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（3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数 量场也随之确定，最多相差一个任意常数
数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。
G
n
ˆ l
u l c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度
图
三维高度场的梯度
图
电位场的梯度
§3 矢量场的通量与散度
§4 矢量场的环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场的环量
定义：①线矢量l: 矢量场A中的 一条封闭的有向曲线 ②环量Г ：（图2）
z A P dl
A dl
l
A cos dl
l
l
性质：① Г是标量 ② Г≠ 0，l 内有旋涡源 ③ Г=0，l 内无旋涡源
O x
y
图2 矢量场的环量(P56)
u 0 , 沿l 增加 l u 0 , 沿l降低 l
G
u l c2 c1
n
ˆ l
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度的性质
（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在 该方向的投影。 （2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等 值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面 的法向有两个）
则可引进梯度概念。 梯度：（场在某点的梯度为一矢量）它的大小等 于所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值 的方向。 梯度 (Gradient)
u u u gradu i j k u x y z
u ˆ gradu cos( gradu, l ˆ) gradu l l
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发 散的强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通量
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的负源；
当div A 0，表示该点为无源场。
散度(Divergence)的表达式 定理 设矢量场A(x, y, z )
重 点
则 A ( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
是场在该矢量方向上旋转性的强弱。
6
利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋
转的强度)，我们可以用向量的形式重写 Stokes公式。
例3 设 r
x 2 y 2 z 2 为点M ( x, y, z )处的矢径r的模， r 试证： gradr r r 2 3 u xy yz 在点M (2, 1,1)处的梯度 例4 求数量场
及在矢量l 2i 2 j k 方向的方向导数。
3、梯度
由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点 沿某一确定方向取得 u( M ) 在该点的最大方向导数，
P l
图4 旋度及其投影
SP
lim
A dl
l
S
rot n A
旋度(Rotation or Curl)
定义 向量场 A ( x, y,z )的旋度定义为
i rot A A x P j y Q k z R
R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k y z z x x y 简单地说,旋度是个矢量，它的物理意义
以温度场为例：
等温面
热源
可以看出：数量场的函数是单值函数，各等值面 是互不相交的。
直观描述矢量在场中的分布情况。 矢量场的矢量线： 矢量线上每一点处曲线与对应于该点的矢量相切。
M
A l
x
z y
o
r
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上的每一点M处， 场的矢量都位于该点处的 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场的磁力线、流速场中的流线等。
表示流入和流出 闭合曲面的矢量 线相等或没有矢 量线流入、流出 闭合曲面
（Ⅲ）
0
若S 为闭合曲面，可根据净通量 f 大小判断闭合面中源的性质:
S
A d S 的
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭 合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系
性质：l围成的面元法矢量 旋涡面的方向
重合，最大 夹角，中间值 垂直， 0
R
旋度矢量 矢量R ①在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密 度 ②方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密 度的值
⑵ 旋度的定义 定义：固定矢量R为矢量A的旋度，记作 ：rot A=R
rotA 旋涡面
n
旋度矢量R在n方向的投影:
§1 场的概念（Field）
一、场的概念
场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数。
标量场——空间各点仅有确定大小的物理量 （如温度场、密度场、气压场和电位场） ； 矢量场——空间各点同时有大小和方向的物理量 （如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场） 。 静态场——仅由空间位置确定，不随时间变化的场 （如静电场和静磁场） ； 时变场（动态场）——同时随空间位置和时间变化 的场（如时变电磁场） 。 （如速度场、加速度场、重力场、电场和磁场）
2. 矢量线连续分布，一般互不相交。
A (r ) M dr
l
r
• 矢量线的微分方程：
•O
M点位置
r x i y j zk
矢量线l 微分 dl dr dx i dy j dzk 场矢量
A Ax i Ay j Az k
矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 dx, dy, dz 成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程
1、通量
一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量 场 v 方向通过 ds的流量是dQ，而dQ是以ds为底，以 v cosθ为高的斜柱体的体积，即
dQ v cos ds v ds 称为矢量 v 通过面元 ds 的通量。
对于有向曲面s，总可以
ˆ n
将s分成许多足够小的面元ds ，
于是
dx dy dz Ax Ay Az
例2 求矢量场 A xzi yz j ( x 2 y 2 )k 通过点M (2, 1,1) 的矢量线方程。 在场矢量 A 不为零的条件下，由线性微分方程组的 理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场 中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的 点的两条矢量线没有公共点。
u u u G i j k gradu x y z
ˆ cos i cos j cos k l
u ˆ G cos(G , l ˆ) Gl l u ˆ 与 G 方向一致时, 为最大。 ˆ ) 0 ,即 l 当 (G, l l
θ
v
ds
通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和
f v ds
s
对于闭合曲面s，通量f为
f
定义 向量场
v ds
s
A沿选定方向的曲面S的面积分
称为
S ( 定侧 )
A dS
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy
A 向曲面指定一侧穿过曲面S的通量。
例题
，称之为数量场 u( M ) 在
u u u u cos cos cos l x y z ˆ (cos ,cos ,cos ) l
例题
例1 求函数 u
x y z 在点M (1,0,1)处沿
2 2 2
l i 2 j 2k 方向的方向导数。
2、散度
设封闭曲面s所包围的体积为 V，则 A ds
s
V 就是矢量场 A( M )在 V 中单位体积的平均通量，或者 平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积 V 向
其内某点 M 收缩时，若平均发散量的极限值存在，
便记作
divA lim V 0
A ds
s
V
称为矢量场 A( M ) 在该点的散度(div是divergence的缩写)
的一点。
M
M0
l
l
l 为M0和M之间的距离，从M0沿 l 到M的增量为
u u( M ) u( M0 )
若下列极限
u( M ) u( M 0 ) u lim lim l 0 l l 0 l
u 存在，则该极限值记作 l
M0处沿 l 的方向导数。
M0
注
1. 场的特点：
①分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器
进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况； ②具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。 2.场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.
3、描述方法
①函数表示法：借助一定坐标系下的函数来表示 场的分布。对矢量场，用 A( x , y , z ) ；数量场 常用 u( x , y , z ) 表述。
直观表示数量u在场中的分布。 数量场的等值面（线）： 是由场中使u取相同数值的点所组成的曲面。 其方程为
u ( x, y ) c
u( x, y, z ) c(c为常数)
（c值不同对应不同等值面）
c1
c2
c3
等值线
等值面
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
等值面举例
环量的表达式
定义 向量场
A 沿空间有向闭曲线 l 的
线积分 称为
A dl
l
Pdx Qdy Rdz
l
A 沿闭曲线l的环量。
