拐点压轴专题（1）——拐点在平行线间【专题导入】经过了《拐点专题（初步引入）》后，面对压轴题形式的平行线——拐点题时，我们只需要把握住两点.①抓住平分线（出现相等角或比例角，能通过一个未知角度表示图中出大部分的角度）1.如图，若直线BE∥GF，A,C分别为BE,GF上两点，连接AC，∠BAC的平分线交GF于点D.若设∠1=α，试用含α的代数式表示出图中的角.∠2=____，∠3=____，∠4=_____，∠5=_____，∠6=____，∠7=_____.【答案】αα 180°-2α 180°-2α 180°-α 2α②观察得出题中的拐点，并且能熟练的得出拐角与两条平行线中哪些角相关，结合条件与所得的代数式关系进行求解.2.如图，m∥l，A,B分别在直线m，l上，P为两平行线中任意一点，连接AP,BP，∠DAP的平分线和∠EBP的平分线相交于点C.若设∠2=α，∠4=β，试用含α的代数式表示出∠C和∠P.【解析】∠C=∠1+∠3=∠2+∠4=α+β，∠P=∠5+∠6=（180°-2∠2）+（180°-2∠4）=360°-2（α+β）.【例1】如图（1）所示：已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在点B的左侧，点D在点C的右侧，∠ADC、∠ABC的平分线交于点E（不与B、D点重合），∠CBN=110°．（1）若∠ADQ=140°，则∠BED的度数为______（直接写出结果即可）；（2）若∠ADQ=m°，将线段AD沿DC方向平移，使点D移动到点C的左侧，其它条件不变，如图（2）所示，求∠BED的度数（用含m的式子表示）．【解析】（1）要求∠BED ，只需要得出∠EDC 和∠EBM.如图（1）. 根据题意可得∠EDC=180°−∠ADQ 2=20°，（角平分线） ∠EBM=180°−CBN2=35°，（角平分线）∠BED=∠EDC+∠EBM=55°.（2）同理，要求∠BED ，只需要得出∠EDC 和∠EBM.如图（2）.如图（2），过点E 作EF ∥PQ ．∵∠CBN=110°，∴∠CBM=70°．∵∠CDE=∠ADE ，∠ABE=∠CBE ，∴∠EBM=35°，∠EDQ=12m°．∵EF ∥PQ ，∴∠DEF=180°-∠EDQ=180°-12m°． ∵EF ∥PQ ，MN ∥PQ ，∴EF ∥MN ，∴∠FEB=∠EBM=35°，∴∠BED=∠DEF+∠FEB=180°-12m°+35°=215°-12m°．同步训练1. 已知E 、F 分别是AB 、CD 上的动点，P 也为一动点．其中AB ∥CD ，移动E 、F ，使∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP ，求∠AEG∠PFD 的值.【解析】易得∠BEP+∠DFP=∠P=90°.又∠GEP=∠BEP，设∠BEP=x，则∠DFP=90°-x. ∠AEG=180°-2∠BEP=180°-2x.∠AEG ∠PFD =180°−2x90°−x=2.【过关练习】1. 如图，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE，DE．作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F，∠ABE，∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．【解析】如图，FB,FD分别是∠EBD和∠EDB的平分线，不妨设∠1=∠2=x ，∠3=∠4=y.∵AB ∥CD ，∴∠5+∠2+∠1+∠3+∠4+∠6=180°，∠5+∠6=180°-2（x+y ）.∠F=∠5+∠2+∠4+∠6=180°-（x+y ）（拐角）.故2∠F-∠5-∠6=180°.即2∠F-（∠ABE+∠CDE ）=180°.2. 如图，若∠AEP=25∠AEF ，∠CFP=25∠EFC ，且FP 的延长线交∠AEP 的角平分线于点M ，EP 的延长线交∠CFP 的角平分线于点N ，猜想∠M+∠N 的结果并且证明你的结论.【解析】如图，可得∠M=∠1+∠3+∠4，∠N=∠1+∠2+∠4（拐角）.又∠1=∠2，∠3=∠4，不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y.则∠M=x+2y，∠N=2x+y.∠M+∠N=3（x+y）.又可得∠AEF=5x，∠CFE=5y，且∠AEF+∠CFE=180°，即x+y=36°，∠M+∠N=3×36°=108°.3. 已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．如图中，∠BME=60°，EF平分∠MEN，NP 平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【解析】看到角平分线，不妨设∠2=∠3=x.又QE∥NP，则∠4=∠3=x.∠MEN=∠BME+∠END（拐角），=60°+2x.∠MEN=30°+x.∠FEN=∠1=12∠FEQ=∠FEN-∠4=30°+x-x=30°.4. 如图，已知EM∥BN，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．【解析】如图，∵EF和BF分别是∠AEM和∠ABN的平分线，所以不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y.∠A=360°-（∠1+∠2）-（∠3+∠4）=360°-2（x+y）=2[180°-（x+y）].∠EFB=∠1+∠4=x+y.∠EFD=180°-∠EFB=180°-（x+y）.故可得∠A=2∠EFD.【专题提高】5. 如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．（1）如图1，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；（2）如图2，若HF平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．【解析】（1）如图1，根据题意，不妨设∠1=∠2=x，∠4=∠5=y.∵CE∥FG，∴∠3=∠4+∠5=2y.∠AEC=∠1+∠2+∠3=2x+2y=90°（拐角），即x+y=45°.∠AHF=∠1+∠5=x+y=45°（拐角）.（2）如图2，根据题意，不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=2y.则∠AEC=∠1+∠2+∠3=2（x+y）（拐角）.∵CE∥GF，∴∠4=∠3=2y.∠5=∠6=180°−∠4=90°-y.2∠AHF=∠1+（180°-∠5）=x+y+90°.故2∠AHF-∠AEC=180°.6. 如图，已知AB∥CD，直线AB、CD被直线EF截，分别交AB于点G，交CD于点H，点P在直线AB、CD内部直线EF上，点M、N分别在直线AB、CD上，连接PM、PN，∠PMB和∠PNC 的平分线交于点K，点O为AB上一点，连接ON、MN，MN平分∠PNO，若∠MNK∶∠PMK=2∶7，2∠MKN-∠PNO=180°，求∠NOM的度数．【解析】根据题意，∠MNK∶∠PMK=2∶7不妨设∠1=2x，则∠PMK=∠2=7x（角平分线）.设∠3=y，则∠PNK=∠3+∠1=y+2x，∠KNC=∠PNK=y+2x（角平分线）.∠MKN=∠2+∠KNC=y+9x（拐角）.∠PNO=2∠PNM=2y（角平分线）∵2∠MKN-∠PNO=180°，即2（y+9x）-2y=180°，解得x=10°.∠ONK=∠MNO-∠1=∠3-∠1=y-20°，∠ONC=∠CNK-∠ONK=（y+20°）-（y-20°）=40°. ∠NOM=∠ONC=40°.（两直线平行，内错角相等）.。

