物体的动态平衡问题解题技巧
湖北省恩施高中 陈恩谱
一、总论
1、动态平衡问题的产生——三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化，但物体仍然平衡，典型关键词——缓慢转动、缓慢移动……
2、动态平衡问题的解法——解析法、图解法
解析法——画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然后由角度变化分析判断力的变化规律；
图解法——画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。
3、动态平衡问题的分类——动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2类）、其他特殊类型
二、例析
1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定——动态三角形
【例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为F N1，球对木板的压力大小为F N2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中
A ．F N1始终减小，F N2始终增大
B ．F N1始终减小，F N2始终减小
C ．F N1先增大后减小，F N2始终减小
D ．F N1先增大后减小，F N2先减小后增大
解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F N1、F N2随夹角变化的函数，然后由函数讨论；
【解析】小球受力如图，由平衡条件，有
0sin 2N =-mg F θ
0cos 1N 2N =-F F θ 联立，解得：θsin 2N mg F =，θ
tan 1N mg F = 木板在顺时针放平过程中，θ角一直在增大，可知F N1、F N2都一直在减
小。选B 。
解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小球重力和F N1的方向，然后按F N2方向变化规律转动F N2，即可看出结果。
【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形
成如右图所示闭合三角形，其中重力mg 保持不变，F N1的方向始终水平向右，
而F N2的方向逐渐变得竖直。
则由右图可知F N1、F N2都一直在减小。 F N2 mg F N1
F N1 F
mg θ
【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。设F 的方向与水平地面的夹角为θ，如图所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则
A ．F 先减小后增大
B ．F 一直增大
C ．F 一直减小
D ．F 先增大后减小
解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F 随夹角θ变化的函数，然后由函数讨论；
【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有 0sin N =-+mg F F θ
0cos f =-F F θ 其中 N f F F μ=
联立，解得：θ
μθμsin cos +=
mg F 由数学知识可知)cos(12αθμμ-+=mg F ，其中μα1tan = 当μαθ1
arctan ==时，F 最小，则θ从0逐渐增大到90°的过程中，F
先减小后增大。选A 。 解法二：图解法——可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方向是确定的，然后按“动态三角形法”的思路分析。
【解析】小球受力如图，将支持力F N 和滑动摩擦力F f 合成为一个力F 合，
由N f F F μ=可知，μβ=tan 。
由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三
角形，其中重力mg 保持不变，F 合的方向始终与竖直方向成β角。
则由右图可知，当θ从0逐渐增大到90°的过程中，F 先减小后增大。
2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三角形的三边平行——相似三角形
【例2】半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小
滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，
另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小
球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N F 和绳对小球的拉力T F 的大小变化
的情况是
A 、N F 变大，T F 变小
B 、N F 变小，T F 变大
C 、N F 变小，T F 先变小后变大
D 、N F 不变，T F 变小
解法一：解析法（略）
解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个
力的三角形，发现这个力的三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角形对F N
F mg F f θ F N F mg F f F 合
θ β F
F 合 mg β F N mg
F f
O O ’
F T2 mg F T1
α
应边长比边长，三边比值相等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。
【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很容易发现，这三个力与O AO '∆的三边始终平行，即力的三角形与
几何三角形O AO '∆相似。则有。 L
F R F h R mg T N ==+ 其中，mg 、R 、h 均不变，L 逐渐减小，则由上式可知，N F 不变，T F 变小。
3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定——圆与三角形
【例3】在共点力的合成实验中，如图，用A ，B 两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置O ，这时两绳套AO ，BO 的夹角小于90°，现在保持弹簧秤A 的示数不变而改变其拉力方向使α角变小，那么要使结点仍在位置O ，就应该调整弹簧秤B 的拉力的大小及β角，则下列调整方法中可行的是
A 、增大
B 的拉力，增大β角 B 、增大B 的拉力，β角不变
C 、增大B 的拉力，减小β角
D 、B 的拉力大小不变，增大β角 解法一：解析法（略） 解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”——保持长度不变F A 将F A 绕橡皮条拉力F 端点转动形成一个圆弧，F B 的一
个端点不动，另一个端点在圆弧上滑动，即可看出结果。 【解析】如右图，由于两绳套AO 、
BO 的夹角小于90°，在力的三角形中，F A 、
F B 的顶角为钝角，当顺时针转动时，F A 、
F B 的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。 由图可知，这个过程中F B 一直增大，但β角先减小，再增大。故选ABC 。
4、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持不变——圆与三角形（正弦定理）
【例4】如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角θ=120°不变，
若把整个装置顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA 绳的拉力F T1，CB 绳的
拉力F T2的大小变化情况是
A 、F T1先变小后变大
B 、F T1先变大后变小
C 、F T2一直变小
D 、F T2最终变为零
解法一：解析法1——让整个装置顺时针转过一个角度α，画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条件列方程，解出F T1、F T2随α变化的关系式，然后根据的变化求解。
【解析】整个装置顺时针转过一个角度后，小球受力如图所示，设AC 绳与
竖直方向夹角为α，则由平衡条件，有 0)cos(cos 2T 1T =--+mg F F αθα
F N
mg F f F F B F A o
A B βαB
A β α O F F B
F A β α
