高考数学一轮复习第七章立体几何7-2空间几何体的表面积与体积课时提升作业理

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7。

2 空间几何体的表面积与体积［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．（2017·东北五校联考)如左图所示,在三棱锥D－ABC中,已知AC＝BC ＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正视图、俯视图如右图所示，则其侧视图的面积为（）A。

6 B．2 C。

错误! D.错误!答案D解析由几何体的结构特征和正视图、俯视图,得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一直角边为CD，其长度为2,另一直角边为底面三角形ABC 的边AB上的中线，其长度为错误!，则其侧视图的面积为S＝错误!×2×错误!＝错误!，故选D.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π答案A解析由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成(如图）,其中长方体的长、宽、高分别为4，2,2，圆柱的底面半径为2，高为4.所以该几何体的体积V＝4×2×2＋错误!π×22×4＝16＋8π。

故选A。

3．（2018·合肥质检）一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为（)A．72＋6π B．72＋4π C．48＋6π D．48＋4π答案A解析由三视图知，该几何体由一个正方体的错误!部分与一个圆柱的错误!部分组合而成(如图所示），其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×（2＋2＋π)＝72＋6π。

第2讲空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2．柱、锥、台和球的表面积和体积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( )(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )(3)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.( )(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(2016·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20πB．24πC．28πD．32π答案 C解析由三视图可得圆锥的母线长为22＋32＝4，∴S圆锥侧＝π×2×4＝8π.又S圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C.(2)(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________ cm3.答案72 32解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，所以该几何体的体积V＝2×2×4×2＝32 cm3，表面积S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72 cm2.(3)(2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是 .答案 32解析 设球O 的半径为R ，∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，圆柱O 1O 2的底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32. (4)已知某棱台的上、下底面面积分别为63和243，高为2，则其体积为________． 答案 28 3解析 由已知得此棱台的体积 V ＝13(63＋243＋ 63×24 3 )×2＝13×423×2＝28 3.题型 一 空间几何体的表面积1．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π答案 B解析 根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S ＝2π(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.2．(2018·四川南充诊断)如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图，其俯视图是面积为82的矩形，则该几何体的表面积是( )A ．20＋8 2B ．24＋8 2C ．8D ．16答案 A解析 此几何体是一个三棱柱，且其高为8222＝4，由于其底面是等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为12×2×2＝2.又此三棱柱的高为4，故其侧面积为(2＋2＋22)×4＝16＋82，表面积为2×2＋16＋82＝20＋8 2.3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5答案 C解析 根据三视图画出该空间几何体的立体图：S △ABC ＝12×2×2＝2； S △ABD ＝12×5×1＝52； S △CBD ＝12×5×1＝52； S △ACD ＝12×2×5＝5，所以 S 表＝S △ABC ＋S △ABD ＋S △CBD ＋S △ACD＝2＋52＋52＋5＝25＋2.故选C.三类几何体表面积的求法已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.73B.172C ．13 D.17＋3102答案 C解析 由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示．则CC ′⊥平面ABC ，上下底均为等腰直角三角形，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，A ′C ′＝B ′C ′＝C ′C ＝2，∴AB ＝2，A ′B ′＝2 2.∴棱台的上底面积为12×1×1＝12，下底面积为12×2×2＝2，梯形ACC ′A ′的面积为12×(1＋2)×2＝3，梯形BCC ′B ′的面积为12×(1＋2)×2＝3，过A作AD ⊥A ′C ′于D ，过D 作DE ⊥A ′B ′，则AD ＝CC ′＝2，DE 为△A ′B ′C ′斜边高的12，∴DE ＝22，∴AE ＝AD 2＋DE 2＝32，∴梯形ABB ′A ′的面积为12×(2＋22)×32＝92，∴几何体的表面积S ＝12＋2＋3＋3＋92＝13.题型 二 空间几何体的体积角度1 根据几何体的三视图计算体积1．(2018·汕头一模)如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A ．15B ．16 C.503D.533答案 C解析 由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面，高为5的四棱锥P －A 1D 1FE ，其体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4＋12×2×2×5＝503.角度2 根据几何体的直观图计算体积2. (2018·天津高考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________．答案112解析 依题意得：该四棱锥M －EFGH 为正四棱锥，其高为正方体棱长的一半，即为12，正方体EFGH 的边长为22，其面积为12，所以四棱锥M －EFGH 的体积V M －EFGH ＝13Sh ＝13×12×12＝112.求体积的常用方法1．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 C解析 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面面积S ＝＋2＝3，高h ＝2，所以V ＝Sh ＝6.2．祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等．则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图所示，将底面直径皆为2b ，高皆为a 的半椭球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面在距平面β任意高度d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S 圆＝S 环总成立，据此，短轴长为4 cm ，长轴长为6 cm 的椭球体的体积是________cm 3.答案 16π解析 因为总有S 圆＝S 环，所以半椭球体的体积为V 圆柱－V 圆锥＝πb 2a －13πb 2a ＝23πb 2a .又2a ＝6,2b ＝4，即a ＝3，b ＝2，所以椭球体的体积V ＝43πb 2a ＝4π3×22×3＝16π.题型 三 几何体与球的切、接问题1．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310答案 C解析 解法一：如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝1232＋42＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝132.解法二：将直三棱柱补形为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1，则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球．所以体对角线BC 1的长为球O 的直径．因此2R ＝32＋42＋122＝13.故R ＝132.2．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3答案 B解析 如图所示，点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 的中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 体积最大，此时，OD ＝OB ＝R ＝4.∵S △ABC ＝34AB 2＝93， ∴AB ＝6，∵点M 为三角形ABC 的重心， ∴BM ＝23BE ＝2 3，∴在Rt △OMB 中，有OM ＝OB 2－BM 2＝2. ∴DM ＝OD ＋OM ＝4＋2＝6，∴(V 三棱锥D －ABC )max ＝13×93×6＝18 3.故选B.条件探究1 若将举例说明2中的三棱锥D －ABC 满足的条件改为“AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90°”，计算球O 的体积．解 设A 到平面BCD 的距离为h ，∵三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90°， ∴13×12×3×3×h ＝3， ∴h ＝2，∴球心O 到平面BCD 的距离为1.设CD 的中点为E ，连接OE ，则由球的截面性质可得OE ⊥平面CBD ，∵△BCD 外接圆的直径CD ＝23，∴球O 的半径OD ＝2，∴球O 的体积为32π3.条件探究2 若将举例说明1的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2”，求该球的体积．解 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.1．解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：2．三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球(1)依据：长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)方法：补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．如举例说明1解法二．1．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．答案9π2解析 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3. 设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.2．某几何体的三视图如图所示，正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积是________．答案13π3解析 如图，易知等腰梯形的外心为下底的中点M ，设该几何体的外接球的球心为O ，半径为R ，OM ＝h ，则⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝h 2＋1，R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－h 2，整理得R 2＝1312，所以S 球表＝13π3.高频考点 三视图与空间几何体表面积、体积的综合问题考点分析 三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积、体积等知识，所涉及的几何体既包括柱、锥、台、球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体．[典例1] (2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π答案 B解析 (割补法) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.[典例2] 某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是( )A ．22＋23＋2B ．32＋23＋3C ．22＋3＋2D ．32＋3＋3答案 D解析 由已知的四棱锥三视图，可得该四棱锥的直观图如图所示：其底面面积为S 矩形ABCD ＝2×2＝22，侧面S △PBC ＝12×2×1＝1，S △PCD ＝12×2×2＝2，S △PAB ＝12×2×2＝2，S △PAD ＝12×2×22＋22＝3，所以四棱锥的表面积为S ＝22＋1＋2＋2＋3＝3＋32＋ 3.所以D 正确．。