七年级下册数学解题技巧第一篇嘿，小伙伴们！咱们来聊聊七年级下册数学的解题技巧呀。

先来说说整式运算这块儿。

那些个加减乘除，可别弄混啦。

乘法公式一定要记牢，平方差和完全平方，用起来超顺手。

遇到合并同类项，眼睛要尖，把相同的“小伙伴”找出来放一起。

再讲讲方程。

一元一次方程是基础，找等量关系是关键。

设未知数要巧妙，能让式子简单化最好。

解方程的时候，步骤别乱，移项变号要记清。

还有几何图形，平行线的性质和判定要分清。

同位角、内错角、同旁内角，它们的关系要搞懂。

三角形的内角和是 180 度，这个可别忘了。

做题的时候别着急，多读几遍题目，把关键信息勾出来。

不会的先跳过，做完会的再回头啃难题。

做完检查也很重要哦，说不定能发现粗心的小错误。

加油呀，小伙伴们，相信咱们都能成为数学小能手！第二篇亲爱的同学们，今天咱们好好唠唠七年级下册数学的解题技巧哈。

说起不等式，注意不等号的方向别弄错。

解不等式就像解方程一样，不过要特别小心乘除负数时的变化。

坐标这部分，要清楚横纵坐标的意义。

在平面直角坐标系里，点的位置要找准。

图形的平移，就是点的移动，记住规律就不难。

概率问题呢，要分清可能的情况和总的情况，算概率就不会出错啦。

还有应用题，别怕字多，耐心读，把有用的数字和条件摘出来。

多想想生活中的实际情况，有时候能给咱们解题的灵感。

每次做作业就当成考试，认真对待。

做完了和同学对对答案，讨论讨论，能学到不少新方法。

咱们一起努力，让数学变得有趣又简单，好不好？。

专题04 平方根、立方根以及实数【思维导图】◎考点题型1 求一个数的算术平方根例．（江苏·南师附中树人学校八年级期末）10的算术平方根是（）A．10B C．D．10变式1．（江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）下列说法正确的是() A．5-是25的平方根B．4±是16的算术平方根C．2是-4的算术平方根D．1的平方根是它本身）变式2．（江苏·A．3B．9±C．9-D．9变式3．（海南鑫源高级中学八年级期中）下列各数中,没有算术平方根的是（ ） A ．0.1 B ．9 C ．3(1)- D ．0◎考点题型2 利用算术平方根的非负性解题例．（福建泉港·八年级期末）若实数x ,y 满足30x -=．则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．12或15变式1．（广东·40b -=,那么a b -=（ ）A ．1B ．-1C ．-3D ．-5变式2．（江苏兴化·八年级期中）已知实数x ,y 满足30x -,则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长为( )A ．12B ．15C ．18D ．12或15变式3．（云南·普洱市思茅区第四中学七年级期中）若1x -互为相反数,则xy 的值为（ ）A ．6-B ．5-C ．5D ．6◎考点题型3 估计算术平方根的取值范围例．（福建· ）A ．在1～2之间B ．在2～3之间C ．在3～4之间D ．在4～5之间变式1．（安徽包河·最接近的整数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．7变式2．（重庆巴蜀中学一模）估计2的值应在（ ）A ．4和5之间B ．3和4之间C ．2和3之间D ．1和2之间变式3的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ） A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和5◎考点题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分 2geti例．（北京朝阳·七年级期末）将边长分别1和2的长方形如图剪开,拼成一个与长方形面积相等的正方形,则该正方形的边长最接近整数（ ）A ．4B ．3C ．1D ．0变式．（北京·中考真题）已知2222431849,441936,452025,462116====．若n 为整数且1n n <<+,则n 的值为（ ）A ．43B ．44C ．45D ．46◎考点题型5 平方根的概念理解例．（山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）下列说法错误的是（ ）A ．1的平方根是±1B ．1-的立方根是1-C ．2的平方根D ．3-变式1．（海南海口·八年级期中）下列说法正确的是（ ）A ±5B ．﹣42的平方根是±4C ．64的立方根是±4D ）2＝2变式2．（湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中） 下列说法不正确的是（ ）A ．3-是9的一个平方根B 8的立方根C ．36的平方根是6±D ．16的平方根是4变式3．（海南华侨中学八年级期中）下列说法中,其中不正确的是（ ）A ．4的算术平方根是2B ．2的一个平方根C ．()21-的立方根是 1 D◎考点题型6 求一个数的平方根例．（江苏省无锡市经开区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）下列各式中,正确的是（ ）A ．4± B 3=± C 3= D 4=-变式1．（广东大埔·八年级期末）9的平方根是（ ）A ．3B ．3±C ．3-D ．2±变式2．（四川巴中·八年级期末）下列说法正确的是（ ）A ．1的平方根是1B ．（﹣4）2的算术平方根是4C±3 D 是最简二次根式变式3（重庆万州·八年级期末）下列等式正确的是（ ）．A 8=±B ．8=C ．8±D 4=±◎考点题型7 求代数式的平方根例．（2019·浙江杭州·九年级）已知()24a -,则-a b 的平方根是（ ）A B C ．D ．变式1．（2019·河南兰考·八年级阶段练习）在实数范围内,|100|0b -=,则a 与b 的积的算术平方根是（ ）A ．0B ．10C ．10-D ．10±变式2．（2020·贵州·贵阳市白云区第九中学八年级阶段练习）若是169的算术平方根,是121的负的平方根,则（＋）2的平方根为（ ）A ．2B ．4C ．±2D ．±4变式3．（2019·河南·南阳市第三中学八年级阶段练习）若3m =,代数式3m （ ） A ．7 B ．11 C ．7- D ．9±◎考点题型8 已知一个数的平方根,求这个数例．（全国·八年级）已知2m ﹣1和5﹣m 是a 的平方根,a 是（ ）A ．9B ．81C ．9或81D ．2变式1．（江苏·江阴市璜塘中学八年级阶段练习）如果一个正数a 的两个不同平方根是2x －2和6－3x ,则这个正数a 的值为（ ）A ．4B ．6C ．12D ．36变式2．（全国·八年级课时练习）若21x +和7x -是一个正数的平方根,则这个正数为（ ） A ．25 B ．225 C ．25或225 D ．25±变式3．（湖南·长沙市北雅中学七年级阶段练习）一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+,则这个正数是（ ）A ．1-B ．3C ．9D ．3-◎考点题型9 利用平方根解方程例．（四川绵阳·七年级期末）已知2(23)4x -=,则x 的所有取值的和为（ ）A ．0B ．2C ．52D ．3变式1．（安徽无为·七年级期中）物体自由下落时,下落距离h （单位：米）可用公式25h t =来估算,其中t （t ＞0单位：秒）表示物体下落的时间．若一个篮球掉入80米深的山谷中,落入谷底前不与其他物体接触,则该篮球掉落到谷底需要的时间为（ ）A ．2秒B ．4秒C ．16秒D ．20秒变式2．（辽宁连山·九年级期末）方程x 2－9＝0的解是( )A ．x 1＝3,x 2＝－3B ．x ＝0C ．x 1＝x 2＝3D ．x 1＝x 2＝－3变式3．（全国·九年级单元测试）若2(22)x +=,则x 的值是（ ）A4 B 2 C 2+2 D 2或2◎考点题型10 立方根的概念理解例．（重庆实验外国语学校七年级期末）下列运算中,正确的是（ ）A 2=B 2=-C ．33=D 3=变式1．（贵州六盘水·八年级阶段练习）平方根和立方根都等于它本身的数是（ ） A ．±1 B ．1 C ．0 D ．﹣1变式2．（浙江·九年级专题练习）下列各式中,错误的是（ ）A ．B ．（a ﹣b ）2＝（b ﹣a ）2C ．|﹣a |＝aD ．2a =变式3．（云南·昆明市实验中学七年级期中）下列计算正确的是（ ）A 2-B 3±C 3=-D ．5=◎考点题型11 求一个数的立方根例．（福建洛江·八年级期末）−8 的立方根是（ ）A ．−2B ．2C ．±D ．64变式1．（广西港口·七年级期中）下列语句正确的是（ ）A ．8的立方根是2B ．﹣3是27的立方根C ．125216的立方根是±56 D ．（﹣1）2的立方根是﹣1变式2．（辽宁凌海·x ,27-的立方根是y ,则2x y -的值为（ ）A ．7B ．11C ．1-或7D ．11或5-变式3．（山东·（ ）A ．28.72B ．0.2872C ．13.33D ．0.1333◎考点题型12 已知一个数的立方根,求这个数例．（江西新余· 2.938 6.329=,=（ ） A ．632.9 B ．293.8 C ．2938 D ．6329变式1．（河北· 6.882≈,68.82,则x 的值约为（ ）A ．326000B ．32600C ．3.26D ．0.326变式2．（甘肃·平川区四中七年级期中）已知x =6,y 3=-8,且0x y +<,则xy =（ ） A ．－8 B ．－4 C ．12 D ．－12变式3．（2019·广东·佛山市南海区大沥镇许海初级中学八年级阶段练习）a+3的算术平方根是3,b－2的立方根是2, ）A B ．C ．±6 D ．6◎考点题型13 算术平方根和立方根的综合应用例．（山东薛城·八年级期中）已知x 为实数,＝0,则x 2＋x ﹣3的算术平方根为（ ）A ．3B ．2C ．3和﹣3D ．2和﹣2变式1．（2020·甘肃·武威第九中学七年级期中）若a,b ,则a+b 的值是（ ）A ．4B ．4或0C ．6或2D ．6变式2．（2020·河北·3270b -=,那么6()a b +的立方根是( )A ．-1B ．1C ．3D ．7变式3．（广东·连南瑶族自治县教师发展中心八年级期中）实数a ,b 在数轴上对应的点的位置如图||a b +化简的结果（ ）A ．2a b +B ．bC ．2a b -D ．3b◎考点题型14 无理数的概念理解例．（广东揭东·,2272π中无理数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个变式1．（河南·郑州市第三中学八年级期末）下列各数：（每相邻两个3之间依次多一个1）,2π,13无理数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 变式2．（湖南·株洲市天元区雷打石学校八年级期末）下列各数是无理数的是（ ）AB C ．π D ．227变式3．（江苏江都·2,72π-,无理数的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个◎考点题型15 实数的概念理解例．（全国·七年级课时练习）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数,其中错误的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4变式1．（福建·厦门双十中学八年级阶段练习）已知实数,m n 满足20n -=,则m n +的值为（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．3变式2．（浙江·九年级专题练习）下列说法其中错误的个数（ ）①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是4±,用式子表示4=±；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值,相反数,算术平方根都是它本身,则这个数是0． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3变式3．（全国·七年级期末）下列说法中不正确的是（ ）A ．0是绝对值最小的实数B 2=C ．3是9的一个平方根D ．负数没有立方根◎考点题型16 实数的分类例．（甘肃兰州·八年级期中）下列说法不正确的是（ ）A ．有理数和无理数统称为实数B ．实数是由正实数和负实数组成C ．无限循环小数是有理数D ．实数和数轴上的点一一对应变式1．（湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中） 下列说法正确的是（ ）A ．定理是真命题B ．真命题是定理C ．实数包括正实数和负实数D ．无理数是实际不存在的数变式2．（广东普宁·八年级期中）下面说法中,正确的是（ ）A ．实数分为正实数和负实数B ．带根号的数都是无理数C ．无限不循环小数都是无理数D ．平方根等于本身的数是1和0变式3．（山东牡丹·八年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）．A ．实数分为正实数和负实数B ．无理数与数轴上的点一一对应C ．2-是4的平方根D ．两个无理数的和一定是无理数◎考点题型17 实数的性质例．（江苏江阴·1的相反数是（ ）A ．1+B ．1C ．1-+D ．1-变式1．（2020·浙江省开化县第三初级中学七年级期中）下列说法正确的是（ ） A ．绝对值等于它本身的数一定是正数B ．一个数的相反数一定比它本身小C ．负数没有立方根D ．实数与数轴上的点一一对应变式2．（2020·全国·八年级单元测试）化简3|的结果正确的是（ ）A 3B ．3C 3D ．3变式3．（全国·七年级单元测试）下列各组数中互为相反数的一组是（ ）A ．2与12B ．|2|-C ．-2D ．2◎考点题型18 实数与数轴例．（浙江海曙·七年级期末）如图,面积为5的正方形ABCD 的顶点A 在数轴上,且表示的数为1,若点E 在数轴上,（点E 在点A 的右侧）且AB AE =,则E 点所表示的数为（ ）A B ．1 C D 2变式1．（重庆市实验学校八年级期中）如图,点C 所表示的数是（ ）A B C ．1D 变式2．（北京·八年级期中）如图,数轴上的点A 表示的数是1-,点B 表示的数是1,CB AB ⊥于点B ,且2BC =,以点A 为圆心,AC 为半径画弧交数轴于点D ,则点D 表示的数为（ ）A．2.8 B ．C ．1 D ．1变式3．（上海市罗南中学七年级期中）如图,数轴上点A 表示的数可能是（ ）A B C D◎考点题型19 实数的大小比较例．（重庆·忠县花桥镇初级中学校九年级期中）在实数4-,0,3-,2-中,最小的数是（ ） A ．4- B ．0 C ．3- D ．2-变式1．（浙江北仑·223,0,7--中,最小的是（ ）A B ．3- C ．0 D ．227-变式2．（河南郑州·九年级期末）在实数|﹣3.14|,﹣3,﹣π中,最小的数是（ ）A B．﹣3C．|﹣3.14|D．﹣π变式3．（广东阳山·八年级期末）在﹣3,0,2,,最小的数是（）A．B．﹣3C．0D．2◎考点题型20 程序设计与实数运算例．（山东张店·二模）在使用科学计算器时,依次按键的方法如图所示,显示的结果在数轴上对应的点可以是（）A．点A B．点B C．点C D．点D变式1．（全国·七年级期中）有一个数值转换器,原理如下：当输入的x为64时,输出的y是（）A．B．2C D．变式2．（全国·七年级期中）按如图所示的程序计算,若开始输入的值为9,则最后输出的y值是（）A B．C．3D．±3变式3（2020·福建惠安·八年级期中）有一个数值转换器,流程如下：当输入的x为256时,输出的y是（）AB．CD◎考点题型21 新定义下的实数运算例．（河南南召·九年级期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ,规定m ※n ＝m 2n －mn －3n ,如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6．则（－2））A．B．-C．D．变式1．（广西·南宁二中七年级期末）规定一种新运算：b a b a a *=-,如2424412*=-=-．则()2*3-的值是（ ）．A ．10- B ．6- C ．6 D ．8变式2．（北京市第六十六中学七年级期中）a 为有理数,定义运算符号▽：当a ＞－2时,▽a ＝－a ；当a ＜－2时,▽a ＝ a ；当a ＝－2时,▽a ＝ 0．根据这种运算,则▽[4＋▽（2－5）]的值为（ ） A ．1- B ．7 C ．7- D ．1变式3．（贵州六盘水·九年级期中）对于任意实数a ,b ,定义一种新运算“☆”如下：22()()a b a a b a b ab b a b ⎧+≥=⎨+<⎩☆,若236m =☆,则实数m 等于（ ） A ．8.5 B ．4 C ．4或 4.5- D ．4或 4.5-或8.5◎考点题型22 与实数运算的规律题例．（辽宁·阜新市第一中学七年级期中）如图五个正方形中各有四个数,各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,可推测出m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．4D ．8变式1．（福建·厦门市集美区乐安中学八年级阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵,根据数阵排列的规律,第2021行从左向右数第2020个数是（ ）A ．2020B ．2021 CD变式2．（湖南·雨花外国语学校八年级开学考试）观察下列运算（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1我们发现规律：（x ﹣1）（xn ﹣1+xn ﹣2+…+x 2+x +1）＝xn ﹣1（n 为正整数）：利用这个公式计算：32021+32020+…+33+32+3＝（ ）A ．32022﹣1B ．2022312-C ．2022312+D ．2022332- 变式3．（辽宁连山·七年级期中）如图在表中填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,m 的值是（ ）A ．216B ．147C ．130D ．442。

