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人教版八年级数学下册二次根式ppt课件

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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件

人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；

16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因

第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册

第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数） 的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商

新版人教版八年级下16.1二次根式课件.ppt

新版人教版八年级下16.1二次根式课件.ppt

2
什么启示?
(a≥0)
? 一般地,二次根式有下面的性质:
a 2 a (a 0) 1149a765
a
快 速 判12 Nhomakorabea3 __3____,2
2 7
2
2
___7___,
3
2
1 3
2
__2__1____, 3
断
2
4
2
5 ___5_____,5
2 3
_____2___. 3
3页例2
16.1二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 aa
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就 叫做a的算术平方根。
用 aa (a≥0)表示。
情景问题
1.面积为3的正方形的边长为____3__ ，面积为S
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
Q 2 a 0， b 2 0
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.

人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品教学课件课件

人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品教学课件课件

36
6
（2）
=(
7
49
),
4
16
(
);
5
25
6
36
(
);
49
7
a
a

b
b
活动探究
二次根式的除法法则：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
a
a

( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例1 计算：
（2） 3
（1） 24 ；
3
解： (1)
24
2
24
3
3
3
(2)

2
1
．
18
8 2 2
1 ＝ 3 1 ＝ 3 18
＝ 27 ＝3 3
2
18
2
18
活动探究
探究二：二次根式除法法则的逆运用
把
a
b

aห้องสมุดไป่ตู้
( a 0，b＞0) 反过来，就得到
b
a
a

( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例2 化简：
(1)
3
100
解：（1）
75
27
(2)
3
=
100
75
（2） =
27
3
100
=
a
a

( a 0，b＞0)
解：原式=
− × −
= ×
解：原式= − × −
= ×××
=
× ×
=
4、计算： ∙ −
原式= ∙

人教版数学八年级下册：第十六章-二次根式--课件(共88张)

人教版数学八年级下册：第十六章-二次根式--课件(共88张)
3 2 3 1.5 5 木板够宽
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？ 你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括 号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认 真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木 板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结

人教版八年级下册数学《二次根式的概念》二次根式PPT教学课件

人教版八年级下册数学《二次根式的概念》二次根式PPT教学课件

巩固练习
3. (1) 已知 ＝0，求x，y 的值．
因为 ≥0， ≥0，且其和为0，所以x＋1＝0，x＋y－2＝0，解得x＝－1，y＝3.所以x，y 的值分别为－1，3.
总结：a 2， ≥0(a≥0)．可利用“若几个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零”解决问题．
+
+5，求
的值
+
=0，求a2019+b2104的值.
1.已知y=
2.若
2
2.若 ，则x的取值范围是（ ） A.x＞1 B.x≥1 C.x＜1 D.x≤1
3.在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ） A.x≥﹣2且x≠0 B.x≤2且x≠0 C.x≠0 D.x≤﹣2
（x≥0，y≥0）．
不是二次根式的有： .
、
、
、
（x>0）、
、
、
（x≥0，y≥0）．
、-
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, ≥0
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
3、被开方数 a >0，且 。（双重非负性）
探究点一、二次根式的概念问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、
、
、
（x>0）、
、
、-
、
、
解：二次根式有：
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
1
2
首页
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
1.我们之前学过哪个知识点与今天的知识有关？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.

人教版八年级数学下册16.1《二次根式》课件(共23张PPT)

人教版八年级数学下册16.1《二次根式》课件(共23张PPT)

C. a＞-2或a≠ 0
【解析】选D.要使式子
D. a≥-2且a≠ 0
a2 a
有意义，须同时
满足a+2≥0，a≠0两个条件，解两个不等式
可得a≥-2且a≠0 。
巩固提高：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围 （1） (
3 2x )
2
（2） (1 x) 2
3 (1). 3 2 x 0 x (2).x为全体实数 2 (3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
⑶
1 2
2
⑵
16
x ( x 0)
a9
a 2a 2 ⑷
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
2．下列式子一定是二次根式的是（ A．
）
2
x 2
4. a≥0, a ≥0
( 双重非负性)
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
从左看到右;从上看到下
看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
用带有根号的式子填空，看看结果有什么特点：
1.面积为3的正方形的边长为—— 3。 2.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3

