shearlet 剪切波的构造

makingashortcut);或 者 翻 译 成 剪 径 也 未 必 不 可,
这个用于土匪野外 打 劫 的 专 业 词 汇,反 映 的 也 是 一
种 致 富 的 捷 径 ,而 且 汉 字 的 剪 、切 、截 有 通 用 的 地 方 .
Cut当然也可 用 于 一 些 虚 拟 的 切 入 过 程,比 如 cut灢
1.Cut.Cut可 能 是 许 多 人 学 的 第 一 个 具 有 切 的意思的英文词.Cut大约是要用刀的,英文 解 释 说 它要 denotingpenetrationorincision,也 就 说 所 用 器具要穿过待切 的 物 体.英 文 词 shortcut 与 其 和 中 文 捷 径 对 应 ,不 如 翻 译 成 截 径 ,因 为 截 径 更 能 反 映 出 这条路径被开辟的 过 程 (想 象 一 下 某 人 在 方 格 状 的 田里,不 沿 田 埂 行 走,而 是 从 田 里 斜 插 过 去,就 是
切 ,比 如 切 肉 (tocarve meat).
2 .灢Tom.Tomy (tomos) 来 自 希 腊 语 氂毾毺毲曚
( ),现 代 希 腊 语 动 词 形 式 有 氂毰曚毺毻氊 (temno,to
cut,todivide) 和
(temaheezo,tocutinto
pieces),拉丁语 动 词 形 式 为tondere.含 词 干tom 的
物理学咬文嚼字
物理学咬文嚼字之三十二
切呀切Leabharlann 曹则贤(中 国 科 学 院 物 理 研 究 所 暋 北 京 暋100190)
管 他 什 么 人 挣 扎 ,着 了 语 言 文 字 须 要 差 . ——— 京 剧 《天 女 散 花 》
摘暋要暋暋 物理学涉及许多与切相关的词汇.与切相关的西 文 词 包 括 源 于

An overview of multi-modal medical image fusion——多模态医学图像融合综述●多模态医学图像融合⏹过程：合并单/多模式的多张图像，提升图像质量，保持具体特征⏹目的：合并不同模态的图像，便于发现病变●主要模态⏹核磁共振成像（MRI）◆更好的软组织定义，更高的空间分辨率◆缺乏运动信息，如人体的新陈代谢。

⏹计算机断层扫描（CT）：三维图像技术◆短扫描时间，高图像分辨率◆组织特征的显示受限，CT扫描设备的限制是要在短时间内将多个图像切片反转为一个图像⏹正电子发射断层扫描（PET）◆分子成像技术，具有高灵敏度◆低分辨率⏹单光子发射计算机断层扫描（SPECT）◆核成像，图像用于研究组织组织和器官的血流●多模态图像融合集中于三类融合：⏹MRI-CT⏹MRI-PET⏹MRI-SPECT●图像融合= 图像分解和重构+ 图像融合规则+ 图像质量评估●图像的分解和重构⏹空间域（spatial domain）、频域（frequency domain）、多尺度（multi-scale）、尺度不变（scale invariance）、字典（dictionary）、指令过滤（directive filter）⏹五种主要方法◆颜色空间（color space）：基于IHS（强度-色调-饱和度）的融合，用RGB-IHS矩阵将输入图像由RGB转变为IHS模型，再用反向IHS模型（IHS-RGB）重构融合图像。

将不同模态的医学图像用RGB-IHS模型转变为IHS颜色空间中的图像。

◆金字塔（pyramid）：多分辨率（图像分解为多层），图像的迭代◆小波（wavelet）：将输入图像分为低频和高频两部分，分别将低频部分和高频部分进行融合。

离散小波变换（DWT）以稳定的形式保留不同频率信息，可在时域和空域中完美定位，但该方法无法满足移位不变。

冗余DWT（RDWT）旨在通过从传统的DWT采样中删除低采样以克服DWT移位变化的问题。

基于剪切波的变分图像放大方法王鹏;吴玉莲【摘要】针对图像放大的Chambolle变分模型会出现阶梯效应的现象,文中提出了一种基于Shearlet光滑分解空间的变分模型.利用有界变差空间和Shearlet分解空间的关系,特别是Shearlet分解空间的半范与加权Shearlet系数之间的等价关系,将所求的变分问题转化为基于Shearlet域的变分问题,其解归结于简单的Shearlet阈值.实验仿真表明,该方法放大后的图像有效地消除了阶梯块效应,保持了更多的细节,具有更高的峰值信噪比.【期刊名称】《电子科技》【年(卷),期】2016(029)006【总页数】4页(P146-149)【关键词】图像放大;剪切波;变分模型;分解空间【作者】王鹏;吴玉莲【作者单位】中航工业西安航空计算技术研究所13室,陕西西安710065;西安医学院卫生管理系,陕西西安710021【正文语种】中文【中图分类】TP391.41在图像处理中，最容易实现的图像放大方法是各种插值技术。

常用的图像处理软件都是基于图像插值的方法来对其进行放缩处理，例如最近邻插值、双线性插值以及基于高阶多项式的三次样条插值等。

这些图像插值方法取得了不错的效果, 并且操作简单,但这些方法的本质都是用预先指定的光滑函数来对原图像进行模拟。

因为这种方法具有固定的限制性,不可避免的会带来一些人工虚假信息[1]。

文献[2]给出了变分图像放大算法，得到较为理想的放大效果。

但该算法以有界变差(TV)作为正则约束使放大的图像具有阶梯块效应。

文献[3]利用小波软阈值和Besov空间(Ω)中变分泛函的等价性在小波域对图像进行放大。

众所周知, 小波变换对含点状奇异的目标函数是最优的，但对具有线状奇异的函数而言，小波并不能达到最优的稀疏逼近。

于是，多尺度几何分析应运而生。

典型的代表为曲线波变换(Curvelet Transform) [4]、轮廓波变换(Contourlet)[5]及剪切波变换(Shearlet Transform) [6-8]。

