高数实验报告(上)
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东南大学实验报告
1 高等数学 数学实验报告
实验人员：
院（系） ：电子科学与工程学院 学号：
姓名：
成绩_________
实验时间：2015.11
实验一:观察数列的极限
一、 实验题目
通过作图，观察重要极限 ennn)11(lim
二、实验目的和意义
利用数形结合的方法观察数列的重要极限，可以从点图上看出数列的收敛性，以及近似地观察出数列的收敛值；通过点图可以得出极限值为e。此实验得出了数列的一个重要极限。
三、计算公式
(1+1/i)i i取50个点观察收敛值
四、程序设计
data=Table[(1+1/i)i,{i,50}];
ListPlot[data,PlotRange{1,3},PlotStylePointSize[0.018]]
五、程序运行结果
102030401.251.51.7522.252.52.753 东南大学实验报告
2 六、结果的讨论和分析
通过实验结果，更加了解重要极限的值的产生，初步体验程序的编写过程，实现求极限值。在试验中，出现了因取点过少而无法观察极限的问题，在修正取点数后得到解决。
实验二：一元函数图形及其性态
一、实验题目
制作函数y=sincx的图形动画，并观察参数c对函数图形的影响。
二、实验目的和意义
通过绘制图像，简单直观地展现函数图像，观察出参数c对函数图形的影响。通过编程可以改变参数c的值，以此来发现参数改变对正弦函数周期的影响。此实验使对正弦函数理解更为直观、明了。
三、计算公式
y=sincx
四、程序设计
Do[Plot[Sin[c*x],{x,-3,3},PlotRange{-1,1}],{c,1,3,1/2}]
五、程序运行结果
-3-2-112-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751-3-2-112-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751-3-2-112-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751-3-2-112-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751东南大学实验报告
3 -3-2-112-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751
六、结果的讨论和分析
参数c从1到3以1/2为步长，改变参数值c使得正弦函数的周期发生变化，C值越大，周期越小。通过程序展示参数改变过程中图形变化情况，要使之更加生动，可以对这些图形进行动画演示。
实验三：泰勒公式与函数逼近
一、 实验题目
（根据图形观察泰勒展开的误差）观察sxxfco)(的各阶泰勒展开的图形。
二、 实验目的和意义
利用Mathematica计算函数)(xf的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。
三、 计算公式
一个函数)(xf若在点0x的邻域内足够光滑，则在该邻域内有泰勒公式
）（nknkkxxoxxkxfxfxf||)(!)()()(0010)(0，
当||0xx很小时，有 knkkxxkxfxfxf)(!)()()(010)(0，
其中，knkkxxkxfxfxT)(!)()()(010)(0称为)(xf在点0x处的n阶泰勒多项式；）（nxxo||0为余项。
四、程序设计与程序运行结果
（1）固定00x，观察阶数n的影响。
因为xxfcos)(在00x处的奇数阶导数为零，所以首先我们在同一坐标系内显示函数东南大学实验报告
4 xxfcos)(及它的)14,,6,4,2(nn阶泰勒多项式的图形。故输入命令如下：
tTableNormalseriesCosx,x,0,i,i,1,13,2;PrependTot,Cosx;PlotEvaluatet,x,Pi,Pi
上述语句中的函数“PrependTo[t,Cos[x]]”是表示把函数sxCo添加到表t中。运行后得到图3-1。
-3-2-1123-1-0.50.51
图3-1
为了使图形比较更加生动，下面我们作出xcos和它的某一阶泰勒多项式的同一坐标系下的比较图，并且在图中红色曲线表示函数xxfcos)(的图形，蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。命令如下：
