上海市七宝中学高一数学上学期期末模拟试题(A卷)沪教版

2022-2023学年上海市高一上期末考试数学模拟试卷一．填空题（共12小题）1．（2021•金山区二模）已知集合{1A =，2，3，4}，集合{2B =，3，}m ，若{2A B = ，3，4}，则m =．2．（2021春•萨尔图区校级期末）已知()f x 的定义域为[3-，3]，则2(1)f x -的定义域为．3．（2020秋•嘉定区期末）对于正数a 可以用有理数指数幂的形式表示为．4．（2020秋•虹口区校级期中）若α、β是一元二次方程2410x x ++=的两个实数根，则11αβ+=．5．已知对数函数2(1)()(1)log m f x m m x +=--，则(27)f =．6．（2021•菏泽一模）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(0)1f =，()(1)g x f x =-是奇函数，则(2021)f =，411()n i f i -==∑．7．（2019秋•黄浦区校级期末）正实数x ，y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为．8．（2014•安庆二模）已知函数1()||2f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为．9．（2021秋•浦东新区校级期中）不等式7|1|5x x +<-的解集为．10．（2020秋•长宁区期末）函数y =的定义域为．11．（2020秋•河南期末）若函数()||1x f x e a =--有两个零点，则实数a 的取值范围是．12．（2021春•钦州期末）设1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 是2、3、4、5、6、7的一个排列，则123456a a a a a a +的最小值为．二．选择题（共4小题）13．（2020秋•石家庄期末）下列函数中与函数y =()A ．4log y x=B ．2xy =C ．1y x=D ．221y x x =-+14．（2020+<()A >B +C ．假设D ．假设+<15．（2019秋•罗湖区期末）若3log 14a<，则实数a 的取值范围是()A ．304a <<B ．304a <<或1a >C ．314a <<D ．314a <<或1a >16．（2021•济南一模）设集合1{|0}x A x x-=<，{|10}B x x =+>，则“x A ∈”是“x B ∈”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件三．解答题（共5小题）17．（2019秋•溧阳市期中）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x = ，函数1()()(20)2x g x x =-<<的值域为集合B ．（1）求A B ；（2）已知[1C a =-，72]a -，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．18．（2020秋•南昌期末）已知2a ≠，函数111()()1222ax f x lg x x +=-<<+是奇函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论()f x 的单调性；19．（2021春•岳阳期末）某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310()500xa -万元(0)a >，A 项目余下的工人每人每年创造利润提高0.2%x ．（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的50%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围．20．（2020秋•宣城期末）已知二次函数2()4g x x x a =-+在[1，2]上的最小值为0，设()()g x f x x=．（1）求a 的值；（2）当[3x ∈，9]时，求函数3(log )f x 的值域；（3）若函数()(|21|)(|21|)3(|21|)2x x x h x f k k =-⋅---+有三个零点，求实数k 的取值范围．21．（2020秋•九江期末）已知函数2()()1f x lgx lgx =--．（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求此时x 的值；（Ⅱ）若a ，b 分别是()f x 的两个零点，求log log a b b a +的值．2022-2023学年上海市高一上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．填空题（共12小题）1．（2021•金山区二模）已知集合{1A =，2，3，4}，集合{2B =，3，}m ，若{2A B = ，3，4}，则m =4．【答案】4．【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】根据交集的定义及运算即可得出m 的值．【解答】解：{1A =，2，3，4}，{2B =，3，}m ，{2A B = ，3，4}，4m ∴=．故答案为：4．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（2021春•萨尔图区校级期末）已知()f x 的定义域为[3-，3]，则2(1)f x -的定义域为[2-，2]．【考点】33：函数的定义域及其求法【专题】11：计算题；33：函数思想；4A ：数学模型法；51：函数的性质及应用【分析】直接由21x -在函数()f x 的定义域范围内求得x 的范围得答案．【解答】解：()f x 的定义域为[3-，3]，∴由2313x --，得224x - ，即22x - ．2(1)f x ∴-的定义域为[2-，2]．故答案为：[2-，2]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．3．（2020秋•嘉定区期末）对于正数a 可以用有理数指数幂的形式表示为78a．【答案】78a ．【考点】有理数指数幂及根式【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【解答】解：原式7111311317182222224242(())(())()()a a a a a a a a a =⋅==⋅==．故答案为：78a ．【点评】本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．4．（2020秋•虹口区校级期中）若α、β是一元二次方程2410x x ++=的两个实数根，则11αβ+=4-．【考点】&R ：根与系数的关系【专题】4O ：定义法；36：整体思想；51：函数的性质及应用；65：数学运算【分析】由根与系数的关系可得答案【解答】解：由根与系数的关系可得：4αβ+=-，1αβ=，所以114αβαβαβ++==-故答案为：4-．【点评】本题主要考查根与系数的关系，属于基础题．5．已知对数函数2(1)()(1)log m f x m m x +=--，则(27)f =3．【考点】3T ：函数的值；4N ：对数函数的图象与性质；4O ：对数函数的单调性与特殊点【专题】51：函数的性质及应用【分析】利用对数函数的解析式，求出m ，然后求解函数值即可．【解答】解：对数函数2(1)()(1)log m f x m m x +=--，可知211m m --=，解得2m =或1m =-，当1m =-时，10m +=，不满足对数函数的定义，舍去．对数函数3()log f x x =，3(27)log 273f ==．故答案为：3．【点评】本题考查对数函数的定义、解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．6．（2021•菏泽一模）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(0)1f =，()(1)g x f x =-是奇函数，则(2021)f =0，411()n i f i -==∑．【答案】0，1-．