七年级数学核心题目解题技巧精选有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方。

通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题,把抽象问题简单化。

相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点,它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面。

【核心例题】例1计算：200720061......431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了,不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成2111211-=⨯,可利用通项()11111+-=+⨯n n n n ，把每一项都做如此变形,问题会迎刃而解.解 原式=)2007120061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（ =2007120061......41313121211-++-+-+- =200711- =20072006 例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C(如右图）。

化简b c b a a -+-+。

分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性。

我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a —b 〈0、c —b 〉0。

解 由数轴知，a<0，a —b<0,c —b 〉0所以,b c b a a -+-+= -a —(a —b)+(c-b ）= -a —a+b+c —b= —2a+c例3 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-211311 (9811991110011)分析 本题看似复杂，其实是纸老虎,只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便。

人教版七年级数学下册专题训练（含参考答案与解析）说明：本套训练题包含以下7个专题解题技巧专题：一元一次不等式（组）中含字母系数的问题 考点综合专题：一元一次不等式（组）与学科内知识的综合 难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律 解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积 解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法 思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法 解题技巧专题：解二元一次方程组解题技巧专题：一元一次不等式（组）中含字母系数的问题——类比不同条件，体会异同◆类型一 已知解集求字母系数的值或取值范围1.（2017·毕节中考）关于x 的一元一次不等式m －2x3≤－2的解集为x ≥4，则m 的值为（ ）A.14B.7C.－2D.22.（2017·金华中考）若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞3（x －2），x ＜m 的解集是x ＜5，则m 的取值范围是【易错11】（ ）A.m ≥5B.m ＞5C.m ≤5D.m ＜53.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－a －1①，－x ≥－b ②的解集在数轴上表示如图所示，则a b 的值为 .4.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a <1，x －2b >3的解集为－1＜x ＜1，求代数式（b －1）a ＋1的值.◆类型二 已知整数解的情况求字母系数的取值范围5.关于x 的不等式x －b >0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.－3<b <－2 B.－3<b ≤－2 C.－3≤b ≤－2 D.－3≤b <－26.对于任意实数m ，n ，定义一种新运算m ※n ＝mn －m －n ＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是 Ｗ.7.（2017·黄石中考）已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋1＞3（x －1）①，12x ≤8－32x ＋2a ②恰好有两个整数解，求实数a 的取值范围.◆类型三 已知不等式组有、无解求字母系数的取值范围8.若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－3x ≥0，x －m ≥0有实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A.m ≤53B.m ＜53C.m ＞53D.m ≥539.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥0，5－2x ＞1无解，则实数a 的取值范围是 .10.若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<a ①，3x ＋5>x －7②有解，求实数a 的取值范围.【易错11】参考答案与解析1．D 2.A3．1 解析：由不等式②得x ≤b ，由数轴可得，原不等式组的解集是－2≤x ≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －1＝－2，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴a b ＝13＝1. 4．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x －a <1①，x －2b >3②，解不等式①得x ＜a ＋12 .解不等式②得x ＞2b ＋3.根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＝1，2b ＋3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9. 5．D6．4≤a ＜5 解析：根据题意得2※x ＝2x －2－x ＋3＝x ＋1.∴a ＜x ＋1＜7，即a －1＜x ＜6.又∵解集中有两个整数解，∴3≤a －1＜4，∴a 的取值范围为4≤a ＜5.7．解：解不等式①得x ＞－2，解不等式②得x ≤4＋a .∴不等式组的解集是－2＜x ≤4＋a .∵不等式组恰好有两个整数解，∴0≤4＋a ＜1，解得－4≤a ＜－3.8．A 9.a ≥210．解：解不等式①得x ＜a －1.解不等式②得x ＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜a －1，∴a ＞－5.考点综合专题：一元一次不等式（组）与学科内知识的综合——综合运用，全面提升◆类型一 不等式（组）与平面直角坐标系1.（2017·江岸区模拟）已知点P （2a ＋1，1－a ）在第一象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）2.（2017·贵港中考）在平面直角坐标系中，点P （m －3，4－2m ）不可能在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知点M （3a －9，1－a ）在第三象限，且它的横、纵坐标都是整数，则a 的值是 Ｗ.4.在平面直角坐标系中，点A （1，2a ＋3）在第一象限.（1）若点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，求a 的值； （2）若点A 到x 轴的距离小于到y 轴的距离，求a 的取值范围.◆类型二 不等式（组）与方程（组）的综合5.（2017·宜宾中考）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2m －1，x ＋3y ＝3的解满足x ＋y ＞0，则m 的取值范围是 Ｗ.6.（2017·南城县模拟）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜2a ，x －b ＞1的解集是2＜x ＜3，则关于x 的方程ax＋b ＝0的解为 Ｗ.7.已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2m ＋1①，x －2y ＝4m －3②的解是一对正数.（1）试确定m 的取值范围；（2）化简|3m －1|＋|m －2|.◆类型三 不等式（组）与新定义型问题的综合8.（2017·东胜区二模）我们定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，例如⎪⎪⎪⎪⎪⎪2345＝2×5－3×4＝10－12＝－2，则不等式组1＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 34＜3的解集是 Ｗ. 9.（2017·龙岩模拟）定义新运算“⊕”如下：当a ＞b 时，a ⊕b ＝ab ＋b ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝ab －b .若3⊕（x ＋2）＞0，则x 的取值范围是（ ）A.－1＜x ＜1或x ＜－2B.x ＜－2或1＜x ＜2C.－2＜x ＜1或x ＞1D.x ＜－2或x ＞210.（2017·杭州模拟）阅读以下材料：对于三个数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c }表示这三个数中最小的数.例如：M {－1，2，3}＝－1＋2＋33＝43；min{－1，2，3}＝－1；min{－1，2，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤－1），－1（a ＞－1）.（1）填空：若min{2，2x ＋2，4－2x }＝2，则x 的取值范围是 ； （2）如果M {2，x ＋1，2x }＝min{2，x ＋1，2x }，求x 的值.参考答案与解析1．C 2.A3．2 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a －9＜0，1－a ＜0，解得1＜a ＜3.∵横、纵坐标都是整数，∴a 必为整数，∴a ＝2.4．解：(1)∵点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，且点A 在第一象限，∴2a ＋3＝1，解得a ＝－1.(2)∵点A 到x 轴的距离小于到y 轴的距离，点A 在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3＞0，2a ＋3＜1，解得－32＜a ＜－1.5．m ＞－1 6.x ＝－127．解：(1)①＋②，得2x ＝6m －2，x ＝3m －1.①－②得4y ＝－2m ＋4，则y ＝－12m ＋1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m －1＞0，－12m ＋1＞0，解得13＜m ＜2.(2)由(1)知13＜m ＜2，∴3m －1＞0，m －2＜0，∴|3m －1|＋|m －2|＝3m －1＋[－(m －2)]＝3m －1－m ＋2＝2m ＋1.8.13＜x ＜1 9．C 解析：当3＞x ＋2，即x ＜1时，由题意得3(x ＋2)＋x ＋2＞0，解得x ＞－2，∴－2＜x ＜1；当3＜x ＋2，即x ＞1时，由题意得3(x ＋2)－(x ＋2)＞0，解得x ＞－2，∴x ＞1.综上所述，x 的取值范围是－2＜x ＜1或x ＞1，故选C.10．解：(1)0≤x ≤1 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2≥2，4－2x ≥2，解得0≤x ≤1.(2)方法一：M {2，x ＋1，2x }＝2＋x ＋1＋2x3＝x ＋1.当x ≥1时，则min{2，x ＋1，2x }＝2，则x ＋1＝2，∴x ＝1.当x ＜1时，则min{2，x ＋1，2x }＝2x ，则x ＋1＝2x ，∴x ＝1(舍去)．∴x ＝1.方法二：∵M {2，x ＋1，2x }＝2＋x ＋1＋2x3＝x ＋1＝min{2，x ＋1，2x }，∴⎩⎪⎨⎪⎧2≥x ＋1，2x ≥x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≥1，∴x ＝1.难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一 沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P 的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P 1(0，1)，P 2(1，1)，P 3(1，0)，P 4(1，－1)，P 5(2，－1)，P 6(2，0)，…，则点P 2017的坐标是________．◆类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有( )A ．10个B ．20个C ．40个D ．80个第3题图 第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P 1(0，1)，P 2(－1，0)，P 3(0，－1)，则该折线上的点P 9的坐标为( )A ．(－6，24)B ．(－6，25)C ．(－5，24)D ．(－5，25)◆类型三 图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是()A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)C．(14＋3π，2) D．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0)解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1)解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶点外的整点个数如下表所示：可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一直接利用面积公式求图形的面积1．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的面积是()A．2 B．4 C．8 D．6第1题图第2题图2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则三角形ABC的面积为________．◆类型二利用分割法求图形的面积3．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．4．观察下图，图中每个小正方形的边长均为1，回答以下问题：【方法14】(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？(3)求多边形ABCDEF的面积．◆类型三利用补形法求图形的面积5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．【方法14】(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；(2)求出此三角形的面积．◆类型四与图形面积相关的点的存在性问题6．(2017·定州市期中)如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.(1)求点B的坐标；(2)求三角形ABC的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．B 2.1523．11 解析：过点B 作BD ⊥x 轴于D .∵A (4，0)，B (3，4)，C (0，2)，∴OC ＝2，BD ＝4，OD ＝3，OA ＝4，∴AD ＝OA －OD ＝1，则S 四边形ABCO ＝S 梯形OCBD ＋S 三角形ABD ＝12×(4＋2)×3＋12×1×4＝9＋2＝11. 4．解：(1)A (－2，0)，B (0，－3)，C (3，－3)，D (4，0)，E (3，3)，F (0，3)．(2)线段BC 平行于x 轴(或线段BC 垂直于y 轴)，线段CE 垂直于x 轴(或线段CE 平行于y 轴)．(3)S多边形ABCDEF ＝S三角形ABF ＋S长方形BCEF ＋S三角形CDE ＝12×(3＋3)×2＋3×(3＋3)＋12×(3＋3)×1＝6＋18＋3＝27.5．解：(1)A (3，3)，B (－2，－2)，C (4，－3)．(2)如图，分别过点A ，B ，C 作坐标轴的平行线，交点分别为D ，E ，F .S 三角形ABC ＝S 正方形DECF－S 三角形BEC －S 三角形ADB －S 三角形AFC ＝6×6－12×6×1－12×5×5－12×6×1＝352.6．解：(1)点B 在点A 的右边时，－1＋3＝2，点B 在点A 的左边时，－1－3＝－4，所以点B 的坐标为(2，0)或(－4，0)．(2)S 三角形ABC ＝12×3×4＝6.(3)存在这样的点P .设点P 到x 轴的距离为h ，则12×3h ＝10，解得h ＝203.点P 在y 轴正半轴时，P ⎝⎛⎭⎫0，203，点P 在y 轴负半轴时，P ⎝⎛⎭⎫0，－203，综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，203或⎝⎛⎭⎫0，－203.解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法——形成思维定式，快速解题。