一种剪切波域的稀疏分量分析方法纪建;李晓【摘要】在图像盲源分离应用中,传统独立分量分析(ICA)方法直接使用图像混合源作为输入求得解混矩阵,没有利用图像在变换域的稀疏特性,无法获得较好的解混效果.针对这一问题,笔者在分析剪切波具有良好稀疏表示能力的基础上,提出了一种剪切波域的稀疏分量分析方法.该方法首先将图像混合源变换到剪切波域,得到剪切波系数,接着使用峭度选择最稀疏系数,最后将稀疏系数作为ICA方法的输入实现图像分离.由于选择较少的稀疏系数,问题的求解复杂度有了显著的降低.实验结果表明,与传统ICA方法相比,该方法获得了更好的分离效果,且缩短了算法的运行时间.【期刊名称】《西安电子科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(041)001【总页数】9页(P45-52,146)【关键词】盲源分离;独立分量分析;稀疏分量分析;剪切波变换【作者】纪建;李晓【作者单位】西安电子科技大学计算机学院,陕西西安710071;西安电子科技大学计算机学院,陕西西安710071【正文语种】中文【中图分类】TP751盲信号分离(Blind Source Separation,BSS)是在源信号和混合方式未知的情况下,利用混合后的观测数据求取源信号的过程.按照设定的假设条件和研究途径的不同,可以分成独立分量分析(Independent Component Analysis,ICA)[1]、因子分析(Factor Analysis,FA)和独立因子分析(Independent Factor Analysis,IFA)等若干课题.其中,ICA是在假定源信号相互统计独立的基础上,通过非正交的线性变换对源信号进行解混,很大程度上解决了盲信号分离的问题.但是,ICA算法存在分离精度低、收敛速度慢、噪声鲁棒性弱等问题,仍然无法得到很好解决.针对ICA算法存在的问题,文中提出了一种新的独立分量分析方法——稀疏分量分析(Sparse Component Analysis,SCA)方法[2].稀疏分量分析是在独立分量分析基础上发展起来的一种有效的盲信号处理技术[3-4],其处理对象是由一组相互统计独立的稀疏信源经线性组合而成的混合信号,目的是从混合信号中提取出各个独立的信号分量.与独立分量分析相比,稀疏分量分析能在一定程度上解决ICA方法中存在的问题,可以获得更好的分离效果.然而,基于稀疏分量分析的稀疏独立分量分析方法(SParse Independent Component Analysis,SPICA)进行盲信号分离,与输入混合源的稀疏性密切相关,即混合源越稀疏,通过SPICA方法求得的解混矩阵越精确,所需时间也越少.但一般自然图像和信号在时域不具有稀疏特性,因此SPICA方法无法获得较好的分离效果.文献[2]提出了一种基于小波包的独立分量分析方法(Wavelet SParse Independent Component Analysis,WSPICA).该方法利用图像在小波变换域具有稀疏性的先验条件,能够较好地实现图像盲分离.小波变换具有良好的时频局域特性,已经应用到了图像去噪、盲源分离和压缩传感等领域[5-7],然而小波变换方向选择性少,在表示图像的直线或者曲线奇异性结构时,并不是最优的,无法获得较好的稀疏表示[8].且对于有噪盲源分离[9],WSPICA方法无法实现分离.基于此,文献[10]提出的一种基于形态成分分析的有噪盲源分离方法(General Morphological Component Analysis,GMCA)能够很好地实现对有噪图像的盲分离,但是,算法存在一定的不稳定性.2007年,Guo等人通过仿射系统构造了一种接近最优的多维函数稀疏表示工具:剪切波变换(Shearlet Transform)[11],继承了曲波变换和轮廓波变换平移不变性和方向选择性多的优点,通过对基函数缩放、剪切和平移等仿射变换,生成具有不同特征的剪切波基函数.对于二维信号,剪切波变换不仅可以检测到所有的奇异点,而且还可以自适应跟踪奇异曲线的方向,且随着尺度参数变化,可精确描述函数的奇异性特征,从而获得了更好的图像稀疏表示能力.笔者在分析剪切波具有良好稀疏表示能力的基础上,提出了一种剪切波域的稀疏分量分析方法,并将其应用到了图像盲分离中.1.1 SPICA的数学模型线性瞬时混合SPICA[2]的研究对象是M个观测信号X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T,而这些信号是由多个相互独立、稀疏的源信号S(t)=[s1(t),s2(t),…,sN(t)]T,经过线性系统A混合得到的,即在每个时刻t都存在如下关系:其中,M×N维的混合矩阵A和源信号S(t)都是未知的,只有观测信号X(t)是已知的.从式(1)可以看出,其与传统ICA方法的数学模型非常类似,惟一不同的是:SPICA是由一组相互统计独立的稀疏信源经线性组合而成的混合信号.SPICA方法通过观测信号X(t)求得一个分离矩阵W,再根据式(2)实现解混.其中,Y(t)是S(t)的一个估计,其各分量相互独立,但Y(t)各分量的排列次序和幅度与S(t)可能有所不同,即顺序和幅度的不确定性.与独立分量分析理论一样,SPICA实质上也是一个优化问题,其目的是通过调整分离矩阵W,使源信号间的独立性最强.上面给出的SPICA模型中,假定不存在噪声.但在实际情况中,混合信号会受到噪声的影响.假定混入的噪声是与源信号相互独立的高斯白噪声,则SPICA的含噪模型表示为其中,n(t)表示M维高斯白噪声.1.2 稀疏性对SPICA分离性能的影响分析稀疏信号大部分系数的幅值为零或近零,只有极少数的系数幅值较大.因此从信号分布角度来看,其灰度直方图在零处形成一个很大的尖峰,随着远离零的两个方向,系数个数快速减少,这样的分布形式称为超高斯分布.研究表明,信号高斯性将影响盲分离的分离精度,就是说,当信号的超高斯性越强,即分布在零处形成的尖峰越尖、越窄时,分离效果越好[9-12].另外,由于稀疏性导致信号中能量大的数据急剧减少,因此计算时有效数据就越少,计算量也随着直线下降.在图像处理中更直观地表现为,稀疏化后,图像有效数据的总数减少.因此增加图像的稀疏表示能力可以降低混合源分离的计算复杂度[9].鉴于上面两点,得出如下结论:信号的稀疏性不仅能提高盲分离算法的分离精度,同时也能降低盲分离算法的计算量和复杂度.然而,现实中的大多数信号都不是稀疏的.因此,需要寻求一种方法对源信号进行稀疏分解,以满足上面的稀疏前提条件.信号经过稀疏分解后,信号主要集中在少数绝对幅值较大的分解系数上,从而获得很好的稀疏性.这一过程可以表示为通过式(5)变换后,信号满足SPICA方法需要的稀疏条件.文献[11]通过经典仿射系统理论把几何与多分辨分析结合起来提出了合成小波理论. 当维数为2时,具有合成膨胀的仿射系统形式为其中,ψ∈L2(R R2),A和B为2×2可逆矩阵,如果χAB(ψ)是具有如下形式的Parseval框架(也称为紧框架),即对任意的f∈L2(R R2),存在:则系统中的元素称为合成小波.其中,矩阵Aj是与尺度变换相关联的,Bl是与保持面积不变的几何变化相关联的,如旋转和剪切变换.合成小波具有多分辨率分析的属性,这意味着我们可以像小波一样,构造在各种尺度、位置和各个方向上的基元素的Parseval框架.Shearlet变换是L2(R R2)中合成小波的一个特例.此时,为各向异性膨胀矩阵;,为剪切矩阵.对任意满足如下条件:其中,表示ψ(0)的傅里叶变换;为Bump函数,且2∈C∞(R R),supp为连续小波函数,且因此是连续的、紧支的,且成立,则由式(8)和式(9)可知,对任何,有函数集形成D0的一个划分,如图1(a)所示.由和的支撑条件很容易看出,函数ψj,l,k具有如下的频率支撑:即每个元素支撑在梯形对上,其大小近似于22j×2j,方向沿着斜率为l 2-j的直线,如图1(b)所示.由上述讨论可知:是的一个Parseval框架.3.1 剪切波变换的稀疏性分析由前面分析可知,信号的稀疏性直接影响SPICA方法的分离性能,所以接下来将从非线性逼近效率、稀疏分解子带图像的分布两个方面来讨论剪切波变换的稀疏性. 3.1.1 非线性逼近效率非线性逼近效率是稀疏表示的一个重要衡量指标,就是选取变换域中M个最有效的系数来重建图像,通过重建图像和原图像之差形成的逼近误差来评价表示方法的逼近程度和效率.选取分解后所有尺度、所有方向上M个最有效的系数来重建图像.为了便于比较,采用小波变换进行同样的处理.图2给出了选用1.5%的系数非线性逼近图像的情况.图2(a)是barbara原图像的局部放大;图2(b)是小波域的非线性重建图像;图2(c)是剪切波域的非线性重建图像.从图2可以看出,从主观视觉评价重构图像质量,相比小波,剪切波重建图像保留了较多的纹理信息,图像更为清晰,重建质量更好.另外,还可以使用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)评价重建图像的质量.表1给出了选取不同数量最有效系数个数情况下的重建效果比较.从表1可以看出,无论选取比例是多少,剪切波重建图像的质量优于小波,以选取系数百分比等于1.5%为例,小波重建图像的PSNR值为24.35 dB,而剪切波重建图像的PSNR值为25.49 d B,比前者高出1.14 d B.PSNR数据表明,剪切波重建质量均高于小波.从上面分析可以得出:剪切波比小波具有更好的非线性逼近效果.3.1.2 稀疏分解子带图像的分布稀疏性还可以通过系数的分布特性来表示.若只有少数系数幅度较大,远离零点,而大部分系数幅度为零,或者“近零”,则称信号是稀疏的.图3给出了Lena图部分高频子带剪切波系数的灰度直方图.图中,标识符(i,j)表示位于第i分解尺度、第j方向上的分解子带系数.从图3可以看出,每个子带系数的直方图均在零处形成一个尖峰,并且沿着远离零的两个方向,随着距离的增大,系数频数越来越小.也就是说,所有子带中,大多数系数为零或“近零”,而较大系数的个数较少.从而表明,通过剪切波分解得到的子带图像是稀疏的.从非线性逼近效率和分解子带图像的稀疏分布两个角度分析,表明剪切波是一种比较有效的稀疏表示方法,可以很好地捕捉图像中的曲线奇异信息,而这些曲线奇异信息普遍存在于图像中.因此,它为图像处理提供了一种灵活的多分辨率、各向异性的稀疏表示方法.目前,常采用傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波(包)变换来进行信号稀疏化.其中,小波(包)变换以其良好的时域、频域信号局部特征表征能力,在信号处理领域得到了广泛的应用.然而小波(包)变换也存在一些缺点,它在分析点奇异信息时是最优的,而在表示图像结构的曲线奇异信息时却不是最优的.换言之,小波(包)变换不能稀疏地表示图像,从而限制了其在提高盲分离算法性能方面的能力[10].因此,笔者提出了一种基于剪切波稀疏表示的盲源分离方法,充分利用了剪切波变换良好的稀疏表示特性.3.2 稀疏性判定选择峭度K(x)作为稀疏性的判定依据.结合自然梯度盲源分离算法,采用峭度作为图像信号稀疏性判据.从信号分布角度来看,稀疏信号的灰度直方图在零处形成一个很大的尖峰,随着远离零的两个方向,信号数减少.主峰的尖锐程度可以用峭度来描述,峭度定义为其中,E(x-)4表示4阶矩,σ表示标准差.K(x)的值取决于x的概率密度函数,不同信号的峭度值不同,信号越稀疏,峭度越大,峰就越尖锐.3.3 稀疏子图像选取稀疏子图像的具体选取步骤如下:Step1 对混合源Xi(i=1,2,…,M)进行剪切波稀疏分解其中,S[·]表示剪切波变换,C(k,lk)idf表示分解得到的位于第k(k=1,…,K)尺度、第lk(lk=1,2,…,Lk)方向上的细节子图像.Step2 计算所有高频分块子图像的峭度K(k,l,j)i ,有其中,Nb为分块数.Step3 计算所有图像对应每一个位置子图像的最小峭度值Vkmin(k,l,j):Step4 求Vkmin中最大值对应的坐标(max X,max Y,max J).Step5 根据以上步骤计算得到稀疏子图像Ssprase(k,l,j):3.4 剪切波域的稀疏分量分析方法剪切波域的稀疏分量分析方法的具体实现步骤如下:Step1 对接收到的混合图像Xi(i=1,2,…,M)进行剪切波稀疏分解.Step2 对于含噪声的盲源分离,则对子图像应用双树复数小波硬阈值方法[13]去噪,得到去噪子图像.否则跳过Step2,直接执行Step3.Step3 使用3.3节介绍的方法选取稀疏子图像组.Step4 采用Infomax ICA[14]方法对Step3得到的子图像组Ssprase(k,l,j)进行盲源分离,求得解混矩阵W.Step5 将解混矩阵W代入式(2),实现图像分离.为了验证笔者提出的剪切波域稀疏独立分量分析方法的有效性,进行了两组仿真实验,第1组是无噪盲源分离,第2组是有噪盲源分离.选取图4所示的4幅标准灰度图进行两两盲源分离,并分别与传统ICA方法(Infomax,Kernel)[14-15]、基于小波变换的独立分量分析方法(WSPICA)[2]以及GMCA方法[10]的分离性能进行比较.其中剪切波变换采用尺度为5、方向为3的分解,小波变换使用db4正交小波,分解尺度为3.4.1 无噪盲源分离第1组实验选取图4(a)和图4(b)、图4(b)和图4(d)作为测试图像,对两组图像随机混合构造混合源,接着分别使用Infomax、Kernel、WSPICA和文中方法进行盲源分离,笔者从信噪比(Signal to Noise Ration,SNR)值和执行时间两个方面评价算法性能.图5、图6和表2给出了实验结果比较.从表2可以看出,无论从SNR值,还是算法执行时间评价,文中方法均优于其他方法.文中方法在保证分离图像质量的同时,也缩短了算法的执行时间.从图5可以看出,WSPICA和文中方法有效地分离了混合源,得到了较好的分离效果,但相比WSPICA,文中方法的执行时间比较快.而Infomax和Kernel方法没有实现解混,存在两幅图像混叠的现象.从图6可以看出,WSPICA和Infomax方法解混失败,而Kernel和文中方法有效地实现了混合源分离,并得到了较好的分离效果,但Kernel 方法的执行时间是79.780 9 s,比文中方法慢了78.664 1 s.相比而言,文中方法是最优的.4.2 有噪盲源分离第2组实验选取图4(a)和图4(b)、图4(b)和图4(c)作为测试图像,为了模拟信道存在噪声的情况,在随机混合源上加入标准差σ=5的随机噪声.分别使用GMCA和文中方法进行盲源分离.图7、图8以及表3给出了实验结果比较.从表3可以看出,无论从SNR值角度,还是从算法执行时间角度评价,文中方法均优于GMCA.从图6和图7可以看出,GMCA的分离结果图存在明显的伪迹,丢失了很多图像有用信息,而文中方法保留了更多的图像有用信息,且算法的执行时间比GMCA的快.综合以上分析,笔者从SNR值和算法执行时间两个角度评价了各种方法的优劣.实验结果表明,该方法在无噪和有噪盲源分离中都可以得到较好的分离效果,且显著缩短了算法的执行时间.笔者提出了一种剪切波域的稀疏独立分量分析方法,充分利用了剪切波平移不变性和方向选择性多的优点,提高了图像表示的稀疏度,并将其应用到了无噪和有噪盲源分离中.与传统独立分量分析和基于小波变换的WSPICA方法相比,该方法可以捕捉更多的图像纹理以及边缘信息,显著缩短了算法的执行时间.【相关文献】[1]Karray E,Loghmari M A,Naceur M S.Blind Source Separation of Hyperspectral Images in DCT-domain[C]// Advanced Satellite Multimedia Systems Conference and the 11th Signal Processing for Space Communications Workshop. Piscataway:IEEE,2010:381-388.[2]Bronstein A M,Bronstein M M,Zibulevsky M,et al.Sparse ICA for Blind Separation of Transmitted and Reflected Images[J].International Journal of Imaging Systems and Technology,2005,15(1):84-91.[3]刘丹华,石光明,周佳社.一种冗余字典下的信号稀疏分解新方法[J].西安电子科技大学学报,2008,35(2):228-232. Liu Danhua,Shi Guangming,Zhou Jiashe.New Method for Signal Sparse Decomposition over a Redundant Dictionary [J].Journal of XidianUniversity,2008,35(2):228-232.[4]Maazaoui M,Abed Meraim K,Grenier Y.Adaptive Blind Source Separation with HRTFs Beamforming Preprocessing [C]//Sensor Array and Multichannel Signal Processing Workshop.Washington DC:IEEE,2012:269-272.[5]Kim Y,Nadar M S,Bilgin A.Wavelet-based Compressed Sensing Using a Gaussian ScaleMixture Model[J].IEEE Transactions on Image Processing,2012,21(6):3102-3108.[6]Fowler J E,Mun S,Tramel E W.Multiscale Block Compressed Sensing with Smoothed Projected Landweber Reconstruction[C]//Proceedings of the European Signal Processing Conference.Poland:European Signal Processing Conference,2011:564-568.[7]王书振,邹子健,李莉,等.一种基于稀疏正则化的图像盲复原方法[J].西安电子科技大学学报,2012,39(6):167-169. Wang Shuzhen,Zhou Zijian,Li Li,et al.Method for Blind Image Restoration Based on Sparse Regularization[J]. Journal of XidianUniversity,2012,39(6):167-169.[8] 赵知劲,解婷婷,李小平,等.一种小波域盲源分离算法[J].西安电子科技大学学报,2007,34(3):423-427. Zhao Zhijin,Xie Tingting,Li Xiaoping.Blind Source Separation Method in the Wavelet Domain[J].Journal of Xidian University,2007,34(3):423-427.[9]Yang Yang,Li Zuoli,Wang Xiuqin,et al.Noise Source Separation Based on the Blind Source Separation[C]// Proceedings of Chinese Control and DecisionConference.Piscataway:IEEE,2011:2236-2240.[10]Bobin J,Starck J L,Fadili J,et al.Sparsity and Morphological Diversity in Blind Source Separation[J].IEEE Transactions on Image Processing,2007,16(1):2662-2674.[11]Guo K,Labate D.Optimally Sparse Multidimensional Representation Using Shearlets[J].SIAM Journal on Mathematical Analysis,2007,39(1):298-318.[12]张瑾,方勇.基于分块Contourlet变换的图像独立分量分析方法[J].电子与信息学报,2007,29(8):1813-1816. Zhang Jin,Fang Yong.An Independent Component Analysis Algorithm Based on Block-wise Contourlet Transform [J].Journal of Electronics and Information Technology,2007,29(8):1813-1816.[13]Selesnick I W,Baraniuk R G,Kingsbury N G.The Dual-tree Complex Wavelet Transform[J].IEEE Signal Processing Magazine,2005,22(6):123-151.[14]Cardoso J max and Maximum Likelihood for Source Separation[J].IEEE Signal Processing Letters,1997,4(4):112-114.[15]Karhunen J.Neural Approaches to Independent Component Analysis and Source Seperation[C]//Proceedings of European Symposium on Artificial NeuralNetworks.Brussels:DFacto,1996:249-266.。

