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高数下册总复习知识点归纳()

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第八、九章 向量代数与空间解析几何总结 向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 向量 有大小、有方向. 记作a或AB

模 向量a的模记作a 和差

单位向量 0a，则aaea

方向余弦 设a与,,xyz轴的夹角分别为，，，则方向余弦分别为cos，cos，cos 点乘（数量积） cosbaba

， 为向量a与b的夹角

叉乘（向量积） 为向量a与b的夹角

向量c与a，b都垂直 定理与公式 垂直 平行

交角余弦 两向量夹角余弦babacos

投影 向量a在非零向量b上的投影 cos()babprjaaabb

平面 直线 法向量{,,}nABC 点),,(0000zyxM 方向向量{,,}Tmnp 点),,(0000zyxM 方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征 一般式 一般式 点法式 点向式 三点式 参数式 截距式 两点式 面面垂直 线线垂直 面面平行 线线平行 线面垂直 线面平行

点面距离 面面距离

面面夹角 线线夹角 线面夹角

空间曲线： 切向量

切“线”方程：)()()(000000tzztyytxx

法平“面”方程： 切向量 切“线”方程：)()(100000xzzxyyxx 法平“面”方程：

空间曲面 ：

法向量 切平“面”方程： 法“线“方程：

或 切平“面”方程： 法“线“方程： 第十章 总结 重积分 积分类型 计算方法 典型例题 二重积分 平面薄片的质量 质量=面密度面积 （1） 利用直角坐标系

X—型 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(

Y—型 dcyyDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),( P141—例1、例3

（2）利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()xy, 为实数 )

P147—例5

（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论） P141—例2

应用该性质更方便

计算步骤及注意事项 1． 画出积分区域 2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性 三重积分 空间立体物的质量 质量=密度面积

(1) 利用直角坐标截面法投影法

投影bayxzyxzxyxyzzyxfyxVzyxf),(),()()(2121d),,(ddd),,( P159—例1 P160—例2

（2） 利用柱面坐标 cossinxryrzz





相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标

适用范围:

P161—例3 ○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2222()()fxyfxz

（3）利用球面坐标 cossincossinsinsincosxryrzr





适用范围: ○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. ○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，222()fxyz

P165—10-(1)

（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 第十一章 总结 曲线积分与曲面积分

积分类型 计算方法 典型例题 第一类曲线积分 曲形构件的质量 质量=线密度

弧长

参数法（转化为定积分）

（1）:()Lyx dtttttfI)(')('))(),((22

（2）():()()xtLtyt dxxyxyxfIba)('1))(,(2

（3）()()rr()cos:()sinxrLyr P189-例1

P190－3

平面第二类曲线积分 变力沿曲线所做的功

（1） 参数法（转化为定积分）

P196-例1、例2、例3、例4

（2）利用格林公式（转化为二重积分）

条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D） ②P，Q具有一阶连续偏导数

结论：dydxyPxQQdyPdxDL)(

应用：助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用 P205－例4

P214-5(1)(4)

（3）利用路径无关定理（特殊路径法）

等价条件：①yPxQ ②0LQdyPdx

③LQdyPdx与路径无关，与起点、终点有关 ④QdyPdx具有原函数),(yxu （特殊路径法，偏积分法，凑微分法）

P211-例5、例6、例7

（4）两类曲线积分的联系 空间第二类曲线积分 （1）参数法（转化为定积分）

（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分） 条件：①L封闭，分段光滑，有向 P240-例1 变力沿曲线所做的功 ②P，Q，R具有一阶连续偏导数

结论：dxdyypxQdzdxxRzPdydzzQyRRdzQdyPdxL)()()(

应用：助线不是封闭曲线，添加辅满足条件直接应用 第一类曲面积分 dvzyxfI),,(

曲面薄片的质量 质量=面密度

面积

投影法 ：),(yxzz 投影到xoy面

类似的还有投影到yoz面和zox面的公式 P217-例1、例2

第二类曲面积分 流体流向曲面一侧的流量

（1）投影法 ：),(yxzz，为的法向量与x轴的夹角

前侧取“+”，cos0；后侧取“”，cos0 ：),(zxyy，为的法向量与y轴的夹角

右侧取“+”，cos0；左侧取“”，cos0 ：),(zyxx，为的法向量与x轴的夹角

上侧取“+”， cos0；下侧取“”，cos0

P226-例2

（2）高斯公式 右手法则取定的侧

条件：①封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧 ②P，Q，R具有一阶连续偏导数

结论：)(zRyQxPRdxdyQdzdzPdydz

应用：助面不是封闭曲面，添加辅满足条件直接应用 P231-例1、例2

（3）两类曲面积分之间的联系 转换投影法：()()zzdydzdxdydzdxdxdyxy P228-例3

所有类型的积分： ○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；

○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；

○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章 总结 无穷级数

常数项级数

傅立叶级数

幂级数

一般项级数

正项级数

用收敛定义，nnslim存在 常数项级数的基本性质 常数项级数的基本性质

○ 若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 ○两个收敛级数的和差仍收敛 注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ○去掉、加上或改变级数有限项 不改变其收敛性 ○若级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级数去括号后未必收敛. ○（必要条件） 如果级数收敛 则0lim0nnu

莱布尼茨判别法 若1nnuu且0limnnu，则11)1(nnnu收敛

nu和nv都是正项级数，且nnvu.若nv收敛，则

nu也收敛；若nu发散，则nv也发散.

