2021年高三第一次（9月）月考数学文试卷含答案
班级________ _______姓名___________成绩___________
一、选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
2.若，则＝（）
A.1
B.
C.
D.
3.设，，则“”是“”的（）
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.若,,则（）
A.B.C.D.
5.函数的部分图像如图所示，则（）
A.B.
C.D.
6.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一
个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）
A.B. C.D.
7.执行下图（见下页）的程序框图，如果输入的，那么输出的（）
A.3
B.4
C.5
D.6
8.在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，其中＝(3,1)，＝(1,3)．若,且，则点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
二.填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.） 9.已知向量 ，则与夹角的大小为_________. 10.若满足约束条件，则的最小值为 ______.
11.已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则=.
12.设锐角△的三内角,所对边的边长分别为，且，则的取值范围为_________________. 13.若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是________________. 14.已知函数的单调递减区间是． (1)实数的值为________；
(2)若在上为减函数，则实数的取值范围是________．
三．解答题 (本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.设函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)当时，函数的最大值与最小值的和为3
2，求实数的值．
16.已知函数是奇函数． (1)求实数的值；
(2)设，若函数与的图像至少有一个公共点，求实数的取值范围．
17.已知数列的前项和，是等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令.求数列的前项和.
18.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调
查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），
[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数.
19.已知函数.
(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若，求函数在上的最大值和最小值；
(3)若，求证：在区间上函数的图像在函数的图像的下方．
20.已知，.
(1)令，求的单调区间；
(2)已知在处取得极大值，求实数的取值范围.
xx届高三年级第一次月考数学（文科）答案
一、选择题
1. D
2.D
3.C
4.B
5.A
6.A
7.B
8.A
二、填空题
9.10.-5 11. -2 12. 13．(-2,2)14.(1)1/3(2)(0,1/3]．
三、解答题
15.设函数f(x)＝3sin x cos x＋cos2x＋a.
(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；
(2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为3
2，求实数a 的值．
解析 (1)∵f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2
x ＋a ＝32sin2x ＋12(1＋cos2x )＋a ＝32sin2x ＋1
2
cos2x ＋a ＋12＝sin(2x ＋π6)＋a ＋1
2
，
∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2＋2k π(k ∈Z )，
解得－π3＋k π≤x ≤π
6
＋k π(k ∈Z )．
故函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π
6＋k π](k ∈Z )．
(2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π
6
.
当2x ＋π6＝－π6时，函数f (x )取最小值，即f (x )min ＝－12＋a ＋1
2＝a ；
当2x ＋π6＝π2时，函数f (x )取最大值，即f (x )max ＝1＋a ＋12＝a ＋3
2.
∴a ＋a ＋32＝3
2，∴a ＝0.
16．已知函数f (x )＝4x
＋m
2
x 是奇函数．
(1)求实数m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1
－a ，若函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点，求实数a 的取值范
围．
解析 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.
(2)函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点，即方程4x
－12x ＝2x ＋1
－a 至少有一个实根，
即方程4x －a ·2x
＋1＝0至少有一个实根．
令t ＝2x
>0，则方程t 2
－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1
t
≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．
方法二：令h (t )＝t 2
－at ＋1，由于h (0)＝1>0，
∴只需????
?
Δ≥0，a
2
>0，解得a ≥2.
∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 17.已知数列的前n 项和，是等差数列，且. （I ）求数列的通项公式； （II ）令.求数列的前n 项和. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）依题意建立的方程组，即得.
18.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I ）求直方图中的a 值；
（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.
解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.
同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.
由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a +0.5×a ， 解得a =0.30.
考点：频率分布直方图、频率、频数的计算公式 19.已知函数f (x )＝12
x 2
＋a ln x .
(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上函数f (x )的图像在函数g (x )＝23x 3
的图像的下方．
解析 (1)由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x
＝
x ＋1
x －1x
，
令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)． 当x ∈(0,1)时，函数f (x )单调递减，
当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为1
2.
(2)当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数，
所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2
＋1.
(3)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23
x 3
，
则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2
＝
1－x 1＋x ＋2x
2
x
，
当x >1时，F ′(x )<0，故F (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．又因为F (1)＝－1
6<0，所以
在区间[1，＋∞)上F (x )<0恒成立，即f (x ) (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 可得， 则， 当时，时，，函数单调递增； 当时，时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减. 所以当时，函数单调递增区间为； 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a的取值范围为.
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