专题04猪蹄模型与铅笔模型压轴题真题（解析版）模型一：猪蹄与锯齿模型【模型结论】如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3；③∠A+∠B+∠P2+…+Pn2＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P12 n模型二：铅笔模型【模型结论】如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝180°；如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。

1．（雅礼）已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系．（1）请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明．（2）猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由．（提示：注意适当添加辅助线！）【解答】解：（1）图1，∠A+∠P+∠C＝360°，图2，∠A+∠C＝∠APC，证明图1：过P作PE∥AB，∴∠A+∠APE＝180°，又∵AB∥CD，∴CD∥PE，∴∠C+∠CPE＝180°，∴∠A+∠APE+∠EPC+∠C＝360°；（2）图3：∠PCD＝∠PAB+∠APC，图4：∠PAB＝∠PCD+∠CPA．2．（2021春•天心区校级月考）如图，已知直线MN∥EF．C是这两直线之间一点．（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数；（2）如图2，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB 之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1，过C作CG∥MN，DH∥MN，∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠MAC＝∠ACG，∠EBC＝∠BCG，∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，∴∠1＝∠ACG，∠2＝∠BCG，∴∠ADB＝（∠ACG+∠BCG）＝∠ACB；∵∠ACB＝100°，∴∠ADB＝50°；（2）如图，过C作CG∥MN，DH∥MN，∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，∵∠MAC与∠FBC的平分线相交于点D，∴∠1＝∠MAC，∠2＝∠CBF，∵∠ADB＝360°﹣∠1﹣（180°﹣∠2）﹣∠ACB＝360°﹣∠MAC﹣（180°﹣∠CBF）﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣∠ACG）﹣（180°﹣∠BCG）＝90°﹣∠ACB．∴∠ADB＝90°﹣ACB．3．（2022·全国·七年级假期作业）【阅读材料】在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ=180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ=180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=180°+180°=360°．【问题解决】(1)如图②，AB ∥CD ，点P 在AB 与CD 之间，写出∠BAP ，∠APC ，∠PCD 间的等量关系；（只写结论）(2)如图③，AB ∥CD ，点P ，E 在AB 与CD 之间，AE 平分∠BAP ，CE 平分∠DCP ．写出∠AEC 与∠APC 间的等量关系，并说明理由；(3)如图④，AB ∥CD ，点P ，E 在AB 与CD 之间，∠BAE =13∠BAP ，∠DCE =13∠DCP ，写出∠AEC 与∠APC 间的等量关系．（只写结论）4．（2022春·云南玉溪·七年级统考期末）已知：如图1，直线AB CD ∥，EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，AEF CFE ∠∠，的平分线相交于点M ．(1)求M ∠的度数；(2)如图2，AEM ∠，CFM Ð的平分线相交于点1M ，请写出M ∠1与M ∠之间的等量关系，并说明理由；(3)在图2中作11,AEM CFM ∠∠的平分线相交于点2M ，作22,AEM CFM ∠∠的平分线相交于点3M ，依此类推，作20212021,AEM CFM ∠∠的平分线相交于点2022M ，请直接写出2022M ∠的度数．5．（2021春·吉林)【阅读探究】如图1，已知//AB CD ，E F 、分别是AB CD 、上的点，点M 在AB CD 、两平行线之间，45AEM ∠=︒，25CFM ∠=︒，求EMF ∠的度数．解：过点M 作//MN AB ,∵//AB CD ,∴//MN CD ,∴45EMN AEM ∠=∠=︒，25FMN CFM ∠=∠=︒，∴EMF EMN FMN ∠=∠+∠4525=︒+︒70=︒，从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将AEM ∠和CFM Г凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中AEM ∠、EMF ∠和CFM Ð之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：．【方法运用】如图2，已知//AB CD ，点E F 、分别在直线AB CD 、上，点M 在AB CD 、两平线之间，求AEM EMF ∠∠、和CFM ∠之间的数量关系．【应用拓展】如图3，在图2的条件下，作AEM ∠和CFM Ð的平分线EP 、FP ，交于点P （交点P 在两平行线AB CD 、之间）若EMF ∠60=︒，求EPF ∠的度数．【详解】解：[阅读探究]过点M 作MN ∥AB ，如图1所示：∵AB ∥CD ，∴MN ∥CD ，∴∠EMN =∠AEM =45°，∠FMN =∠CFM =25°，∴∠EMF =∠EMN +∠FMN =∠AEM +∠CFM ，故答案为：∠EMF =∠AEM +∠CFM ；[方法运用]过点M 作MN ∥AB ，如图2所示：∵AB ∥CD ，∴MN ∥CD ，∴∠EMN =∠BEM ，∠FMN =∠DFM ，∵∠BEM =180°-∠AEM ，∠DFM =180°-∠CFM ，，；6．（2022春·福建莆田）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．(1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为°；(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE；①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数；②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．【解答】解：（1）解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x=360，解得，x=60，∠H的4系补周角的度数为60°，故答案为：60；（2）解：①过E作EF∥AB，如图1，∴∠B=∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠D=60°，∴∠D=∠DEF=60°，∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF，即∠B+60°=∠BED，∵∠B是∠BED的3系补周角，∴∠BED=360°-3∠B，∴∠B+60°=360°-3∠B，∴∠B=75°；②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n．7．（2022春·湖北十堰）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．==8.（广益）已知CD AB //，点E 为平面内一点，CE BE ⊥于E ．（1）如图1，请直接写出ABE ∠和DCE ∠之间的数量关系；（2）如图2，过点E 作CD EF ⊥，垂足为F ，求证：ABE CEF ∠=∠；（3）如图3，在（2）的条件下，作EG 平分CEF ∠，交DF 于点G ，作ED 平分BEF ∠，交CD 于D ，连接BD ，若︒=∠+∠180ABD DBE ，且GEF BDE ∠=∠3，求BEG ∠的度数．【解答】解：（1）结论：∠ECD ＝90°+∠ABE ．理由：如图1中，从BE 交DC 的延长线于H ．∵AB ∥CH ，∴∠ABE ＝∠H ，∵BE ⊥CE ，∴∠CEH ＝90°，∴∠ECH ＝180°﹣∠CEH ﹣∠H ＝180°﹣90°﹣∠H ＝90°﹣∠H ，∴∠ECD ＝180°﹣∠ECH ＝180°﹣（90°﹣∠H ）＝90°+∠H ，∴∠ECD ＝90°+∠ABE ．（2）如图2中，作EM ∥CD ，∵EM∥CD，CD∥AB，∴AB∥CD∥EM，∴∠BEM＝∠ABE，∠F+∠FEM＝180°，∵EF⊥CD，∴∠F＝90°，∴∠FEM＝90°，∴∠CEF与∠CEM互余，∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，∴∠BEM与∠CEM互余，∴∠CEF＝∠BEM，∴∠CEF＝∠ABE．（3）如图3中，设∠GEF＝α，∠EDF＝β．∴∠BDE＝3∠GEF＝3α，∵EG平分∠CEF，∴∠CEF＝2∠FEG＝2α，∴∠ABE＝∠CEF＝2α，∵AB∥CD∥EM，∴∠MED＝∠EDF＝β，∠KBD＝∠BDF＝3α+β，∠ABD+∠BDF＝180°，∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝2α+β，∵ED平分∠BEF，∴∠BED＝∠FED＝2α+β，∴∠DEC＝β，∵∠BEC＝90°，∴2α+2β＝90°，∵∠DBE+∠ABD＝180°，∠ABD+∠BDF＝180°，∴∠DBE＝∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝3α+β，∵∠ABK＝180°，∴∠ABE+∠B＝DBE+∠KBD＝180°，即2α+（3α+β）+（3α+β）＝180°，∴6α+（2α+2β）＝180°，∴α＝15°，∴∠BEG＝∠BEC+∠CEG＝90°+15°＝105°．