【考点】函数奇偶性的性质与判断；抽象函数及其应用【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】对于第一空：根据题意，分析可得()f x 的图象关于点(1,0)-对称，结合()f x 为偶函数可得()(2)f x f x =--，变形可得(4)(2)()f x f x f x -=--=，即()f x 是周期为4的周期函数，由此可得第一空答案，对于第二空：由()(2)f x f x =--，利用特殊值法可得f （1）f +（3）0=，f （2）f +（4）0=，即可得[f （1）f +（2）f +（3）f +（4）]0=，据此可得411()[n i f i n f -==⨯∑（1）f+（2）f +（3）f +（4）](4)f n -，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】解：根据题意，()(1)g x f x =-是奇函数，则()f x 的图象关于点(1,0)-对称，则有()(2)f x f x -=--+，且f （1）0=，又由()f x 是定义在R 上的偶函数，即()()f x f x -=，则有()(2)f x f x =--，变形可得(4)(2)()f x f x f x -=--=，即()f x 是周期为4的周期函数，(2021)(14505)f f f =+⨯=（1）0=，又由()(2)f x f x =--，即()(2)0f x f x +-=，则有f （1）f +（3）0=，f （2）f +（4）0=，故[f （1）f +（2）f +（3）f +（4）]0=，则411()[n i f i n f -==⨯∑（1）f +（2）f +（3）f +（4）](4)0(0)1f n f -=-=-，故答案为：0，1-．【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、周期性的分析，属于基础题．7．（2019秋•黄浦区校级期末）正实数x ，y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为9．【考点】7F ：基本不等式及其应用【专题】36：整体思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用；62：逻辑推理【分析】利用“乘1法”求解即可．【解答】解：212122()(2)559y x x y x y x y x y+=++=+++ ，当且仅当13x y ==时取等号．故答案为：9．【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．8．（2014•安庆二模）已知函数1()||2f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为1m >．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换；57：函数与方程的综合运用；52：函数零点的判定定理【专题】51：函数的性质及应用【分析】将求函数()f x 的零点问题转化为求两个函数的交点问题，画出函数的草图，求出即可．【解答】解：函数()f x 有三个零点等价于方程1||2m x x =+有且仅有三个实根．11||||(2)2m x x x x m=⇔=++，作函数||(2)y x x =+的图象，如图所示．，，由图象可知m 应满足：101m<<，故答案为：1m >．【点评】本题考查了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．9．（2021秋•浦东新区校级期中）不等式7|1|5x x +<-的解集为1(2,)4--．【答案】1(2,)4--．【考点】绝对值不等式的解法【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】由绝对值不等式的解法求解即可．【解答】解： 不等式7|1|5x x +<-，∴不等式等价于225049(1)(5)x x x ->⎧⎨+<-⎩，解得5124x x <⎧⎪⎨-<<-⎪⎩，即124x -<<-，∴该不等式的解集为1(2,)4--．故答案为：1(2,4--．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．10．（2020秋•长宁区期末）函数y =的定义域为[1，)+∞．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则10x - ，即1x，故函数的定义域为[1，)+∞．故答案为：[1，)+∞．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据根式函数的性质是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数成立的条件．11．（2020秋•河南期末）若函数()||1x f x e a =--有两个零点，则实数a 的取值范围是(1,)+∞．【答案】(1,)+∞．【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算【分析】根据()f x 的零点个数等价于曲线||x y e a =-与直线1y =的交点个数，作出函数图象即可求出a 的取值范围．【解答】解：()f x 的零点个数等价于曲线||x y e a =-与直线1y =的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知1a >．故答案为：(1,)+∞．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的思想和转化的能力，属于中档题．12．（2021春•钦州期末）设1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 是2、3、4、5、6、7的一个排列，则123456a a a a a a +的最小值为142．【答案】142．【考点】进行简单的合情推理【专题】转化思想；转化法；推理和证明；逻辑推理；数学运算【分析】利用基本不等式得到123456142a a a a a a +==> ，结合1427270346257=+=⨯⨯+⨯⨯，即可得到答案．【解答】解：因为1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 是2、3、4、5、6、7的一个排列，所以123456142a a a a a a +==> ，因为1427270346257=+=⨯⨯+⨯⨯，所以123456142a a a a a a + ，故123456a a a a a a +的最小值为142．故答案为：142．【点评】本题考查了最值问题的求解，主要考查了利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．二．选择题（共4小题）13．（2020秋•石家庄期末）下列函数中与函数y =()A ．4log y x =B ．2x y =C ．1y x=D ．221y x x =-+【答案】D【考点】函数的值域【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象【分析】分别求出函数的值域，进行对比即可．【解答】解：函数||0y x == ，即函数y =[0，)+∞，A ．函数的值域为R ，不满足条件．B ．函数的值域为(0,)+∞，不满足条件．C ．函数的值域为{|0}y y ≠，不满足条件．D ．2221(1)0y x x x =-+=-，值域是[0，)+∞．故选：D ．【点评】本题主要考查函数值域的求解，求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．14．（2020+<()A >B +C ．假设D ．假设+<【答案】B 【考点】反证法【专题】计算题；对应思想；反证法；推理和证明；逻辑推理【分析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，从而得出结论．【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，故用“反证法”证明不等式<故选：B ．【点评】本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．15．（2019秋•罗湖区期末）若3log 14a<，则实数a 的取值范围是()A ．304a <<B ．304a <<或1a >C ．314a <<D ．314a <<或1a >【答案】B【考点】指、对数不等式的解法【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析【分析】由题意利用对数的性质，求得a 的范围．【解答】解：若3log 14a <，则1a >或01304a a <<⎧⎪⎨<<⎪⎩，求得1a >或304a <<，故选：B ．【点评】本题主要考查对数的性质，属于基础题．16．