基于二元Weibull分布的非下采样Shearlet域图像水印算法牛盼盼;王向阳;杨思宇;文涛涛;杨红颖【摘要】不可感知性、鲁棒性、水印容量是衡量数字图像水印算法优劣的最重要指标,且三者存在固有的相互矛盾关系,可保持不可感知性、鲁棒性、水印容量之间良好平衡的图像水印方法研究是一项富有挑战性的工作.以非下采样Shearlet变换(nonsubsampled Shearlet transform,NSST)与二元Weibull分布理论为基础,提出了一种基于二元Weibull统计建模的非下采样Shearlet域数字图像水印算法.1)构造出基于非线性单调函数的自适应高阶水印嵌入强度函数;2)根据NSST域尺度间相关性,利用二元Weibull边缘分布对NSST域高熵块奇异值进行统计建模,并估计出二元Weibull统计模型参数;3)结合NSST域二元Weibull边缘分布模型与最大似然决策理论,构造出二元数字水印检测器并盲提取水印信息.仿真实验结果表明:该算法可以较好地获得不可感知性、鲁棒性、水印容量之间的良好平衡.【期刊名称】《计算机研究与发展》【年(卷),期】2019(056)007【总页数】16页(P1454-1469)【关键词】图像水印;二元Weibull分布;非下采样Shearlet变换;最大似然决策;相关性【作者】牛盼盼;王向阳;杨思宇;文涛涛;杨红颖【作者单位】辽宁师范大学计算机与信息技术学院辽宁大连 116029;大连理工大学电子信息与电气工程学部辽宁大连 116023;辽宁师范大学计算机与信息技术学院辽宁大连 116029;辽宁师范大学计算机与信息技术学院辽宁大连 116029;辽宁师范大学计算机与信息技术学院辽宁大连 116029;辽宁师范大学计算机与信息技术学院辽宁大连 116029【正文语种】中文【中图分类】TP309.2作为图像作品版权保护的有效手段，数字水印技术已成为国际学术界研究的热点之一.不可感知性、鲁棒性、水印容量是衡量一个图像水印算法优劣的最重要指标[1]，而这3方面却又存在着固有的相互矛盾关系，三者之间的最佳平衡也成为图像水印算法所共同追求的目标.可有效保持不可感知性、鲁棒性、水印容量之间良好平衡的高性能数字图像水印算法研究是一项富有挑战性的工作[2].数字图像水印技术发展到今天，已有大量不同的图像水印算法.而依据水印嵌入方式，人们习惯将数字图像水印算法划分为3类，即加性水印、乘性水印、量化水印[3-6].相比之下，乘性嵌入方式在保证含水印图像质量在可接受水平内，能够接受更大的水印嵌入强度和水印容量，即：乘性嵌入方法在保证不可感知性的同时，能够使得水印的嵌入强度随着载体信号强度成一定比例变化，让人更不容易察觉，获得更高的鲁棒性和更大的水印容量，从而最接近于三者之间的良好平衡.一般说来，为全面提高图像水印的不可感知性、鲁棒性和水印容量，应该充分结合人眼视觉掩蔽特性与图像自身统计特性而进行数字水印信息的嵌入与检测.基于统计模型的变换域乘性水印较好地体现了上述思想，为有效解决不可感知性、鲁棒性、水印容量之间良好平衡问题提供了可能的解决方向[7].基于统计模型的变换域乘性水印工作原理为[7]：在水印嵌入环节，利用简单的乘性策略调制原始载体图像信号，以保证水印嵌入强度与载体图像信号强度成一定比例变化，让人更不容易察觉，从而最大程度地平衡鲁棒性和不可感知性；在水印检测环节，结合能够充分体现图像自身特性的多尺度变换特性(多分辨率性、能量聚集性等)，有效利用变换系数的统计特性而构造数字水印检测器，以检测和提取数字水印信息.其中，基于统计模型的水印检测器构造是整个变换域乘性图像水印方案的核心.截止到目前，人们主要采用2类统计模型设计变换域乘性图像水印方案，分别为多尺度联合统计模型[8](multiscale joint statistical model)和多尺度边缘分布模型[9](multiscale marginal distribution model).多尺度联合统计模型也称多尺度统计相关模型，其着重考察多尺度变换系数之间的相互关系，利用基于多尺度变换的各种数据结构，如隐Markov模型(hidden Markov models, HMM)描述并确定多尺度变换系数的隐含状态(隐含未知参数)，进而通过隐含状态联系建立多尺度变换系数关联，并进一步利用隐含未知参数来分析处理图像(如图像水印检测器构造).Wang等人[10]提出了基于小波域先验HMM 模型参数的数字图像水印算法.该算法首先对原始载体图像进行3级小波分解并利用高频子带构造系数向量树，然后结合小波Watson视觉失真测度与先验HMM模型参数自适应确定水印嵌入强度，进而将水印信息嵌入到小波系数向量树中.在水印检测阶段，该算法结合泰勒级数近似局部最优检验理论，利用先验HMM模型参数构造了数字水印检测器.Amini等人[11]结合小波域向量HMM联合统计建模理论，提出了一种局部最优盲图像水印检测算法.该算法选取具有最大系数方差的高频子带作为水印嵌入区，并采用线性乘性方法嵌入水印信息.在水印提取阶段，算法首先利用向量HMM对小波系数进行了多尺度联合统计建模，然后结合对数似然比检验理论构造了数字图像水印检测器.总体说来，现有多尺度联合统计模型普遍采用高斯混合模型(Gaussian mixture model, GMM)描述变换系数的边缘分布，并利用隐Markov树捕捉变换系数间的相关特性.然而仿真实验表明，对具有明显高尖峰重拖尾分布的变换系数而言，高斯混合模型难以精确描述其非高斯分布特性.也就是说，现有基于GMM的多尺度联合统计模型尚无法高效捕获变换系数的边缘分布与变换系数间的相关特性，而这必然严重影响图像水印的检测性能. 多尺度边缘分布模型也称多尺度随机过程模型，其是将各多尺度变换系数看作是一个随机变量，进而考察各单个多尺度变换系数的边缘分布特点，即利用各种概率密度函数(probability density function, PDF)反映单个多尺度变换系数分布，描述多尺度变换系数统计特性，并进一步利用概率密度函数参数分析处理图像(如图像水印检测器构造).Akhaee等人[12]选择将水印信息嵌入到Contourlet域高频子带内，同时利用广义高斯分布(generalized Gaussian distribution, GGD)对Contourlet域高频系数进行统计建模，并进一步结合极大似然方法估计GGD参数并构造数字水印检测器.然而，该算法估计GGD模型参数时需要原始载体信号，故不利于实际应用.Bian等人[13]利用贝塞尔K(Bessel K form, BKF)概率密度函数对图像小波系数进行边缘分布建模，并根据极大似然理论构造了局部最优水印检测器.同时，结合“渐进相对效率”和“最大渐进相对效率”等客观评价指标证明了该检测器的有效性.然而，该局部最优水印检测器的抗攻击能力较弱.Etemad等人[14]首先依据Kolmogorov-Smirnov检验理论，证明t location-scale概率密度函数可高效描述Contourlet系数的边缘分布特点，进而结合似然比检验与t location-scale分布理论，构造了最优乘性数字水印检测器.Sadreazami等人[15]利用正态逆高斯(normal inverse Gaussian, NIG)分布刻画图像Contourlet域系数统计特性，并使用局部窗口自适应估计每个子带的NIG模型参数，同时结合Bayesian最大后验概率准则构造了水印检测器.但NIG分布无封闭形式解，且参数估计较复杂.Wang等人[16]结合非下采样剪切波变换与BKF统计建模理论，首先通过乘性方法将水印信息嵌入到非下采样剪切波变换重要系数中；然后，利用BKF边缘分布对非下采样剪切波变换域系数进行建模，并结合子带内系数相关性估计出BKF模型参数；最后，结合BKF统计模型与局部最大势能检验理论构造出局部最优检测器并进行水印提取.张悦等人[17]提出了一种基于共轭对称列率复数哈达码变换(conju-gate symmetric sequency-ordered complex Hadamard transform, CS-SCHT)的数字图像水印算法.该算法首先选择CS-SCHT系数幅值作为载体并进行乘性水印嵌入，然后结合实验对CS-SCHT系数幅值分布进行分析并确定出其近似分布——韦伯(Weibull)分布，最后设计出基于Weibull分布的乘性水印局部最优检测器.Dong等人[18]提出了一种基于Weibull边缘分布的DCT域图像水印算法.该算法利用Weibull分布对DCT直流系数和交流系数进行了统计建模，并结合极大似然方法构造出了数字水印检测器.由于上述多尺度边缘分布模型图像水印仅仅结合各种概率密度函数，考察了各单个多尺度变换系数的边缘分布特点，而忽略了多尺度变换系数间的重要相关特性(如尺度间相关性)，故数字水印检测性能并不理想.尽管Sadreazami等人[19-20]尝试引入了二元α-稳定分布、二元Cauchy分布等多元Cauchy统计建模理论，通过初步考虑变换系数尺度间相关性，一定程度上提升了多尺度边缘分布模型的建模能力，但数字水印的检测性能并未得到明显改善.本文以非下采样Shearlet变换(nonsubsampled Shearlet transform, NSST)与二元Weibull分布理论为基础，提出了一种基于二元Weibull统计建模的非下采样Shearlet域数字图像水印算法.由于非下采样Shearlet变换拥有鲁棒而接近最优的图像几何结构特征捕获能力，同时二元Weibull分布可精确描述NSST域图像信号的边缘分布与相关特性，故利用二元Weibull边缘分布对NSST域高熵块奇异值进行统计建模并估计出其模型参数，同时利用最大似然决策构造出二元数字水印检测器并盲提取水印信息，可获得较好的水印检测性能.1 多元Weibull分布的NSST域统计建模1.1 NSST系数统计特性分析2008年Easley等人[21]提出了接近最优(即“最稀疏”)图像表示方法——剪切波(Shearlet)变换理论，其不仅可以鲁棒捕获图像几何结构特征，更具有方向敏感、重构准确、结构简单、表示稀疏等诸多优良特性.NSST是Shearlet变换的拓展表示形式[22]，其消除了采样步骤，将非下采样拉普拉斯金字塔(nonsubsampled Laplacian pyramid, NSLP)变换与一系列剪切滤波器进行结合，通过迭代操作实现.NSST继承了Shearlet变换优点，不仅有效解决了Shearlet变换所存在的“混沌”现象，使同一方向信息不会在不同方向子带中重复出现，而且为二维图像提供了最优的渐近表示，对图像重要特征具有极强的捕获能力.图1给出了标准灰度图像Barbara的2级NSST示意图.这里，尺度2和尺度1均采用了4个分解方向. Fig. 1 The NSST on Barbara image图1 标准灰度图像Barbara的非下采样Shearlet变换结构示意图Fig. 2 Histogram of NSST subbands (Barbara)图2 标准图像Barbara的部分NSST域高频子带系数分布直方图为全面客观了解NSST系数统计特性，图2给出了标准灰度图像Barbara的部分NSST域高频子带系数分布直方图.从图2中可以看出，绝大多数NSST高频子带系数接近于0，只有少量NSST高频子带系数幅值较大，即体现了明显的高尖峰重拖尾分布特点.同时，4个NSST域高频子带的系数峰度值分别为23.754 4，22.901 7，22.931 0，12.126 7，远大于标准高斯分布的峰度值3，其表明NSST 域高频子带系数分布呈现出了明显的非高斯性.近年来，研究者普遍关注并利用了变换域系数的高尖峰重拖尾非高斯性，但不同程度忽略了变换系数之间的强依赖性(多种相关性).事实上，同一子带内的系数相关性、不同方向间的系数相关性及不同尺度间的系数相关性是NSST域高频子带客观存在的3种重要相关性.这里，我们采用chi-plot工具[23]分析了NSST域高频子带的系数相关特性(包括子带内、方向间、尺度间相关性).chi-plot是Scatterplot的扩展，它能更好地并且以可视化方式评估二维变量之间的相关程度.在chi-plot中，n对点(Xi,Yi)被变换成n对(λn i,χn i)(i=1,2,…,n).χn i表示在采样点(Xi,Yi)处二维分布函数能被分解为2个边缘分布的失败情况.λn i表示(Xi,Yi)到二维中值的距离，如果X和Y相关，则λn i的值往往比较集中.chi-plot图在二维坐标中的范围是[-1,1]×[-1,1].(λn i,χn i)偏离水平线χ=0的程度反映了X和Y变量的相关程度.图3给出了NSST域高频子带的子带内、方向间、尺度间chi-plot图.Fig. 3 chi-plots to illustrate the different degrees of dependence between intraband, interorientation and interscale, NSST coefficient pairs图3 NSST 域高频子带系数的子带内、方向间、尺度间chi-plot图Fig. 4 The empirical joint child-parent histogram and the PDF of different bivariate distributions图4 父子系数联合分布直方图及不同二元分布的联合概率分布拟合图从图3可以看出，3幅chi-plot图中的大多数点比较集中且较大地偏离水平线χ=0，其说明同一子带内、不同方向间、不同尺度间的NSST域高频子带系数均存在明显的相关特性.需要指出的是，计算χn i值时会因为采样的不稳定性而产生偏差，在chi-plot图中用灰色部分予以表示.1.2 基于二元Weibull分布的NSST域统计建模为充分利用NSST域的尺度间相关性，本文利用二元Weibull分布对NSST域尺度间父子系数进行建模，二元Weibull分布的PDF具体表示参见附录A.图4(b)给出了二元Weibull的父子联合概率分布P(X1,X2)拟合图.为了能够说明二元Weibull统计模型的精确性，这里又利用二元Cauchy分布、二元BKF分布、二元标准正态分布对NSST域尺度间父子系数进行了建模，如图4(c)(d)(e)所示.图4(a)给出了NSST域尺度间父子系数联合分布直方图.不难看出，相比其他二元分布，利用二元Weibull分布进行统计建模，可以更加精确地拟合出NSST域尺度间父子系数的分布.为进一步比较4种二元统计模型的拟合精度，本文选择KL距离(Kullback-Leibler divergence)来评判各种分布模型对NSST系数建模的拟合效果，KL距离计算:(1)其中，Pi表示联合分布直方图的bin值，Qi表示在每个bin中由二元分布PDF求出的概率值.在计算中，要先将Pi和Qi进行归一化处理.以标准灰度图像Lena，Barbara，Mandrill为例，首先获得NSST域第1尺度4个方向和第2尺度4个方向的高频子带父子系数，然后利用不同二元分布对每组父子系数进行建模，并计算出每种模型的平均KL距离，表1给出了测试结果.Table 1 The KL Performance Comparisons of four Different Bivariate Distributions表1 4种二元分布模型的KL测试结果对比Test ImageDirectionBivariate GeneralGaussian DistributionBivariate CauchyDistributionBivariate BKFDistributionBivariate WeibullDistributionLena16.41894.54565.86893.766423.14312.31642.84342. 200833.98182.69573.51472.125744.05053.36423.97462.4326Barbara16.091 74.24505.61703.641323.68512.71572.99542.293934.97392.88793.97222.00 7144.10333.17753.87622.2859Mandrill16.10283.75055.05313.353024.9017 3.39053.65782.782335.65142.70384.28362.361144.39213.45654.81122.810 9Note: The black bold font provides a better performance than other commonly used distributions.从表1可以看出，相比其他3种二元分布，二元Weibull分布可以更好地对图像NSST域尺度间父子系数相关性进行建模，因此本文利用二元Weibull统计模型构造水印检测器.2 数字水印嵌入本文结合人眼视觉感知特性选取非线性嵌入强度函数，采用乘性策略将水印信息嵌入到鲁棒的NSST域高频系数块奇异值内.假设I={f(x,y),0≤x<P,0≤y<Q)}表示原始载体图像,W={w(i)∈{0,1},0≤i≤N}表示随机生成的二值水印序列.则整个图像水印的嵌入过程可描述如下：1) 原始载体的非下采样Shearlet变换首先对原始载体图像进行2级非下采样Shearlet变换，以获得1个低频子带及第1尺度4个方向、第2尺度4个方向的高频子带.选取第1尺度和第2尺度中具有最高能量的方向子带(以下简称“重要子带”)用于水印嵌入，子带能量的计算方法:(2)其中，Dk,j表示位于第k尺度、第j个方向的子带.2) 重要Shearlet系数块选取及其奇异值分解首先，将所选取出的“重要子带”划分成不重叠的Shearlet系数块(每块大小为L×L)，并计算出每个Shearlet系数块的熵值.然后，根据熵值，对第1与第2尺度“重要子带”的Shearlet系数块进行各自排序处理，进而分别选取前N个高熵Shearlet系数块(以下简称“重要Shearlet系数块”)用于嵌入水印.由于高熵系数块集中了大量信息，人眼对其不敏感，故将水印信息嵌入到高熵Shearlet系数块中，可以增强水印不可感知性.最后，对所选取的N个重要Shearlet系数块分别进行奇异值分解(singular value decomposition, SVD)，并选取每个重要Shearlet 系数块的第2个奇异值作为水印嵌入位置.由于奇异值的稳定性较好，故通过对奇异值的微小改变来嵌入水印信息，可以提高数字水印的不可感知性及鲁棒性.3) 数字水印嵌入现有统计模型图像水印方案普遍采用线性单调函数刻画水印嵌入强度，并用于自适应调节载体信号[11,13-15,18-19].然而，水印嵌入强度增量与载体信号改变量间并非具有简单的线性单调关系，而是呈现出明显的非线性单调关系.为此，本文以刻画能力更强的非线性单调函数为基础，构造了自适应高阶水印嵌入强度(函数)，并进一步给出了自适应图像内容的高性能乘性水印嵌入方法.设Bi(i=0,1,…,N-1)表示原始重要Shearlet系数块，表示含水印重要Shearlet系数块，式(3)给出了自适应图像内容的数字水印嵌入方法.(3)其中，xi∈Bi和分别表示原始重要Shearlet系数块奇异值和含水印重要Shearlet 系数块奇异值.f1(xi)和f0(xi)分别表示待嵌入水印位为“1”时的嵌入强度函数和待嵌入水印位为“0”时的嵌入强度函数.(4)这里，a1=100,b1=1.2,a2=150,b2=1.5.图5给出了水印位为“1”和“0”时的嵌入强度函数.Fig. 5 Two watermark strength functions for embeddingdigital watermark of “1” or “0”图5 数字水印位为“1”和“0”时的嵌入强度函数与现有统计模型水印方案普遍采用线性水印嵌入强度不同，本文采用刻画能力更强的非线性单调函数——反三角函数，构造了自适应水印嵌入强度函数.从图5可以看出，本文所选取的非线性单调函数具有使嵌入强度增量与载体信号改变量保持非线性关系的性质，即：当嵌入强度增加时，使得值大的重要Shearlet系数块奇异值发生大的改变，而值小的重要Shearlet系数块奇异值发生小的改变，反之亦然. 重复步骤3)，直到所有重要Shearlet系数块处理完毕为止.最后，对每个含水印奇异值进行逆奇异值分解即可得到含水印重要Shearlet系数块，进一步对含水印Shearlet域重要子带与其他子带一起进行逆非下采样Shearlet变换，即可得到含水印图像.3 数字水印检测3.1 二元水印检测器构造假设水印检测器端接收到的含水印重要Shearlet系数块奇异值yi受到零均值的高斯白噪声(5)其中，f表示2种水印嵌入强度函数.由于重要Shearlet系数块奇异值与噪声项是相互独立的，因此可获得含噪声重要Shearlet系数块奇异值的概率密度函数公式：(6)为简化式(6)，本文利用three-sigma准则估计高斯分布的概率密度函数fn(τ)：(7)由式(7)可见，存在2个非0的闭合区间：[-3σn,0]和[0,3σn]，因此式(6)可表示成式(7)的形式：(8)根据Simpson’s rule，将式(7)带入式(8)中，化简后可以得到：(9)其中，fBWD表示二元Weibull分布概率密度函数[24].本文中，假设二值水印序列与重要Shearlet系数块奇异值均为服从独立同分布的随机变量，于是有重要Shearlet系数块奇异值所组成的y11,y12,…,y1N(来自第1尺度重要子带)和y21,y22,…,y2N(来自第2尺度重要子带)，在嵌入水印位为“1”和嵌入水印位为“0”两种假设下的检测概率.(10)(11)其中，yi=[y1i,y2i],i=1,2,…,N,fBWD(yi|1)和fBWD(yi|0)分别是在使用嵌入强度函数的情况下被计算出来的：(12)(13)其中，g1(·)和g0(·)分别代表嵌入强度函数f1(xi)和f0(xi)的反函数，ρ表示y1i和y2i之间的相关系数(i=1,2,…,N),C1和k1表示y1i的形状参数和尺度参数；C2和k2表示y2i的形状参数和尺度参数.这里我们采用最大似然方法对4个参数C1,k1,C2,k2进行估计，并进一步可通过最大似然决策规则获得最优水印检测器.(14)代入式(10)和式(11)，经过代数操作后，Zi(y)可以表示为(15)于是，可以从第i个重要Shearlet系数块中提取出水印信息位(16)其中，和fBWD(yi|0)由式(12)(13)求得.3.2 数字水印提取首先对含水印图像进行2级非下采样Shearlet变换，并按照第2节步骤1)和步骤2)方法确定出“重要Shearlet系数块”，同时对其进行奇异值分解.然后，利用3.1节所构造的数字水印检测器，从每个重要Shearlet系数块奇异值所组成的系数对yi=[y1i,y2i]中提取出水印信息位.3.3 误码概率分析误码概率(bit error probability, BEP)用于分析提出的水印检测器的工作性能.在无攻击检测条件下BEP的计算：P(Zi(y) < T|H1)].(17)在无噪检测条件下，含水印重要Shearlet系数块奇异值都嵌入“0”的H0假设下的检测概率Zi(y):Zi(y|H0)=(18)其中，由于Zi(y|H0)是大量的独立随机变量之和，因此，Zi(y|H0)近似地服从正态分布，且在2种假设下，具有有限的数学期望和方差：(μ0,σ0)和(μ1,σ1).具体地，在H0假设下，其期望μ0的计算:(19)其中，(20)在H0假设下，其期望的计算：(21)由于Zi(y|H0)=-Zi(y|H1)，可以得到μ1=-μ0和故可求得检测1位水印信息位的误码概率(22)其中，因此，如果嵌入到原始载体图像的二进制序列“0”或“1”具有相同的概率，总的BEP计算：(23)应用式(23)，即可对所提出的数字水印检测器进行性能评估.4 实验结果为验证本文图像水印算法的高效性，分别给出了本文算法的数字水印检测性能、不可感知性和鲁棒性的测试结果，并与文献[12,15-16,19]算法进行了对比.文献[12,15-16,19]均为基于统计模型的变换域乘性水印算法，且与本文算法密切相关.其中，文献[15,19]采用了线性单调函数刻画水印嵌入强度，文献[12,16]采用了非线性单调函数(指数函数)刻画水印嵌入强度；此外，文献[12,15-16]利用了单元概率密度函数建立多尺度边缘分布模型，文献[19]则是利用了多元概率密度函数建立多尺度边缘分布模型.实验中，原始载体图像选用了512×512×8 b的标准灰度图像Lena，Mandrill，Barbara，Peppers，数字水印则采用了128 b，256 b，512 b，1 024 b的伪随机序列.此外，我们利用峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)和失真率(bit error ratio, BER)评价了图像水印算法的不可感知性和鲁棒性.同时，非下采样Shearlet变换的分解级数K=2，第1尺度和第2尺度均采用了4个分解方向，Shearlet系数块大小为8×8.4.1 水印检测器的性能测试本文结合非下采样Shearlet域二元Weibull边缘分布模型与最大似然决策理论，构造了二元数字水印检测器并盲提取了数字水印信息.本部分以标准灰度图像Barbara为例，对所构造的数字水印检测器的工作性能予以测试.图6分别给出了在嵌入水印位为“1”和“0”2种情况下数字水印检测器的检测响应.其中，横坐标为接收端含水印图像信号序列，纵坐标表示水印检测器的响应值，虚线表示检测器关于含水印图像信号的检测响应值，实线表示关于含水印图像信号的检测阈值. 通过图6可以看出，本文所提出的二元数字图像水印检测器能够准确地提取出数字水印信息(包括各种攻击下)，即当嵌入水印位为“1”时，有SML>ST；当嵌入水印位为“0”时，有ST>SML.这里，S表示曲线(直线)与x轴和y轴围成的面积.根据数字水印检测原理，当嵌入水印位为“1”时，检测器(ML detector， ML)的曲线面积SML越大于检测阈值(threshold， T)的曲线面积ST，则说明检测响应效果越好，即检测器工作能力越强.同理，当嵌入水印位为“0”时，检测器的曲线面积越小于检测阈值的曲线面积，则说明检测响应效果越好，即检测器工作能力越强.表2给出了不同水印容量(包括128 b，256 b，512 b，1 024 b)情况下，整个图像水印系统的PSNR、BER、水印嵌入时间以及水印提取时间等工作性能.Fig. 6 The test results of ML watermark detector under various attacks图6 数字水印检测器的检测响应Table 2 The Average Watermarking Performance Under Different Watermarking Capacity表2 不同水印容量下的图像水印系统工作性能ImagesWatermark Length∕bPSNR∕dBBEREmbedding Time∕sExtracting Time∕sLena12851.169902.36841.741325651.146302.37281.841751250.8985 02.38311.8478102440.80280.00882.46651.8495Barbara12845.457202.8152 2.203725645.462902.85932.215451245.037602.93252.3137102444.61200.0 0392.95602.3883Mandrill12842.589302.47151.761225642.669402.49361.78 8251241.535502.53621.8146102440.49800.00492.57861.9394 Continued (Table 2)ImagesWatermark Length∕bPSNR∕dBBEREmbedding Time∕sExtractingTime∕sPeppers12851.134702.64142.058725651.246202.67142.085051246.0 33102.69832.1476102440.98620.00482.78062.28944.2 不可感知性测试理论分析与实验结果均表明:水印嵌入强度对算法工作性能有一定影响，为了取得不可感知性和鲁棒性的良好平衡，水印嵌入强度应自适应于载体信号内容，即水印嵌入强度应该随着载体信号强度(值)的增大而增大.现有算法普遍采用线性单调函数刻画水印嵌入强度，并用于自适应调节载体信号(即嵌入水印信息)[15,19].然而，水印嵌入强度增量与载体信号改变量间并非具有简单的线性单调关系，而是呈现出明显的非线性单调关系，为此本文算法采用刻画能力更强的非线性单调函数——反三角函数，构造了自适应水印嵌入强度函数.与指数函数相比[12,16]，反三角函。