人教版八年级(初二)数学下册 16.1 二次根式 第一课时 PPT教学课件

人教版八年级(初二)数学下册 16.1 二次根式 第一课时 PPT教学课件
际问题.
5.培养观察、发现、分析问题的能力，增强学生科学研究的意识.
学习重难点
学习重点：二次根式的概念.
学习难点：二次根式有意义的条件.
回顾复习
1.平方根与算术平方根的概念.
2.若正方形的面积为S，则正方形的边长为
S .
探究新知
学生活动一 【自主探究】
认真阅读教材第2页至第3页的内容，完成下面练习并体验知识
当3为腰长时，三角形的边长分别为3，3，4，符合三角形的
三边关系，此时三角形的周长为3+3+4=10；
当4为腰长时，三角形的边长分别为4，4，3，符合三角形的
三边关系， 此时三角形的周长为4+4+3=11．
∴ 此三角形的周长为10或11.
课后作业
1.教材P5习题16.1复习巩固第1,3题,综合运用
它的长、宽各应取多少？
3
解:设长方形的宽为x m，则长方形的长为 x m，
2
3
3
∴ x∙x=18，解得x=2 3， x=3 3.
2
2
∴长方形的长为3 3 m，宽为2 3 m.
拓展应用
2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a − ;
解:由题意，得a-1≥0，解得a≥1，
∴当a≥1时， a − 在实数范围内有意义.
x−2≠0,
∴当x≤3，且x≠2时，
3−x
在实数范围内有意义.
x−2
探究新知
(3)
x+5
.
x
解：由题意，得ቊ
x+5≥0,
解得x≥-5且x≠0.
x≠0,
∴当x≥-5且x≠0时，
x+5

新人教版八年级下册数学16.1.1二次根式的定义优质课件

新人教版八年级下册数学16.1.1二次根式的定义优质课件

是x 2二次1根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时，
是二-5次a 根式；
当a＞0时，－5a＜0，则
不-是5a二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
-5a
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为
二次a根式．
知1－讲
第八页，共三十页。
(5)当x＝－3时，
（x
1
3无）2意义，∴
也1 无意义；
A
A.
a
C.
B.
D.
b2 1
0
（a b）2
第十二页，共三十页。
知1－练
4．下列式子：
7，2x , 1 m , a2 b2 , 100 , 5 , a 1
中，一定是二次根式的有( )CFra bibliotekA．2个
B．3个
C．4个
D．5个
知1－练
第十三页，共三十页。
知识点 2 二次根式有意义的条件
式子 a只有在条件a≥0时才叫二次根式． 即a≥0是 为a 二次根式的前提条件.
C．7
D．－7
第二十四页，共三十页。
知3－讲
导引：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入
+ (y+
代数式进行计算即可得解．因为x y 1
x3)2y=0都1 是0非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=
0，
，所以y+3=0，x+y-
1=0，
解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．
第二十五页，共三十页。
____h__.
5
上面问题的结果分别是
3， S , 65 ,，它h
5
们表示一些正数的算术 平方根.

八年级数学下册教学-16.2 二次根式的乘除 课件(共16张PPT).ppt

八年级数学下册教学-16.2 二次根式的乘除 课件(共16张PPT).ppt

02
练一练
1．（2019·海口市丰南中学初三期末）已知： 是整数，则满足条件
的最小正整数为(
A．2
)
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】
∵ 20 = 4 × 5 = 2 5 ，且 20 是整数，
∴2 5是整数，即5n是完全平方数，
∴n的最小正整数为5．
故选D．
02
练一练
2．已知 = ， = ，则 = (
PA R T
02
练一练
02
练一练
计算：
1） 14 × 7 = 14 × 7 = 2 × 72 = 7 2
2）2 10 × 3 5 = 2 × 3 × 10 × 5
= 6× 2×5×5
= 6 × 52 × 2=30 2
3） 3 ×
1

3
= 3 × 1 =
3
× 2= = 2 × =
A．2a
B．ab
C．
)
D．
【答案】D
【详解】
解： 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3 ×
3 = ⋅ ⋅ = 2 ．
故选D．
3．（2019·肇庆市端州区南国中英文学校初二期中）下列
各数中,与2 的积为有理数的是(
A．2
B．3
C．
)
【答案】D
【详解】
解：A、2×2 3=4 3为无理数，故不能；
01
二次根式的乘法法则变形
注意公式成立条件
ab = • ≥ 0，b ≥ 0
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
计算：
1） 16 × 81 =
=

人教版数学八年级下册《二次根式的除法》ppt课件

人教版数学八年级下册《二次根式的除法》ppt课件

不是“ a ”，而是“
a 3
a a”3刘敏说：哎呀，真抄错了，好在
不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按
a
a
3计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；
而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
a 3
课堂小结
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4 ； 99
(2) 16 = 16 ； 25 25
(3)
36 36 . 49 49
猜测 你发现了什么规律？能用字母表示你所发
现的规律吗？ 猜测： a a bb
从上面的猜测的规律中，a，b 的取值范 围有没有限制呢？
回顾上节课所讲的二次根式的乘法，我们知道
h 5
40时，此时
他看到的水平线的距离d2是多少？
解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到 的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
d2 16 10 . d1 16 5
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？
除法有没有类似的法则？
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进
行化简,如 0.3 3 30 30 .
10 100 10
巩固练习
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是
最简二次根式的进行化简．
（1）
45
;
（2） 1 ;
3
（3） 5 ;
2
（4）
0.5
;（5） 1 4
5
.