（2021•济南一模）设集合1{|0}x A x x-=<，{|10}B x x =+>，则“x A ∈”是“x B ∈”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】先根据分式不等式的解法求出集合A ，化简集合B ，从而可得集合A 与集合B 的关系，再根据充分条件与必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：1{|0}{|(1)0}{|01}x A x x x x x x x-=<=-<=<<，{|10}{|1}B x x x x =+>=>-，所以A B Ü，“x A ∈”可以推出“x B ∈”，但“x B ∈”不能推出“x A ∈”，所以“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件．故选：B ．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．三．解答题（共5小题）17．（2019秋•溧阳市期中）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x = ，函数1()()(20)2x g x x =-<<的值域为集合B ．（1）求A B ；（2）已知[1C a =-，72]a -，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算【专题】应用题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】（1）求出集合A ，B ，再求交集；（2）根据集合C 与B 的关系，求出参数的范围．【解答】解：（1）[2A =，)+∞，(1,4)B =，所以[2A B = ，4)；（2）C B ⊆ ，可得172a a -<-，11a ->，724a -<，解得823a <<，a ∴的取值范围为8(2,3．【点评】考查集合的运算，集合与集合的关系，中档题．18．（2020秋•南昌期末）已知2a ≠，函数111()()1222ax f x lgx x +=-<<+是奇函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）1211()(1222x f x lg x x -=-<<+；（2）()f x 在11(,)22-上是减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】（1）根据()f x 是奇函数，利用奇函数的定义列出恒等式，求解即可得到答案；（2）直接利用函数单调性的定义进行判断即可．【解答】解：（1）因为函数111()()1222ax f x lg x x +=-<<+是奇函数，所以1111()()()012121212ax ax ax ax f x f x lglg lg x x x x -+-+-==+=⋅=-+-+，可得1111212ax ax x x -+⨯=-+对1122x -<<恒成立，整理可得22(4)0a x -=对1122x -<<恒成立，故240a -=，因为2a ≠，所以2a =-，所以1211()(1222x f x lg x x -=-<<+；（2）对于任意121122x x -<<<，得2101212x x <-<-，所以1201212x x <+<+，从而21212121211212(12)(12)()()101212(12)(12)x x x x f x f x lglg lg lg x x x x ---+-=-=<=+++-，所以21()()f x f x <，故()f x 在11(,22-上是减函数．【点评】本题考查了对数型函数的应用，涉及了函数奇偶性的应用、函数单调性的判断，解题的关键是熟练掌握函数的性质并能进行灵活的运用，属于中档题．19．（2021春•岳阳期末）某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310()500x a -万元(0)a >，A 项目余下的工人每人每年创造利润提高0.2%x ．（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的50%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围．【答案】（1）最多调出500人参加B 项目从事售后服务工作；（2）05a <．【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】（1）设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作，由题意，列出关于x 的不等关系，求解即可；（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，得到不等式恒成立，然后利用参变量分离法以及基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】解：（1）设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作，由题意可得，10(1000)(10.2%)101000x x -+⨯ ，即25000x x - ，又0x >，所以0500x <，故最多调出500人参加B 项目从事售后服务工作；（2）由题意可知，0500x <，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500x a x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则3110()10(1000)(1)500500x a x x x --+ 对0500x < 恒成立，即210001500x a x++ 对0500x < 恒成立，又21000115500x x +++= ，当且仅当500x =时取等号，所以5a，又0a >，故实数a 的取值范围为05a <．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，一元二次不等式的解法，基本不等式求解最值的应用，不等式恒成立问题的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20．（2020秋•宣城期末）已知二次函数2()4g x x x a =-+在[1，2]上的最小值为0，设()()g x f x x=．（1）求a 的值；（2）当[3x ∈，9]时，求函数3(log )f x 的值域；（3）若函数()(|21|)(|21|)3(|21|)2x x x h x f k k =-⋅---+有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）4a =；（2）[0，1]；（3）(1,)+∞．【考点】二次函数的性质与图象；函数的零点与方程根的关系【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】（1）利用二次函数的性质，写为定点式后求出函数()g x 的最小值，得到关于a 的方程，求解即可得到a 的值；（2）求出()f x 的解析式，然后令3log t x =，转化为对勾函数，利用对勾函数的单调性求出()f t 最值，即可得到值域；（3）令|21|x m -=，将问题转化为2(34)(42)0m k m k -+++=的两个根1m ，2m 进行研究，利用根的分布，通过判别式、对称轴、区间端点的函数值列出不等关系，求解即可得到答案．【解答】解：（1）2()(2)4g x x a =-+-，故当2x =时，()g x 取最小值0，则2()(2)(22)40min g x g a ==-+-=，解得4a =．（2）()4()4g x f x x x x==+-，令3log t x =，[3x ∈，9]，则[1t ∈，2]，则34(log )()4f x f t t t==+-在[1t ∈，2]上单调递减，则()min f t f =（2）0=，()max f t f =（1）1=，所以值域为[0，1]．（3）设|21|x m -=，则2()()32(34)(42)h m mf m km k m k m k =-+=-+++，令2(34)(42)0m k m k -+++=，由题意知，关于m 的一元二次方程有两个根1m ，2m 满足如下条件：当10m =时，代入方程解得2k =-，此时22m =-方程()0h x =仅有1个解，不符合题意．当11m =时，代入方程解得1k =，此时方程2760m m -+=，解得26m =，所以函数()h x 有两个零点，不符合题意．