剪切波的构造Shearlet 是一类新的多尺度几何分析方法，该方法通过对基本函数的膨胀、剪切和平移变换来构造，体现了函数的几何和数学特性，如近几年来许多领域的研究学者所强调的函数的方向性、尺度和振荡等。

Shearlet 可以在广义多分辨率分析的框架中研究，这样就可以获得像小波一样的迭代算法，并推广到经典的级联算法。

因此Shearlet 变换作为一种新型的多尺度几何分析工具为图像处理领域的研究人员所广泛接受。

1、 Shearlet 及其变换的定义函数f(x)的连续Shearlet 变换为：,,(,,),f a s t SH a s t f ψ= （1.1）其中，3/411,,()(())a s t x a A B x t ψψ---=- （1.2）为剪切波函数，a +∈R 为尺度参数，s ∈R 为剪切参数，2t ∈R 为平移参数，()12,0;0,a a A =是各向异性膨胀矩阵， ()1,;0,1s B =是剪切矩阵。

对任何2121ˆ(,),0Rξξξξ=∈≠，令ψ满足 21121ˆˆˆ()()()ξψξψξψξ= （1.3） 其中，ˆψ为,,a s t ψ的傅里叶变换，1ψ为连续小波函数，1ˆψ∞∈R C ()，[][]1ˆ54,1414,54ψ∈--⋃supp ，2ψ为bump 函数，2ˆψ∞∈R C ()，[]2ˆ1,1ψ∈-supp ，在区间[]1,1-上20ψ>且21ψ=。

由以上定义可得,,()a s t x ψ的傅里叶变换为()()32122,,1121ˆˆˆi ta s t a e a a s πξξψξψξψξ--⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，剪切波的几何性质在频域上更为直观。

由1ˆψ和2ˆψ的支撑条件很容易看到,,ˆa s t ψ有如下的频域支撑： (),,121212112supp ,:,,,/22a s t s a a a a ψξξξξξ∧⎧⎡⎤⎡⎤⊂∈--+≤⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩由上式可知，在不同尺度，,,ˆa s t ψ支撑在以原点对称、以s 为斜率的梯形对上；改变剪切参数s ， 支撑区域可获得保持面积不变的旋转；旋转区域由尺度参数a控制，随着a →0，支撑区间逐渐变窄。

