北师大版数学九年级下册第三章 圆 教学案

3.1 圆学习目标:经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系．学习重点:圆及其有关概念，点与圆的位置关系．学习难点:用集合的观念描述圆．学习过程:一、例题讲解：【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．【例3】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．【例4】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x ＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．【例5】城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？【例6】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？二、随堂练习1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．2．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是．三、课后练习1．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径C．⊙O上有两点到点P的距离最小D．⊙O上有两点到点P的距离最大2．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（）A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不确定3．两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（）A．甲圆内B．乙圆外C．甲圆外，乙圆内D．甲圆内，乙圆外4．以已知点O为圆心作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个5．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个6．已知⊙O的半径为3．6cm，线段OA=25/7cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．A点在圆外B．A点在⊙O上C．A点在⊙O内D．不能确定7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O 上或⊙O外8．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，5cm 为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有，在圆上的有，在圆内的有．10．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．11．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距离等于半径的点都在．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是．13．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是．14．作图说明：到已知点A的距离大于或等于1cm，且小于或等于2cm的所有点组成的图形．15．菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径．16．在Rt△ABC中，BC=3cm，AC=4cm，AB=5cm，D、E分别是AB和AC的中点．以B为圆心，以BC为半径作⊙B，点A、C、D、E分别与⊙B有怎样的位置关系？17．已知：如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．18．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？19．在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D 内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？20．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（）A．20°B．30°C．40° D．50°21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，AB=12，M为AB的中点，以CD为直径画圆P，判断点M与⊙P的位置关系．22．生活中许多物品的形状都是圆柱形的．如水桶、热水瓶、罐头、茶杯、工厂里用的油桶、贮气罐以及地下各种管道等等．你知道这是为什么吗？尽你所知，请说出一些道理．3.2 圆的对称性学习目标：1．了解圆的定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关圆的概念．2．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，探索圆的有关概念．重点、难点1、重点：圆的相关概念2、难点：理解圆的相关概念导学过程：阅读教材 , 完成课前预习【课前预习】1：知识准备Array（1）举出生活中的圆的例子．（2）圆既是对称图形，又是对称图形。

教学设计垂径定理难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．教学策略：类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结。

本节课的另一个难点是如何添加辅助线，这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，效果并不理想，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出结论，这样才能起到更好地交流和反思的作用。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、类比引入二、猜想探索活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。

（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD。

学生思考并回答通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力。

证明：连接OA ,OB ,则OA =OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,∵OA =OB ，OM =OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM . ∴AM =BM .∴点A 和点B 关于CD 对称. ∵⊙O 关于直径CD 对称,∴当圆沿着直径CD 对折时, 点A 与点B 重合,⌒AC 和⌒BC 重合, ⌒AD 和⌒BD 重合. ∴ ⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD .2．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦。

