河北省保定市容城中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)
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河北省保定市容城中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）
一.选择题（每小题5分，共12个小题）
1．用三段论推理：“指数函数y=ax是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）
A． 大前提错误 B． 小前提错误 C． 推理形式错误 D．是正确的
2．若f′（x0）=﹣3，则（）
A． ﹣3 B． ﹣6 C． ﹣9 D．﹣12
3．定积分（2x+ex）dx的值为（）
A． e+2 B． e+1 C． e D．e﹣1
4．函数的最大值为（）
A． e﹣1 B． e C． e2 D．
5．数列2，5，11，20，x，47，…中的x值为（）
A． 28 B． 32 C． 33 D．27
6．直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）
A． 2 B． 4 C． 2 D．4
7．曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）
A． 2e B． e C． 2 D．1
8．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）
A． 0 B． 1 C． 2 D．3
9．已知f（x）=x3﹣3x2+2x+a，若f（x）在R上的极值点分别为m，n，则m+n的值为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D．6
10．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个
11．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=（）
A． B．
C． D．
12．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）
A． f（0）+f（2）＜2f（1） B． f（0）+f（2）≤2f（1） C． f（0）+f（2）≥2f（1） D． f（0）+f（2）＞2f（1）
二、填空题.（本题共4个小题，每小题5分，满分20分）
13．∫sin2dx=．
14．若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．
15．f（n）=1+++…+（n∈N*），计算可得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，推测当n≥2时，有．
16．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．
三、解答题：
17．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
18．已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y的极小值．
19．已知：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．
20．设函数f（x）=2lnx﹣x2．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0在区间内恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．
21．已知函数f（x）=﹣1．
（1）求函数f（x）在点（1，﹣ ）处的切线方程；
（2）若直线y=m与f（x）的图象有三个不同的交点，求m的范围．
22．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围．
河北省保定市容城中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）
一.选择题（每小题5分，共12个小题）
1．用三段论推理：“指数函数y=ax是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）
A． 大前提错误 B． 小前提错误 C． 推理形式错误 D．是正确的
考点： 演绎推理的基本方法．
专题： 综合题；推理和证明．
分析： 指数函数y=ax（a＞0且a≠1）是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，即大前提是错误的．
解答： 解：指数函数y=ax（a＞0且a≠1）是R上的增函数，
这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，
大前提是错误的，
∴得到的结论是错误的，
∴在以上三段论推理中，大前提错误．
故选A．
点评： 本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．
2．若f′（x0）=﹣3，则（）
A． ﹣3 B． ﹣6 C． ﹣9 D． ﹣12
考点： 极限及其运算．
专题： 计算题．
分析： 先把等价转化为=4f′（x0），从而导出其最终结果．
解答： 解：
=
=4f′（x0）
=﹣12．
故选D．
点评： 本题考查极限的性质和应用，解题时要合理地进行等价转化．
3．定积分（2x+ex）dx的值为（）
A． e+2 B． e+1 C． e D．e﹣1
考点： 定积分．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 根据微积分基本定理计算即可． 解答： 解：（2x+ex）dx=（x2+ex）=（1+e）﹣（0+e0）=e．
故选：C．
点评： 本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．
4．函数的最大值为（）
A． e﹣1 B． e C． e2 D．
考点： 函数在某点取得极值的条件．
专题： 计算题．
分析： 先找出导数值等于0的点，再确定在此点的左侧及右侧导数值的符号，确定此点是函数的极大值点还是极小值点，
从而求出极值．
解答： 解：令，
当x＞e时，y′＜0；
当x＜e时，y′＞0，，
在定义域内只有一个极值，
所以，
故答案选 A．
点评： 本题考查求函数极值的方法及函数在某个点取得极值的条件．
5．数列2，5，11，20，x，47，…中的x值为（）
A． 28 B． 32 C． 33 D．27
考点： 数列的概念及简单表示法．
专题： 计算题．
分析： 根据所给数列中相邻两项的差的规律性，即从第二项起，每一项与前一项的差依次是3的倍数，再进行求解．
解答： 解：由题意知，数列2，5，11，20，x，47，
∴5﹣2=3，11﹣5=6，20﹣11=9，
则x﹣20=12，解得x=32，
故选B．
点评： 本题考查了数列的概念的应用，即需要找出数列各项之间的特定关系，考查了分析问题和解决问题的能力．
6．直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）
A． 2 B． 4 C． 2 D．4
考点： 定积分．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
解答： 解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，
曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，
而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，
∴曲边梯形的面积是4，
故选：D．
点评： 考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．
7．曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）
A． 2e B． e C． 2 D．1
考点： 导数的几何意义．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
解答： 解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，
当x=1时，f′（1）=2，
即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，
故选：C．
点评： 本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．
8．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）
A． 0 B． 1 C． 2 D．3
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算． 解答： 解：，
∴y′（0）=a﹣1=2，
∴a=3．
故答案选D．
点评： 本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在2015届高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在2015届高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．
9．已知f（x）=x3﹣3x2+2x+a，若f（x）在R上的极值点分别为m，n，则m+n的值为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D．6
考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 导数的综合应用．
分析： 根据题意，可知m，n为f′（x）=0的两个根，利用韦达定理即可求得m+n的值．
解答： 解：∵f（x）=x3﹣3x2+2x+a，
∴f′（x）=3x2﹣6x+2，
∵f（x）在R上的极值点分别为m，n，
则m，n为f′（x）=0的两个根，
根据韦达定理可得，m+n==2，
∴m+n的值为2．
故选：A．
点评： 本题考查了利用导数研究函数的极值，解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根，而导函数对应方程的根不一定是极值点．将极值点问题可以转化为f′（x）=0的根的问题进行处理．属于中档题．
10．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个
考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点．从而问题得解．
解答： 解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，
只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，
故函数只有1个极小值点，