第61卷第5期吉林大学学报(理学版)V o l.61 N o.5 2023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)S e p2023d o i:10.13413/j.c n k i.j d x b l x b.2022197基于剪切波变换和拟合优度检验的遥感图像去噪成丽波,陈鹏宇,李喆,贾小宁(长春理工大学数学与统计学院,长春130022)摘要:针对遥感图像中的高斯白噪声,提出一种基于剪切波变换和拟合优度检验的遥感图像去噪算法.首先,将含噪遥感图像通过剪切波变换多尺度分解得到不同子带,利用剪切波域下高斯白噪声系数的统计关系估计去噪阈值;其次,计算高频子带的拟合优度检验统计量,将统计量与去噪阈值相比较进行去噪;最后,对系数矩阵进行剪切波逆变换重建去噪图像.仿真实验结果表明,该算法能有效去除遥感图像中的高斯噪声,保持图像的边缘纹理信息,并且在不同噪声水平下,均获得了较高的峰值信噪比,其中与剪切波阈值去噪算法相比平均提高0.33d B.关键词:遥感图像;剪切波变换;拟合优度检验;图像去噪中图分类号:T P341.4文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1187-08 R e m o t e S e n s i n g I m a g eD e n o i s i n g B a s e d o nS h e a r l e tT r a n s f o r ma n dG o o d n e s s o f F i t T e s tC H E N GL i b o,C H E NP e n g y u,L I Z h e,J I A X i a o n i n g(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s,C h a n g c h u nU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y,C h a n g c h u n130022,C h i n a)A b s t r a c t:A i m i n g a tw h i t eG a u s s i a nn o i s e i nr e m o t es e n s i n g i m a g e s,w e p r o p o s e dar e m o t es e n s i n g i m a g e s d e n o i s i n g a l g o r i t h m b a s e do ns h e a r l e t t r a n s f o r m a n d g o o d n e s so f f i t t e s t.F i r s t l y,t h en o i s y r e m o t e s e n s i n g i m a g ew a s d e c o m p o s e d i n t o d i f f e r e n t s u b-b a n d s t h r o u g h s h e a r l e t t r a n s f o r ma tm u l t i p l e s c a l e s,a n d t h e d e n o i s i n g t h r e s h o l dw a s e s t i m a t e du s i n g t h e s t a t i s t i c a l r e l a t i o n s h i p o fw h i t eG a u s s i a n n o i s e c o e f f i c i e n t s i n t h e s h e a r l e t d o m a i n.S e c o n d l y,w e c a l c u l a t e d t h e g o o d n e s s o f f i t t e s t s t a t i s t i c s o f h i g h-f r e q u e n c y s u b-b a n d sa n d c o m p a r e di t w i t h t h e d e n o i s i n g t h r e s h o l df o r d e n o i s i n g.F i n a l l y, s h e a r l e t i n v e r s et r a n s f o r m o nt h ec o e f f i c i e n t m a t r i x w a s p e r f o r m e dt o r e c o n s t r u c tt h e d e n o i s e d i m a g e s.T h e s i m u l a t i o ne x p e r i m e n t r e s u l t s s h o wt h a t t h i s a l g o r i t h mc a ne f f e c t i v e l y r e m o v eG a u s s i a n n o i s e i n r e m o t es e n s i n g i m a g e s,m a i n t a i nt h ee d g e t e x t u r e i n f o r m a t i o no f i m a g e s,a n da c h i e v eh i g h p e a ks i g n a l-t o-n o i s e r a t i ou n d e rd i f f e r e n tn o i s e l e v e l s,a m o n g w h i c ht h ea v e r a g e i n c r e a s e i s0.33dB c o m p a r e dw i t h t h e s h e a r l e t t h r e s h o l dd e n o i s i n g a l g o r i t h m.K e y w o r d s:r e m o t e s e n s i n g i m a g e;s h e a r l e t t r a n s f o r m;g o o d n e s s o f f i t t e s t;i m a g e d e n o i s i n g遥感图像目前已成为人们观察㊁分析世界的一种有效工具,在各领域均广泛应用[1-3].遥感图像在收稿日期:2022-05-01.第一作者简介:成丽波(1971 ),女,汉族,博士,教授,从事小波分析及遥感图像处理的研究,E-m a i l:c l b y y@126.c o m.通信作者简介:陈鹏宇(1999 ),男,汉族,硕士研究生,从事机器学习及遥感图像处理的研究,E-m a i l:919089661@q q.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:12171054)和吉林省教育厅科学技术研究项目(批准号:J J K H20230788K J).Copyright©博看网. All Rights Reserved.成像过程中会受随机噪声的干扰[4-6].为获取尽可能真实㊁清晰的遥感图像,满足工程实践的需要,如何在尽量不影响遥感图像原始信息的情况下有效对其进行去噪具有重要意义.遥感图像去噪的目的是抑制和消除随机噪声,保持图像的细节信息及良好的视觉效果.遥感图像的稀疏表示和去噪也是对其进一步处理的基础.经典的遥感图像去噪方法如小波变换[7-9]和复小波变换[10-11]是将噪声视为高频信号,过滤较大的变换系数[12-13],进而实现去噪,但高频系数中的图像细节部分通常会与噪声一起被去除[14].为克服上述问题,近年来,剪切波变换(s h e a r l e tt r a n s f o r m ,S T )[15-16]作为一种新的多尺度分析[17-18]技术已成为该领域研究的焦点.在频域中,剪切波变换是逐层细分的.因此,剪切波是性能较优的多维函数稀疏表示方法[19],使它在图像去噪领域有广泛的应用前景.剪切波变换具有良好的各向异性,可以很好地识别和分析图像的边缘和纹理信息[20].遥感图像含有大量的细节信息,因此,在遥感图像去噪中,剪切波是一种理想的工具.遥感图像噪声的主要来源是空气中的微小粒子,粒子对光的透射率及其空间分布均呈高斯分布[21].基于拟合优度(g o o d n e s so f f i t ,G O F )检验的图像去噪方法[22-23]利用高斯白噪声及变换系数的统计相关性估计去噪阈值,该方法能有效去除高斯噪声.相比于其他检验方法,A n d e r s o n -D a r l i n g (A D )检验[24]能在较小的样本条件下,保持稳健的检验性能.因此,本文使用A D 检验进行遥感图像的噪声识别.针对遥感图像去噪问题,本文提出一种基于剪切波和拟合优度检验的遥感图像去噪算法(s h e a r l e tt r a n s f o r ma n d g o o d n e s s o f f i t t e s t ,S T -G O F ),先使用剪切波变换分解含噪遥感图像,将高频系数进行拟合优度检验,再通过计算剪切波系数经验分布函数(e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ,E D F )和模拟高斯噪声的累积分布函数(c u m u l a t i v ed i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ,C D F )的统计距离获得A D 检验统计量,将统计量与阈值进行对比实现去噪.与其他相关算法进行仿真对比实验的结果表明了本文算法在视觉和性能上的优越性.1 剪切波变换二维图像函数f ɪL 2(ℝ2)的连续剪切波变换定义为S H ψf (a ,s ,t )=<f ,ψa ,s ,t >,(1)其中ψa ,s ,t (x )=d e t M a ,s1/2ψ(M -1a ,sx -t ),M a ,s =a a 1/2s 0æèçöø÷a ,a >0,s ɪℝ,t ɪℝ2.每个矩阵M 可分解为剪切矩阵S s =1s æèçöø÷01和各向异性矩阵A a =a 00a 1/æèçöø÷2的乘积,其中a >0且s ɪℝ,则连续剪切波可表示为ψa ,s ,t =a -3/4ψ(S s A a (x -t ))=a -3/4ψa -1-s/a 0a -1/æèçöø÷æèçöø÷2(x -t ),(2)其中ψa ,s ,t 是一个尺度㊁方向及位置参数分别为a ,s ,t 的局部性函数集合,此时a 称为尺度参数,s 为剪切参数,t 为平移参数.每个ψa ,s ,t 的频域支撑区间在一个梯形对内,该梯形对在不同的尺度参数a 下关于原点对称,其方向由剪切参数s 确定.通过减小尺度参数a ,剪切波能很好地捕捉图像的轮廓与边缘信息.每个剪切波ψa ,s ,t 在频域的支撑区间为(ξ1,ξ2):ξ1ɪ-2a ,-12éëêùûúa ɣ12a ,2éëêùûúa ,ξ2ξ1-s ɤa 1/{}2.(3)ψa ,s ,t 的频域支撑区间如图1所示.对于给定的一张不含噪声的图像P ,基于剪切波变换对加噪图像P n o i s y 的阈值去噪算法实现过程为P d e n o i s e =S T -1T σS T P n o i s y ,(4)其中S T 为剪切波正变换,T σ为阈值算子,S T -1为剪切波逆变换.剪切波正变换后获得图像的高频和低频系数,而噪声主要分布在高频系数中,因此需对高频系数选取合适的阈值算法进行处理,对处理后的全部系数进行剪切波逆变换得到去噪图像P d e n o i s e .8811 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.图1 剪切波水平(A )和垂直(B )频域支撑F i g .1 H o r i z o n t a l (A )a n d v e r t i c a l (B )f r e q u e n c y d o m a i n s u p po r t o f s h e a r l e t 2 拟合优度检验检验一个指定的样本与一套给定结果的吻合程度称为拟合优度检验,通常通过计算检验统计量并与临界值进行比较判断样本分布是否与假设分布一致.若样本分布与假设理论分布一致,即将观测值或数据符合指定模型或分布的情况称为零假设,把观测值拒绝指定模型或分布的情况称为替代假设.不同方法定义了不同的检验统计量作为量化观测值与指定分布下预期值之间差异的衡量标准.2.1 A n d e r s o n -D a r l i n g 检验设F (t )=ðt1(z >t )表示具有支持度t 的输入样本z 的经验分布函数,F r (t )=ʏtp (z >t )d z 表示对应于概率密度函数p (z )的假设累积分布函数.A n d e r s o n -D a r l i n g (A D )检验统计量定义为τA D =ʏɕ-ɕ(F r (t )-F (t ))2ψ(F r (t ))d F r (t ),(5)其中ψ(F r (t ))是为分布函数F r (t )的尾部赋予更多权重的加权函数,定义为ψ(F r (t ))=(F r (t )(1-F r (t )))-1,(6)其目的是提高检验时的灵活性.实际计算过程中式(5)统计距离的数值表达式可简写为τA D =-L -q ,(7)其中:L 表示给定观测值x t 的大小或在拟合优度检验时分块(窗口)的大小;q 定义为q =ðLt =1(2t -1)L[l n (F r (z t ))-l n (F r (z L +1-t ))].(8)在拟合优度检验框架内,错误拒绝候选分布的概率称为虚警概率P f a ,定义为P f a =P {τ>T H 0}=ʏ{z s .t .τ>λ}p (z H 0)d z ,(9)其中H 0表示与噪声检测相对应的零假设.文献[25-26]给出了虚警概率P f a 对应阈值的表格.2.2 本文算法本文利用剪切波变换对噪声图像的剪切波子带系数进行拟合优度检验,提出一种剪切波拟合优度检验去噪算法,在多尺度上将信号和噪声分离为单独的系数.令T G O F 表示阈值算子,则尺度j 处的阈值T j 为T j =T G O F (s ηj ,Pf a ),(10)其中s ηj 为输入标准差为σ的高斯白噪声(w h i t eG a u s s i a nn o i s e ,WG N )剪切波系数.通过计算s ηj的累积分布函数F r (t )进行拟合优度检验找到对应给定虚警概率的阈值T j .针对高斯噪声分布,F r (t )为F r (t )=ʏt-ɕ12πσe z2/σ2d z ,(11)取高频系数s ji 的中值估计噪声为9811 第5期成丽波,等:基于剪切波变换和拟合优度检验的遥感图像去噪 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.0911吉林大学学报(理学版)第61卷^σ=m e d i a n(s j i)0.6745,(12)并通过s j i=s j i^σ,(13)对剪切波系数进行归一化.对归一化后的剪切波系数s j i执行拟合优度检验,以产生阈值系数^s,其中^s=GO F(s j i,T j).(14)本文算法的去噪二元假设表示如下:H0:τA DɤT j;i.e.s j iɪ噪声,H1:τA D>T j;i.e.s j iɪ信号,(15)其中H0和H1分别表示多尺度下的零假设和替代假设.通过给定阈值T j,首先利用式(7)计算高频系数的经验分布函数和模拟WG N系数的累积分布函数之间的统计距离,以获得检验统计量τA D,然后将其与阈值进行比较.由式(15)可见,噪声(即H0)样本的系数在变换矩阵中被识别出来,而剩余系数被保留为期望信号(即H1).若τA DɤT j,则该系数源于给定的累积分布函数F r(t)为噪声点.此时,将s j i 设置为0;否则,保留原始值,生成^s.最后,将系数矩阵逆归一化并通过剪切波逆变换恢复去噪图像.2.3算法流程本文提出的S T-G O F算法实现过程主要分为7个步骤.图2为S T-G O F算法的实现流程.图2S T-G O F算法流程F i g.2F l o wc h a r t o f S T-G O Fa l g o r i t h m算法1S T-G O F算法.步骤1)输入含噪遥感图像P n;步骤2)对P n进行剪切波变换P nѳS T(X)得到高频和低频系数矩阵;步骤3)模拟输入WG NѳS T(X),利用式(10),(12)估计T j,^σ,本文P f a=0.005;步骤4)利用式(13)对高频系数s j i进行归一化,计算检验统计量τA D:τA D=-L-ðL t=1(2t-1)L[l n(F r(s))-l n(F r(s L+1-n))];步骤5)若τA DɤT j,则s j iѳ0,否则,s j iѳ^s;步骤6)P dѳS T-1(^sˑ^σ);步骤7)输出去噪遥感图像P d.3仿真实验及结果分析为验证本文算法的有效性,选择灰度遥感图像进行主观和客观指标的评价.主观上,通过视觉观察遥感图像的边缘显示能力,并对比细节恢复程度等对本文算法的去噪效果进行评价;客观上,使用峰值信噪比(p e a ks i g n a l t on o i s e r a t i o,P S N R)衡量本文算法的去噪效果.3.1图像质量评价指标P S N R值作为图像去噪问题中的重要衡量指标,数值越大表示去噪程度越好.本文采用P S N RCopyright©博看网. All Rights Reserved.作为评价指标验证算法的优越性:P S N R =10l g25521X Y ðXi =1ðYj =1(p (i ,j )-d (i ,j ))2,(16)其中p (i ,j )表示原始无噪声图像,d (i ,j )表示去噪图像,X ,Y 表示图像尺寸.3.2 实验结果与分析本文从遥感数据集R S S C N 7中选取6张大小为400ˑ400的遥感图像F o r e s t ,P a r k i n g ,R e s i d e n t ,P l a y g r o u n d ,I n d u s t r y,M o u n t a i n s 作为仿真实验图像,如图3所示.将本文算法与离散小波拟合优度算法(DWT -G O F )㊁双树复小波拟合优度算法(D T C WT -G O F )㊁曲波阈值去噪算法(C u r v e l e t )㊁剪切波阈值去噪算法(S h e a r l e t )进行对比,5种算法均使用MA T L A BR 2018b 实现,计算平台为内存16G B的计算机,搭载处理器为I n t e l (R )C o r e (T M )i 7-8750H C P U@2.20G H z .图3 实验采用的无噪声遥感图像F i g .3 N o i s e -f r e e r e m o t e s e n s i n g i m a g e s u s e d i n e x pe r i m e n t 对比发现,添加了标准差约为20的高斯白噪声的遥感图像接近含有真实随机噪声的遥感图像.因此,对实验图像分别添加标准差为10,15,20,25的高斯白噪声.实验所得5种算法的P S N R 值分别列于表1~表4.由表1~表4可见,本文算法在不同噪声强度下的去噪图像P S N R 值均优于其他4种算法,其中与曲波阈值算法相比平均提高2.15d B ,与DWT -G O F 算法相比平均提高1.04d B ,与剪切波阈值算法相比平均提高0.33d B ,与D T C WT -G O F 算法相比平均提高0.23d B .表1 噪声标准差为10时不同算法的P S N R 值T a b l e 1 P S N Rv a l u e s o f d i f f e r e n t a l go r i t h m sw h e n s t a n d a r dd e v i a t i o no f n o i s e i s 10d B算法F o r e s tP a r k i n gR e s i d e n tP l a y g r o u n d I n d u s t r yM o u n t a i n s C u r v e l e t28.810327.428226.575829.509725.971727.3744DWT -G O F 30.229429.513128.603731.124428.185129.2467S h e a r l e t 30.446530.664429.648231.663729.355529.7056D T C WT -G O F 30.945930.761729.537531.868329.336929.9343S T -G O F 31.011730.870429.878731.923729.700730.2571图4为噪声标准差为25时,实验所得5种算法的去噪图像及局部细节放大结果.由图4可见,本文算法的去噪效果明显优于其他4种算法,能更好地保持遥感图像的边缘㊁轮廓和特征信息.在对局部细节进行放大时,本文算法去噪图像的纹理更细腻,视觉效果最优.1911 第5期成丽波,等:基于剪切波变换和拟合优度检验的遥感图像去噪 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.2911吉林大学学报(理学版)第61卷表2噪声标准差为15时不同算法的P S N R值T a b l e2P S N Rv a l u e s o f d i f f e r e n t a l g o r i t h m sw h e n s t a n d a r dd e v i a t i o no f n o i s e i s15d B 算法F o r e s t P a r k i n g R e s i d e n t P l a y g r o u n d I n d u s t r y M o u n t a i n s C u r v e l e t27.349825.338224.819227.944724.163625.7178 DWT-G O F28.081127.113826.363829.022025.925626.9795 S h e a r l e t28.329628.178727.122729.549626.761127.2968 D T C WT-G O F28.646228.120127.105429.536326.877527.5937 S T-G O F28.778428.366827.380729.703327.101827.8700图4不同算法对遥感图像的去噪及细节效果F i g.4D e n o i s i n g a n dd e t a i l e f f e c t s o f d i f f e r e n t a l g o r i t h m s o n r e m o t e s e n s i n g i m a g e sCopyright©博看网. All Rights Reserved.表3 噪声标准差为20时不同算法的P S N R 值T a b l e 3 P S N Rv a l u e s o f d i f f e r e n t a l go r i t h m sw h e n s t a n d a r dd e v i a t i o no f n o i s e i s 20d B算法F o r e s tP a r k i n gR e s i d e n tP l a y g r o u n d I n d u s t r yM o u n t a i n s C u r v e l e t26.402524.202223.827527.020323.162724.6409DWT -G O F 26.826025.467124.842827.651824.408625.5641S h e a r l e t 27.053926.417025.447628.076425.025825.8947D T C WT -G O F 27.331126.379725.503428.153924.995326.2388S T -G O F 27.468426.649425.587728.266225.264026.3585表4 噪声标准差为25时不同算法的P S N R 值T a b l e 4 P S N Rv a l u e s o f d i f f e r e n t a l go r i t h m sw h e n s t a n d a r dd e v i a t i o no f n o i s e i s 25d B算法F o r e s tP a r k i n gR e s i d e n tP l a y g r o u n d I n d u s t r yM o u n t a i n s C u r v e l e t25.699123.383622.948926.290422.484523.9223DWT -G O F 25.871323.811823.310126.487222.796424.2511S h e a r l e t 26.228625.376724.272427.338624.034624.9171D T C WT -G O F 26.427625.176224.422727.218024.008225.1921S T -G O F 26.778025.568524.663327.457424.309825.4887综上所述,针对遥感图像中的高斯白噪声,本文提出了一种基于剪切波变换和拟合优度检验的遥感图像去噪算法,将遥感图像的去噪转换成了一个二元假设检验问题.首先,利用剪切波变换在频域分解含噪遥感图像,对分解得到的高频子带进行拟合优度检验;其次,通过对比检验统计量与去噪阈值分类系数,保留期望信号系数,实现去噪;最后,对系数矩阵逆归一化,通过剪切波逆变换进行图像重建.实验结果表明,与剪切波阈值去噪等算法相比,本文算法能显著提升峰值信噪比,有较强的细节留存和边缘保持能力,主观上也有较好的视觉效果.参考文献[1] 刘通,胡亮,王永军,等.基于卷积神经网络的卫星遥感图像拼接[J ].吉林大学学报(理学版),2022,253(1):99-108.(L I U T ,HU L ,WA N G YJ ,e ta l .S a t e l l i t eR e m o t eS e n s i n g I m a g e M o s a i cB a s e do nC o n v o l u t i o n a l N e u r a lN e t w o r k [J ].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n ),2022,253(1):99-108.)[2] 夏英,黄秉坤.采用改进Y O L O v 3的高分辨率遥感图像目标检测[J ].重庆邮电大学学报(自然科学版),2022,34(3):383-392.(X I A Y ,HU A N GBK.O b j e c tD e t e c t i o no fH i g hR e s o l u t i o nR e m o t eS e n s i n g I m a ge sB a s e do n I m p r o v e dY O L O v 3[J ].J o u r n a lo fC h o n g q i n g U n i v e r s i t y o fP o s t sa n d T e l e c o mm u n i c a t i o n s (N a t u r a lS c i e n c e E d i t i o n ),2022,34(3):383-392.)[3] 宋志娜,李莎,杨建明,等.基于特征与区域定位增强的遥感舰船目标检测[J ].计算机工程,2023,49(8):257-264.(S O N GZ N ,L IS ,Y A N GJ M ,e t a l .R e m o t eS e n s i n g S h i p T a r g e tD e t e c t i o nB a s e do nF e a t u r ea n d R e g i o nL o c a l i z a t i o nE n h a n c e m e n t [J ].C o m p u t e rE n g i n e e r i n g ,2023,49(8):257-264.)[4] 徐华平,贾小宁.基于仿射不变块相似度量的B M 3D 图像去噪算法[J ].吉林大学学报(理学版),2022,253(1):109-118.(X U H P ,J I A X N.B M 3DI m a g eD e n o i s i n g A l g o r i t h m B a s e do n A f f i n eI n v a r i a n tP a t c hS i m i l a r i t y M e a s u r e [J ].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n ),2022,253(1):109-118.)[5] 张意,阚子文,邵志敏,等.基于注意力机制和感知损失的遥感图像去噪[J ].四川大学学报(自然科学版),2021,58(4):45-55.(Z HA N G Y ,K A N Z W ,S HA O Z M ,e t a l .R e m o t eS e n s i n g I m a g eD e n o i s i n g B a s e do n A t t e n t i o n M e c h a n i s m a n dP e r c e p t u a lL o s s [J ].J o u r n a l o fS i c h u a n U n i v e r s i t y (N a t u r eS c i e n c eE d i t i o n ),2021,58(4):45-55.)[6] 周航,苏延池,李占山,等.基于子空间表示和加权低秩张量正则化的高光谱图像混合噪声去除方法[J ].吉林大学学报(理学版),2023,61(1):118-126.(Z HO U H ,S U Y C ,L IZS ,e t a l .M i x e dN o i s eR e m o v a lM e t h o df o rH y p e r s p e c t r a l I m ag e sB a s e do nS u b s p a c eR e p r e s e n t a t i o na n d W e i gh t e dL o w -R a n kT e n s o rR e g u l a ri z a t i o n [J ].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n ),2023,61(1):118-126.)[7] F U C L ,L IP F ,S U IR L ,e ta l .H i g h -S p a t i a l -R e s o l u t i o n O F D R D i s t r i b u t e d T e m p e r a t u r eS e n s o rB a s e do n S t e p -b y -S t e p a n d I m a g eW a v e l e tD e n o i s i n g M e t h o d s [J ].S e n s o r s ,2022,22(24):9972-1-9972-8.3911 第5期成丽波,等:基于剪切波变换和拟合优度检验的遥感图像去噪Copyright ©博看网. All Rights Reserved.4911吉林大学学报(理学版)第61卷[8] WO N S E O K K,S O OHWA N Y,D O O C HU NS,e t a l.P u s h-B r o o m-T y p eV e r y H i g h-R e s o l u t i o nS a t e l l i t eS e n s o rD a t aC o r r e c t i o nU s i n g C o m b i n e d W a v e l e t-F o u r i e r a n d M u l t i s c a l eN o n-l o c a lM e a n sF i l t e r i n g[J].S e n s o r s,2015,15(9):22826-22853.[9] P A U L A,K U N D U A,C HA K I N,e ta l.W a v e l e t E n a b l e d C o n v o l u t i o n a l A u t o e n c o d e r B a s e d D e e p N e u r a lN e t w o r k f o rH y p e r s p e c t r a l I m a g eD e n o i s i n g[J].M u l t i m e d i aT o o l s a n dA p p l i c a t i o n s,2021,81(2):2529-2555.[10] L IM H,J I AZ H,Y A N GJ,e t a l.R e m o t eS e n s i n g I m a g eD e n o i s i n g B a s e do n t h eC o m b i n a t i o no f t h e I m p r o v e dB i S h r i n ka n dD TC WT[J].P r o c e d i aE n g i n e e r i n g,2011,24(6):470-474.[11] C H E N G Y,Q I A NSE.D e n o i s i n g o fH y p e r s p e c t r a l I m a g e r y U s i n g P r i n c i p a lC o m p o n e n tA n a l y s i sa n d W a v e l e tS h r i n k a g e[J].I E E ET r a n s a c t i o n s o nG e o s c i e n c e a n dR e m o t eS e n s i n g,2011,49(3):973-980.[12]J UMA H A A.D e n o i s i n g o fa nI m a g e U s i n g D i s c r e t eS t a t i o n a r y W a v e l e tT r a n s f o r m a n d V a r i o u sT h r e s h o l d i n gT e c h n i q u e s[J].J o u r n a l o f S i g n a l a n d I n f o r m a t i o nP r o c e s s i n g,2013,4(1):33-41.[13] A L E S S A N D R O G,F A B R I Z I O G,N I C O L A A,e ta l.A W a v e l e tF i l t e rC o m p a r i s o no n M u l t i p l eD a t a s e t sf o rS i g n a l C o m p r e s s i o na n dD e n o i s i n g[J].M u l t i d i m e n s i o n a l S y s t e m s a n dS i g n a l P r o c e s s i n g,2021,32(2):791-820.[14]郭林,孟旭东.基于偏微分方程与多尺度分析的图像去噪算法[J].吉林大学学报(理学版),2019,57(4):882-888.(G U O L,M E N G X D.I m a g e D e n o i s i n g A l g o r i t h m B a s e d o n P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n a n d M u l t i-s c a l eA n a l y s i s[J].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2019,57(4):882-888.)[15] G U O K,L A B A T ED.O p t i m a l l y S p a r s eM u l t i-d i m e n s i o n a l R e p r e s e n t a t i o nU s i n g S h e a r l e t s[J].S I AMJ o u r n a l o nM a t h e m a t i c a lA n a l y s i s,2007,39(1):298-318.[16] K U T Y N I O K G,L A B A T ED.R e s o l u t i o no f t h eW a v e f r o n t S e tU s i n g C o n t i n u o u sS h e a r l e t s[J].T r a n s a c t i o n so ft h eA m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2009,361(5):2719-2754.[17] B E N E D E T T OJ J,L I S.T h eT h e o r y o fM u l t i r e s o l u t i o nA n a l y s i sF r a m e sa n dA p p l i c a t i o n s t oF i l t e rB a n k s[J].A p p l i e da n dC o m p u t a t i o n a lH a r m o n i cA n a l y s i s,1998,5(4):389-427.[18]陈毅军,程浩,巩恩普,等.基于S h e a r l e t变换的尺度方向自适应阈值地震数据随机噪声压制方法[J].吉林大学学报(地球科学版),2021,51(4):1231-1242.(C H E N YJ,C H E N G H,G O N G EP,e t a l.R a n d o m N o i s e S u p p r e s s i o no f S e i s m i cD a t aw i t hS c a l e-O r i e n t e dA d a p t i v eT h r e s h o l dB a s e d o nS h e a r l e tT r a n s f o r m[J].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(E a r t hS c i e n c eE d i t i o n),2021,51(4):1231-1242.)[19] L I M W Q.N o n s e p a r a b l e S h e a r l e t T r a n s f o r m[J].I E E E T r a n s a c t i o n s o n I m a g e P r o c e s s i n g,2013,22(5):2056-2065.[20] L Y UZY,Z HA N GCK,HA N M.D S T n e t:A N e w D i s c r e t eS h e a r l e tT r a n s f o r m-B a s e dC N N M o d e l f o r I m a g eD e n o i s i n g[J].M u l t i m e d i aS y s t e m s,2021,27(6):1-13.[21]梅树立,李晓飞,赵海英,等.基于剪切波和全变分的农田遥感图像去噪去伪影方法[J].农业工程学报,2017,33(增刊1):274-280.(M E I SL,L IXF,Z HA O H Y,e t a l.M e t h o do fD e n o i s i n g a n dR e m o v i n g A r t i f a c t s f o rF a r m R e m o t eS e n s i n g I m a g eB a s e do nS h e a r l e t a n dT o t a lV a r i a t i o n[J].T r a n s a c t i o n so f t h eC h i n e s eS o c i e t y o fA g r i c u l t u r a l E n g i n e e r i n g,2017,33(S u p p l1):274-280.)[22] N A V E E D K,S HA U K A TB,R E HMA N N U.S i g n a l D e n o i s i n g B a s e d o nD u a l T r e eC o m p l e xW a v e l e tT r a n s f o r ma n dG o o d n e s s o fF i tT e s t[C]//22n dI n t e r n a t i o n a lC o n f e r e n c eo nD i g i t a lS i g n a lP r o c e s s i n g(D S P).P i s c a t a w a y,N J:I E E E,2017:1-5.[23] N A V E E DK,S HA U K A TB,E H S A NS,e t a l.M u l t i-s c a l e I m a g eD e n o i s i n g U s i n g G o o d n e s s-o f-F i t T e s t B a s e d o nE D FS t a t i s t i c s[J].P L o SO n e,2019,14(5):e0216197-1-e0216197-25.[24] A N D E R S O N T W,D A R L I N G D A.A T e s to fG o o d n e s so fF i t[J].P u b l i c a t i o n so f t h eA m e r i c a nS t a t i s t i c a lA s s o c i a t i o n,1954,49:765-769.[25] S T E P H E N S M A.E D F S t a t i s t i c sf o r G o o d n e s so fF i ta n dS o m eC o m p a r i s o n s[J].J o u r n a lo ft h e A m e r i c a nS t a t i s t i c a lA s s o c i a t i o n,1974,69:730-737.[26] P E A R S O N E S,HA R T L E Y H O.B i o m e t r i k a T a b l e sf o rS t a t i s t i c i a n s[J].R o y a lS t a t i s t i c a lS o c i e t y,1967,130(2):257-258.(责任编辑:韩啸)Copyright©博看网. 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第16卷第2期2011年2月中国图象图形学报JournalofImageandGraphicsVo.l16,No.2Feb.,2011中图法分类号:TN911.73 文献标志码:A 文章编号:1006-8961(2011)02-0168-06论文索引信息:胡海智,孙辉,邓承志,陈习,柳枝华.全变差正则化的Shearlet收缩去噪[J].中国图象图形学报,2011,16(2):168-173全变差正则化的Shearlet收缩去噪胡海智,孙辉1)1)1),2),邓承志,陈习,柳枝华2)2)2)1)(南昌航空大学信息工程学院,南昌330063)(南昌工程学院计算机科学与技术系,南昌330099)摘要:Shearlet是一种新型的多尺度几何分析工具,通过对基本函数缩放、剪切和平移等仿射变换生成具有不同特征的Shearlet函数,能够对图像进行稀疏表示且产生最优逼近。