Fori1,i11,aNormalSeriesCosx,x,0,i;Plota,Cosx,x,Pi,Pi,PlotStyleRGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0;ii2
运行后得到了六幅图（图3-2），从图表中可以观察到泰勒多项式与函数图形的重合与分离情况，显然在],[范围内，第五幅图中两个函数的图形已经基本上吻合了，也就是说，xcos的10次多项式与函数几乎无差别。
-3-2-1123-1-0.50.51-3-2-1123-4-3-2-11 东南大学实验报告
5
-3-2-1123-1-0.50.51-3-2-1123-1-0.50.51
-3-2-1123-1-0.50.51-3-2-1123-1-0.50.51
图3-2
（2）扩大显示区间范围，以观察在偏离展开点0x时泰勒多项式对函数的逼近情况。
显然，我们只要把上一个程序中的绘图命令中的x范围由],[分别改到]2,2[，并相应增加阶数。故输入如下命令：
Fori7,i17,aNormalSeriesCosx,x,0,i;Plota,Cosx,x,2Pi,2Pi,PlotStyleRGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0;ii2
运行上面程序，绘出了从8阶直至18阶的泰勒多项式与xcos的比较图（图3-3），观察图表可得，在区间]2,2[范围内，xcos的18次多项式与函数吻合得很好了。
-6-4-2246-4-3-2-11-6-4-2246-11234
东南大学实验报告
6 -6-4-2246-5-4-3-2-11-6-4-2246-1-0.50.511.522.5
-6-4-2246-1-0.50.51-6-4-2246-1-0.50.51
图3-3
（3）固定6n，观察0x对函数逼近的影响。
在下面的语句中，为了方便调用xcos的泰勒多项式，首先定义了xcos的泰勒展开函数tt，然后用不同的颜色在同一坐标系中画出了xcos及xcos的分别在6,3,0000xxx处的6阶泰勒多项式的图形：
ttx0_,n:NormalSeriesCosx,x,x0,n;gs0tt0,6;gs3tt5,6;gs6tt6,6;PlotCosx,gs0,gs3,gs6,x,3Pi,3Pi,PlotRange2,2,PlotStyleRGBColor0,0,1,RGBColor1,0,1,RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0
输出的结果如图3-4所示。
-7.5-5-2.52.557.5-2-1.5-1-0.50.511.52 东南大学实验报告
7 图3-4
五、结果的讨论和分析
从本实验我们可以得到一些结论，函数的泰勒多项式对于函数的近似程度随着阶数的提高而提高，但是对于任一确定的次数的多项式，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。
实验四： 定积分的近似计算
一、实验题目：
计算定积分dxx202sin的黎曼和，以及分别用梯形法、抛物线法计算定积分dxx202sin的近似值。
二、实验目的和意义
通过理解求定积分近似值的方法，编写函数，用不同方法求定积分dxx202sin的近似值，比较每种方法的优劣，使我们能够进一步了解定积分近似值的求解方式。
三、程序设计
1) 观察黎曼和式的收敛性
f[x_]:=Sin[x^2];a=0;b=Pi/2;n=200;
s=NSum[f[a+((k-1)+0.5)*(b-a)/n]*(b-a)/n,{k,1,n}]
2) 梯形法
f[x_]:=Sin[x^2];
a=0;b=Pi/2;m2=N[f''[0]];dalta=10^(-5);n0=100;
t[n_]:=(b-a)/n*((f[a]+f[b])/2+Sum[f[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}东南大学实验报告
8 ]);
Do[Print[n," ",N[t[n]]];
If[(b-a)^3/12n^2*m2
If[n==n0,Print["fail"]]],{n,n0}]
3) 抛物线法
f[x_]:=Sin[x^2];
a=0;b=Pi/2;delta=10^(-5);k0=25;
p[k_]:=(b-a)/(6k)*(f[a]+f[b]+2Sum[f[a+i*(b-a)/(2k)],{i,2,2k-2,2}]+4Sum[f[a+i*(b-a)/(2k)],{i,1,2k-1,2}]);
Do[Print[k," ",N[p[k]]],{k,k0}]
四、程序运行结果
1) 观察黎曼和式的收敛性
2) 梯形法
