第一章：丰富的图形世界
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◆初一(上)数学讲义
把生活变成梦想，把梦想变成现实第1页第一章：丰富的图形世界
◆1.1生活中的立体图形
1．生活中常见的立体图形
(1)常见的立体图形和对应的几何体
图(1)是生活中几种常见的实物图形，其对应的几何体如图(2)所示．
图(1) 图(2)
生活中蕴含着大量的几何图形，这些几何图形可以抽象为几何体。常见的几何体有长方体、正方体、
圆柱、圆锥、球和棱柱等．
注意：棱锥也是一种常见的几何体．如上面的最后一图．
(2)几何体的组成
几何体是由平面或曲面围成的立体图形．如果围成的面都是平的，叫做多面体．
【例1】下列图形中，上面一行是一些具体的实物图形，下面一行是一些几何体，试用线连接几何体和类似的实物图形．
2．几何图形的构成
(1)几何图形的构成
几何图形包括立体图形和平面图形，几何图形是由点、线、面构成的．
面有平面和曲面，面不分厚薄；线有直线和曲线，线不分粗细．
面与面相交得到线，线与线相交得到点，点不分大小．
(2)点、线、面的关系
从运动的角度看，点动成线，线动成面，面动成体．
例如，把笔尖看做一个点，笔尖在纸上移动就能形成一条线，即点动成线．点动成线的实例还有：流
星划过天空、粉笔在黑板上划动、保龄球滚动过的路线等．
钟表的分针旋转一周形成一个圆面，即线动成面．线动成面的实例还有：汽车上的雨刷扫过玻璃窗、
用刷子涂油漆等．
长方形绕它的一边旋转一周就能形成一个圆柱，即面动成体．面动成体的实例还有：以三角形的一边
为轴旋转一周形成的几何体等．
【例2】如图所示的立体图形，是由__________个面组成的，其中有__________个平面，有__________个
曲面；面与面相交成__________条线，其中曲线有__________条．◆初一(上)数学讲义
把生活变成梦想，把梦想变成现实第2页点技巧 线与面的数法
对于几何体，面与面相交得到线，线与线相交得到点．在数面时可先数底面，再数侧面；数线时，可先数底面与侧面相交成的线，再数侧面与侧面相交成的线．
3．立体图形的识别
几何图形的特征：
(1)圆柱：两个底面是等圆，侧面是曲面．如八宝粥盒、茶杯等．
(2)圆锥：底面是圆，侧面是曲面．像锥子．如烟囱帽、铅锤、漏斗等．
(3)长方体：有6个面，底面是长方形，相对的两个面平行且完全相同．如砖、文具盒等．
(4)正方体：6个面是大小完全相同的正方形．如魔方等．
(5)棱柱：所有侧棱长都相等，底面是多边形，上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边
形．
(6)球：由一个曲面组成，圆圆的．如足球、乒乓球等．
(7)棱锥：一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角形．多边形的面称为棱锥的底面，其
余
各面称为棱锥的侧面．根据底面的边数可将棱锥分为三棱锥、四棱锥……
谈重点： 从哪几个方面认识几何体的特征？
①有几个面围成，是平面还是曲面；
②有无顶点，有几个顶点；
③侧面是平面还是曲面；
④底面是什么形状，是多边形还是圆，有几个底面等．
【例3－1】请在每个几何体下面写出它们的名称．
【例3－2】如图，在下面四个物体中，最接近圆柱的是( )．
4.几何体的分类
(1)几何体按柱、锥、球的特征分为：◆初一(上)数学讲义
把生活变成梦想，把梦想变成现实第3页(2)按围成的面分为：
分类是数学中的基本方法，在分类时要统一标准，做到不重不漏．
【例4－1】在粉笔盒、三棱镜、乒乓球、易拉罐瓶、书本、热水瓶胆等物体中，形状类似于棱柱的有(
)．
A．1个 B．2个C．3个 D．4个
【例4－2】将下列几何体分类，并说明理由．
5．几何体的形成
(1)长方形绕其一边所在直线旋转一周得到圆柱；
(2)直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到圆锥；
(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周得到球体．
释疑点 旋转体的形成
①平面图形旋转会形成几何体；
②平面图形绕某一直线旋转一周才可以形成几何体；
③由平面图形旋转而得到的几何体有：圆柱、圆锥、球以及它们的组合体．