首先提出了一种Shearlet变换的数字实现方法,然后提出了一种结合Shearlet变换和变分法的图像去噪方法。

该方法采用Shearlet变换域约束条件的全变差正则化模型,可以去除简单阈值处理后产生的伪吉布斯效应。

实验结果表明,该方法在抑噪和保持边缘的同时,取得了好的视觉效果和更高的PSNR值。

关键词:Shearlet变换;全变差;图像去噪;峰值信噪比Shearletshrinkagede-noisingbasedtotalvariationregularizationHuHaizhi,SunHui1)2)1)1),2),DengChengzhi,ChenXi,LiuZhihua2)2)1)(SchoolofInformationScienceandEngineering,NanchangHangkongUniversity,Nanchang 330063China)(DepartmentofComputerScienceandTechnology,NanchangInstituteofTechnology,Nanch ang330099China)Abstract:Shearletisanew-stylemult-iscalegeometryanalysistoo.lItcreatesShearletfunctionswhichhavedifferentcharacteristicst hroughzooming,shearing,translatingandotheraffinetransformingmethods,andenablesitscapableof optimallysparserepresentation.Firstly,adigitalShearlettransformimplementationmethodis proposedinthispaper.Andthen,anewde-noisingmethodthatcombinesShearlettransformandvariationispresented,whichmainlybeen establishedusingatotalvariationregularizationmodeltoconstraintconditiononShearlettrans formdomain.TheproposedmodelaimsatreducingPseudo-Gibbsartifactsaftersimplethresholdmethods.Numericalexamplesdemonstratethatthemeth odcanremovenoisesandkeepedgeseffectively,leadingtoimprovedvisualeffectandPSNR.K eywords:shearlettransform;totalvariation;magedei-noising;PSNR(MGA)被提出,发展MGA的目的是为了检测、表0引言图像去噪是图像处理中的一个基础性的研究课题。

