离散可分离剪切波变换(DSST)及其数值计算

真正的傅里叶变换有4种： CTFS给连续周期信号用， CTFT给连续非周期信号用， DTFS给离散周期信号用， DTFT给离散非周期信号用。
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.1.1 离散傅里叶级数
离散傅里叶级数的定义：
X~ (k )

N 1 ~x (n)e
j 2 N
kn
n0
~x (n)
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析
离散傅里叶变换可以用来分析连续时间信号的频谱，其 原理如下：
这种方法存在如下问题： 混叠，泄漏，栅栏效应，分辨率，周期效应。 根据例6（书上63页）说明上面5个问题。
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
clear;close all; f=10;a=4;T=1/(a*f);t=0:T:3; x=sin(2*pi*f*t); subplot(211);plot(t,x);xlabel('t/s');ylabel('x(t)'); N=length(t);n=0:N-1;k=n; W=exp(-j*2*pi/N*k'*n); X=W*conj(x'); subplot(212);stem(k,abs(X),'.');xlabel('k');ylabel('X(k)');
N 1 ~x1 (m) ~x2 (n rL m) RN (n)
m0
r

yL (n rL) RN (n) r
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
yL(n)和yC(n) 的关系

yC (n) yL (n rL) RN (n) r

快速离散傅里叶变换快速离散傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。

它可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而能够更好地理解和处理信号的特性。

本文将从原理、应用以及优势等方面介绍快速离散傅里叶变换。

一、原理快速离散傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种将离散信号转换为频域信号的算法。

它基于傅里叶变换的定义，将信号分解为一系列的正弦和余弦函数。

通过计算信号在不同频率上的振幅，可以得到信号的频谱信息。

快速离散傅里叶变换的原理是利用了信号的对称性和周期性。

通过将信号分解为多个子信号，再对子信号进行傅里叶变换，最后将子信号的频谱合并，就可以得到整个信号的频谱。

这种分而治之的思想使得计算复杂度大大降低，从而实现了快速的计算。

二、应用快速离散傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。

首先，它可以用于信号滤波。

通过将信号转换到频域上，可以选择性地滤除不需要的频率成分，从而实现对信号的去噪或者频率分析。

其次，它可以用于频谱分析。

通过分析信号在不同频率上的能量分布，可以得到信号的频谱图，从而对信号的特性进行分析和识别。

此外，快速离散傅里叶变换还可以应用于图像处理、音频处理等领域。

三、优势相比于传统的傅里叶变换算法，快速离散傅里叶变换具有许多优势。

首先，它的计算速度非常快。

传统的傅里叶变换算法的时间复杂度为O(N^2)，而快速离散傅里叶变换的时间复杂度仅为O(NlogN)，在大规模信号处理中有着明显的优势。

其次，它占用的内存空间较小。

传统的傅里叶变换算法需要存储大量的中间计算结果，而快速离散傅里叶变换只需要存储少量的中间结果，从而节省了内存空间。

此外，快速离散傅里叶变换还具有良好的数值稳定性和数值精度，可以有效地处理各种类型的信号。

快速离散傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。

它通过将信号转换到频域上，可以更好地理解和处理信号的特性。

基于改进对比度的有限离散剪切波图像融合陈清江;张彦博;柴昱洲;魏冰蔗【摘要】为了提高多聚焦图像的融合精度,结合有限离散剪切波变换(FDST)良好的局部化特性及平移不变性,提出了一种基于有限离散剪切波变换与改进对比度相结合的图像融合新算法.对经过严格配准后的多聚焦图像进行FDST分解,得到低频子带系数和不同尺度不同方向的高频子带系数;对低频子带系数采用区域平均能量匹配度自适应融合算法,高频子带系数的选取则根据低频与高频系数关联得到的对比度进行融合;应用有限离散剪切波逆变换重构得到融合图像,并对融合结果进行主观视觉和客观评价.通过仿真实验,算法在主观视觉效果上有着明显的优越性.在不同融合算法比较的融合结果中,熵值、互信息量和边缘相似度分别平均提高了1.4％、34.6％和8.0％,各项客观评价指标优于其他算法.【期刊名称】《应用光学》【年(卷),期】2016(037)002【总页数】8页(P221-228)【关键词】有限离散剪切波;对比度;区域能量;平移不变性;图像融合【作者】陈清江;张彦博;柴昱洲;魏冰蔗【作者单位】西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055;西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055;西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055;西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055【正文语种】中文【中图分类】TN911.73;TP391.4图像融合是将来自多个传感器对同一场景的图像数据，经过相应的融合算法组合成一幅图像的过程，从而有效地将各个源图像的优点结合起来，有利于更好地分析和提取图像信息[1]。