当1201m m <<<时，函数()h x 有三个零点，则0(0)0(1)0h h >⎧⎪>⎨⎪<⎩，即160921k k k k ⎧><-⎪⎪>-⎨⎪>⎪⎩或，解得1k >，故实数k 的取值范围为(1,)+∞．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了二次函数最值的应用、对勾函数以及对数函数的应用，解决函数零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．21．（2020秋•九江期末）已知函数2()()1f x lgx lgx =--．（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求此时x 的值；（Ⅱ）若a ，b 分别是()f x 的两个零点，求log log a b b a +的值．【答案】（Ⅰ）当x =时，5()4min f x =-；（Ⅱ）3-．【考点】对数的运算性质；函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（Ⅰ）根据条件，令t lgx =，t R ∈，则215()()24g t t =--，求出()g t 的最小值，可得到()f x 的最小值和取最小值时x 的值；（Ⅱ）根据条件可知，lga ，lgb 是方程210t t --=的两个实数根，利用韦达定理得到1lga lgb +=，1lga lgb ⋅=-，再求出log log a b b a +的值．【解答】解：（Ⅰ）令t lgx =，t R ∈，则215()()24g t t =--，∴当12t =时，5()4min g t =-，即当x =5()4min f x =-．（Ⅱ）依题意，得lga ，lgb 是方程210t t --=的两个实数根，由韦达定理，得1lga lgb +=，1lga lgb ⋅=-，∴原式2()2lgb lga lga lgb lgalgb lga lgb lgalgb+-=+=212(1)31-⨯-==--．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，一元二次函数的性质和韦达定理，考查了方程思想和转化思想，属中档题．。

1七宝中学2024学年第一学期高一年级数学期中2024.11一、填空题（本大题共有12题，每小题3分，,满分36分） 1.若32log a =,则a = .2.设全集{}01234U ,,,,=,集合{}{}12,13A ,B ,==,则u A B ⋃=ð .3.已知幂函数()()222m f x m m x =−−的定义域为R ,则实数m = . 4."若1a b +>且1ab >,则1a >且1b >"是 命题.(填"真"或"假") 5.化简114141x x −+=++ . 6.已知0,0a b >>,化简121121332a b a b −−−⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ . 7.已知2310a b ==,则625log = （结果用,a b 表示）. 8.()223lgx lgy lg x y +=−,则yx的值为 . 9.已知0,0a b >>,且211a b+=,则2a b +的最小值是 . 10."0a <"是关于x 的方程"2220ax x ++=至少有一个负数根"的 条件.(用"充分非必要","必要非充分"，"充要"，"既非充分分非必要"填空） 11.已知函数32kx y x +=+（常数k Z ∈）在区间[)3,+∞上是严格减函数，且在[)3,+∞上存在自变量使得函数值为正，则满足条件的整数k 的所有取值为 .12.设,x y R ∈,若426x x y y +−++−≤,则23x y xy ++的取值范围为 .2二、选择题（本大题共有4题，每小题3分，满分12分） 13.下列关于幂函数a y x =的描述中，正确的是（ ）. A.幂函数的图象都经过点()00,和()11,； B.幂函数的图象不经过第三象限；C.当指数α取11,3,2时,幂函数y x α=是其定义域上的严格增函数;D.若幂函数的图像过点184,⎛⎫ ⎪⎝⎭,则它的图像也经过点1918,⎛⎫⎪⎝⎭.14.设0,b a c R >>∈,则下列不等式中正确的是（ ）. A.1122a b > B.11c c a b −<− C.22a a b b+>+ D.22ac bc < 15.已知集合(){}(){}|20,|10A x,y x ay a B x,y ax ay =++==+−=,则下列结论正确的 是（ ）.A.存在a R ∈,使得A =∅B.当1a =−时,1322A B ,⎛⎫⋂=−⎪⎝⎭C.当A B ⋂=∅时,1a =D.对任意的a R ∈,都有A B ≠16.定义"正对数":0,01,1x ln x lnx x +<<⎧=⎨≥⎩,现有四个命题:(1)若0,0a b >>,则()b ln a bln a ++=； (2)若0,0a b >>,则()ln ab ln a ln b +++=+; (3)若0,0a b >>,则a ln ln a ln b b +++⎛⎫=− ⎪⎝⎭;(4)若0,0a b >>,则()2ln a b ln a ln b ln ++++≥++;其中真命题的个数为（ ）. A.1 B.2 C.3 D.43三、解答题（本大题共有5题，满分52分）17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 已知集合1|0x A x x −⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,集合{|22}B x m x m =−<<−. （1）当1m =时,求A B ⋂;（2）已知全集为R ,记A 的补集为A ,若A B ⊆,求实数m 的取值范围.18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） （1）已知,a b R ∈且,0a b >,++;（2）已知2,1x y x y +<−<,求证:711x y +<.419．（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）为了保护环境,某单位采用新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品,已知该单位每月处理量最多不超过300吨.当月处理量为x 吨时,月处理成本为220040000(0300)x x x −+<≤元，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元. （1）若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围?（2）该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低为多少元?20．（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分） 已知全集为R,关于x 的不等式:()2320x a x a b ++++≥的解集为M . （1）若{|1M x x =≤或4}x ≥,求,a b 的值;（2）若2b =,记M 的补集为,M M 中恰好有3个整数,求实数a 的取值范围; （3）若1b =,集合[)0N ,=+∞,且满足N M ⊆,求实数a 的取值范围.521．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分） 设集合A 是至少有两个元素的实数集,集合{|,,B z z xy x y A ==∈且}x y ≠,称集合B 为集合A 的积集.（1）当{}137A ,,=时,写出集合A 的积集B ;（2）若A 是由4个正实数构成的集合,求其积集B 中元素个数的最小值;（3）判断是否存在5个正实数构成的集合A,使其积集{}235610121824B ,,,,,,,=,并说明理由.6参考答案一、填空题1.9;2.{}0,1,2,4;3.3;4.假;5.1;6.1a ; 7.()21b a a b−+; 8.49; 9.9; 10.充分非必要； 11.{}0,1 12.[]0,22 11.已知函数32kx y x +=+（常数k Z ∈）在区间[)3,+∞上是严格减函数，且在[)3,+∞上存在自变量使得函数值为正，则满足条件的整数k 的所有取值为 . 