2016高考数学专题复习导练测第三章导数及其应用阶段测试(四)理新人教A版
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1 【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第三章 导数及其应用阶段测试（四）理 新人教A版
(范围：§3.1～§3.4)
一、选择题
1．设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于( )
A．2 B．－2
C.12 D．－12
答案 B
解析 因为y＝x＋1x－1的导数为y′＝－2x－2，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为k＝－12，又直线ax＋y＋3＝0的斜率为－a，所以－a·(－12)＝－1，解得a＝－2.
2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
B．[－3，3]
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3，3)
答案 B
解析 由题意，知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，所以Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－3≤a≤3.
3．已知a≤1－xx＋ln x对任意x∈[12，2]恒成立，则a的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 A
解析 令f(x)＝1－xx＋ln x，则f′(x)＝x－1x2，当x∈[12，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，
∴f(x)在[12，1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，
即a的最大值为0. 2 4．设f(x)＝ x2，x∈[0，1]，1x，x，e]，(e为自然对数的底数)，则ʃe0f(x)dx等于( )
A．－43 B．－23
C.23 D.43
答案 D
解析 依题意得，ʃe0f(x)dx＝ʃ10x2dx＋ʃe11xdx
＝13x3|10＋ln x|e1＝13＋1＝43.
5．已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)＝f(4－x)，且当x≠2时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2 A．f(2a) B．f(3) C．f(log2a) D．f(log2a) 答案 C 解析 由f(x)＝f(4－x)，可知函数图象关于x＝2对称．由xf′(x)>2f′(x)，得(x－2)f′(x)>0，所以当2 即f(log2a) 二、填空题 6．函数y＝x＋2cos x在区间[0，π2]上的最大值是_________________________________． 答案 π6＋3 解析 y′＝1－2sin x，令y′＝0，又x∈[0，π2]，得x＝π6，则x∈[0，π6)时，y′>0；x∈(π6，π2]时，y′<0，故函数y＝x＋2cos x在[0，π6)上递增，在(π6，π2]上递减，所以当x＝π6时，函数取得最大值，为π6＋3. 7．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________． 3 答案 (－1,1) 解析 令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±a. f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表： x (－∞，－a) －a (－a，a) a (a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 从而 －a3－3a－a＋b＝6，a3－3aa＋b＝2. 解得 a＝1，b＝4，所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)． 8．已知f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为________． 答案 [3，＋∞) 解析 由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0或x＝2. 又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5， ∴f(x)max＝3，又f(x)≤a，∴a≥3. 三、解答题 9．已知函数f(x)＝12x2－aln x(a∈R)． (1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值； (2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围． 解 (1)因为f′(x)＝x－ax(x>0)， 又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b， 所以 2－aln 2＝2＋b，2－a2＝1，解得a＝2，b＝－2ln 2. (2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数， 则f′(x)＝x－ax≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立． 所以有a≤1. 10．(2014·大纲全国)函数f(x)＝ln(x＋1)－axx＋a(a>1)． (1)讨论f(x)的单调性； 4 (2)设a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，证明：2n＋2 (1)解 f(x)的定义域为(－1，＋∞)， f′(x)＝x[x－a2－2ax＋x＋a2. ①当1 则f′(x)>0，f(x)在(－1，a2－2a)是增函数； 若x∈(a2－2a,0)，则f′(x)<0，f(x)在(a2－2a,0)是减函数； 若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)是增函数． ②当a＝2时，f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x＝0，f(x)在(－1，＋∞)是增函数． ③当a>2时，若x∈(－1,0)，则f′(x)>0，f(x)在(－1,0)是增函数； 若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)<0，f(x)在(0，a2－2a)是减函数； 若x∈(a2－2a，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(a2－2a，＋∞)是增函数． (2)证明 由(1)知，当a＝2时，f(x)在(－1，＋∞)是增函数． 当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝0， 即ln(x＋1)>2xx＋2(x>0)． 又由(1)知，当a＝3时，f(x)在[0,3)是减函数． 当x∈(0,3)时，f(x) 即ln(x＋1)<3xx＋3(0 下面用数学归纳法证明2n＋2 ①当n＝1时，由已知23 ②假设当n＝k时结论成立，即2k＋2 当n＝k＋1时，ak＋1＝ln(ak＋1)>ln(2k＋2＋1)>2×2k＋22k＋2＋2＝2k＋3. ak＋1＝ln(ak＋1)≤ln(3k＋2＋1)<3×3k＋23k＋2＋3＝3k＋3， 即当n＝k＋1时有2k＋3 根据①、②可知对任何n∈N*结论都成立．