这种技术已广泛应用于医学、机器视觉、遥感等领域。

多尺度融合方法首先将源图像进行分解，得到不同层次不同分量的系数，其次选取合适的融合规则，对各系数进行运算选取，最后将处理后的系数进行逆变换得到重构图像。

因此，一个好的融合方法不仅依赖于变换而且依赖于融合规则，它们直接影响融合后图像的质量。

小波变换[2-3]具有多分辨分析的特点，在时域和频域上都有表征信号局部特征的能力。

基于剪切波的变分图像放大方法王鹏;吴玉莲【摘要】针对图像放大的Chambolle变分模型会出现阶梯效应的现象,文中提出了一种基于Shearlet光滑分解空间的变分模型.利用有界变差空间和Shearlet分解空间的关系,特别是Shearlet分解空间的半范与加权Shearlet系数之间的等价关系,将所求的变分问题转化为基于Shearlet域的变分问题,其解归结于简单的Shearlet阈值.实验仿真表明,该方法放大后的图像有效地消除了阶梯块效应,保持了更多的细节,具有更高的峰值信噪比.【期刊名称】《电子科技》【年(卷),期】2016(029)006【总页数】4页(P146-149)【关键词】图像放大;剪切波;变分模型;分解空间【作者】王鹏;吴玉莲【作者单位】中航工业西安航空计算技术研究所13室,陕西西安710065;西安医学院卫生管理系,陕西西安710021【正文语种】中文【中图分类】TP391.41在图像处理中，最容易实现的图像放大方法是各种插值技术。

常用的图像处理软件都是基于图像插值的方法来对其进行放缩处理，例如最近邻插值、双线性插值以及基于高阶多项式的三次样条插值等。

这些图像插值方法取得了不错的效果, 并且操作简单,但这些方法的本质都是用预先指定的光滑函数来对原图像进行模拟。

因为这种方法具有固定的限制性,不可避免的会带来一些人工虚假信息[1]。

文献[2]给出了变分图像放大算法，得到较为理想的放大效果。

但该算法以有界变差(TV)作为正则约束使放大的图像具有阶梯块效应。

文献[3]利用小波软阈值和Besov空间(Ω)中变分泛函的等价性在小波域对图像进行放大。

众所周知, 小波变换对含点状奇异的目标函数是最优的，但对具有线状奇异的函数而言，小波并不能达到最优的稀疏逼近。

于是，多尺度几何分析应运而生。

典型的代表为曲线波变换(Curvelet Transform) [4]、轮廓波变换(Contourlet)[5]及剪切波变换(Shearlet Transform) [6-8]。

6 X (k ) X * (( N k )) N RN (k )， 若 x(n) imagenary
2016/6/2 大连理工大学 26
• 【满足圆周共轭对称性的序列】
2016/6/2
大连理工大学
27
• 【圆周卷积和性质】
– 若： DFT x1(n) X1(k ), DFT x2 (n) X 2 (k )
* * 2 DFT x (( n )) R ( n ) X (k ) N N 1 * 3 DFTRe x(n) X ep (k ) X (( k )) X (( N k )) N RN ( k ) N 2 1 * 4 DFT jIm x(n) X op (k ) X (( k )) X (( N k )) N RN ( k ) N 2 5 X (k ) X * (( N k )) N RN (k ), 若 x(n) real
( n) 和 a k 分别表示周期性信号和频谱。 –定义新符号： x
–定义矩形序列符号 RN (n) 和
RN (k )
为
1, 0 n N 1 1, 0 k N 1 RN (n) 或 RN (k ) 0, 其它 n 0, 其它 k
( n) 和 a k –有限长序列 x(n) 和 ak 可以认为是周期性序列 x 的一个周期。
谱或系统的频率响应也是数字化的。 –实际应用中的信号总是有限时宽的、且为非周期的。希 望信号频谱也是有限频宽、且非周期的。 –考察前面介绍的4种傅里叶级数或傅里叶变换，没有任
何一种能够满足这种需求。
–因此，发展新的傅里叶变换方法以适应数字信号处理实 际应用的要求称为数字信号处理理论的一个重要任务。 –这就为DFT的发展提供了需求和动力。