基于Cauchy分布模型与NSST变换的图像去噪算法王相海;朱毅欢;耿丹;宋传鸣【摘要】In order to solve the problem that the multi-scale transform threshold denoising method does not consider the correlation between sub-band coefficients ,a denoising method based on statisti-cal model is proposed .The non-downsampling Shearlet transform (NSST) has a good directional sen-sitivity ,anisotropy and translation invariance ,which is close to the optimal multi-scale sparse repre-sentation .In this paper , the effectiveness of the Cauchy distribution model as a priori probability model is analyzed .An image denoising algorithm based on the Cauchy distribution model and NSST transform is proposed .The statistical model denoising method based on wavelet and NSST transform based on Laplacian distribution Denoising method are compared .The simulation results show that the presently proposed method has better denoising effect .%非下采样Shearlet变换(NSST)具有良好的方向敏感性,各向异性以及平移不变性,是接近最优的多尺度稀疏表示方法.提出一种基于先验柯西(Cauchy)模型的NSST域图像去噪方法,利用Cauchy分布对NSST变换域子带系数概率分布进行拟合,作为先验分布模型,再通过最大后验概率(MAP)方法估计不含噪声的系数.该方法不但保留了传统统计模型去噪方法中的优点,还通过对NSST具有更好拟合效果的柯西分布模型作为先验的概率分布模型,使估计出的系数更接近于原始图像的系数.大量仿真实验验证了所提出方法的有效性.【期刊名称】《辽宁师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)003【总页数】8页(P324-331)【关键词】非下采样Shearlet;Cauchy分布模型;最大后验概率;图像去噪【作者】王相海;朱毅欢;耿丹;宋传鸣【作者单位】辽宁师范大学计算机与信息技术学院,辽宁大连 116029;辽宁师范大学计算机与信息技术学院,辽宁大连 116029;辽宁师范大学数学学院,辽宁大连116029;辽宁师范大学计算机与信息技术学院,辽宁大连 116029【正文语种】中文【中图分类】TP391图像在采集和传输过程中不可避免地会受到噪声的污染，因此图像去噪作为图像处理的重要研究领域一直受到高度重视，同时它通常也是更深层次图像处理的基础性工作.图像去噪的目标是在有效去除图像噪声的同时，尽可能地保留图像边缘、纹理等细节信息.近年来，基于小波变换多尺度特性和局部特性的图像去噪方法受到关注，然而虽然小波变换可以很好地捕捉一维信号的奇异性，但是对二维信号的轮廓、边缘和纹理等高维奇异特性的捕捉效果并不理想，为了更好地表示图像的这种高维奇异特性，Ridgelet、Curvelet、Contourlet等多尺度几何工具被提出[1]，特别是近年来被提出的Shearlet变换[2]作为小波变换在多维方向的自然扩展，其基函数具有可变的楔形支撑空间，能够通过剪切和膨胀自适应表示图像的几何边缘，接近最优的二维图像的稀疏表示[3-8].在基于多尺度变换的图像去噪方法中阈值去噪方法通常以简单著称，它将图像的变换域系数当作确定的独立信号进行处理.虽然多尺度变换具有解相关性，但图像多尺度变换子带之间还是会存在一定的联系，如何有效地确定这些系数之间的关系，并使之对图像多尺度变换系数进行有效评估成为基于统计模型图像去噪方法的一个关键问题.事实上，基于多尺度变换的统计模型去噪方法通常需要解决两个问题[9]，一是系数子带的先验概率模型选取问题；另一个是去噪方法的确定.常用的多尺度子带系数的概率分布模型有广义高斯分布(GGD)[10]和拉普拉斯分布(Laplacian)[11]等.本文通过大量实验统计表明，Cauchy分布能够更好地对Shearlet域子带系数进行拟合.基于此，将Cauchy分布模型作为先验概率模型，并采用最大后验概率对Shearlet子带系数进行估计，在此基础上实现去噪操作，取得了很好地去噪效果.K.H.Guo和bate提出的Shearlet变换具有完备的构造理论框架和严格的数学逻辑支持，是仿射系统对多维信号几何特征提取的一个最有效的方法[2,8].该变换作为一种新型的多尺度变换继承了Contourlet变换与Curvelet变换的优点，其与Curvelet变换具有相同的图像近似阶数，但实现更加简单，同时尺度方向比Contourlet变换更加灵活.对于二维信号，Shearlet变换不仅能够检测其所有的奇异点，同时还能够自适应的追踪奇异曲线的方向.Shearlet变换由合成小波理论衍生而来，当维n=2时，具有合成膨胀的仿射系统定义为其中，ψ∈L2(2)，A和B为2×2的可逆矩阵，det Β=1.如果ΨAB(ψ)满足Parseval框架，即对任意f∈L2(2)有则ΨAB(ψ)的元素称为合成小波(composite wavelets).其中，伸缩矩阵Aj与尺度变换相关联，Bl与面积不变的几何变换相关联，如旋转和剪切.当时，其形式就是Shearlet变换，其频率的分解平面图和支撑区域如图1所示.Shearlet的几何性质在频率域上更为直观，对于不同的尺度，支撑在以l为斜率、原点对称的一对梯形区域中，且在随着j的变换所带来的旋转过程中，梯形的面积并不随着l的改变而变化.有关Shearlet变换的更深人理论方面的研究参见文献[12].为了使Shearlet变换具有平移不变特性，仿造非下采样轮廓波变换(Nonsubsampled Contourlet Transform，NSCT)的构造方法，文献[13]中通过用非下采样的Laplacian金字塔算法替换Laplacian金字塔算法，构造了非下采样剪切波变换(Nonsubsampled Shearlet Transform，NSST).NSST分解过程如图2所示，图像经过两层NSST分解实例如图3所示.2.1 最大后验方法估计子带系数假设含噪声图像经过NSST变换后的系数表示成如下形式：其中，y为不含噪声的NSST系数，n为噪声系数.因此可以通过最大后验概率(MAP)方法，最大化ln(y|x)来估计不含噪声的NSST系数y[14]，形式如下：其中,lnpx|y≈lnpn.假如噪声为均值为0的高斯白噪声，因此n服从均值为0的高斯分布，即有其中，σ2为噪声方差，因此只要针对NSST系数进行合适的模型建立，则可估计出不含噪声的系数.2.2 先验柯西分布模型自然图像经过NSST变换的系数分布直方图呈现“高尖峰、长拖尾”的形状，且峰值分布在零点处，不符合传统的高斯分布.常用的多尺度系数先验模型有广义高斯分布(GGD)、拉普拉斯分布(Laplacian)和柯西分布(Cauchy)等.其中Cauchy分布是一个含两参数的概率密度模型，其对“长拖尾”的系数分布具有良好的建模效果.对于系数集X={x1,x2,…,xN}，其Cauchy分布函数的定义为其中,m=1和m=2分别为NSST系数取大、小状态的状态变量；πm(m=1,2)分别表示系数取大、小两个状态的先验概率，满足；为系数取大、小两个状态所对应的Cauchy分布的概率密度函数，其表达式为其中，γm和分别为Cauchy分布的形状参数和位置参数；是待估计的Cauchy分布的参数,可通过极大似然估计法进行估计.下面分别采用广义GGD分布模型、Laplacian分布模型和Cauchy分布模型对两种不同类型测试图像的NSST子带系数进行精度拟合实验，利用极大似然估计法对参数进行估计，并选取 KS(Kolmogorov-Smirnov)值作为评价指标来判别对NSST子带系数的拟合程度.KS的计算公式为其中,Fh(·)和Fe(·)分别为先验概率分布函数和标准分布的累积分布函数.KS越小表明拟合效果越好.图4和表1分别表示了图像的拟合结果以及精度检测结果.从图4和表1可以看出，对于两种不同类型测试图像的NSST子带系数，Cauchy 分布较广义GGD分布和Laplacian分布具有更好的自适应性和拟合效果.可见，在NSST变换域下，Cauchy分布是比广义GDD分布和Laplacian分布拟合精度更好的概率分布函数，因此本文选取Cauchy分布模型对NSST系数进行建模，作为NSST系数的先验模型.2.3 去噪算法的实现过程基于柯西分布模型与NSST变换的图像去噪算法总体步骤如下：Step1 将含噪声图像进行3层NSST分解.Step2 通过蒙特卡罗方法估计噪声方差，再通过极大似然方法估计先验模型的参数.Step3 获得不含噪声的NSST子带系数估计.Step4 将估计得到的子带进行NSST逆变换，获得去噪声图像.为了验证本文提出方法的有效性，选取North Island，Shedao，Lena和Barara 四幅512×512大小的图像进行实验.实验环境为Matlab R2009b.其中，NSST变换选用了“maxflat”非下采样多尺度滤波器和“dmaxflat7”非下采样方向滤波器，分解层数为3，每层子带个数为2，4，8，方向滤波器的分解方向分别为16，32，64.添加的噪声为不同方差的高斯白噪声，实验结果通过去噪图像的主观视觉效果和客观峰值信噪比来(PSNR)评价去噪方法的性能.PSNR定义如下：表2给出了本文提出方法在不同方差下，与NL-Means[15]方法和Wavelet-Bayesian[16]方法相比较之后的客观评价结果，图5为在噪声方差30的情况下，本文提出的方法与对比方法的去噪主观结果，图6为Lena图像经过4倍放大后的去噪结果.首先对图像NSST域的系数子带系数进行拟合实验，获得Cauchy分布较GGD和Laplacian分布具有更好的自适应性和拟合效果；进一步将Cauchy分布作为图像去噪的先验概率模型，通过最大后验概率方法估计出子带的后验系数.在此基础上，提出一种基于Cauchy分布模型与NSST的图像去噪算法，取得了很好的去噪效果.与文献[16]方法相比，对添加噪声方差为30后的图像噪声，去噪后图像的PSNR平均提高1.93 dB,同时从视觉效果上看，该模型在有效去除噪声的同时，较好地保留了原图像中的边缘和纹理细节信息，特别对纹理复杂、丰富的图像具有一定的优势.【相关文献】[1] 焦李成，谭山.图像的多尺度几何分析：回顾和展望[J].电子学报,2003,31(12A):1975-1981.[2] GUO K H,LABATE D.Optimally sparse multidimensional representation usingshearlets[J].SIAM Journal on Mathematical Analysis,2007,39(1):298-318.[3] LAKSHMAN H, LIM W Q, SCHWARZ H, et al.Image interpolation using shearlet based iterative refinement [J].Signal Processing:Image Communication,2015,36(4):83-94.[4] XU K, LIU S H, AI Y H.Application of Shearlet transform to classification of surface defects for metals[J].Image and Vision Computing,2015,35(3):23-30.[5] LI Y M, PO L M, XU X Y,et al.No-reference image quality assessment with shearlet transform and deep neural networks[J].Neurocomputing,2015,154:94-109.[6] GOU K G, LABATE D, LIM W Q.Edge analysis and identification using the continuousshearlet transform[J].Applied and Computational Harmonic Analysis,2009,27(1):24-46. [7] LIU X, YUE Z, WANG J J.Image fusion based on shearlet transform andregional[J].International Journal of Electronics and Communications (AEÜ),2014,68(6):471-477.[8] LIU S Q, SHI M Z, HU S H, et al.Synthetic aperture radar image de-noising based on Shearlet transform using the context-based model[J].PhysicalCommunication,2014,13:221-229.[9] 刘卫华，何明一.基于高斯混合模型图像局部自适应去噪算法[J].系统工程与电子技术,2009,31(12):2806-2808.[10] 王智文,李绍滋.基于多元统计模型的分形小波自适应图像去噪[J].计算机学报,2014,37(6):1380-1388.[11] 付国庆.基于NSCT域各向异性双变量萎缩图像去噪[J].电子设计工程,2012,20(18):178-181.[12] KUTYNIOK G,LABATE D.Shearlets:multiscale analysis for multivariatedata[M].Dordrecht:Springer,2012.[13] EASLEY G, LABATE D, LIM W Q.Sparse directional image representations using the discrete shearlet transform[J].Applied and Computational HarmonicAnalysis,2008,25(1):25-46.[14] 刘薇,徐凌,杨光.基于双树复小波二元统计模型的图像去噪方法[J].中国图像图形学报,2009,14(7):1291-1297.[15] BUADES A, COLL B, MOREL J M.A nonlocal algorithm for image denoising[J].IEEE Computer Vision and Pattern Recognition San Diego,2005,2:60-65.[16] 王相海,刘晓倩,张爱迪,等.曲线拟合确定阈值的非抽取小波贝叶斯图像去噪方法[J].模式识别与人工智能，2016,29(4):322-331.。

基于快速有限剪切波变换的图像去噪荆方;刘增力【摘要】图像去噪一直是数字图像处理领域研究的热点之一.近年来,针对小波变换的不足,提出了一种基于变换域的多尺度几何理论分析——剪切波变换(Shearlet Transform).结合剪切波变换的特点,提出了一种基于快速有限剪切波变换(Fast Finite Shearlet Transform)的图像阈值去噪方法.在噪声强度相同的情况下采用同样的阈值去噪算法,将快速有限剪切波变换与传统的小波变换进行对比.仿真结果表明,有限离散剪切波变换去噪算法相比于小波变换来说,信息冗余量低,去噪后图像的失真较少,且去噪耗费的时间较短,在峰值信噪比、冗余及去噪所耗费的时间等方面都优于小波变换.【期刊名称】《通信技术》【年(卷),期】2019(052)002【总页数】7页(P323-329)【关键词】图像处理;多尺度几何分析;剪切波变换;小波变换;阈值去噪【作者】荆方;刘增力【作者单位】昆明理工大学信息工程与自动化学院,云南昆明 650500;昆明理工大学信息工程与自动化学院,云南昆明 650500【正文语种】中文【中图分类】TP3910 引言图像去噪（包括图像中高斯噪声的去除和随机脉冲噪声的去除）的目的在于有效抑制和消除噪声的同时还可以保持图像的边缘信息、细节信息以及良好的视觉效果，是当前图像处理领域的研究热点之一。