9．（2022春·湖南长沙）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足b=．1(1)a=________，b=________；(2)若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．(3)若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？∵∠BAN =45°=∠ABQ ，∴∠ABQ '=45°-t °，∠BAM ''=∠M 'AM ''-∠M 'AB =5t -45°，当∠ABQ '=∠BAM ''时，BQ '∥AM ''，此时，45°-t °=5t -45°，解得t =15；②当18＜t ＜27时，∠QBQ '=t °，∠NAM ''=5t °-90°，∠BAM ''=∠M 'AM ''-∠M 'AB =5t -45°，∵∠BAN =45°=∠ABQ ，∴∠ABQ '=45°-t °，∠BAM ''=45°-（5t °-90°）=135°-5t °，当∠ABQ '=∠BAM ''时，BQ '∥AM “，此时，45°-t °=135°-5t ，解得t =22.5；综上所述，射线AM 再转动15秒或22.5秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行．10．（2019春·浙江）如图，PQ MN ∥，A 、B 分别为直线MN 、PQ 上两点，且45BAN ∠=︒，若射线AM 绕点A 顺时针旋转至AN 后立即回转，射线BQ 绕点B 逆时针旋转至BP 后立即回转，两射线分别绕点A 、点B 不停地旋转，若射线AM 转运的速度是，3/︒秒，射线BQ 转运的速度是1︒/秒．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）（1）若射线AM 、射线BQ 同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM 、射线BQ 互相垂直．（2）若射线AM 绕点A 顺时针先转动40︒，射线BQ 才开始绕点B 逆时针旋转，在射线BQ 到达BA 之前，问射线AM 再转动多少秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行？（3）如图，射线AM 和射线BQ 同时转动，在射线AM 到达AN 之前．若射线AM 与射线BQ 交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，BAC ∠与BCD ∠的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，说明理由．【详解】(1)设射线AM 和射线BQ 同时旋转t 秒时，射线AM 和射线BQ 相互垂直，如图所示：依题意知，QBC t ∠=, 3MAC t ∠=, PQ MN ∥，34BCA QBC MAC t t t ∴∠=∠+∠=+=，射线AM 和射线BQ 相互垂直，490BCA t ∴∠==,故：22.5t =(2)设射线BQ 同时旋转t 秒时，射线AM 和射线BQ 相互平行，如图所示：依题意知，1QBQ t ∠=,1 403MAM t ∠=+, 11BQ AM,11Q BQ BM A ∴∠=∠，11180BM A MAM ∠+∠=︒，11180Q BQ MAM ∴∠+∠=︒，即403180t t ++=，故：35t =；(3)BAC ∠与BCD ∠的数量关系会发生变化，设射线转动时间为t 秒，则QBC t ∠=, 3MAC t ∠=，①当022.5t ≤≤时，如图：PQ MN ∥34BCA QBC MAC t t t ∴∠=∠+∠=+=1801803451353BAC MAC BAN t t ∴∠=︒-∠-∠=︒--︒=︒-，BCD 90904BCA t ∠=︒-∠=︒-，②当22.545t <≤时，如图：PQ MN ∥，34BCA QBC MAC t t t ∴∠=∠+∠=+=，1801803451353BAC MAC BAN t t ∴∠=︒-∠-∠=︒--︒=︒-，BCD 90490BCA t ∠=∠-︒=-︒；③当4560t <<时，如图：1801803CAN MAC t ∠=︒-∠=︒- ，()454518033135BAC CAN t t ∴∠=︒-∠=︒-︒-=-︒，设BC 交MN 于E， PQ MN ∥，180QBC BEA ∴∠+∠=︒,即BEA ∠＝180180QBC t ︒-∠=︒-，()180********BCA CAE BEA t t t ∠=∠+∠=︒-+︒-=︒-，903604902704BCD BCA t t ∴∠=∠-︒=︒--︒=︒-；综上所述：①当022.5t ≤≤时，1353BAC t ∠=︒-，BCD 904t ∠=︒-；②当22.545t <≤时，1353BAC t ∠=︒-，BCD 490t ∠=-︒；③当4560t <<时，3135BAC t ∠=-︒，2704BCD t ∠=︒-.所以在转动过程中，BAC ∠与BCD ∠的数量关系会发生变化.11．（师大）如图1，已知直线PQ ∥MN ，点A 、B 分别在直线MN 、PQ 上，射线AM 绕点A 以5°/秒的速度按顺时针开始旋转，旋转至与AN （或AM ）重合后便立即回转，射线BQ 绕点B 以2°/秒的速度按顺时针开始旋转，旋转至与BP 重合后便停止转动，旋转后的射线分别记为AM '和BQ '．（1）若射线BQ 先转动30秒，射线AM 才开始转动，在射线AM 第一次到达AN 之前，射线AM 转动几秒后AM'∥BQ'；（2）若射线AM，BQ同时转动t秒，在射线BQ停止转动之前，记射线AM'与BQ'交于点H，若∠AHB ＝90°，求t的值；（3）射线AM，BQ同时转动，在射线AM第一次到达AN之前，记射线AM'与BQ'交于点K，过K 作KC⊥AK交PQ于点C，如图2，若∠BAN＝30°，则在旋转过程中，∠BAK与∠BKC有何数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）由题意当5t＝60+2t时，BQ′∥AM′，∴t＝20s时，BQ′∥AM′．（2）∵点Q的运动时间t＝＝90（秒），分三种情形：①射线AM第一次到达AN之前：如图1中，当∠NAM′+∠QBQ′＝90°时，∠AHB＝90°，则有2t+180°﹣5t＝90°，解得t＝30（秒），②射线AM返回途中：如图2中，当∠MAM′+∠PBQ′＝90°时，∠AHB＝90°，则有180°﹣2t+180°﹣（5t﹣180°）＝90°，解得t＝（秒），③射线AM 第二次到达AN 之前，如图2中，当∠MAM ′+∠PBQ ′＝90°时，∠AHB ＝90°，则有180°﹣2t +（5t ﹣360°）＝90°，解得t ＝90（秒），④到达AN 再返回途中，如图1，5t ﹣180+2t ＝90t ＝秒；综上所述，满足条件的t 的值为30秒或秒或90秒或秒．（3）如图3中，设∠KAB ＝x ，∠BKC ＝y ．设直线CK 交MN 于G ．∵AK ⊥KC ，∴∠AKG ＝90°，∴∠KAG +∠AGK ＝90°，∵PQ ∥MN ，∴∠AGK ＝∠QCK ，∴180°﹣5t +2t +y ＝90°，∴t ＝30°﹣y ，∵x ＝30°﹣（180°﹣5t ），∴x ＝5t ﹣150°，∴x ＝5（30°﹣y ）﹣150°，∴x ＝y ，∴∠KAB ＝∠BKC ．12．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，()()02A a C b ，，，，且满足()240a b a b ++-+=，过C 作CB x ⊥轴于B（1）求三角形ABC 的面积．（2）发过B 作//BD AC 交y 轴于D ，且,AE DE 分别平分,CAB ODB ∠∠，如图2，若,90()CAB ACB a αββ∠=∠=+=︒，求AED ∠的度数．（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求出P 点坐标；若不存在；请说明理由．【详解】解：（1）由题意知：a＝−b，a−b＋4＝0，解得：a＝−2，b＝2，∴A（−2，0），B（2，0），C（2，2），∴S △ABC ＝1AB BC=42⋅；（2）∵CB∥y 轴，BD∥AC，∴∠CAB＝∠ABD，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，过E 作EF∥AC，13．（2022春·重庆）直线AB //CD ，点M 、N 分别在直线AB 、CD 上．(1)如图1，AMP ∠、DNP ∠、MPN ∠的数量关系为：________；(2)如图2，直线EF 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，连接MN ，EMN ∠的平分线MH 交CD 于点H ．①当MH //EF ，PN //EF 时，请判断EFD ∠与PNM ∠的数量关系，并说明理由；②如图3，当PN 保持PN //EF 并向左平移，在平移的过程中猜想EFD ∠、PNM ∠与MHN ∠的数量关系，请直接写出结论．【详解】（1）如图1中，过点P 作PT ∥AB ，∵AB ∥CD ，PT ∥АВ，∴AB ∥PT ∥CD ，∴∠AMP +∠MPT =180°，∠PND =∠TPN ，∴∠AMP +∠MPN -∠PND=∠AMP +∠MPT +∠TPN －∠PND=180°，故答案为：∠AMP+∠MPN-∠PND=180°；（2）①∠EFD=∠PNM，理由如下：∵MH∥EF，∴∠EFD=∠MHN，∵AB∥CD，∴∠MHN=∠AMH，∵MH平分∠AMN，∴∠AMH=∠HMN，∴∠EFD=∠HMN，∵MH∥PN，∴∠HMN=∠PNM，∴∠EFD=∠PNM，故答案为∠EFD=∠PNM；②如图，当点P在MN的右侧时，∵AB∥CD，∴∠MHD=∠AMH，∵MH平分∠AMN，∴∠AMH=∠HMN，∴∠MHD=∠HMN，∵PN∥EF，∴∠EFD=∠PND，∵∠MHN+∠HMN=∠PND+∠PNM，∴2∠MHN=∠EFD+∠PNM，当点P在MN的左侧时，∵AB∥CD，∴∠MHD=∠AMH，∵MH平分∠AMN，∴∠AMH=∠HMN，∴∠MHD=∠HMN，∵PN∥EF，∴∠EFD=∠PND，∵∠MHN+∠HMN=∠PND-∠PNM，∴2∠MHN+∠PNM=∠EFD．。

