江西省鄱阳县第一中学2021届高三暑期摸底考试 数学(文科)试卷
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高中数学资料共享群284110736，每天都有更新！ 2021届高三暑期摸底考试
(文科)数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．已知函数()lg(1)fxx的定义域为M，函数1()gxx的定义域为N，则MN（ ）
A．1xx B．{1xx且0}x C．{1}xx D．{1xx且0}x
2．若复数2(1izii是虚数单位），则z的共轭复数z（ ）
A．1i B．1i C．1i D．1i
3．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似值，首创“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的n值为（ ）（参考数据：7.50.1305,150.2588sinsin）
A．6 B．12 C．24 D．48
4．已知变量,xy满足约束条件2,4,1,yxyxy 则3zxy的最小值为( )
A．11 B．12 C．8 D．3
5．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P34,55，则sin()（ ）
A．45 B．45 C．35 D．35 关注公众号《品数学》，每天都有干货！
高中数学资料共享群284110736，每天都有更新！ 6．m、n是两条不同的直线，是平面，n，则//m是mn的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
A． B． C． D．
8．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
9．设0.30.6a，0.60.3b，0.30.3c，则,,abc的大小关系为（ ）
A．bac＜＜ B．acb＜＜ C．bca D．cba＜＜
10．等比数列{}na的各项均为正数，且564718aaaa，则3132310logloglogaaa（ ）
A．12 B．10 C．8 D．32log5
11．已知抛物线24,yx上一点P到准线的距离为1d，到直线l:43110xy为2d，则12dd的最小值为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．7
12．定义1niinu为n个正数123,,,nuuuu的“快乐数”.若已知正项数列na的前n项的“快乐数”为131n，则数列136(2)(2)nnaa的前2019项和为（ ） 关注公众号《品数学》，每天都有干货！
高中数学资料共享群284110736，每天都有更新！ A．20182019 B．20192020 C．20192018 D．20191010
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知向量1,am，3,2b，且abb，则m ________.
14．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．
15．数式11111中省略号“···”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则11tt，则210tt，取正值得512t.用类似方法可得1212__________.
16．圆心在直线y＝－2x上，并且经过点2,1A，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______.
三、解答题（17－21题12分）
17．ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2coscoscosbBaCcA.
（1）求B的大小；
（2）若2b，求ABC面积的最大值.
18．2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如下表：
年份t 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
贫困发生率%y 10.2 8.5 7.2 5.7 4.5 3.1 1.4
（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；
（2）设年份代码2015xt，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率y与年份代码x的相关情况，并预测2019年贫困发生率. 关注公众号《品数学》，每天都有干货！
高中数学资料共享群284110736，每天都有更新！ 附：回归直线ˆˆˆybxa的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1122211
,ˆˆˆnniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx(ˆb的值保留到小数点后三位）
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠DAB=60°.
(1)证明：AD⊥PB.
(2)若PB=6，AB=PA=2，求三棱锥P-BCD的体积．
20．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为1(3,0)F，且C经过点1(3,)2P.
（1）求C的方程；
（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：ykxm与C交于A、B两点（l不经过D点），且ADBD.证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标.
21．设函数21xfxexax.
(1)若0a，求fx的单调区间；
(2)若当0x时()0fx恒成立，求a的取值范围．
四、选做题二选一（10分）
22．已知直线l的参数方程为1322(12xttyt为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点1(,0)2P，直线l与曲线C交于,AB两点，求PAPB的值.
23．设函数()15,fxxxxR.
（1）求不等式()10fx的解集；
（2）如果关于x的不等式2()(7)fxax在R上恒成立，求实数a的取值范围.
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高中数学资料共享群284110736，每天都有更新！ 文科数学参考答案
1-6 DDCCAA 7-12 DBCBAB
13．8 14．60 15．4 16．22122xy+
17．（1）3；（2）3.
【详解】
（1）由正弦定理得：2sincossincossincossinBBACCAAC
ABC sinsinACB，又0,B sin0B
2cos1B，即1cos2B
由0,B得：3B
（2）由余弦定理2222cosbacacB得：224acac
又222acac（当且仅当ac时取等号） 2242acacacacac
即max4ac
三角形面积S的最大值为：14sin32B
18．【详解】
（1）由数据表可知，贫困发生率低于5%的年份有3个
从7个贫困发生率中任选两个共有：2721C种情况
选中的两个贫困发生率低于5%的情况共有：233C种情况
所求概率为：31217p
（2）由题意得：321012307x；
10.28.57.25.74.53.11.45.85y；
71310.228.57.204.523.131.439.9iiixy；
721941014928iix
39.9ˆ1.42528b，ˆ5.8a 线性回归直线为：ˆ1.4255.8yx
1.4250 2012年至2018年贫困发生率逐年下降，平均每年下降1.425% 关注公众号《品数学》，每天都有干货！
高中数学资料共享群284110736，每天都有更新！ 当201920154x时，1.42545.80.1y
2019年的贫困发生率预计为0.1%
19．
【详解】
(1)证明:取AD的中点O，连接P0，BO，BD，
∵底面ABCD是等边三角形
∴BO⊥AD，
又∵PA=PD，即ΔPAD等腰三角形，
∴PO⊥AD，
又∵POBO=0.
∴AD⊥平面PBO，
又∵PB平面PBO.
∴AD⊥PB；
(2)解:AB=PA=2
∴由（1）知ΔPAD是边长为2的正三角形，则PO=3.
又∵PB=6，
∴PO2+BO2=PB2，即PO⊥BO，
又由(1)知，PO⊥AD.且BOAD=O.
∴PO⊥平面ABCD.
∴2113231334PBCDBCDVSPO
∴三棱锥P-BCD的体积为1.
20．（1）2214xy；（2）直线l经过定点3(0,)5.
【详解】
（1）由题意，设椭圆C：22221(0)xyabab，焦距为2c，
则3c，椭圆的另一个焦点为23,0F，
由椭圆定义得12712422aPFPF，2a，221bac，
所以C的方程2214xy.
（2）由已知得0,1D，由2214ykxmxy得222148440kxkmxm，
