沪科版九年级上数学第21章二次函数21.1二次函数的概念课件(PPT).pptx

2
画出二次函数 y＝ x 与 y＝ (x－2)2 的图


…
象．
列
表
x

y＝ x2

y＝ (x－
2)2
… －3 －2 －1

…


…

2
8




0
0
2
1




2
2
0
3




…
…
…
探究新知
描点、连线
如图，即得这两个函数的图象.
2
y＝ x


y＝ (x－2)2

y x＝2
6
5
4
3
2



知识归纳
2
y＝ax2
当向右平移︱h︱ y＝a(x－h)
2
当向左平移︱h︱ y＝a(x＋h)
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
例题与练习
例1 将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到
二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是
C
(
)
A．向上平移1个单位
B．向下平移1个单位
y
(0，5)
上
________；在对称轴的左侧，y
随 x 的增大而_______，
减小
在对称轴的右侧，y
0
增大随 x 的增大而_______；当
小x＝
____时，y 取最_____值．

思考：函数 y＝ (x－2)2 的图象，能否也可以由


函数 y＝ x2 的图象平移得到？

试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
函数解析式
二次项系数 一次项系数 常数项 a b c
y x2 58x 112
－1 2
1 2
58 4 13 0
－112 2 0 0
y 2x 4x 2
2
1 2 y x 13 x 2
y x2

二次函数y=ax² +bx+c中a≠0,而b、c可以为0.
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？ 起跳多高才能成功盖帽？
打开你的记忆
1. 函数的定义：
（在某个变化过程中，有两个变量x和y，对 于x在某一范围内的每一个确定的值，变量y 都有一个唯一确定的值与它对应，那么我们 称y是x的函数，其中x是自变量，y是x的函 数．） 2. 大家还记得我们学过哪些函数吗? ( 正比例函数，一次函数)
小结
拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,).
(否) (否) (是) (8)y=2² +2x (否)
2 －7 m 例2. y=(m+3)x
(1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1 2 k 2 k 1 0 1.函数 y (k ) x 是一次函数，求k的值。 2
2.函数 y (m 1) x 3.函数

15.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开
始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC
向点C以 4 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果点P，Q分别从点 A，B同时出
发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面 积为y cm2.
A.a≠0 C.a≠1且a≠0
B.a≠1 D.无法确定
3.下列函数关系中是二次函数的是( A ) A．正三角形的面积S与边长a的关系 B．直角三角形两锐角∠A与∠B的关系
C．矩形面积一定时，长y与宽x之间的关系
D．等腰三角形的顶角∠A与底角∠B的关系
4.已知二次函数y＝1－2x－x2，其中二次项系数a＝_-_1_, 一次项系数b＝ -2 ,常
14.已知两个变量x,y之间的关系式为y＝(m－2)·xm2-2＋x－1. (1)当m为何值时,x,y之间是二次函数关系？
解：(1)由题意,得m2－2＝2,解得m1＝2,m2＝－2.∵m－2≠0,∴m≠2,∴ 当m＝－2时,x,y之间是二次函数关系． (2)当m为何值时,x,y之间是一次函数关系？ (2)当m－2＝0,即m＝2时,y＝x－1,x,y之间是一次函数关系；当m2－2＝1,即m ＝± 3时,y＝( 3 －1)x－1或y＝(－ 3 －1)x－1,x,y之间是一次函数关系；若 x≠0,当m2－2＝0，即m＝± 2时,y＝x(x≠0),x,y之间是一次函数关系．综上所 述,当m＝2,± 3 ,± 2 时,x,y之间是一次函数关系．
(3)四边形APQC的面积能否等于172 cm2？若能，求出运动的时间；若不能， 说明理由．
(3)不能．理由：当y＝172时,4x2－24x＋144＝172,解得x1＝7,x2＝－1.又∵0 ＜x＜6，∴四边形APQC的面积不能等于172 cm2.

单向 位右
平 移 个
yx32 2
• 4、二次函数的图象和性质
• （1）当a>0时抛物线的开口怎样？a<0呢？
•
当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸。
•
当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸。
y
y
o
x
o
x
（2）说一说抛物线的对称轴和顶点坐标。 （3）当a>0时，说一说抛物线的增减性；a<0呢？ （4）说一说函数的极值。
• 例4、如图，是二次函数 yax2bxc 的图 象，请判断a、b、c的符号。
y
怎 样 判 断 a 的 符 号 ?
F
怎 样 判 断 c的 符 号 ?
H
D
o
G
E
解 抛 物 线 的 对 称 轴 在 y 轴 的 右 边
b 0 2a
即: b 0 2a
x
而a 0, b 0
a0,b0,c0
• 例5、请大家说一说抛物线的对称特点 • （1）抛物线是不是轴对称图形？ • （2）抛物线关于y轴对称有什么特点？
1 当 x为 多 少 时 , y 1> y2 ; 2当 x为 多 少 时 , y 1= y2 ; 3 当 x为 多 少 时 ,y1y2
y
B
-4
A
O1
1、这道题要不要先求出两个函数的解析式？
为什么？
2、解这道题的关键是什么？
找出两个函数的交点，重点是它们的横坐标。
X
3、如何解这道题？
主要是看函数图象在坐标系中的位置，图象 在上面的函数值大
当 C 0 时 , y = a x 2 + b x 的 图 象 有 什 么 特 点