通过以上辨析，让学生对垂径定理的两证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

3.1圆１、从圆的形成过程，我们可以得出：定义1：平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点所形成的_____叫做圆．定义2：平面上到______的距离等于______的所有点组成的图形叫做圆.定点叫做_____，______叫做半径．以点O 为圆心的圆，记作“_____”，读作“______”．外延：①的线段叫做弦;②的弦叫做直径；③部分叫做圆弧，简称，叫做优弧， 小于半圆的弧叫做弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做.能够重合的两个圆叫做______；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______．２、确定圆有两个要素：①_______（确定圆的______）；②_________（确定圆的______）.二、小组学习：1.以O 为圆心的圆可以画_________个圆，这些圆叫_______________.以2cm 为半径的圆可以画________个圆，这些圆是________________.2.平面内，设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则有d >r ⇔点P 在⊙O ______；d =r ⇔点P 在⊙O ______；d <r ⇔点P 在⊙O ______．3.下列说法正确的是①直径是弦②弦是直径③半径是弦④半圆是弧，但弧不一定是半圆⑤半径相等的两个半圆是等弧⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等4.如图，圆中有条直径，条弦，以A 为一个端点的劣弧有条．5.在矩形ABCD 中，AB =6cm ,AD =8cm ，（1）若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ______，点C 在⊙A _______，点D 在⊙A ________，AC 与BD 的交点O 在⊙A _________；D3.2圆的对称性1.如图所示的⊙O 中，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？结论1：在同一个圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的相等．2.在⊙O 和⊙O′中， 分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O′A′重合．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等吗？结论2：我们可以得到下面的定理：______________________________________.同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角____， 所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____， 所对的弧也.3.如右图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．(1)如果CD AB =，则有，.(2)如果，则有，.(3)如果COD AOB ∠=∠，则有，.(4)如果∠AOB=∠COD，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？(5)如果OE=OF，那么弧AB 与弧CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？∠AOB 与∠COD 呢？ 为什么？(6)如果CD AB =，则OE 与OF 相等吗？为什么？B 'B ''A*3.3垂径定理【结构梳理】1.圆是_________图形，其对称轴是__________________的直线.2.垂径定理是由被称为"几何之父"的古希腊数学家欧几里得（Ευκλειδης）提出的．它是圆的重要性质之一，是证明圆内线段相等，角相等，垂直关系的重要依据，也为圆中的计算，证明和作图提供了依据，思路和方法．垂径定理本身的内涵也非常丰富．对于以上①②③④⑤，已知任意两条，可推出其余三条，称为知二推三．请大家以小组为单位探究以上定理的证明过程．(垂径定理：垂直于弦的直径平分，并且平分．)已知：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径EF，使EF⊥AB，垂足为D.求证：AD=BD，EF平分AFB，EF平分AEB(垂径定理的一个推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分．)已知：如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），直径EF平分AB，交AB于点D.求证：EF⊥AB，EF平分AFB，EF平分AEB①垂直于弦：EF⊥AB于点D②过圆心：EF过圆心O③平分弦：AD=BD④平分弦所对的优弧：EF平分AFB⑤平分弦所对的劣弧：EF平分AEB 垂径定理一、预习导学1.叫圆心角.2.在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数.二、自主学习1.如图，点B、D、E在⊙O上，∠B、∠D、∠E有什么共同的特征？①顶点在_______，②并且两边_______________________的角叫做圆周角.2.度量∠B、∠D、∠E的大小，它们的数量关系是_______________.3.如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，①∠BA1C＝＿＿，∠BA2C＝＿＿，∠BA3C＝＿＿；②通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．4、从一般情况来看，如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个（位置有什么不同）？请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流.思考与讨论①观察上图，在画出的无数个圆周角，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？②设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC＝12∠BOC还成立吗？试证明之．通过上述讨论发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.CB【结构梳理】2.如图，在△ABC 中，OA=OB=OC,则∠ACB=°.请证明：二、自主学习1.如图，BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？2.如图，在⊙O 中，圆周角∠BAC=90°，弦BC 经过圆心吗？为什么？3.归纳自己总结的结论：（1）（2）注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；（2）直径所对的圆周角是直角在圆的有关问题中经常遇到，也是圆中常见辅助线.4.小明在分析几何问题时发现，如果题目中给出条件却没有给出相应的图形，那么就会出现因为图形的位置不确定而需要考虑多种情况的可能．请你与小明通过作图解决以下问题．在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝，点C 是圆上不同于A ，B 的点，求∠ACB 的度数．第1题OCBA第2题番外篇圆内接四边形学习目标：1.