A．2π
B．π
C．2
D．1
解析 S 侧＝2×π×1×1＝2π.
3．[教材改编]一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为菱形，则该几何体的侧面积为( ) A. 3＋ 6 B. 3＋ 5 C. 2＋ 6 D. 2＋ 5
解析 由三视图知该几何体为四棱锥，如图所示． 其中 PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，且 PA＝1，正方形的边长为 2，Rt△PAB 中，PB＝ 3， Rt△PAD 中，PD＝ 3， Rt△PAC 中，PC＝ 5，因此 PB⊥BC，PD⊥CD. 因此 S 侧＝2×12×1× 2＋2×12× 2× 3＝ 2＋ 6.
3．[教材改编] 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形， EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
小题快做 1.思考辨析 (1)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2πS.( × ) (2)设长方体的长宽高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 3πa2.( × ) (3)若一个球的体积为 4 3π，则它的表面积为 12π.( √ )
2．以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
___S__＝__π_r2_＋__π_rl_＝__π_r_(r_＋__l_) _
S 侧＝πrl
名 图形
称 圆 台
球
表面积
侧面积
S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
S 侧＝π(r＋r′)l ______________________
_S_＝___4_π_R_2___
—
2.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系

法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的
方法，应熟练掌握．
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3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥
的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计
算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”.
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[精析考题] [例3] (2011· 陕西高考)如图，在△ABC中，∠ABC＝
45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD 折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积． 返回
[自主解答]
(1)∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB. 又DB∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC.
又AD⊂平面ABD， ∴平面ABD⊥平面BDC.
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(2)由(1)知，DA⊥DB，DC⊥DA， ∵DB＝DA＝DC＝1，DB⊥DC， ∴AB＝BC＝CA＝ 2. 1 1 从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝2×1×1＝2， 1 3 S△ABC＝2× 2× 2×sin60° 2 ， ＝ 1 3 3＋ 3 ∴三棱锥的表面积S＝2×3＋ 2 ＝ 2 .
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012· 大连模拟)矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形 ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A－BCD的外接球 的体积为 125 A. 12 π 125 C. 6 π 125 B. 9 π 125 D. 3 π ( )
第 七 章
立 体 几 何
第 二 节 空 间 几 何 体 的 表 面 积和 体积
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练