人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组的解法研究专题一．典例讲解:解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，①2x －y ＝9.②解：①＋②，得3x ＝15.∴x ＝5.将x ＝5代入①，得5＋y ＝6.∴y ＝1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1. 二．对应训练:1.解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋4y ＝－1.② 2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.4y ＝40，①0.5x ＋0.7y ＝35.②3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝6，①2x ＋3y ＝1.② 类型3 选择适当的方法解二元一次方程组一．典例讲解：解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －52，①4x ＋3y ＝65.②解：把①代入②，得4×y －52＋3y ＝65. 解得y ＝15.把y ＝15代入①，得x ＝15－52＝5.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝15.二．对应训练：1．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝19，①8x －3y ＝67.② 2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y 2＝9，①x 3－y 2＝7.②3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3，①3x ＋4y ＝18.②4．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋y 3＝13，3（x －4）＝4（y ＋2）.5．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋12＝4（x －1），3x －2（2y ＋1）＝4.6．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，①x －1＝12（2y －1）.② 类型4 利用“整体代换法”解二元一次方程组一．典例讲解:阅读材料：善于思考的小军在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝3，①4x ＋11y ＝5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x ＋10y ＋y ＝5，即2(2x ＋5y)＋y ＝5，③把方程①代入③，得2×3＋y ＝5.∴y ＝－1.把y ＝－1代入①，得x ＝4.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1. 一．对应训练：请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换法”解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝5，①9x －4y ＝19；② (2)已知x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36，②人教版初中数学七年级下册第8章《二元一次方程组》检测题一、单选题（每小题只有一个正确答案）1．下列方程中，为二元一次方程的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程组的解为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )A ．B ．C ．D ． 4．已知 ， 满足方程组，则 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ． D ．5．把一张贰拾元的人民币换成壹元或伍元的零钱，换法共有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种6．方程组的解是 （ ）A．B．-C．D．7．用代入法解方程组时，代入正确的是（）A． --B． --C． -D． -8．如果方程组的解中的x与y的值相等，那么a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，宽为60cm的矩形图案由10个完全一样的小长方形拼成，则其中一个小长方形的周长为（）A．60cm B．120cm C．312cm D．576cm10．关于x、y的方程组有正整数解，则正整数a为（）A．2、5 B．1、2 C．1、5 D．1、2、511．互为余角的两个角之差为35°，则较大角的补角是（）A． 7.5°B． .5°C． 5°D． 7.5°12．为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需元；购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需元，设购买一副乒乓球拍元，一副羽毛球拍元，则根据题意列方程组得( )A．B．C．D．二、填空题13．将方程写成用含的代数式表示，则=_______________．14．方程组将得_____________.15．关于x,y的二元一次方程组的解是正整数，则整数m值为____.16．某铁路桥长1750m ，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了80s ，整列火车完全在桥上的时间共60s ；火车的长度为________________.17．.对于任意实数a ，b ，定义关于“⊕”的一种运算如下：a ⊕b ＝2a ＋b.例如：3⊕4＝2×3＋4＝10.若x ⊕(－y)＝2，且2y ⊕x ＝－1，则x ＋y=________．三、解答题18．解方程组⑴ ⑵19．解方程组（1）人教版年级数学下册第九章 不等式与不等式组单元测试题人教版七年级数学下册第九章 不等式与不等式组单元测试题一、选择题1.设a ＞b ＞0，c 为常数，给出下列不等式：①a－b ＞0；②ac＞bc ；③1a ＜1b；④b 2＞ab ，其中正确的不等式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知，下列式子不成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．如果，那么3.在关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝m ＋7，x ＋2y ＝8－m 中，未知数满足 ≥0，y ＞0，那么m 的取值范围在数轴上应表示为( )4．方程组中，若未知数、满足，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5．某市自来水公司按如下标准收取水费：若每户每月用水不超过，则每立方米收费元；若每户每月用水超过，则超过部分每立方米收费元，小颖家某月的水费不少于元，那么她家这个月的用水量（吨数为整数）至少是（）A．B．C．D．6．甲、乙两人从相距24km的A，B两地沿着同一条公路相向而行，已知甲的速度是乙的速度的两倍，若要保证在2h以内相遇，则甲的速度应()A．小于8km/h B．大于8km/h C．小于4km/h D．大于4km/h7．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的同学每人分5本，那么最后一人就分不到3本．则这些图书有()A．23本B．24本C．25本D．26本8．定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[－3.6]＝－4.对于任意实数x，下列式子中错误的是()A．[x]＝x(x为整数) B．0≤x－[x]<1C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[n＋x]＝n＋[x](n为整数)9.某射击运动员在一次比赛中(共10次射击，每次射击最多是10环)，前6次射击共中52环．如果他要打破89环的记录，那么第7次射击不能少于( )A．5环B．6环C．7环D．8环10.某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位，要求租用的车辆不留空座，也不能超载．租车方案共有（）种．A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题1．若点A(x＋3，2)在第二象限，则x的取值范围是________．2．当x ________时，式子3＋x 的值大于式子12x －1的值．3．某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了________支．4．定义一种法则“”如下：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞b ），b （a ≤b ）.例如：＝2.若(－2m －＝3，则m 的取值范围是__________． 5．按下面程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的所有x 的值是______________．6.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞3（1－x ），1＋2x 3≤ 的解集是____________． 三、解答题1.解不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)2(x ＋1)－ ≥3 ＋2；(2)2x －13－9x ＋26≤ .2.已知关于x 的方程4(x ＋2)－2＝5＋3a 的解不小于方程（3a ＋1）x 3＝a （2x ＋3）2的解，试求a 的取值范围．3.已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，①x －y ＝m.② (1)求这个方程组的解(用含m 的式子表示)；(2)当m 取何值时，这个方程组的解中，x 大于1，y 不小于－1.4.小诚响应“低碳环保，绿色出行”的号召，一直坚持跑步与步行相结合的上学方式．已知小诚家距离学校2 200米，他步行的平均速度为80米/分，跑步的平均速度为200米/分．若他要在不超过20分钟的时间内从家到达学校，至少需要跑步多少分钟？5.某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条．(1)若x＝30，通过计算可知方案一购买较为合算；(只填“方案一”或“方案二”，不要求解题过程)(2)当x＞20时，①该客户按方案一购买，需付款(40x＋3__200)元；(用含x的式子表示)②该客户按方案二购买，需付款(36x ＋3__600)元；(用含x 的式子表示) ③这两种方案中，哪一种方案更省钱？参考答案：一、选择题。