离散小波变换公式原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，简称DWT）是一种在信号与图像处理中常用的变换方法。

它是将信号或图像通过一对分析滤波器和合成滤波器进行卷积运算，得到信号或图像的低频分量和高频分量。

(1) 分解（Analysis）:将长度为N的输入信号x(n)通过低通滤波器h(n)和高通滤波器g(n)分别卷积得到低频分量和高频分量：L(k) = Sum(h(i) * x(2*k-i))H(k) = Sum(g(i) * x(2*k-i))其中，L(k)表示k时刻的低频分量，H(k)表示k时刻的高频分量。

(2) 上采样（Upsampling）和滤波（Filtering）:将得到的低频分量和高频分量分别进行上采样（插值）和卷积运算，得到长度为2N的信号：LL(k) = Sum(h(i) * L(2k-i))HL(k) = Sum(g(i) * L(2k-i))L(k)=LL(k)H(k)=HL(k)(3) 递归（Recursion）:重复以上过程，将得到的低频分量和高频分量再次进行分解，直到分解到指定的层数。

这个过程可以用一棵二叉树来表示，每个节点对应一个分解层，汇聚到根节点的路径就是一个信号或图像的分解系数序列。

一、滤波器组的选择离散小波变换通过一对滤波器组来进行分解和合成，低通滤波器h(n)用于提取信号或图像的低频成分，高通滤波器g(n)用于提取信号或图像的高频成分。

滤波器组的选择决定了小波变换的性质。

常用的小波滤波器有Daubechies小波、Haar小波、Symlets小波等。

二、多尺度分析1.小波变换具有良好的时间局部性，能够更好地捕捉信号或图像的短时特征。

2.小波变换不仅能够提取信号或图像的低频成分，还能够提取高频细节信息，可以在对信号或图像进行降噪、压缩等处理时发挥较好的作用。

3.小波变换可以进行多尺度分析，对信号或图像的不同频率特征进行精细化处理。

（5-5）
W e N
j
2 N
的性质:
正交性，周期性，
共轭对称性（偶序列），可约性。
§5．离散傅里叶变换及快速算法
1.离散傅里叶级数
1.2离散傅里叶级的计算
例5-1 求出下面周期序列的DFS
x(n) 0 ,1,2,3, 0 ,1,2,3, 0,1,2,3
n0
为改进嵌套循环计算的效率，将循环结构改为矩阵形式计算
§5．离散傅里叶变换及快速算法
0.概述
离散时间傅里叶变换(DTFT)是通过周期频谱 来描述一个离散信号序列，即DTFT是连续变 量w的连续函数。离散傅里叶变换(DFT)则是 针对有限长序列，是对DTFT采样后得到的离 散序列。 此种表示方法非常有利于数值计算以及数字信 号处理算法的DSP硬件实现。 本章将研究离散傅里叶级数，离散傅里叶变换 (DFT)，及离散傅里叶变换的快速算法FFT。
（5-3）
n0
称之为离散傅里叶级数DFS的系数。是一个基波周期为N的 周期序列。
X (k) X (k N)
§5．离散傅里叶变换及快速算法
W e 在DFS变换中引入复数 N
j
2 N
将DFS正反变换描述为
N 1
X (k) x(n)WNnk
n0
x (n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
x
1 N
WN* X
WN WNkn 0
k,n
N
1
1 1
1
WN1
1
W ( N 1) N
1
W ( N 1) N