解：(1)若这个函数是一次函数， 则 m2－m＝0 且 m－1≠0，解得 m＝0.
(2)若这个函数是二次函数， 则 m2－m≠0，即 m≠1 且 m≠0.
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基Hale Waihona Puke 夯实整合运用思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
14．如图，一块草地是长 80 m，宽 60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相 垂直的宽为 x m 的小路，这时草坪的面积为 y m2.求 y 与 x 的函数表达式， 并写出自变量 x 的取值范围．
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解：(1)S＝12πr2＋8r(r＞0)．
(2)当 r＝2，π＝3.14 时， S＝12×3.14×22＋8×2 ＝22.28 ≈22.3(m2)．
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（A ）
C．y＝(1－x)2＋a D．y＝x2＋a
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6．已知正方形的周长是 x cm，面积为 y cm2，则 y 与 x 之间的函数表达
式为_y_＝y＝116x2(x＞x02)(x＞0)__．
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（C ）
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9．下列关系中，是二次函数关系的是
（C ）
A．当距离 s 一定时，汽车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系
B．在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体的质量 x 之间的关系
C．圆的面积 S 与圆的半径 r 之间的关系

能力提升练 6．某校为绿化校园，在一块长为 15 米，宽为 10 米的长方形空
地上建造一个长方形花圃，如图，设计这个花圃的一边靠墙 (墙长大于 15 米)，并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路， 设小路的宽为 x 米，花圃面积为 y 平方米，求 y 与 x 之间的 函数表达式，并写出自变量的取值范围．
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第21章 二次函数与反比例函数
第1节 二次函数
习题链接
提示：点击 进入习题
核心必知
1 y＝ax2＋bx＋c
2 全体实数
基础巩固练 1A
答案显示
2D
3 y＝70x2＋210x＋210
4C 5 y＝－12x2＋x
习题链接 6 见习题 7 见习题
答案显示
核心必知
1．一般地，表达式形如_y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a，b，c 是常数，且 a≠0) 的函数叫做 x 的二次函数，其中 x 是自变量．
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1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯量的取值范围一般都是全__体__实__数__，但是在实际 问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义．

知1－练
感悟新知
知1－练
解：① y=1－ 2 x2 ＝ － 2 x2 ＋ 1，是二次函数； ②分母中含有自变量，不是二次函数； ③ y=3x(1－3x) ＝ － 9x2+3x，是二次函数； ④ y=(1－2x)(1＋2x) ＝ － 4x2+1，是二次函数．
答案：C
感悟新知
知1－练
1-1. [ 月考·合肥 ] 下列各式中， y 是 x 的二次函数的 是( C ) A.y=3x － 1 B.y=x2 － ( x+1)( x － 5) C.y=x2 － 5x+13
感悟新知
特别提醒
知1－讲
(1)二次项系数、一次项系数和常数项包括它们前
面的符号，不要漏掉 .
(2) 二次函数y=ax2+bx+c( a ≠ 0)的特殊形式：
特殊形式 二次项 一次项 常数项
y=ax2(a≠0)
ax2
无
0
y=ax2+bx(a≠0) ax2
bx
0
y=ax2+c(a≠0) ax2
无
c
感悟新知
感悟新知
知2－练
2-1.某商品的进价为每件 40 元，如果售价为每件 50 元， 每个月可卖出210 件；如果售价超过 50元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 1 件；如果售价超过 80 元后，若再涨价，则每涨 1 元每个月少卖 3 件 . 设每件商品的售价为x元( x为 整数)，每个月的销售量为y 件.
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知2－练
(1) 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值 范围； 解：当 50＜x≤80 时，y＝210－(x－50)，即 y＝260－x； 当 80＜x＜140 时，y＝210－(80－50)－3(x－80)， 即 y＝420－3x. 综上所述，y＝246200－ －x3（ x（508<0<x≤x<801）40，）.

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思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?
1. 什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与
y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值 与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
2. 什么是一次函数？正比例函数？ 形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次
解：当 | k | = 2 且 k - 2 ≠ 0，即 k = -2 时，y 是 x 的
二次函数.
2. 若函数 y (m2 9)x2 (m 2)x 4 是二次函数， 那么 m 的取值范围是什么？
解： 由题意得 m2 9 0，所以 m ≠ ±3.
3. 若函数 y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4 是二次函数，
思考： 1. 已知二次函数 y＝－10x2＋180x＋400，自变量 x 的取 值范围是什么？ 2. 在例 3 中，所得出 y 关于 x 的函数关系式 y＝－10x2 ＋180x＋400，其自变量 x 的取值范围与 1 中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围还应符合实际 情况，使实际问题有意义.
解：（1）由题意知
m2 7 1，Βιβλιοθήκη m30，解得
m=
2
2.
（2）由题意知
m2 7 2，
m
3
0，
解得 m = 3.
注意 第 (2) 问易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，
从而得出 m = ±3 的错误答案，需要引起重视.
变式训练
y1. 已(k 知 2)x k