专题5.1 平行线的判定【九大题型】【人教版】【题型1 对顶角的识别及其性质】 (1)【题型2 平行、垂直】 (5)【题型3 平行公理及其推论】 (7)【题型4 同位角相等，两直线平行】 (10)【题型5 内错角相等，两直线平行】 (12)【题型6 同旁内角互补，两直线平行】 (14)【题型7 平行线的判定方法的综合运用】 (17)【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】 (20)【题型9 平行线判定的实际应用】 (24)【题型1 对顶角的识别及其性质】【例1】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可．【详解】解：A、∠1与∠2的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意；B、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意；C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；D、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义，正确判断．【变式1-1】（2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相∠COB．交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25(1)图中的对顶角有对，它们是．(2)图中互补的角有对，它们是．(3)求∠EOD的度数．【答案】(1)两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD(2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC 和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD(3)140°【分析】（1）根据对顶角的定义，判断即可；（2）根据补角的定义进行判断即可；x，列出关（3）根据OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝25于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度数，再求出∠DOE的度数，即可得出结果．（1）解：图中的对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．故答案为：两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．（2）图中互补的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE 和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠OE平分∠AOC，∠∠AOE=∠COE，∠∠AOE+∠BOE=180°，∠∠COE+∠BOE=180°，∠∠EOC和∠EOB互补，∠∠COE+∠EOD=180°，∠∠AOE+∠EOD=180°，∠∠AOE和∠EOD互补．故答案为：八；∠AOC 和∠BOC ，∠AOC 和∠AOD ，∠BOD 和∠AOD ，∠BOD 和∠BOC ，∠AOE 和∠BOE ，∠EOC 和∠EOD ，∠EOC 和∠EOB ，∠AOE 和∠EOD ．（3）∠OE 平分∠AOC ，∠∠EOC ＝∠AOE ，设∠BOC ＝x ，则∠EOC ＝∠AOE ＝25x ，由平角定义得，25x +25x +x ＝180°， 解得：x ＝100°∠∠EOC ＝∠AOE ＝12（180°﹣100°）＝40°，∠∠DOE ＝100°+40°＝140°，答：∠EOD 的度数为140°． 【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义，根据题意求出∠BOC 的度数，是解题的关键．【变式1-2】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE⊥CD ，OF 平分∠AOD ，若∠AOD=50°.求∠EOF 的度数.【答案】65°【分析】根据角平分线的定义可得∠FOD =∠AOF =12∠AOD =25°，根据垂线的性质可得∠EOD =90°，再进行解答即可．【详解】解：∠OF 平分∠AOD ，∠AOD =50°，∠∠FOD =∠AOF =12∠AOD =25°， ∠OE ∠CD ，∠∠EOD =90°，∠∠EOF =∠EOD -∠FOD =90°-25°=65°．【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．【变式1-3】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ．(1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度．(2)若∠BOF=36°，∠AOC的度数是多少？【答案】(1)33(2)∠AOC的度数是72°【分析】（1）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，求出∠EOF和∠EOB的度数，再根据角的和差即可得∠BOF的度数；（2）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，先用∠BOE的等式表示∠AOC，再根据角分线的定义，列出等式即可求得结果．（1）∵∠AOC=76°，∴∠BOD=∠AOC=76°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=38°，∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=180°−∠DOE=142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=∠COF=71°，∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°故答案为：33；（2）设∠AOC=x°，∴∠BOD=∠AOC=x°，∵OE平分∠BOD，x°，∴∠BOE=∠DOE=12∵∠COE+∠DOE=180°，【例2】（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB∠l2，AC∠l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（）A．点A到直线l2的距离等于4B．点C到直线l1的距离等于4C．点C到AB的距离等于4D．点B到AC的距离等于3A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥cB．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a∥cD．在同一平面内，a，b，c是直线，且，a∥b,b∥c则a⊥c【答案】A【分析】根据平行线的性质分析判断即可．【详解】A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥c，故选项正确，符合题意．B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a//c，故选项错误，不符合题意．C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a⊥c，故选项错误，不符合题意．D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，a∥b,b∥c则a//c，故选项错误，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键．【变式2-2】（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（）A．两点确定一条直线B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂直同一条直线的两条直线平行D．垂线段最短线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．【答案】4.8【分析】根据垂线段最短可知：当MP∠AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．【详解】解：当MP∠AB时，MP有最小值，∠AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∠AB•MP＝AM•BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）【题型3 平行公理及其推论】【例3】（2022·江西上饶·七年级期中）同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c【答案】C【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a∥c，再结合c⊥d，可证a⊥d．【详解】解：∵a⊥b，b⊥c，∠a∥c，∠c⊥d，∠a⊥d，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线及垂线的性质，解题的关键是掌握同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．【变式3-1】（2022·河南漯河·七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（）A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行钝角；③ a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a//b，b// c ，则a// c ；④ a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a ⊥b ， b ⊥c ，则a ⊥c ；其中真命题的个数是（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】A【分析】根据平行线性质可判断①，根据两锐角的大小求和可判断②，根据平行公理推论可判断③，根据垂直定义得出∠1=∠2=90°，然后利用同位角相等，两直线平行的判定可判断④．【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故①不正确；②两个锐角的和可以是锐角，直角，钝角，故②不正确；③ a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，若a//b，b// c ，则a// c ，故③正确；④ a ，b ，c 是同一平面内的三条直线，如图∠a ⊥b ，b ⊥c ，∠∠1=90°，∠2=90°，∠∠1=∠2∠a ∠ c ，故④不正确；∠真命题只有1个．故选A．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，两锐角和的大小，掌握平行线的性质与判定，锐角定义是解题关键．【变式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由．解：因为∠1=∠2，所以____________∥___________．（）又因为AB∥CD，所以AB∥EF．（）【答案】CD∥EF；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行【分析】根据平行线的判定定理完成填空即可求解．【详解】解：因为∠1=∠2，所以CD∥EF．（内错角相等，两直线平行）又因为AB∥CD，所以AB∥EF．（平行于同一直线的两条直线平行）【点睛】本题考查了平行线的判定，平行公理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．【题型4 同位角相等，两直线平行】【例4】（2022·甘肃·陇南育才学校七年级期末）如图，AB⊥MN，垂足为B，CD⊥MN，垂足为D，∠1＝∠2．在下面括号中填上理由．因为AB⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°．又因为∠1＝∠2( )，所以∠ABM−∠1＝∠CDM−∠2( )，即∠EBM＝∠FDM．所以EB∥FD( )已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是______．【答案】同位角相等，两直线平行【分析】作图时保持∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行即可画出已知直线的平行线．【详解】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线的判定和性质．【变式4-2】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？【答案】BE∥DF，见解析是它的补角的3倍，∠1−∠2=90°．判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【答案】AB∥CD；理由见解析【分析】先根据补角的定义求出∠1的度数，然后求出∠CFE和∠2的度数，最后根据平行线的判定进行解答即可．【详解】解：AB∥CD；理由如下：∠∠1是它的补角的3倍，α，∠设∠1=α，则∠1的补角为13α=180°，∠α+13解得：α=135°，∠∠1=135°，∠∠CFE=180°−∠1=45°，∠∠1−∠2=90°，∠∠2=∠1−90°=45°，∠∠2=∠CFE=45°，∠AB∥CD．【点睛】本题主要考查了补角的有关计算，平行线的判定，根据题意求出∠2=∠CFE=45°，是解题的关键．【题型5 内错角相等，两直线平行】【例5】（2022·山东·曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线DE上，AB∠AC 于A，∠1与∠C互余，DE和BC平行吗？若平行，请说明理由．【答案】平行，理由见解析【分析】由垂直定义可得∠BAC=90°，根据平角定义得∠1+∠BAC+∠CAE=180°，即可得出∠1+∠CAE=90°，由∠1与∠C互余，根据余角的性质即可得出∠CAE=∠C，根据平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：平行，理由如下：∠AB∠AC，∠∠BAC=90°，∠∠1+∠BAC+∠CAE=180°，∠∠1+∠CAE=90°，∠∠1与∠C互余，即∠1+∠C=90°，∠∠CAE=∠C，∠DE∥BC．【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-1】（2022·北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求证：a∥b．∵∠4=∠3+∠2=75°，的平分线，∠ACB=40°，∠A=70°，求证：AB∥CF.【答案】证明见解析【分析】由角平分线的定义及补角的定义可求得∠ACE的度数，即可得∠A＝∠ACE，进而可证明结论．【详解】证明：∠∠ACB＝40°，∠∠ACM＝180°-40°＝140°，∠CF是△ABC外角∠ACM的平分线，∠ACM＝70°，∠∠ACF＝12∠∠A=70°，∠∠A＝∠ACF＝70°，∠AB∥CF．【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质和平行线的判定，证得∠A＝∠ACF 是解题的关键．【变式5-3】（2022·辽宁·阜新市第十中学七年级期中）如图，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB=1∠BAD，2试说明AD∥BC．【答案】见解析【例6】（2022·河北衡水·七年级阶段练习）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求证：AB∥CD．【答案】见解析【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，再根据平行于同一条直线的两条直线平行即可证明结论．【详解】证明：∵∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．【变式6-1】（2022·西藏昂仁县中学七年级期中）如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB∠AC，求证：AD∥BC．(1) ∠DAB+∠B等于多少度？(2)AD与BC平行吗？请说明理由．【答案】(1)∠DAB+∠B=180°(2)AD∥BC；理由见解析【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°；（2）根据同旁内角互补两直线平行可得AD∥BC．（1）解：∠AB∠AC，∠∠BAC=90°．又∠∠1=30°，∠∠BAD=120°，∠∠B=60°，∠∠DAB+∠B=180°．（2）解：AD∥BC．理由如下：∠∠DAB+∠B=180°，∠AD∥BC．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行．【变式6-3】（2022·北京市第五中学分校七年级期末）如图，已知点E在BC上，BD∠AC，EF∠AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求证：MD∥GF．下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．证明：∠BD∠AC，EF∠AC，∠∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①）．∠∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∠BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∠∠2＝∠CBD（②）．∠∠1＝∠2（已知）．∠∠1＝∠CBD（等量代换）．∠③（内错角相等，两直线平行）．∠∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∠MD∥BC（④）．∠MD∥GF（⑤）．【答案】垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GF∠BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．【分析】根据垂直定义得出∠BDC＝∠EFC，根据平行线的判定推出BD∠EF，根据平行线的性质得出∠CBD＝∠2，求出∠CBD＝∠1，根据平行线的判定得出GF∠BC，GF∠MD即可．【详解】证明：∠BD∠AC，EF∠AC，∠∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．∠∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∠BD∠EF（同位角相等，两直线平行）．∠∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等）．∠∠1＝∠2（已知）．∠∠1＝∠CBD（等量代换）．∠GF∠BC（内错角相等，两直线平行）．∠∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∠MD∠BC（同旁内角互补，两直线平行）．∠MD∠GF（平行于同一直线的两直线平行）．故答案为：垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GF∠BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．【题型7 平行线的判定方法的综合运用】【例7】（2022·广西贺州·七年级期末）如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判断直线a∥b的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．【详解】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；②由∠3＋∠4＝180°，可得a∥b；③由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；故能判断直线a∥b的有3个，故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．【变式7-1】（2022·浙江台州·七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能．．判断两条直轨是否平行()A．∠1B．∠3C．∠4D．∠512的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据邻补角的定义，对顶角相等和平行线的判定定理即可求解．【详解】解：A.如图，∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推导出l1∥l2，不符合题意；B.如图，∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推导出l1∥l2，不符合题意；C.如图，∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°，∴不能推导出l1∥l2，不符合题意；D.如图，∵∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴一定能推导出l1∥l2，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是熟悉同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行的知识点．【变式7-3】（2022·山东日照·七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（）A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180°【答案】B【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．【详解】因为∠1=∠2，所以DE∥BC，故A不符合题意；因为∠3=∠4，不能判断DE∥BC，故B符合题意；因为∠5=∠C，所以DE∥BC，故C不符合题意；因为∠B+∠BDE=180°，所以DE∥BC，故D不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】【例8】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．【答案】平行，理由见解析【分析】先根据角平分线的定义可得∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，从而可得∠ADF+∠ABE=90°，再结合∠ADF+∠AFD=90°可得∠ABE=∠AFD，然后根据平行线的判定即可得．【详解】解：BE∥DF，理由如下：∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，∵∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADF+∠ABE=12(∠ADC+∠ABC)=90°，又∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠ABE=∠AFD，∴BE∥DF．【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．【变式8-1】（2022·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期末）将下列证明过程补充完整：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．证明：∠CE平分∠ACD（已知），∠∠2＝∠（）．∠∠1＝∠2（已知），∠∠1＝∠（）．∠AB∥CD（）．【答案】ECD；角平分线的性质；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定依据角平分线的性质即可解决问题．【详解】证明：∠CE平分∠ACD，∠∠2＝∠ECD（角平分线的性质），∠∠1＝∠2．（已知），∠∠1＝∠ECD（等量代换），∠AB∠CD（内错角相等两直线平行）．故答案为：ECD；角平分线的定义；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定和角平分线的性质，解题的关键是根据平行线的判定解答．【变式8-2】（2022·辽宁沈阳·七年级期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF．证明：∠∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（对顶角相等）∠BFG＝∠2（____________）∠∠ABF＝______（等量代换）∠BE平分∠ABF（已知）______（____________）∠∠EBF=12∠FC平分∠BFG（已知）______（____________）∠∠CFB=12∠∠EBF＝______∠BE∥CF（____________）【答案】对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行；【分析】根据对顶角的定义，平行线的判定，角平分线的性质，结合上下文填空即可．【详解】证明：∠∠1＝∠2（已知）知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD=180°(已知)，∠AGC+∠AGD=180°(______)，所以∠BAG=∠AGC(______)．因为EA平分∠BAG，所以∠1=12∠BAG(______)．因为FG平分∠AGC，所以∠2=12______，得∠1=∠2(等量代换)，所以______(______)．【答案】平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行【分析】由题意可求得∠BAG=∠AGC，再由角平分线的定义得∠1=12∠BAG，∠2=12∠AGC，从而得∠1=∠2，即可判定AE∥GF．【详解】解：∵∠BAG+∠AGD=180°（已知），∠AGC+∠AGD=180°（平角的定义），∴∠BAG=∠AGC（同角的补角相等）．∵EA平分∠BAG，∠BAG（角平分线的定义）．∴∠1=12∵FG平分∠AGC，∴∠2=1∠AGC，2∴∠1=∠2（等量代换），∴AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，补角的性质和平行线的判定，解答的关键是熟练掌握平行线的判定定理并灵活运用．【题型9 平行线判定的实际应用】【例9】（2022·全国·七年级课时练习）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为()A．65°B．85°C．95°D．115°【答案】B【分析】根据同位角相等两直线平行可得当∠AOB=65°时，a∥b，进而算出答案．【详解】解：∠当∠AOB=65°时，a∥b∠旋转的最小角度为150°﹣65°=85°，故选：B【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．【变式9-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）如图所示的四种沿AB 进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（）A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C．如图3，测得∠1=∠2D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．【答案】B【分析】画出图形，根据平行线的判定分别判断即可得出．【详解】A.如图，由内错角相等可知，第二次拐弯后与原来平行，但方向相反，故不符合题意；B.如图，由同位角相等可知，第二次拐弯后与原来平行，且方向相同，故符合题意；C.如图，由内错角不相等可知，第二次拐弯后与原来不平行，故不符合题意；D.如图，由同位角不相等可知，第二次拐弯后与原来不平行，故不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确画出图形，熟记判定定理是解题的关键．【变式9-3】（2022·江苏·南京外国语学校七年级期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，∠1=70°,∠2=100°，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．解得：t=14；当t>20时，木棒a停止运动，时，70−3t=100，当20<t≤703解得：t=-10；（不合题意，舍去）时，3t−70=180−100或3t−70−180=180−100，当t>703解得：t=50或t=110；综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．故答案为：2或14或50或110【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键．。