识记圆的内接四边形的概念 2.掌握圆内接四边形的性质一、预习导学1.如图1，△ABC叫⊙O的_________三角形，⊙O叫△ABC的_________圆.2.如图1,若的度数为1000,则∠BOC=,∠A=______3.如图2四边形ABCD中,∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=600,则∠1=_________,∠B=_________.4.判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为3600()二、自主学习1.如图3,四边形ABCD的各顶点都在⊙O上,所以四边形ABCD是⊙O的_________四边形,⊙O叫四边形ABCD的_________圆.2.你能解决下列问题吗?如上图:(1)∵所对圆心角为∠1，所对圆心角为∠2,∴∠1+∠2=的度数+的度数=______度.∵∠BAD=21∠2（___________________________），∠BCD=21∠1（同上）∴∠BAD+∠BCD=21∠2+21∠1=_______(2)为什么∠DCE=∠A?3.如图4，5，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上.⑴如图4，当圆心O在四边形内部时，猜想四边形ABCD的对角的关系，并说明理由.⑵如图5，当圆心O在四边形外部时，⑴中的结论是否成立？并说明理由.归纳：圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角，任意一个外角都等于.三、达标练习1.如图6四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=____，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800，则∠ADC=______∠CDE=______2.圆内接平行四边形必为()A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形3.如图7在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A的度数.EDCBA21AB CODC EBAo21图2图3图1图6EDBAC80图73.5确定圆的条件探究1：经过不同的点作圆（请你在下面空白处作图探究）(1)作经过已知点A 的圆，这样的圆你能作出多少个？(2)做经过已知点A ，B 的圆，这样的圆有多少个？它们的圆心分布有什么特点？(3)作经过A ，B ，C ，三点的圆，这样的圆有多少个？如何确定它的圆心？由以上作圆可知过已知点作圆实质是确定和，因此(1)过一点的圆有个；(2)过两点的圆有个，圆心在上；(3)过不在同一条直线上的三点作个圆，圆心是.探究2：三角形的外接圆：过三角形ABC 三顶点作一个圆，这个圆叫做三角形的_________，这个圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的.锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、合作学习1.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．2.学校花园里有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，学校想修建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC 中，BC ＝4米，AC ＝3米，∠C ＝90°，试求圆形花坛的面积．3.6.1直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系相离相切相交图形公共点个数及名称d 与R 的大小关系直线名称探究1：切线的性质定理1.圆的切线的半径．如图：已知直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，连接0A,用符号语言来表示定理：∵∴2.常用的辅助线：连接与.探究2：切线的性质定理的推论若一条直线满足：①过圆心，②过切点，③垂直于切线,这三个条件中的任意个，就必然满足第个，即：①②O A3.6.2直线和圆的位置关系--切线的判定与三角形内切圆【结构梳理】1.探究：如图，点A 在⊙O 上，请过点A 画一条直线l ，使得 l OA ，判断直线l 与⊙O 的位置关系.由此得切线的判定定理(文字语言）：的直线是圆的切线.符号语言：2.分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?二、合作学习判断（1）过半径的外端的直线是圆的切线（）（2）与半径垂直的的直线是圆的切线（）（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）这说明我们要牢记一条直线是圆的切线必须满足1：2三、总结提升1.判定切线的方法有哪些？2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，则⑵直线与圆的公共点不确定时，则*3.7切线长定理如图，点P 在⊙O 外，过点P 作⊙O 的切线，能作出条，它们的数量关系是.证明：二、合作学习问题提出：如图1，一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西120km 处（即点O 的位置），受影响的范围是半径长为40km 的圆形区域．已知港口位于台风中心正北50km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响?探究思路：为了解决这个实际问题，先将其转化成数学问题，如图2，⊙O 表示台风影响的范围，O 是台风中心，圆的半径长为40km ，AB 表示这艘轮船的航线.请结合以下解题思路，尝试解决本题．（1）本题主要研究哪些图形之间的关系？（2）应比较哪些量之间的关系?（3）最终你是如何判断轮船受不受影响?图13.8圆内接正多边形正多边形边数内角中心角边长边心距周长面积3456n lr 21小明同学在学习了课本P 98提供的利用尺规作正五边形的方法之后，想借助这个图形得到一个正三角形，以下是他设计的尺规作图过程．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，第1步．作直径AF ．第2步．以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ．第3步．连接AM ，MN ，NA ．（1）请根据小明设计的作法补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）请你帮小明求出∠ABC 的度数．（3）小明想说明△AMN 是正三角形，他的部分推理过程如下，请你帮他补全推理过程．理由：连接ON ，NF ，…3.9弧长及扇形的面积【结构梳理】一、温故知新：圆的周长公式是,圆的面积公式是.二、自主探究：1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_______.2°的圆心角所对的弧长是_______.4°的圆心角所对的弧长是_______.……n°的圆心角所对的弧长是_______.2.什么叫扇形？.3.圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积，设圆的半径为R，=_______.1°的圆心角所对的扇形面积S扇形2°的圆心角所对的扇形面积S=_______.扇形=_______.5°的圆心角所对的扇形面积S扇形……n°的圆心角所对的扇形面积S=_______.扇形4.比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？(写出推导过程)。