第21章
21.1 二次函数
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-7-
8.如图,一块草地是长80 m、宽60 m的矩形,欲在中间修筑两条互相垂直且宽均为x m的小路,这 时草坪面积为y m2.求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
解:由题意得y=( 80-x )( 60-x )=x2-140x+4800( 0<x<60 ). 所以函数关系式为y=x2-140x+4800( 0<x<60 ).
①x天后每斤海鲜的市场价为 30+x 元; ②x天后死去的海鲜共有 10x 斤,死去的海鲜的销售总额为 200x 元; ③x天后活着的海鲜还有 1000-10x 斤.
第21章
21.1 二次函数
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-12-
( 2 )如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售,加上已经售出的死去的海鲜,销售总额为y1,写出 y1关于x的函数表达式. ( 3 )若每放养一天需支出各种费用400元,写出经销商此次经销活动获得的总利润y2关于放养 天数x的函数表达式.
第21章
21.1 二次函数
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-10-
解:( 1 )由题可知 m2-3m-2=2,解得 m1=4,m2=-1,
∵m+1≠0,∴m≠-1,∴m=4.
( 2 )当 y=0 时,即 5x2+3x-2=0,解得 x1=25,x2=-1.
第21章
21.1 二次函数
知识要点基础练
解:( 2 )根据题意得y1=( 1000-10x )( 30+x )+200x=-10x2+900x+30000. ( 3 )根据题意得y2=y1-30000-400x=-10x2+500x.

• (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是(1)中图象上的两点，且x1＜ x2＜1，请直接写出y1，yy12>的y2大小关系_________； • (3)利用(1)中的图象表示出方程x2－2x－1＝0的根，画在(1) 的图象上即可，要求保留画图痕迹．
• 解：(1)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，抛物线的顶点坐标为 (1，－4)；当x＝0时，y＝x2－2x－3＝－3，则抛物线与y轴的 交点坐标为(0，－3)；当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1， x2＝3，抛物线与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)，图象如下； • (3)y＝－2时，x2－2x－3＝－2， • 即x2－2x－1＝0，方程x2－2x－1＝0的
• A．(0，－3)
B．(－3,0)
C( )
• C．(－4,0)
D．(－2,0)
0 3或－1
• 解：(1)∵抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b2－4ac＝16－8c＞0，∴c＜2； • (2)∵抛物线y＝2x2－4x＋c的对称轴为直线x＝1，∴点A(2， m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧．又∵a＝2>0，∴当x≥1时， y随x的增大而增大，∴m＜n.
• 7．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(－2,0)和点B(1,0)， 交y轴于点C(0,2)．
• (1)求抛物线的函数表达式；
• (2)若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标．
C
6.18＜x＜6.19
• 10.已知二次函数y＝x2－2x－3.
• (1)请你把已知的二次函数化成y＝(x－h)2＋k的形式，并 在平面直角坐标系中画出它的图象；
• 16．已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)． • (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； • (2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上

当x=－2时，y=x2=4， 所以C点在二次函数y=x2的图象上； 当x=2时，y=－x2=－4， 所以B点在二次函数y=－x2的图象上； 当x=－2时，y=－x2=－4， 所以D点在二次函数y=－x2的图象上．
练一练
已知 y (k 2)xk2 k4 是二次函数，且当x＞0时，
y随x增大而增大，则k= 2 .
典例精析
例2：已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关 于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的 坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二 次函数y=－x2的图象上吗？
（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ 解：（1）当x=2时，y=x2=4， 所以A（2，4）在二次函数图象上；
分析：y (k 2)xk2 k4 是二次函数，即二次项的系数
不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大, 即说明二次项的系数大于0.因此，
k2 k 4 2 k 2＞0 解得k=2
例3. 已知二次函数y＝2x2. (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，
当a<0时，a越小（即 a的绝对值越大）， 开口越小.
－4 －2 －2 －4
－6
－8
y x2
24
y 1 x2 2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识要点
y＝ax2 图象
位置开 口方向 对称性
顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
y 3x 4,
解：由题意得

例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).
(2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都
是整数，求正整数 m 的值． 解：令 y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0 或 mx－2＝0，
解得
x1＝1，x2＝
2 m
.
当正整数 m = 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线
b 2a
没有交点
有两个不相等的实数根 x1,x2 b2 - 4ac＞0
b 2a
b2
-
4ac
=
0
没有实数根
b2 - 4ac＜0
例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0). (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点； 证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 (m ≠ 0)， ∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0， ∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有两个实数根. ∴ 抛物线 y＝mx2－(m＋2)x＋2 与 x 轴总有交点.
时 y 更接近 0，故 x1≈-2.4. 同理可得另一近似根为 x2≈0.4.
方法归纳
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. (1) 用描点法作出二次函数的图象； (2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的取
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多
少飞行时间？
h/m h = 20t - 5t2
解：令 15 = 20t - 5t2，
15
整理，得 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1， t2 = 3.