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】二元一次方程组解法—代入法（提高）知识讲解责编:杜少波【学习目标】1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：1初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( ) A ．a ，b 都是0 B ．a ，b 之一是0 C ．a ，b 互为相反数 D ．a ，b 互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A ．单项式与单项式的和是单项式 B ．单项式与单项式的和是多项式 C ．多项式与多项式的和是多项式 D ．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B ．没有最小的正有理数 C ．没有最大的负整数 D ．没有最大的非负数4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号 B ．a ，b 异号 C ．a ＞0 D ．b ＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 2(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：237338x y x y +=⎧⎨-=⎩①②【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x 的系数较小，所以先把方程①中x用y 表示出来，代入②，这样会使计算比较简便． 【答案与解析】 解：由①得 732yx -=③初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( ) A ．a ，b 都是0 B ．a ，b 之一是0 C ．a ，b 互为相反数 D ．a ，b 互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A ．单项式与单项式的和是单项式 B ．单项式与单项式的和是多项式 C ．多项式与多项式的和是多项式 D ．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B ．没有最小的正有理数 C ．没有最大的负整数 D ．没有最大的非负数4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号 B ．a ，b 异号 C ．a ＞0 D ．b ＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 3将③代入② 733382y y -⨯-=，解得13y =． 将13y =代入③，得x ＝3 所以原方程组的解为313x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”． 举一反三：【变式】m 取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m 取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解. 【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.2.（2016春•九台市期末）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，4初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( ) A ．a ，b 都是0 B ．a ，b 之一是0 C ．a ，b 互为相反数 D ．a ，b 互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A ．单项式与单项式的和是单项式 B ．单项式与单项式的和是多项式 C ．多项式与多项式的和是多项式 D ．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B ．没有最小的正有理数 C ．没有最大的负整数 D ．没有最大的非负数4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号 B ．a ，b 异号 C ．a ＞0 D ．b ＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 5则方程组的解为【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算． 举一反三：【：二元一次方程组的解法369939 例7（1）】【变式1】解方程组2320,2352y 9.7x y x y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩【答案】解： 232235297x y x y y -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②将①代入②：25297y ++=，得 y=4， 将y=4代入①：2x －12=2 得 x=7，初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( ) A ．a ，b 都是0 B ．a ，b 之一是0 C ．a ，b 互为相反数 D ．a ，b 互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A ．单项式与单项式的和是单项式 B ．单项式与单项式的和是多项式 C ．多项式与多项式的和是多项式 D ．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B ．没有最小的正有理数 C ．没有最大的负整数 D ．没有最大的非负数4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号 B ．a ，b 异号 C ．a ＞0 D ．b ＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 6∴原方程组的解是74x y =⎧⎨=⎩.【：二元一次方程组的解法369939 例7（2）】 （2）45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①②解：由②，设x=4k ，y=3k 代入①：4k －4·3k =5 4k －12k =5 －8k =558k =-∴542x k ==-，1538y k ==-，∴原方程组的解为52158x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.类型二、方程组解的应用3.（2015春•临清市期末）如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出m的值．【答案】B．【解析】解：，由①得y=3-x ③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．7初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( ) A ．a ，b 都是0 B ．a ，b 之一是0 C ．a ，b 互为相反数 D ．a ，b 互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A ．单项式与单项式的和是单项式 B ．单项式与单项式的和是多项式 C ．多项式与多项式的和是多项式 D ．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B ．没有最小的正有理数 C ．没有最大的负整数 D ．没有最大的非负数4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号 B ．a ，b 异号 C ．a ＞0 D ．b ＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 84.已知2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩①②和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩③④的解相同，求2011(2)a b +的值．【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y ＝-6和3x-5y ＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x 、y 的值．再将x 、y 的值代入ax-by ＝-4，bx+ay ＝-8中建立关于a 、b 的方程组即可求出a 、b 的值． 【答案与解析】 解：依题意联立方程组2563516①x y x y +=-⎧⎨-=⎩③①+③得5x ＝10，解得x ＝2．把x ＝2代入①得：2×2+5y ＝-6，解得y ＝-2，所以22x y =⎧⎨=-⎩，又联立方程组48ax by bx ay -=-⎧⎨+=-⎩，则有224228a b a b +=-⎧⎨-+=-⎩，初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( ) A ．a ，b 都是0 B ．a ，b 之一是0 C ．a ，b 互为相反数 D ．a ，b 互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A ．单项式与单项式的和是单项式 B ．单项式与单项式的和是多项式 C ．多项式与多项式的和是多项式 D ．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B ．没有最小的正有理数 C ．没有最大的负整数 D ．没有最大的非负数4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号 B ．a ，b 异号 C ．a ＞0 D ．b ＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 9解得13a b =⎧⎨=-⎩．所以(2a+b)2011＝-1．【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键. 举一反三：【变式】（2015•江都市模拟）小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c ，解得已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c的值．【答案】 解：把代入cx ﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．10初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；。