【答案】{}0,1【解析】()232332,222k x k kx ky k x x x ++−+−===++++任取[)12,3x x ,∈+∞，且12x x <， 因为该函数在区间[)3,+∞上是严格减函数，所以12323222k kk k x x −−+>+++， 因为1220,20x x +>+>,所以()()()()21232322x k k x +−>−+, 因为12022x x <+<+所以320k −>，得32k <， 因为在[)3,+∞上存在自变量，使得函数值为正，所以302kx y x +=>+在[)3,+∞上有解， 因为20x +>，所以30kx +>在[)3,+∞上有解，所以3k x>−在[)3,+∞上有解， 所以3mink x ⎛⎫>− ⎪⎝⎭,因为3y x =−在[)3,+∞上递增，所以当3x =时，3y x =−取得最小值为313−=−，所以1k >−，因为k Z ∈，所以0k =或1k =12.设,x y R ∈,若426x x y y +−++−≤,则23x y xy ++的取值范围为 . 【答案】[]0,22【解析】因为()()444,222x x x x y y y y +−≥−−=+−≥−−=, 当且仅当04,02x y ≤≤≤≤时取等号.7所以426x x y y +−++−≥,又426x x y y +−++−≤, 所以426x x y y +−++−=成立,则04,02x y ≤≤≤≤ ()()()()232326326x y xy x y y x y ++=+++−=++−易知337,224x y ≤+≤≤+≤所以()()63228x y ≤++≤ 所以()()[]23326022x y xy x y ,++=++−∈ 二、选择题13.C 14.C 15.D 16.A15.已知集合(){}(){}|20,|10A x,y x ay a B x,y ax ay =++==+−=,则下列结论正确的 是（ ）.A.存在a R ∈,使得A =∅B.当1a =−时,1322A B ,⎛⎫⋂=−⎪⎝⎭C.当A B ⋂=∅时,1a =D.对任意的a R ∈,都有A B ≠ 【答案】D 【解析】对于,20A x ay a ++=表示过定点()02,−,且斜率不为0的直线,∴集合A 表示直线20x ay a ++=上所有的点，A ∴≠∅,A 错误;对于B ,当1a =−时,(){}|20A x,y x y =−−=,(){}|10,B x,y x y =−−−= 由2010x y x y −−=⎧⎨−−−=⎩得:1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩,13,22A B ,B ⎧⎫⎛⎫∴⋂=−⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭错误; 对于C ,当B =∅时,0a =,满足A B ⋂=∅;当B ≠∅,即0a ≠时,直线20x ay a ++=与10ax ay +−=平行,2212a a a ⎧=∴⎨−≠⎩,解得:1a =; 综上所述：当A B ⋂=∅时，0a =或1,a C =错误；对于D ,若A B =,则0a ≠且直线20x ay a ++=与10ax ay +−=重合,82212a a a ⎧=∴⎨−=⎩,方程组无解,,A B D ∴≠正确.故选：D. 16.定义"正对数":0,01,1x ln x lnx x +<<⎧=⎨≥⎩,现有四个命题:(1)若0,0a b >>,则()b ln a bln a ++=； (2)若0,0a b >>,则()ln ab ln a ln b +++=+; (3)若0,0a b >>,则a ln ln a ln b b +++⎛⎫=− ⎪⎝⎭;(4)若0,0a b >>,则()2ln a b ln a ln b ln ++++≥++;其中真命题的个数为（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A【解析】(1)若1()0,0,0,1,0b a b a ln a +>>>∈=,则()0b ln a b bln a ++=⋅=，同理对于1,0a b >…；10,0;1,0b a b a >>>>…,也成立;(2)若10,1,10a b ab >>>>>,可得:()0ln ab +=,0ln a ln b lnb +++=+,不成立; (3)若0,0,1a b b a >>>>,则0a ln b +⎛⎫= ⎪⎝⎭,00ln a ln b lnb ++−=−≠,不成立;(4)若0,0,10a b a b >>>+>,则()0ln a b ++=,22ln a ln b ln ln ++++=，此时不成立， 同理对于其它情况也不成立.综上可得：只有(1)正确.故答案为:A. 三．解答题17.（1）{}|20x x −<< （2）{}|01m m << 18.（1+≥+（2）证明略 19.（1）[]100,300（2）该单位每月处理量为200吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低为200元 20．（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）9已知全集为R,关于x 的不等式:()2320x a x a b ++++≥的解集为M . （1）若{|1M x x =≤或4}x ≥,求,a b 的值;（2）若2b =,记M 的补集为,M M 中恰好有3个整数,求实数a 的取值范围; （3）若1b =,集合[)0N ,=+∞,且满足N M ⊆,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）8,20a b =−=（2）3245a a −≤≤−<≤或 （3）12a ≥−【解析】（1）因为()2320x a x a b ++++≥的解集为{|1x x ≤或4}x ≥, 所以1,4是方程()2320x a x a b ++++=的两根. 由()143142a a b⎧+=−+⎨⨯=+⎩,解得8,20a b =−=. （2）由于()2320x a x a b ++++≥的解集为M ,则()23220x a x a ++++<的解集为M ,由()23220x a x a ++++<可得()()120x a x +++<,若12a −−<−,则1a >时,不等式的解集{|12}M x a x =−−<<−, 若12a −−>−,则1a <时,不等式的解集{|21}M x x a =−<<−−, 若12a −−=−,则1a =时,不等式的解集M =∅,不符合题意舍去, 故M 中的3个整数只能是5,4,3−−−或1,0,1−;①若解集中的3个整数是5,4,3−−−,则()615a −≤−+<−,得45a <≤; ②若解集中的3个整数是1,0,1−,则()112a <−+≤,得32a −≤<−. 综上,由①知,实数a 的取值范围为32a −≤<−或45a <≤.21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分） 设集合A 是至少有两个元素的实数集,集合{|,,B z z xy x y A ==∈且}x y ≠,称集合B 为集合A 的积集.10（1）当{}137A ,,=时,写出集合A 的积集B ;（2）若A 是由4个正实数构成的集合,求其积集B 中元素个数的最小值;（3）判断是否存在5个正实数构成的集合A,使其积集{}235610121824B ,,,,,,,=,并说明理由.【答案】（1）{}3,7,21B =（2）5（3）不存在【解析】（1）因为{}137A ,,=,故集合B 中所有可能的元素有13,17,37⨯⨯⨯,即3,7,21, 所以{}3721B ,,=.（2）设{}A a,b,c,d =,不妨设0a b c d <<<<,因ab ac ad bd cd <<<<, 所以B 中元素个数大于等于5个,又当{}12342222A ,,,=时,{}3456722222B ,,,,=,此时B 中元素个数等于5个, 此时积集B 中元素个数的最小值为5. （3）不存在,理由如下:法1：假设存在5个正实数构成的集合{}A a,b,c,d ,e =, 使其积集{}235610121824B ,,,,,,,=，不妨设0a b c d e <<<<<,则0.,ab ac ad ae be ce de ac bc ce bd ce <<<<<<<<<<,所以2,3,18,24ab ac ce de ====, 设1a x =,则62,3,,4b x c x e d x x====, 所以144ad x x=⨯=,但集合B 中不存在元素4,所以矛盾,假设不成立, 故不存在5个正实数构成的集合A ,使其生成集{}235610121824B ,,,,,,,=.法2:假设存在5个正实数构成的集合{}A a,b,c,d ,e =,使其积集{}235610121824B ,,,,,,,=，不妨设0a b c d e <<<<<,则0ab ac ad ae be ce de <<<<<<<, 所以集合A 的生成集B 有三种情况:{}B ab,ac,ad ,bc,ae,be,ce,de =,11 {}B ab,ac,ad ,bd ,ae,be,ce,de =或{}B ab,ac,ad ,ae,cd ,be,ce,de =. 当{}B ab,ac,ad ,bc,ae,be,ce,de =时,则必有2,24ab de ==,,所以48abde =, 又因为12,5be ad ==或6,所以60abde =或72,矛盾; 当{}B ab,ac,ad ,bd ,ae,be,ce,de =时,则必有2,24ab de ==,,所以48abde =, 又因为61060aebd =⨯=,矛盾;{}B ab,ac,ad ,ae,cd ,be,ce,de =时,则必有2,24ab de ==,,所以48abde =, 又因为5,10ad be ==或12,所以50abde =或60,矛盾; 所以假设不成立,故不存在5个正实数构成的集合A ,使其生成{}235610121824B ,,,,,,,=.。