X N (k ) X '( z )
z WN k



n
x '(n)WNkn
24
X '( z ) Z [ x '(n)]
X N (k ) X '( z )
xN ( n)

z WN k
x '(n rN )
r
频域抽样序列 的得到的
是原来非周期序列 ′ 基于
j
2
mk
N
~
X (k )
2
j
mk ~
~
mk ~
N
DFS [ x ( n m)] WN X (k ) e
X (k )
Note：时域延迟，频域有线性相移
3、调制性质
~
DFS [WNln x(n)] X (k l )
13
4、周期卷积和（时域）
~
~
~
若 Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )


N 1

1
nk
x ( n) x ( n) R ( n)
X ( k )W N RN ( n)

N



N k 0
x(n),X(k)
代替
( , (
DFT变换对（标准形式）：
2
N 1
N 1
j nk

nk
N
X
(
k
)

DFT
[
x
(
n
)]

x
(
n
)
W
=
x
(
周期为点的周期延拓

DSST算法是一种跟踪算法，全称为“Discriminative Scale Space Tracker”，中文名为“判别式尺度空间跟踪算法”。

该算法是一种基于图像学、信号处理和机器学习等领域的交叉学科技术结合而成的算法。

它可以跟踪包括旋转、尺度变化在内的目标物体，并且对于光照变化和图像噪声等情况也有一定的鲁棒性。

DSST算法的基本思想是：通过构建判别性特征和尺度空间表示来描述图像中的目标，然后使用支持向量机等机器学习技术对目标的状态进行分类，从而实现对目标的跟踪。

该算法与传统尺度空间跟踪算法相比，在尺度变化以及模型更新方面更加快速和准确。

在实际应用中，DSST算法被广泛应用于视频监控、自动驾驶、医学图像处理等领域。

DSST算法的主要步骤如下：1.提取目标的特征表示。

在这一步骤中，首先对目标进行预处理，如去除背景、裁剪等操作，然后提取相应的特征以描述目标。

常用的特征包括HOG（方向梯度直方图）特征和颜色直方图特征等。

2.构建尺度空间表示。

为了应对目标尺寸的变化，需要在一系列不同的尺度下进行跟踪。

在这一步骤中，使用高斯金字塔等技术构建不同尺度下的图像表示。

3.利用支持向量机等机器学习技术分类目标状态。

根据前一帧（或几帧）的跟踪结果和目标特征的变化，利用机器学习算法学习目标的状态变化规律，以便对当前帧的目标进行分类和跟踪。

4.模型更新。

根据当前帧的跟踪结果和目标特征变化情况，对跟踪模型进行更新，以提高跟踪的准确性和可靠性。

需要注意的是，DSST算法的实现需要考虑多方面的因素，如目标的特征选择、尺度空间表示方法、机器学习算法的选择和参数设置等。

因此，需要针对具体的应用场景进行适当的参数调整和算法优化。

5
傅里叶特殊贡献： 傅里叶特殊贡献： • 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦、或 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦、 余弦和的形式。 余弦和的形式。 • 无论函数多复杂，只要是周期的，并满足一定条 无论函数多复杂，只要是周期的， 都可以用正弦、或余弦的和表现。 件，都可以用正弦、或余弦的和表现。甚至曲线 有限的非周期函数。 有限的非周期函数。
n=0 n=0
=
1− e
− j k ⋅4 4 −j k 4 −j k 2 −j k 8
π
1− e =
π
1 − e − jπ k 1− e
−j k 4
π
π
=
e e
(e (e
j k 2 j k 8
π
−e −e
−j k 2 −j k 8
π
) )
π
π
π
=e
3 − j πk 8
sin sin
π π
2
19
k k
傅里叶（ 法国数学家） 傅里叶（J.B.J.Fourier法国数学家）被世人铭记 法国数学家 的最大贡献记载在1807年《热的传播》中，和1822年 的最大贡献记载在 年 热的传播》 年 出版的“热分析理论”一书中。 出版的“热分析理论”一书中。
3
Fourier
• 1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成 年 就推断一振动的弦可以表示成 正弦加权和的形式， 正弦加权和的形式，但是他未能给出所需的加权 系数。 系数。 • Jean-Baptiste-Joseph Fourier于1768年3月出生在 于 年 月出生在 法国的Auxerre，当他 岁时不幸成了一名孤儿， 岁时不幸成了一名孤儿， 法国的 ，当他8岁时不幸成了一名孤儿 Fourier对数学产生了浓厚的兴趣。 对数学产生了浓厚的兴趣。 对数学产生了浓厚的兴趣 • 21岁那年，Fourier在巴黎学术界论述了有关数值 岁那年， 岁那年 在巴黎学术界论述了有关数值 方程解的著名论作， 方程解的著名论作，这一工作使他在巴黎的数学 界出名。 界出名。