人教版八年级数学下册课件：16.1二次根式1.1二次根式的定义(共24张PPT)

人教版八年级数学下册课件：16.1二次根式1.1二次根式的定义(共24张PPT)

.
6.已知∣a+1∣+
＝0，则a+b＝
.
7.已知
+
＝b+8.
(1)求a的值;
(2)求a2-b2的平方根
19
知识点三：二次根式的“双重”非负性
归纳总结
二根式的双重非负性：“a≥0， a ≥0”
在解题中的应用有两种情况: 一是当一个式子有两个二根式，且被开方数互为相反
数时，通常先利用二次根式的被开方数的非负性 ， 建立不等式组，再解不等式组确定未知数的值.
20
知识点三：二次根式的“双重”非负性
归纳总结
ニ是当一个式子含有几个非负数：“绝对值的非负性， 偶次方的非负性，二次根式的非负性，即：
“∣a∣≥0， a2n≥0， a ≥ 0.”式子的和为0时，通常
先利用每个式子都为0建立方程组，再解这个方程 组确定未知数的值.
21
思维导图 二次根式
二次根式的定义以及 二次根式有意义的条件
()
A.12 B.10 C.8 D.6
2.已知y＝
+
-3，则2xy的值为( )
A.-15 B.15 C .-
D.
3.若∣3x-2y-1∣+
＝0，则x= ,y=
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ18
知识点三：二次根式的“双重”非负性
学以致用
4.若(x-2)2+
＝0，则xy的值为( )
A.6 B.-6 C.1 D.-1
5.若
+
＝0，则x的值为
(1)
; (2)
; (3)
;
(4)
+
; (5)
; (6) + .

《最简二次根式》二次根式PPT课件

《最简二次根式》二次根式PPT课件

2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125． 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需 分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相 应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不 含开得尽方 的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数 不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1． （２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫 做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4
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上面问题中结果分别是：√3 √S
①含有二次根号“√ ” ②被开方数都是非负数 ③表示一些数的算术平方根
√2 √h/5 它们都是
一般地，我们把形如√a (a≥0) 的式子叫做二次根式， “√” 称为二次根号
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形如√a (a≥0) 的式子叫做二次根式
（1）形式上含有二次根号 “√ ” （2）表示a的算术平方根 （3）a可以是数，也可以是式子 （4） a≥0， √a ≥0 (双重非负性)
16.1二次根式
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回忆
1、什么叫一个数的平方根。如何表示？
如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这个数叫做a的平方根 a的平方根是±√a
2、什么是一个数的算术平方根，如何表示？
正数的正平方根叫做一个数的算术平方根 a的算术平方根是 √a
3、平方根有什么性质呢？
（1）正数有两个平方根，且互为相反数 （2）0的平方根是0 （3）负数没有平方根
(5) √1/x2
(6) √a-1/a-2
求二次根式中字母的取值范围的依据 ①被开方数大于等于零 ②若被开方数为分式，分母中含有字母时，要保证分母不为零
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今天有什么收获？
1、二次根式的概念 2、二次根式有意义的条件（根号内字母的取值范围）
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思考
用带根号的式子填空，并看看结果有什么特点
1、面积为3的正方形的边长为____,面积为S的正方形的边长为_____ 2、要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，它的半径为______m(π取3.14) 3、一个物体从高处自由落下，落到地面所用时间为t（单位：s）与开始落下时
地面的高度h（单位：m）满足关系 h=5t2,如果用含有h的式子、√h/5
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说一说
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例1：当X是怎样的实数时，√x-2 在实数范围内有意义 解：由x-2≥0，得 x≥2 当x≥2时， √x-2 在实数范围内有意义
思考：当x是怎样的实数时，√x2 在实数范围内有意义，√x3呢？
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当x取何值时，下列二次根式有意义？
（1）√x-1
(2) √-3x
(3) √4x2
（4）√1/x