2022-2023学年上海市高一上册期末数学专项提升模拟试题（含答案）一、填空题1．函数lg(1)y x =-的定义域________.【答案】()1+¥，【分析】根据对数函数有意义的条件得到不等式求解.【详解】要使函数()()lg 1f x x =-有意义，则10x ->，即1x >，所以函数()()lg 1f x x =-的定义域为()1,+∞，故答案为:()1,+∞.2．已知sin α=,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos α=______．【分析】直接根据同角三角函数之间的关系即可得结果.【详解】因为sin 5α=-，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos α===.3．为了得到函数11y x =-的图象，可以把函数1y x =的图象右移______个单位.【答案】1【分析】利用函数图象的平移规律进行求解即可【详解】为了得到函数11y x =-的图象，根据平移规律，可以把函数1y x =的图象右移1个单位，故答案为：14．函数1x y a =+的图象恒过定点______.【答案】(0,2)【分析】利用指数函数的定义与性质求得定点坐标.【详解】令0x =，解得2y =，∴函数1x y a =+的图象恒过定点(0,2).故答案为：(0,2)5．若幂函数()y f x =的图象过点()2,4，则表达式()f x =___________.【答案】2x 【分析】设()af x x =，由()24f =可求得实数a 的值，即可得解.【详解】设()a f x x =，则()224a f ==，解得2a =，()2f x x ∴=.故答案为：2x .6．函数()12f x x =在其定义域上的单调性是______.【答案】单调递增【分析】直接根据幂函数的单调性即可得结果.【详解】幂函数()12f x x =，定义域[)0,∞+，指数为12，满足1012<<，故函数()12f x x =在其定义域上的单调性是单调递增，故答案为：单调递增.7．函数()10y x x x=+>的增区间为______.【答案】[)1,+∞【分析】利用定义法进行判断即可得解.【详解】任取210x x >>，1221212121211212111()()(1x x y y x x x x x x x x x x x x --=+--=-+=--，因为210x x >>，210x x ->，当211x x >≥时，1211x x <，12110x x ->，此时210y y ->，21y y >，()10y x x x=+>为增函数，所以函数()10y x x x=+>的增区间为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞8．若“3x >”是“x a >“的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____.【答案】3a <【解析】根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.【详解】因为“3x >”是“x a >”的充分不必要条件，∴3a <．故答案为：3a <．【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．函数()21f x ax bx =++是偶函数，且定义域是[]1,2a a -，则a b +=_________.【答案】13【分析】根据函数奇偶性与定义域，列出方程组，求出a b 、的值，即可求出结果.【详解】因为数()21f x ax bx =++是偶函数，且定义域是[]1,2a a -，所以()()120f x f x a a ⎧-=⎨-+=⎩，即2211310ax bx ax bx a ⎧-+=++⎨-=⎩，解得130a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以13a b +=.故答案为13【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数的问题，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型.10．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，2()1f x x x =+-，当0x <时，()f x =________．【答案】21x x -++【解析】设0x <，则0x ->，代入解析式得2()1f x x x -=--；再由()f x 定义在R 上的奇函数，()()f x f x -=-即可求得答案.【详解】不妨设0x <，则0x ->，所以22()()()11f x x x x x -=-+--=--，又因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以2()()1f x f x x x -=-=--，即2()1f x x x =-++.故答案为：2()1f x x x =-++.11．函数331xxy =+的值域是______.【答案】()0,1【分析】对函数解析式进行变形处理331113131311x x x x x y -==-+=+++，即可得解.【详解】331113131311x x x x x y -==-+=+++，因为()13,1x∈++∞，()11,031x-∈-+，所以()110,131x -∈+.故答案为：()0,112．已知()()111x x a a a f x -=>+，实数1x ，2x 满足()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为______.【答案】45【解析】由()()121f x f x +=求得12,x x 的关系式，求得()12f x x +的表达式，并利用基本不等式求得()12f x x +的最小值.【详解】依题意()11221111x x x x x f a a a a x a --===-++++.由()()121f x f x +=，得122211111x x a a -+-=++，即1222111x x a a +=++①，即()()()1212211111x x x x a a a a +++=++，()()()121221111x x x x a a a a +++=++，即12123x x x x a a a +++=②.所以()12f x x +12211x x a+=-+，将②代入上式得()12f x x +12214x x a a =-++1221112x x a a =-++++()()1122221112211x x x x a a a a =-⎛⎫⎡⎤+++⋅+ +⎪⎣⎦⎝⎭++()()21122121214211x x x x a a a a =-+++++++1≥241645=-=+，当且仅当()()2112212111x x x x a a a a ++=++时等号成立，()()1212221211,,x x x x a a a a x x +=+==，()()()()1211121,2f x f x f x f x +===，即111121211,,14,31212x x x x a a a a -==+==++，即12log 3a x x ==时取得最小值45.故答案为：45【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解很强，属于难题.二、单选题13．已知集合()(){}210M x x x =+-<，{}10N x x =+<，则M N ⋂=（）A ．()1,1-B ．()2,1-C ．()2,1--D ．()1,2【答案】C【分析】解出集合M 、N ，利用交集的定义可求得集合M N ⋂.