282第10章 离散小波变换的多分辨率分析在上一章，我们给出了连续小波变换的定义与性质，给出了在),(b a 平面上离散栅格上小波变换的定义及与其有关的标架问题。

在这两种情况下，时间t 仍是连续的。

在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研究b a ,及t 都是离散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。

由Mallat 和Meyer 自80年代末期所创立的“多分辨率分析”技术[87,88,8]在这方面起到了关键的作用。

该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法[34,33]结合起来，构成了小波分析的重要工具。

本章将详细讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。

10.1多分辨率分析的引入10.1.1信号的分解近似现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。

给定一个连续信号)(t x ，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。

如图10.1.1(a)所示，令⎩⎨⎧=01)(t φ其它10<≤t (10.1.1)显然，)(t φ的整数位移相互之间是正交的，即)()(),(k k k t k t '-=〉'--〈δφφ Z k k ∈', (10.1.2) 这样，由)(t φ的整数位移)(k t -φ就构成了一组正交基。

设空间0V 由这一组正交基所构成，这样，)(t x 在空间0V 中的投影（记作)(0t x P ）可表为： )()()()()(,t k a k t k at x P k 0k0k0φφ∑∑=-=(10.1.3)式中)()(,0k t t k -=φφ,)(k a 0是基)(,0t k φ的权函数。

)(0t x P 如图10.1.1(b)所示，它可以看作283是)(t x 在0V 中的近似。

)(k a 0是离散序列，如图10.1.1(c)所示。

令)()(/,k t 22t j 2j k j -=--φφ (10.1.4)是由)(t φ作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，对图10.1.1(a)的)(t φ，)(,t k j φ和)(,t k j 'φ是正交的。

离散可分离剪切波变换及其数值计算1、离散可分离剪切波变换DSSTWang-Q Lim在2010年提出了离散可分离剪切波变换（Discrete Separable Shearlet Transform，DSST），其中一个主要特征就是可以选择可分离的尺度函数及剪切波生成函数（），即函数可表示为，，下面将在水平锥上构造可分离剪切波生成函数以及与之相关的尺度函数，垂直锥同理。

令是一维紧支撑尺度函数，并选择某个相适的滤波器（所需条件将在后面讨论）使其满足：（1）如果与之相关的一维紧支撑小波函数，可用相适的滤波器表示为：（2）那么，此剪切波生成函数可表示为（3）尺度函数可表示为（4）对于固定的J > 0，假设函数可表示为（5）这是一个数字实现的常规假设，尺度系数可被看做的抽样值，事实上，通过选择合适的可使。

由上面的讨论，可知剪切波系数可通过下式计算（6）若不为整数，则需选取。

式（6）显示了剪切波系数的离散化方法：首先应用与各向异性抽样矩阵相关联的离散可分离小波变换计算。

与式（5）定义的假设形式相比，要求包含在以下尺度空间中由上式很容易看出，如果剪切系数为非整数，则剪切矩阵不能将规则网格保留在VJ中，即为了解决这个问题，定义一个新的尺度空间可以看出由仿射规则网格沿着水平方向以为因子，可得到尺度空间。

基于这种改变，新网格在剪切算子下是不变的，由于其中，Q=diag（2,1）。

因此，对于式（6）中的表示我们有如下引理。

引理1 保留本部分的符号和定义。

令表示以为因子的一维上采样算子，表示沿水平方向的一维卷积算子，是三角多项式的傅里叶系数（7）可得其中，此引理的证明需要以下结论，它来自小波理论的级联算法命题1 假定和分别满足等式(3)和(4)，对正整数，有（8）和（9）其中，和分别是三角多项式和的傅里叶系数，的定义如式（7）所示。