比较判别法

比较判别法的极限形式 n

u和nv都是正项级数，且lvunnnlim，则○1若

l0,nu与nv同敛或同散;○2若0l,nv收敛,nu也收敛；○3如果l，nv发散，nu也发散。

比值判别法 根值判别法 n

u是正项级数，nnnuu1lim,nnnulim,则1时收

敛；1()时发散；1时可能收敛也可能发散. 收敛性

和函数

展成幂级数

nnnxa0,nnnaa1lim,1,0;,0;0,.RRR

缺项级数用比值审敛法求收敛半径 )(xs的性质○在收敛域I上连续;○在收敛域),(RR内可导，且可逐项求导;○和

函数)(xs在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).

直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式

nxdxxfancos)(1 nxdxxfbnsin)(

1 收敛定理

x是连续点,收敛于)(xf;x是间断点,收敛于)]()([21xfxf

周期 延拓 )(xf为奇函数，正弦级数，奇延拓；)(xf为偶函数，余弦级数、偶延拓.

交错 级数

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高等数学下册知识点

高等数学下册知识点

数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠，是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。

接下来小编在这里给大家分享一些关于高等数学下册知识点，供大家学习和参考，希望对大家有所帮助。

高等数学下册知识点第一，函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用。

这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式。

主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计。

这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。

第七，解析几何。

是高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。

针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。

以不变应万变。

对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。

对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。

考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。

训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。

在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。

高数下册知识点

高数下册知识点

高数下册知识点高等数学是大学数学的重要组成部分，它的内容涵盖了较为复杂的数学理论和方法。

在高数下册中，包含了许多重要的知识点，本文将简要介绍其中一些知识点。

1. 二重积分和三重积分二重积分和三重积分是高等数学中的重要概念，它们是求解平面区域和空间体积的有效工具。

二重积分用于平面区域上函数的面积、质量、质心等的计算，而三重积分则用于空间区域上函数的体积、质量、质心等的计算。

2. 常微分方程常微分方程是描述动力学系统中各个变量之间关系的数学方程。

在高数下册中，我们将学习一阶和二阶常微分方程的解法，包括分离变量法、齐次方程和非齐次方程等解法。

3. 线性代数线性代数是高等数学中的重要分支，它研究向量、矩阵、线性变换等概念及其相应的运算规律。

在高数下册中，我们将学习矩阵的基本运算、矩阵的逆和行列式等内容。

4. 多元函数微分学多元函数微分学是研究多元函数的变化率和极值等性质的数学分支。

在高数下册中，我们将学习多元函数的偏导数、全微分以及多元函数的极值等相关知识。

5. 无穷级数无穷级数是由无穷多个数按一定规律排列而成的一种数列。

在高数下册中，我们将学习无穷级数的收敛性和发散性，以及级数的和的计算方法，如几何级数、调和级数等。

6. 傅里叶级数傅里叶级数是将周期函数展开为三角函数的级数。

在高数下册中，我们将学习傅里叶级数的基本理论和求解方法，以及应用于信号处理、波动方程等领域。

7. 空间解析几何空间解析几何是研究空间内点、直线、平面等几何对象的性质与关系的数学分支。

在高数下册中，我们将学习空间点与直线、直线与平面之间的位置关系，以及相应的空间坐标转换等内容。

8. 级数收敛与连续函数在高数下册中，我们将探讨级数收敛与发散的判别法，以及级数的运算法则。

同时，我们还将研究连续函数的性质和判断方法，如极值、最值、连续函数与导数的关系等。

9. 可导函数的求导法则可导函数的求导法则是高等数学中求导过程中常用的法则和公式。

通过学习这些求导法则，可以简化复杂函数的求导过程，提高求导的效率。

高等数学(下)知识点总结[汇编]

高等数学(下)知识点总结[汇编]

高等数学(下)知识点总结[汇编]
1.常微分方程：常微分方程是涉及未知函数在某个函数域内的导数与该未知函数自身
的关系的方程。

在常微分方程的解法中，可以使用分离变量法、齐次法等方法求解。

同时，也需要掌握一阶线性微分方程、一阶非线性微分方程、高阶线性微分方程等方程的解法。

3.多元函数微积分学：多元函数微积分学是研究多元函数的微积分理论及其应用的学科。

在多元函数微积分学的知识点中，需要掌握多元函数的极限、连续性、偏导数、方向
导数、梯度、多元函数的微分、多元函数的积分等内容。

4.向量代数与空间解析几何：向量代数与空间解析几何是研究向量相关理论及其在空
间解析几何中的应用的学科。

在向量代数与空间解析几何的知识点中，需要掌握向量的基
本运算、向量的数量积与向量积、直线及平面的方程、空间曲面方程等内容。

6.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法是利用数值方法求解常微分方程的
近似解。

其中，欧拉法、龙格-库塔法等是常用的数值解法。

掌握常微分方程的数值解法
有利于在实际问题中应用数学知识进行求解。

以上就是高等数学下学期的知识点总结。

对于学习这门学科的学生来说，掌握以上知
识点是非常重要的，可以帮助他们更好地应对考试和实际问题的求解。

高数下册知识点

高数下册知识点

高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。