【详解】()(){}()2102,1M x x x =+-<=- ，{}()10,1N x x =+<=-∞-，因此，()2,1M N =-- .故选：C.14．已知扇形面积为4，周长为8，则该扇形的圆心角为（）弧度.A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】运用扇形面积公式，结合弧长公式进行求解即可【详解】设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，扇形面积为S 由题意可知：14422228l S lr l r r l r α⎧===⎧⎪⇒⇒==⎨⎨=⎩⎪+=⎩.故选：C15．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A ．3x y =B ．1y x=C．y =D ．3y x =【答案】D【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可．【详解】对于A ，指数函数3x y =是非奇非偶函数，故A 错误；对于B ，令()1f x x=，定义域为()(),00,∞-+∞U ，∵()()110f x f x x x -+=+=-，则()1f x x=为奇函数，而()1f x x=在()(),0,0,-∞+∞单调递减，在定义域上不单调，故B 错误；对于C，y =的定义域为[)0,∞+，故为非奇非偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，故C 错误；对于D ，令()3g x x =，其在定义域R 上单调递增，且()()330()g x g x x x -+=+=-，所以()3g x x =为奇函数，故D 正确；故选：D16．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(50)11()t f t e --=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（）(参考数据： 1.13e ≈)A ．38B ．40C ．45D ．47【答案】B【解析】根据()0.1f t =列式求解即可得答案.【详解】解：因为()0.1f t =，0.22(50)11()t f t e --=+，所以0.22(50)()0.111t f t e--==+，即0.22(50)011t e --=+，所以0.22(50)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()21.12.29e e =≈，所以0.222().250t e e --=，所以()0.2250 2.2t --=，解得40t =.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=，再结合已知 1.13e ≈得()21.12.29e e =≈，进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案，是基础题.三、解答题17．（1）已知角α的终边经过点()2,1P ．求sin α，cos α的值；（2）若tan 2x =，求5cos sin sin 2cos x xx x-+的值．【答案】（1）sin α，cos α=（2）34.【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得结果；（2）分子分母同时除以cos α即可得结果.【详解】（1）由于角α的终边经过点()2,1P ，所以sin 5α==，cos 5α=（2）由于tan 2x =，所以5cos sin 5tan 523sin 2cos tan 2224x x x x x x ---===+++.18．已知集合{}2560A x x x =-+≤，{}1B x x m =-≤.（1）若0m =，求B R ð；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),11,-∞-+∞U ；（2）[]2,3.【分析】（1）求出集合B ，利用补集的定义可求得集合B R ð；（2）求出集合A 、B ，利用集合的包含关系可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）当0m =时，{}[]11,1B x x =≤=-，因此，()(),11,R B =-∞-+∞ ð；（2）{}[]25602,3A x x x =-+≤=，{}{}[]1111,1B x x m x x m m m =-≤=-≤-≤=-+，因为A B ⊆，所以，1213m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得23m ≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]2,3.19．某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：10天）的数据如下表：时间t 51125种植成本Q1510.815（1）根据上表数据，从下列函数：Q at b =+，2Q at bt c =++，•t Q a b =，•log b Q a t =中（其中0a ≠），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.【答案】（1）213852024Q t t =-+；（2）该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低为10（元/10kg ）.【分析】（1）先作出散点图，根据散点图的分布即可判断只有模型2Q at bt c =++符合，然后将数据代入建立方程组，求出参数,,a b c .（2）由于模型为二次函数，结合定义域，利用配方法即可求出最低种植成本以及对应得上市时间.【详解】解：（1）以上市时间t （单位：10天）为横坐标，以种植成本Q （单位/10kg ）为纵坐标，画出散点图（如图）.根据点的分布特征，Q at b =+，•t Q a b =，•log b Q a t =这三个函数模型与表格所提供的数据不吻合，只有函数模型与表格所提供的数据吻合最好，所以选取函数模型2Q at bt c =++进行描述该蔬菜种植成本Q 与上市时间t 的变化关系.将表格所提供的三组数据分别代入2Q at bt c =++，得15255,10.812111,1562525.a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩解得1,203,285.4a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩所以，描述该蔬菜种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为213852024Q t t =-+.（2）由（1）知()22138511510202420Q t t t =-+=-+，所以当15t =时，Q 的最小值为10，即该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低为10（元/10kg ）.【点睛】判断模型的步骤：（1）作出散点图；（2）根据散点图点的分布，以及各个模型的图像特征作出判断；二次函数型最值问题常用方法：配方法，但要注意定义域.20．已知函数()1mf x x x=+-．(1)当2m =时，判断()f x 在(),0∞-上的单调性并证明；(2)讨论函数()y f x =的零点个数．【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用函数单调性的定义，进行证明即可；（2）分离参数，将零点问题转化为函数交点问题，从而进行处理.【详解】（1）当2m =时，(),0x ∈-∞时，()21f x x x=-+-该函数为单调递减函数，证明如下：在区间(),0∞-上任取12,x x ，且120x x <<则()()12121222f x f x x x x x -=-++-()()2112122x x x x x x -+=因为120x x <<，故210x x ->，且120x x >，则()()21121220x x x x x x -+>故当120x x <<时，()()120f x f x ->则函数()f x 在(),0∞-单调递减.即证.