3.2 圆的对称性1．理解圆的旋转不变性；(重点)2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；(重点)3．能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．(难点)一、情境导入我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．将图中的扇形AOB(阴影部分)绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？二、合作探究探究点：圆心角、弧、弦之间的关系【类型一】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等如图，M为⊙O上一点，MA︵＝MB︵，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD＝ME.解析：连接MO，根据等弧对等圆心角，则∠MOD＝∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD＝ME.证明：连接MO，∵MA︵＝MB︵，∴∠MOD＝∠MOE，又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，∴MD＝ME.方法总结：圆心角、弧、弦之间相等关系的定理可以用来证明线段相等．本题考查了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明弧相等如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：BD︵＝BE︵.解析：首先连接OE，由CE∥AB，可证得∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，然后由OC＝OE，可得∠C＝∠E，继而证得∠DOB＝∠BOE，则可证得BD︵＝BE︵.证明：连接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E.∵OC＝OE，∴∠C＝∠E，∴∠DOB＝∠BOE，∴BD︵＝BE︵.方法总结：此类题主要运用了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型三】综合运用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E.求AD︵、DE︵的度数．解析：连接CD，由直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出AD︵、DE︵的度数．解：连接CD，∵△ABC是直角三角形，∠B＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.∵AC＝DC，∴∠ADC＝∠A＝54°，∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－54°＝72°，∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－72°＝18°.∵∠ACD、∠BCD分别是AD︵，DE︵所对的圆心角，∴AD︵的度数为72°，DE︵的度数为18°.方法总结：解决本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】有关圆心角、弧、弦之间关系的探究性问题如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合)，直线CP与⊙O相交于点Q.是否存在点P，使得QP＝QO？若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．解析：点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段OA有三种位置关系：点P在线段OA上，点P在OA的延长线上，点P在OA的反向延长线上．分这三种情况进行讨论即可．解：当点P在线段OA上(如图①)，在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP.在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.又∵∠AOC＝30°.∴∠QPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30°.在△OPQ中，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，即(∠OCP＋30°)＋(∠OCP＋30°)＋∠OCP＝180°，整理得3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°；当P在线段OA的延长线上(如图②)，∵OC＝OQ，∴∠OQP＝(180°－∠QOC)×12＝90°－12∠QOC.∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝(180°－∠OQP)×12＝45°＋14∠QOC.在△OQP中，30°＋∠QOC＋∠OQP＋∠OPQ＝180°，∴30°＋∠QOC＋90°－12∠QOC＋45°＋14∠QOC＝180°，∴∠QOC ＝20°，则∠OQP ＝80°，∴∠OCP ＝100°；当P 在线段OA 的反向延长线上(如图③)，∵OC ＝OQ ，∴∠OCP ＝∠OQC ＝(180°－∠COQ )×12＝90°－12∠COQ .∵OQ ＝PQ ，∴∠OPQ ＝∠POQ ＝12∠OQC ＝45°－14∠COQ .∵∠AOC ＝30°，∴∠COQ＋∠POQ ＝150°，∴∠COQ ＋45°－14∠COQ ＝150°，∴∠COQ ＝140°，∴∠OCP ＝(180°－140°)×12＝20°.方法总结：本题通过同圆的半径相等，将圆的问题转化为等腰三角形的问题，是一种常见的解题方法，还要注意分类讨论思想的运用．三、板书设计圆的对称性1．圆心角、弧、弦之间的关系2．应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验数学的生活性、趣味性.。