等比数列的通项与求和
一、知识导学
1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．
3.等比数列的前n 项和公式：⎪⎩
⎪
⎨⎧≠-⋅-=--=⋅=)
1(11)1()1(111
q q q
a a q q a q a n S n n n
二、疑难知识导析
1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0.
2.对于公比q ，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.
3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.
4.在已知等比数列的a 1和q 的前提下，利用通项公式a n =a 1q n-1
,可求出等比数列中的任一项.
5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a n =a m q n-m
可求等比数列中任意一项. 6.等比数列｛a n ｝的通项公式a n =a 1q n-1
可改写为n
n q q
a a ⋅=
1.当q>0，且q1时，y=q x 是一个指数函数，而x
q q
a y ⋅=
1是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛a n ｝的图象是函数x
q q
a y ⋅=
1的图象上的一群孤立的点. 7．在解决等比数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。 三、经典例题导讲
[例1] 已知数列{}n a 的前n 项之和S n =aq n
（q q a ,1,0≠≠为非零常数），则{}n a 为（ ）。
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列，也不是等比数列
D.既是等差数列，又是等比数列
错解：)1(111-=-=-=+++q aq aq aq S S a n n n n n n
)1(11-=-=∴--q aq S S a n n n n
q a a n
n =∴
+1
（常数） {}n a 为等比数列，即B 。
错因：忽略了1--=∴n n n S S a 中隐含条件n ＞1. 正解：当n ＝1时，a 1=S 1＝aq;
当n>1时，)1(11-=-=∴--q aq S S a n n n n
q a a n
n =∴
+1
（常数） 但q q a a ≠-=11
2
{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列，选C 。
[例2] 已知等比数列{}n a 的前n 项和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于. 错解：S 30= S 10·q 2
. q 2
＝7，q ＝7±， S 40= S 30·q =770±.
错因：是将等比数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等比数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等比数列.
正解：由题意：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=--=--701)1(101)
1(30
1101q q a q q a 得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=-)
(3210110101舍去或q q q a ， S 40=
20011401
=--）（q q
a . [例3] 求和：a+a 2
+a 3
+…+a n
.
错解： a+a 2
+a 3
+…+a n
＝a
a n
--11.
错因：是（1）数列｛a n
｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n 项和公式（2）用等比数列前n 项和公式应讨论q 是否等于1. 正解：当a ＝0时，a+a 2
+a 3
+…+a n
＝0;
当a ＝1时，a+a 2
+a 3
+…+a n
＝n;
当a1时， a+a 2
+a 3
+…+a n
＝a
a n
--11.
[例4]设d c b a ,,,均为非零实数，()
()022
2
2
2
2
=+++-+c b d c a b d b a ，
求证：c b a ,,成等比数列且公比为d 。 证明：
证法一：关于d 的二次方程()
()022
2
2
2
2
=+++-+c b d c a b d b a 有实根，
∴()()
0)(4422222
2≥++-+=∆c b b a c a b ，∴(
)
02
2
≥--ac
b
则必有：02=-ac b ，即ac b =2，∴非零实数c b a ,,成等比数列 设公比为，则aq b =，2
aq c =代入
(
)
(
)
024
2222
2
2
22=+++-+q a q a d aq a aq d q a a ∵(
)
012
2
≠+a q ，即022
2=+-q qd d ，即0≠=q d 。 证法二：∵()
()022
2
2
2
2
=+++-+c b d c a b d b a
∴(
)()
02222
22
22=+-++-c bcd d
b b
abd d a
∴()()02
2
=-+-c bd b ad ，∴b ad =，且c bd = ∵d c b a ,,,非零，∴
d b
c
a b ==。 [例5]在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前7项之积。 解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b =
∵5362712
4b b b b b b b ===，∴前七项之积()
2187333
73
2
==⨯
[例6]求数列}21
{n
n ⨯
前n 项和 解：n n n S 2
1
813412211⨯++⨯+⨯+⨯= ①