（2）()1m f x x x =+-0=，等价于1mx x=-+即等价于m x x x =-的根的个数，令()()()1,(0)1,(0)x x x g x x x x x x x ⎧->⎪=-=⎨+<⎪⎩，则其函数图像如下所示：由图可知：当14m =或14m =-或0m =时，直线y m =与()g x 有两个交点；当14m >或14m <-时，直线y m =与()g x 只有一个交点；当104m -<<或104m <<时，直线y m =与()g x 有三个交点.故：当11,,44m ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪∈- ⎪⎝⎭⎝-+∞⎭∞时，()f x 有1个零点；当11,0,44m ⎧⎫⎨∈⎩-⎬⎭时，()f x 有2个零点；当11,044(0),m ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭∈-时，()f x 有3个零点.21．设函数()f x 的定义域为D ，若存在正实数a ，使得对于任意x D ∈，有x a D +∈，且()()f x a f x +>，则称()f x 是D 上的“a 距增函数”．（1）判断函数()2x f x x =-是否为(0,)+∞上的“1距增函数”？说明理由；（2）写出一个a的值，使得2,0()0x x f x x +<⎧⎪=≥是区间(,)∞∞-+上的“a 距增函数”；（3）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||f x x a a =--．若()f x 为R 上的“2021距增函数”，求a 的取值范围．【答案】（1）()2x f x x =-是(0,)+∞上的“1距增函数”，理由见解析；（2）10a =；（3）2021()4-∞，.【解析】（1）根据“a 距增函数”的定义去判断即可；（2）如10a =，答案不唯一，不小于4即可；（3）先求出()f x 的表达式，通过讨论x 的范围结合绝对值的几何意义，从而求出a 的范围.【详解】（1）函数()2x f x x =-是(0,)+∞上的“1距增函数”，任意x ∈(0,)+∞，有1x +∈(0,)+∞，且21x >，所以1(1)()2(1)(2)210x x x f x f x x x ++-=-+--=->，因此()2x f x x =-是(0,)+∞上的“1距增函数”．（2）10a =；函数()f x 的定义域为(,)∞∞-+，有10x R +∈，且(10)()f x f x +>，()f x 是(,)∞∞-+上的“10距增函数”．（3）0()000x a a x f x x x a a x ⎧-->⎪==⎨⎪-++≤⎩，，，，因为()f x 为R 上的“2021距增函数”，i )当0x >时，由定义2021x a a x a a +-->--恒成立，即2021x a x a +->-恒成立，由绝对值几何意义可得20210a a +-<，20212a <.ii )当0x <时，分两种情况：当2021x <-时，由定义2021x a a x a a -+++>-++恒成立，即2021x a x a ++<+恒成立，由绝对值几何意义可得20210a a --->，20212a <-，当20210x -≤<时，由定义2021x a a x a a -++<+--恒成立，即2021202122x a x a a a +-++≥->恒成立，当0a ≤时，显然成立，当0a >时，可得202104a <<，综上，a 的取值范围为2021()4-∞，．【点睛】本题主要考查函数有关的新定义的应用、分类讨论和绝对值的意义，弄清新定义的本质，根据绝对值的几何意义得到不等式是解本题的关键，综合性较强，考查了基础知识、基本技能.。

上海市七宝中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．若3log 2a =，则a =．2．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}1,3B =，则U A B = ð.3．已知幂函数()()222m f x m m x =--的定义域为R ，则实数m =.4．“若1a b +>且1ab >，则1a >且1b >”是命题.（填“真”或“假”）5．化简114141x x -+=++.6．已知0,0a b >>，化简：121121332a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪=.7．已知2310a b ==，则6log 25=（结果用a ，b 表示）.8．()lg lg 2lg 23x y x y +=-，则y x 的值为．9．已知0,0a b >>，且211a b +=，则2a b +的最小值是.10．“0a <”是关于x 的方程“2220ax x ++=至少有一个负数根”的条件.（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空）11．已知函数32kx y x +=+(常数k ∈Z )在区间[3,)+∞上是严格减函数，且在[3,)+∞上存在自变量使得函数值为正，则满足条件的整数k 的所有取值为.12．设x 、R y ∈，若426x x y y +-++-≤，则23x y xy ++的取值范围为.二、单选题13．下列关于幂函数y x α=的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都经过点()0,0和()1,1；B ．幂函数的图象不经过第三象限；C ．当指数α取1，3，12时，幂函数y x α=是其定义域上的严格增函数；D ．若幂函数的图像过点1,84⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的图像也经过点19,18⎛⎫ ⎪⎝⎭.14．设0b a >>，c ∈R ，则下列不等式中正确的是（）A ．1122a b >B ．11c c a b -<-C ．22a a b b +>+D ．22ac bc <15．已知集合(){},20A x y x ay a =++=，(){},10B x y ax ay =+-=，则下列结论正确的是（）A ．存在a ∈R ，使得A =∅B ．当1a =-时，13,22A B ⎛⎫⋂=- ⎪⎝⎭C ．当A B =∅ 时，1a =D ．对任意的a ∈R ，都有A B≠16．定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题：①若0a >，0b >，则ln ()ln b a b a ++=；②若0a >，0b >，则ln ()ln ln ab a b +++=+；③若0a >，0b >，则ln ()ln ln aa b b +++=-；④若0a >，0b >，则ln ()ln ln ln2a b a b ++++≥++；其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．已知集合10x A x x ⎧⎫-=>⎨⎬⎩⎭，集合{}22B x m x m =-<<-.(1)当1m =时，求A B ⋂；(2)已知全集为R ，记A 的补集为A ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围.18．（1）已知,a b ∈R且,0a b >（2）已知2x y +<，1x y -<，求证：711x y +<.19．为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨．当月处理量为x 吨时，月处理成本为()2200400000300x x x ≤-+<元，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．(1)若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围?(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低为多少元?20．已知全集为R ，关于x 的不等式：()2320x a x a b ++++≥的解集为M ，(1)若|1{M x x =≤或4}x ≥，求a b ，的值；(2)若2b =，记M 的补集为M ，M 中恰好有3个整数，求实数a 的取值范围；(3)若1b =，集合[)0,N =+∞，且满足N M ⊆，求实数a 的取值范围.21．设集合A 是至少有两个元素的实数集，集合{,,B z z xy x y A ==∈且}x y ≠，称集合B 为集合A 的积集.(1)当{}1,3,7A =时，写出集合A 的积集B ；(2)若A 是由4个正实数构成的集合，求其积集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在5个正实数构成的集合A ，使其积集{}2,3,5,6,10,12,18,24B =，并说明理由.。