对固定的j>0，的定义为引理1的证明：令，将其带入式（8），有（10）由于是一个二维可分离函数，即，因此有由式（10）可得其中，Q=diag（2,1）。

w nk N
又如
w
N N
/
2
1,
因此
w(kN / 2) N
wNk
利用这些周期性和对称性，使DFT运算中有些项可合并；
2）利用
w
nk N
的周期性和对称性，把长度为N点的大点数的DFT
运算依次分解为若干个小点数的DFT。因为DFT的计算量正比于N2，
N小，计算量也就小。
FFT算法正是基于这样的基本思想发展起来的。它有多种形式，
n0
N / 21
X (2r 1) [x(n) x(n N / 2)]WNn(2r1)
n0
N / 21
[x(n) (n)=x(n)+x(n+N/2) b(n)=[x(n)-x(n+N/2]wnN
这两个序列都是N/2点的序列，将其代入上两式，得
结果仍然储存在同一组存储器中，直到最后 输出，中间无需其它存储器，这叫原位计算 。 每一级运算均可在原位进行，这种原位运算 结构可节省存储单元，降低设备成本，还可 节省寻址的时间。
21
（3）序数重排
对按时间抽取FFT的原位运算结构，当运算完毕
时，正好顺序存放着 X（0），X（1），X（2），
…，X（7），因此可直接按顺序输出，但这种原
但基本上可分为两类：时间抽取法和频率抽取法。
6
2、按时间抽取的FFT（N点DFT运算的分解） 先从一个特殊情况开始，假定N是2的整数次方，
N=2M，M：正整数
首先将序列x（n）分解为两组，一组为偶数项，一组为奇数 项，
x(2r) x1(r) x(2r 1) x2 (r
)
r 0,1,, N/2-1
位运算的输入 x（n）却不能按这种自然顺序存入

基于离散小波变换的fmri数据特征提取
离散小波变换（DWT）是一种用于信号分析的数学工具，可以将信号分解成不同频带的子信号，并提取出频域信息。

在fmri数据分析中，DWT可以用于特征提取，以识别患者脑区活动的模式。

基于DWT的fmri数据特征提取流程包括以下步骤：
1. 将fmri数据进行预处理，包括去除头骨和其他干扰信号。

2. 将预处理后的fmri数据进行时间序列分析，获得不同时间点的信号。

3. 对每个时间点的信号进行小波分解，得到多个子信号。

4. 通过对子信号的能量分布进行统计学分析，提取出与脑区活动相关的频带，确定需要保留的小波系数。

5. 将选定的小波系数组合起来，以得到代表fmri信号特征的向量。

6. 对提取出的向量进行分类，以确定对脑区活动具有诊断和预测价值的特征。

通过将DWT应用于fmri数据分析，可以提取出与患者脑部活动相关的特征，从而实现对神经精神疾病的诊断和治疗的支持。

(2) 循环移位 有限长序列x(n)的循环移位定义为：
习惯上：记 WN e j2 / N ，
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换
IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷 长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期 内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所 以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有 用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
W N
DFT特性：
以下讨论DFT的一些主要特性，这些特性都与周期序列 的DFS有关。
假定x(n)与y(n)是长度为N的有限长序列，其各自的离 散傅里叶变换分别为：
X(k)=DFT[x(n)] Y(k)=DFT[y(n)]
(1) 线性 DFT[ax(n)+by(n)]=aX(k)+bY(k) ,a,b为任意常数
im
wmk N
N
1
~x (i)wNki
wmk N
X~
(k
)
i0
由于 ~x (n) 与 X~(k ) 对称的特点，同样可证明
IDFS X~(k l) wNnl ~x(n)
3）共轭对称性
对于复序列 ~x n其共轭序列 ~x *n 满足
DFS ~x * n X~ * k
证:
DFS ~x * n N1 ~x * (n)WNnk
有限长序列隐含着周期性。