关于矢量点积叉积分配律的证明
摘要:数学中很多基本定理看似显而易见,但证明起来往往并不简单,特别是在教学中,更应以严谨清晰的逻辑加以推导。矢量点积/叉积的分配率就是这样的问题,在证明过程中应避免分配率的隐含运用,本文从矢量点积/叉积的基本定义出发,结合几何关系,对矢量点积/叉积的分配率进行了证明,旨在通过对矢量点积/叉积分配律的探究,加深认识,开拓分析思路。
关键词:矢量点积叉积分配律
1 现行的讲解方法
在现行的大多数教材中,对矢量点积和叉积的分配率即
和都是直接给出的,没有具体的证明。而证明过程需注意避免隐含的运用分配率,如采用解析方法,将任意矢量表示为三个坐标方向的分量和,即
则相应的
上述推导已经隐含的默认矢量点积的分配率成立,并加以运用,这是不严谨的。故本文从矢量点积/叉积的基本定义出发,结合几何关系,给出了矢量点积/叉积分配率的一般性证明。
不失一般性,设矢量,其中A为矢量的模量,为矢量方向的单位矢量;矢量,其中表示矢量垂直于矢量的分量;根据矢量点积的基本定义,有(1)
另一方面
,(2)
综合式(1)和式(2),有 (3)
式(3)在实质上就是矢量点积的分配律,同理可证,这里不再赘述。
3 矢量叉积分配律的一般性证明
下面采用相同的方式,证明矢量叉积分配律。
首先,与前一节相同,设矢量,矢量,则根据矢量叉积的基本定义,有(4)
其中,表示矢量方向的单位矢量。
而,(5)
综合式(4)和式(5),有
(6)
式(6)从矢量叉积的基本定义出发,说明了矢量“多项式乘法”的合理性基础,从而证明了矢量叉积分配率。
更为一般化,引入任意矢量
,这里垂直于矢量,但不一定与同一方向。与上同理,
显然,上式中和分别为平行和垂直于的矢量,参照式(6)有(7)
同理,参照式(6)可知,
所以,
(8)
至此,综合式(7)和式(8),如要证明,需证明
(9) 如图1所示,由上述分析可知,矢量垂直于矢量和所在平面,设后两者夹角为,,
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矢量分析与场论
第一章 矢量分析
一 内容概要
1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数tA，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数yx,A或者zyx,,A，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢t'A的几何意义，即t'A是位于tA的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t值的点处，且恒指向t值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s，即矢性函数成为sAA，则dsdsAA'不仅是一个恒指向s增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量tA保持定长的充分必要条件是tA与其导矢t'A互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数jietttsincos为单位矢量，故有tt'ee，此外又由于tt1'ee，故tt1ee。（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为： dtdt''ABBABA
dtdt''ABBABA
前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。
6 在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量构成一一对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。
矢量分析与场论
矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析
在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数
与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念
定义1.1.1 设有数性变量t和变矢A，如果对于t在某个范围D内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则称A为数性变量t的矢量函数，记作
A=A)(t （1.1.1）
并称D为矢函数A的定义域。
在Oxyz直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成
A)(),(),()(tAtAtAtzyx （1.1.2）
其中)(),(),(tAtAtAzyx都是变量t的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A)(t的起点取在坐标原点。这样当t变化时，A)(t的终点M就描绘出一条曲线l（图1.1），这样的曲线称为矢函数A)(t的矢端曲线，也称为矢函数A)(t的图形。同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。愿点O也称为矢端曲线的极。
