第一章丰富的图形世界

第一章 丰富的图形世界

一、 知识梳理

一.几种常见的几何体

1．柱体

① 棱柱体：〔如图（1)(2）〕，图中上下两个面称棱柱的底面，周围的面称棱柱的侧面，面与面的交线是棱柱的棱．其中侧面与侧面的交线是侧棱，棱与棱的交点是顶点．

点拨：正方体和长方体是特殊的棱柱，它们都是四棱柱．正方体是特殊的长方体．

② 圆柱：图（3）中上下两个圆面是圆柱的底面，这两个底面是半径相同的圆，周围是圆柱的侧面．

点拨：棱柱和圆柱统称柱体．

2．锥体

① 圆锥：〔如图（4）〕图中的圆面是圆锥的一个底面，中间曲面是圆锥的侧面，圆锥只有一个顶点．

② 棱锥：〔如图（5）〕图中下面多边形面是棱锥的一个底面，其余各三角形面是棱锥的侧面．

点拨：棱锥和圆锥统称锥体．

3．台体

1 圆台：〔如图（6）〕图中上下两个大小不同的圆面是圆台的底面，中间曲面是圆台的侧面．

2 棱台：〔如图（7）〕图中上下两个大小不同的多边形是棱台的底面，其余四边形是棱台的侧面．

4．球体：〔如图（8）〕图中半圆绕其直径旋转而成的几何体，球体表面是曲面．

二．几何体的展开图

1. 圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图：

2. 正方体的平面展开图(有11种):

三．用平面截一个几何体出现的截面形状

1.用一个平面去截正方体，可能出现下面几种情况：

三角形 正方形 长方形 梯形 五边形 六边形

点拨：用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形．

2. 几种常见的几何体的截面:

几何体 截面形状

正方体 三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形

圆 柱 圆、长方形、正方形、……

圆 锥 圆、三角形、……

球 圆

点拨：用平面去截圆柱体，可以与圆柱的三个面(两个底面，一个侧面)同时相交，由于圆柱侧面为曲面，相交得到是曲线，无法截出三角形．

四．识别物体的三视图

1．主视图、左视图、俯视图的定义

从不同方向观察同一物体，从正面看图叫主视图，从左面看图叫左视图，从上面看图叫做俯视图．

2．几种几何体的三视图

(1)正方体：三视图都是正方形．

(2)球 体：三视图都是圆．

(3)圆柱体：

(4)圆锥体：

点拨：圆锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图的图中有一个点表示圆锥的顶点，因为从上往下看圆锥时先看到圆锥的顶点，再看到底面的圆．

3．用若干个小正方体搭成几何体的三视图

如图：从正面看2列每列1层;从左面看2列每列1层;从上面看2列左列2层右列1层．则三视图是：

点拨：①主视图与俯视图列数相同，俯视图中每列的方框内的最大数字即为主视图本列的层数．

②左视图的列数与俯视图的行数相同，俯视图每一横行的方框内的最大数字即为左视图中的列的层数．

二、课堂精讲例题

例1常见几何体的特征

(1)列说法中，正确的个数是（ ）.

①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤正棱柱的侧面一定是长方形.

（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个

【难度分级】A

【试题来源】经典试题

【解 析】n棱柱的数量特征如下：它有3n条棱，(n＋2)个面，侧面一定是长方形．对于完全相同的面则需注意．棱柱的侧棱都是相等的但底面边长不一定相等，因此以底面边长和侧棱为长和宽的侧面的大小不一定相同。所以填“C”.

(2)观察下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出来( )

A B C

D

【难度分级】A

【试题来源】经典试题

【解 析】看清楚图形旋转前的特征,和旋转后对比即可.答案:选D.

例2常见几何体的展开图问题

下列展开图中，不能围成几何体的是（ ）.

【难度分级】A

【试题来源】中考试题

【解 析】看清楚B选项两个底面在一侧了,答案选B.

例3常见的平面图形问题

从五

边形

的同一顶点出发，分别连接

这个顶点与其余各

顶点，可以把这个五边形分成_______个三角形.

若是一个六边形，可以分割成_______个三角形.

【难度分级】A

【试题来源】经典试题

【解 析】观察平面图形,画出对角线.答案: 五边形分成3个三角形，六边形4个三角形.

【针对性训练A级】

1.如下图中为棱柱的是（ ）

2.如图绕虚线旋转得到的几何体是（ ）.

3.下列各个平面图形中，属于圆锥的表面展开图的是( )

A B C

D

例4正方体的展开图问题

(1)如右上图是个正方体的展开图，图中已标出三个面在正方体中的位置，F表示前面,R表示右面,D表示下面,试判断另外三个面A,B,C在正方体中的位置.

【难度分级】B

【试题来源】中考试题

【解 析】把上面的展开图还原成立体图形，弄清楚A、B、C三字母对面的字母分别是F、D、R.答案:A表示后面，C表示左面，B表示上面.

例5截一个几何体问题

用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码。

A（ ）；B（ ）；C（ ）；D（ ）；E（ ）.

【难度分级】B

【试题来源】经典试题

【解 析】平面去截几何体，所得的截面可以是不同情况,注意分类．答案: A（1、5、6）；B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）

例6几何体的三视图问题

画出下列立方体的三视图:

【难度分级】B

【试题来源】经典试题

【解 析】注意主视图与俯视图列数相同,左视图的列数与俯视图的行数相同.

【针对性训练B级】

1.有上图每个图形都是由6个全等的正方形组成的，其中不是正方体的展开图的是（ ）

A B C D

2．（10菏泽）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）

3.判断题

1．用一个平面去截一个正方体，截出的面一定是正方形或长方形．（ ）

2．用一个平面去截一个圆柱，截出的面一定是圆．（ ）

3．用一个平面去截圆锥，截出的面一定是三角形．（ ）

4．用一个平面去截一个球，无论如何截，截面都是一个圆．（ ）

例7正方体的三视图问题

用小立方块搭一几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少要_____个立方块，最多要____个立方块.

【难度分级】C

【试题来源】经典试题

【解 析】注意主视图与俯视图列数相同,左视图的列数与俯视图的行数相同.答案: 最少9个，最多13个.

例8最短距离问题

如图，正方体盒子中，一只蚂蚁从B点沿正方体的表面爬到D1点，画出蚂蚁爬行的最短线路.

【难度分级】C

【试题来源】经典试题

【解 析】正方体是空间图形，解决空间图形的问题，经常是将空间图形转化为平面图形，这正是转化思想的体现.将正方体展开成平面图形，如图所示，因为两点之间线段最短，所以，在图中，BD1就是所要求的最短线路.

【针对性训练C级】

1.将左边的正方体展开能得到的图形是 （ ）

A B C D

2.如右上图，用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？