数字图像去噪的方法大体上可以分为变换域和空间域两类。

数字图像去噪还可以称作滤波，空间域的滤波方法有均值滤波、中值滤波、低通滤波以及维纳滤波等滤波算法。

到目前为止，还没有一种图像去噪方法适用于全部情形下的任何噪声。

一般情况下，针对不同情形的含噪图像往往采用不同的去噪方法[1]。

近几年研究的去噪方法主要集中在变换域，如今运用小波分析对含噪图像进行去噪处理已经成为一个热门研究[2]。

利用小波变换[3-4]对含噪图像进行处理，可以有效滤除噪声，保留图像的边缘信息和细节信息，实现原图像的恢复。

基于Shearlet变换域图像噪声混合滤波方法
冷继兵
【期刊名称】《电视技术》
【年(卷),期】2013(37)17
【摘要】在深入分析Shearlet变换理论的基础上,给出具体的Shearlet变换步骤,并提出一种针对图像脉冲噪声的混合滤波方法.该方法首先对噪声图像进行Shearlet多尺度变换,获得高频和低频系数,保留低频系数不变;然后针对Shearlet 高频系数能够较好地刻画噪声局部化的性质,设计出一种多尺度、多方向特性的串/并联自适应中值滤波器,对高频系数中噪声进行自适应检测和滤除;最后实现低频系数和滤波后高频系数重构.通过与小波阈值法去噪和开关中值滤波法仿真实验比较可知,该滤波方法对于高强度的脉冲噪声具有较好的处理效果.
【总页数】4页(P51-54)
【作者】冷继兵
【作者单位】贵州师范大学职业技术学院,贵州贵阳550000
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.基于Matlab与VB混合编程的图像噪声处理软件设计 [J], 杨涛;马彦恒;左勇;白利
2.一种基于Shearlet变换域改进自适应中值滤波算法 [J], 柴成林
3.基于Shearlet变换的混合图像分割方法 [J], 余国清;罗可
4.基于提升Directionlet域高斯混合尺度模型SAR图像噪声抑制 [J], 白静;侯彪;王爽;焦李成
5.基于小波变换的4种图像噪声滤波方法比较 [J], 苏曦;孙杰;张智玲;金辉
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基于有限离散剪切波变换的灰度图像融合周岩;周苑;王旭辉【摘要】为改善多源灰度图像的融合效果,结合有限离散剪切波变换(FDST)较高的方向敏感性和平移不变性,提出一种新的灰度图像融合算法.对经过配准后的原图像进行FDST分解,获得不同尺度和不同方向的高频子带系数与低频子带系数,对低频采用区域平均能量和平均梯度相结合的融合算法,对高频选用相对区域方差和平均梯度相结合的融合方法.利用有限离散剪切波逆变换重构得到融合图像,并对融合结果进行主观视觉和客观评价.实验结果表明,与基于小波变换的低频区域能量融合和高频区域方差的融合算法等相比,该算法能获得较好的融合效果和原图像细节描述.%To improve the fusion effect of multi-source grayscale image,a new grayscale image fusion algorithm is proposed combining the shift invariance and good directional sensitivity of FDST.The original images after registration are decomposed by FDST,and the low frequency sub-band coefficients and high frequency sub-band coefficients of different scales and directions are obtained.The combination fusion algorithms of regional average energy and average gradient are used for the low frequency,and the combination fusion algorithms of relative region variance and average gradient are used for the high frequency.The fused image is reconstructed by inverse transform of finite discrete shear wave,and the result is evaluated by subjective vision and objective performance.Experimental results show that the algorithm can get better fusion results and image detail extraction compared with low frequencyregional energy fusion and high frequency region variance fusion algorithms based on wavelet transform.【期刊名称】《计算机工程》【年(卷),期】2016(042)012【总页数】6页(P222-227)【关键词】图像融合;有限离散剪切波;平均梯度;区域方差;平移不变性【作者】周岩;周苑;王旭辉【作者单位】河南工程学院计算机学院,郑州 451191;河南工程学院计算机学院,郑州 451191;河南工程学院计算机学院,郑州 451191【正文语种】中文【中图分类】TP391.4图像融合是对同一场景的多张图像特征信息进行处理,并最终得到更丰富、更清晰和更精准的图像的过程,使得融合后的图像更加适合传输以及计算机检测和处理,被广泛应用在军事侦察、虚拟现实、医学图像处理、虹膜识别和机器人视觉等领域[1]。

小 波 分 析 兼 具 多 分 辨 和 时 频 局 部 化 的优 良特
性， 已成为 图像 融 合 的重 要 ： 手段 。但 小 波分 析 技术 在 一 维时具 有 的优 异特 性并 不能 简单 地推 广 到二维 或 更 高 维 。于 是 ， 尺 度 几 何 分 析 （ ｕｔｃｌ ｇｏ 多 ｍ ｌｓａｅ ｅ— ｉ
２ Ｕ ｉ９ ３６ｏ Ｌ Ｑｎ ｕｎ ｄｏ ６ ２６，ｈｎ ） ． ｎｔ １３ ｆ Ａ， ｉｈａ ｇａ ６ ３ Ｃ ｉ Ｐ ０ ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａｎ ｉ ｇ ｕ ｉｎ ａ ｇ ｒ ｈ ｉ ｐ ｏ ｏ ｅ ａ ｅ ｎ ｓ ｅ ｒ ｔ ｒ ｎ ｆ ｒ ａ ｄ ｉ ｒ ｖ ｄ Ｐ ｌｅ Ｃ ｕ ｌｄ Ｎ ｕ ａ ｔ ｓｒ ｃ ： ｍａ ｅｆ ｓｏ ｌｏ ｉ ｍ ｓ ｒｐ ｓ ｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ａ ｌ ａ ｓｏ ｍ ｎ ｍｐ ｏ ｅ ｕ ｓ ｏ ｐ ｅ ｅ ｒｌＮｅ— ｔ ｅｔ
不 同尺 度 不 同方 向的高 频子 带 系数 ， 频部 分 采用 简单 的加权 平 均 法 ； 频 部分 ， 出基 于 改 低 高 提 进 的拉普 拉斯 能量 作为 Ｐ Ｎ Ｃ Ｎ链接 强度 的算 法。最 后 ， 行 ｓｅｒ ｔ 变换得 到 融合 图像 。仿 进 ｈ ａｌ 反 ｅ 真结 果表 明， 文 的算 法有 更好 的 融合效 果 ， 本 并且 所用 时 间也 比非采 样 轮廓 波（ Ｓ Ｔ 少 。 ＮＣ ） 关键词 ： 图像 融合 ； 离散 剪切 波 ； 冲 耦合 神经 网络 ； 接 强度 脉 链
ｒ ｕ ｎ ｙ ｓ ｂ ａ ｄ ｃ ｅｆ ｉｎ ｓｉ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｔ ｉ ｏ ａ ｈ ｄ ｏ ｇ ｔｄ ａ ｅ ａ ｅ Ａｓｆ ｒｔ ｅ ｈｇ ｅ ｕ ｎ ｙ ｓ ｂ ｆ ｑ ｅ ｃ ｕ ｂ ｎ ｏ ｆ ｃｅ ｔ ｓｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｒ ｄ ｔ ｎ ｌ ｔ ｏ ｆ ｉｈ ｅ ｖ ｒ ｇ ． ｏ ｈ ｉｈ ｆ ｑ ｅ ｃ ｕ — ｅ ｉ ａ ｉ ｍｅ ｗｅ ｒ ｂ ｎ ｏ ｆ ｃｅ ｔ ， ｒ ｓ ｎ ｎ ａｇ ｒ ｈ ｗｈ ｃ ｍｐ ｏ ｈ ｍｐ ｏ ｅ ａ ｌｃ ａ ｎ ｒ ｙ ａ ｅ ｌ ｋ ｉ ｔｎ ｉ ｆＰ ＮＮ． ａ ｄ ｃ ｅｆ ｉ ｎｓ ｗｅｐ ｅ ｅ ｔａ ｌｏ ｉ ｍ ｉｈ ｅ ｌ ｙ ｔｅ ｉ ｒｖ ｄ ｌ ｐ ａ ｉ ｎ ｅ ｅ ｇ ｓｔ ｉ ｎｅ ｓ ｙ ｏ Ｃ ｉ ｔ ｈ ｎ ｔ

• 从这篇文章得到启发，针对小波变换本身 存在方向性描述不足，以致使用小波描述 信号不够稀疏的问题，出现了一系列的方 向小波。
• 拟考虑使用剪切波进行图像、视频的显著 性检测。
二、简单对比
• 小波变换在一维信号的表示中能够很好的 捕捉信号奇异点，具有十分优异的性能， 遗憾的是这种性能并不能简单的推广到二 维。简单的说，就是小波在多维信号的表 示上存在方向性不足的问题。 • 使用逼近阶（the asymptotic approximation error decays）来描述，即为：
• 据生理学家对人类视觉系统研究结果和自然图像统计模型，一 种“最优”的图像表示法应该具有如下的特征：
– (1)多分辨：能够对图像从粗分辨率到细分辨率进行连续逼近，即 “带通”性; – (2)局域性：在空域和频域，这种表示方法的“基”应该是“局部” 的; – (3)方向性：其“基”应该具有“方向”性，不仅仅局限于二维可 分离小波3个方向。
通过构造shearing矩阵来达到这一目的。
三、图像、视频的剪切波变换
• 以二维函数f[n1,n2]为例，对该函数进行二 维剪切波变换的流程如下图所示：
• 对图像f进行剪切波变换就是将f映射成元 (d ) (d ) f , f , 素 ，每取一个j,l,k,d， j ,l , k j ,l , k 对应一 个尺度、一个方向、数据量等同于该支撑域大 小的一组剪切波系数。
• Curvelet变换能充分利用原函数的几何正则性，其基的 支撑区间近似表现为长条形。与小波变换相比，使用 Curvelet变换可以达到用更少的系数来逼近奇异曲线的 目的。基的长条形支撑区间实际上是方向性的一种体现， 所以Curvelet的基具有各向异性，此类变换称为多尺度 几何分析。

剪切波弹性成像（shear wave elastography，SWE）的原理是使用瞬时脉冲在体内产生剪切波，通过测量剪切波的传播速度计算组织的弹性值，该技术是目前唯一能够实时、定量测量局部组织杨氏模量E值的方法，因剪切波速度（shear wave velocity，SWV）与剪切模量直接相关，故也可以作为一种定量检查组织硬度的方法，其以杨氏模量值表示组织的硬度，组织硬度越高，其值越高。

SWE能精确定位和显示毫米分辨率的小病变的弹性，提供人体组织弹性的定量信息［1］，目前已被应用于检测浅表器官、腹部脏器、骨骼肌及神经系统等方面的病变，具有较高的临床价值。

本文就SWE在周围神经及肌肉组织中的应用进展进行综述。

一、SWE在周围神经组织中的应用（一）SWE在正常神经组织中的应用周围神经在运动过程中会受到牵拉，邻近组织拉长和滑动也会改变周围神经的力学特性，SWE可对运动过程中正常周围神经的力学特性进行无创量化。

Andrade等［2］评估了膝关节处于弯曲（90°）和伸展（180°）时坐骨神经的SWV，结果发现膝关节伸展时坐骨神经SWV较弯曲时明显增加，且当踝关节处于背屈位时神经SWV增加仅在膝关节伸展时可见，表明可以在被动运动时对坐骨神经硬度进行非侵袭性评估，强调了膝关节和踝关·综述·剪切波弹性成像在周围神经及肌肉组织中的应用进展徐焱冉海涛张花摘要目前神经、肌肉的慢性病变如糖尿病周围神经病变等具有病程较长、损伤不可逆等特点，若未及早诊断和干预可能出现不可逆的致残、致死。

CT、MRI及二维超声等常规影像学检查方法仅能在神经或肌肉出现明显形态学改变时进行观察，而在病变早期尚未发生明显形变时无法进行诊断。

剪切波弹性成像作为一种超声检查新技术，具有安全、实时、定量及价廉等优点，可作为神经及肌肉组织病变检查及长期随访的方法。

本文就剪切波弹性成像在神经及肌肉组织中的应用进展进行综述。

褶皱中文手写体身份鉴别尚赵伟;曹海;陈波【摘要】针对褶皱中文笔迹身份鉴别的问题，提出了一种基于散射变换系数统计特性的识别方法，主要利用散射变换的局部平移不变性和弹性形变稳定性等特性，先将文本图像进行散射变换，再采用伽玛模型，对其各子带的散射系数提取分布特征作为全局特征，然后在全局特征上建立Copula模型，最后使用Copula模型之间的KL距离计算相似性，用于身份鉴别。

理论分析和对比实验结果表明，对于不同褶皱的文本图像，基于散射变换统计特性的识别方法优于现有的方法。

%Targeting at the problem of wrinkled Chinese handwriting recognition, this paper presents a method based on statistical characteristics of scattering transform coefficients. This method mainly uses the local translational invariance and the stability of elastic deformation of scattering transform. Firstly, the text image is transformed by scattering. The distribution characteristics used as global characteristics are extracted by applying gamma model to scattering coefficients of sub-bands. Then the copula model is constructed based on these global characteristics. Finally, the similarities are calculated for recognizing writers by using the Kullback-Leibler divergence between copula models. Theoretical analysis and comparative experiment show that our method based on statistical characteristics of scattering transform is more advantageous than the others for when regarding text images with various degrees of wrinkles.【期刊名称】《电子科技大学学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】7页(P72-78)【关键词】Copula模型;伽玛分布;KL距离;散射变换【作者】尚赵伟;曹海;陈波【作者单位】重庆大学计算机学院重庆沙坪坝区 400044;重庆大学计算机学院重庆沙坪坝区 400044;重庆大学计算机学院重庆沙坪坝区 400044【正文语种】中文【中图分类】TP391手写体笔迹识别是根据笔迹对书写者进行身份认证的一种基于生物行为的识别技术，已在安防、金融等领域得到了广泛的应用，并逐渐成为计算机视觉和模式识别领域中的研究热点。