【例5】我们曾学过圆柱的体积计算公式：V＝Sh＝πR2h(R是圆柱底面半径，h为圆柱的高)，现有一个长
方形，长为2 cm，宽为1 cm，以它的一边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多
少？◆初一(上)数学讲义
把生活变成梦想，把梦想变成现实第4页6. 简单多面体
定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫多面体。
正多面体：各条棱相等，各个面是相同的正多边形，如图，这些几何体分别是正四面体、正六面体、
正
八面体、正十二面体、正二十面体。注意：正多面体只有上述的五种，正多面体的面（正多边形）只有三种：正三角形、正方形、正五边
形。
请数一数每一种几何体的顶点数（V）、棱数（E）、和面数（Ｆ）。计算Ｖ＋Ｆ－Ｅ，你发现了什么？
多面体中：顶点数（V）、棱数（E）、和面数（Ｆ）。Ｖ＋Ｆ－Ｅ=2，这就是著名的欧拉公式。
【例6-1】一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ；
【例6-2】某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的，
且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱。设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为x
个，求的值。yxy
【例6-3】有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都
相等，求正五边形、正六边形的个数。
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◆1.2展开与折叠◆初一(上)数学讲义
把生活变成梦想，把梦想变成现实第5
页1．棱柱的表面展开图
棱柱是由两个完全相同的多边形底面和一些长方形侧面围成的．沿棱柱表面不同的棱剪开就可以得到
不同的表面展开图．如图是棱柱的一种展开图．
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(底面)和几个长方形(侧面)．
【例1】如图，请你在横线上写出哪种立体图形的表面能展开成下面的图形．
解析：(1)三棱柱两个底面是三角形
(2)六棱柱两个底面是六边形
(3)长方体两个底面是长方形
(4)三棱柱两个底面是三角形
答案：三棱柱 六棱柱 长方体 三棱柱
2．圆柱、圆锥的表面展开图
(1)圆柱的表面展开图
沿着圆柱的一条高把圆柱剪开，就得到圆柱的表面展开图．圆柱的表面展开图是两个圆(底面)和一个
长方形(侧面)，如图所示．
如果两个底面圆在长方形的同一侧(如图所示)，折叠后上端没有底，下端有两个底，则它不能折叠成
圆柱．
(2)圆锥的表面展开图
如图所示，圆锥的表面展开图是一个圆(底面)和一个扇形(侧面)．
◆圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图◆初一(上)数学讲义
把生活变成梦想，把梦想变成现实第6
页【例2】如图所示图形都是几何体的展开图，你能说出这些几何体的名称吗？
分析：主要根据顶点、棱、面的数量及侧面展开图的形状进行判断．解：圆锥、圆柱、五棱柱．
3．平面图形的折叠
平面图形沿某些直线折叠可以围成一定形状的立体图形，与立体图形展开成平面图形是一个互逆过
程．我们已经见过很多平面图形了，但并不是所有的平面图形都能折成几何体．
根据平面展开图判断立体图形的方法：
(1)能够折叠成棱柱的特征：
①棱柱的底面边数＝侧面的个数．
②棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的两侧．
(2)圆柱的表面展开图一定是两个相同的圆形和一个长方形．
(3)圆锥的表面展开图一定是一个圆形和一个扇形．
(4)能够折叠成正方体的特征：
①6个面都是完全相同的正方形．②正方体展开图连在一起的(指在同一条直线上的)正方形最多只能为4个．
③以其中1个为底面，前、后、左、右、上面都有，且不重叠．
4．正方体展开图上的数字问题
正方体是立体图形的展开与折叠的代表图形，与正方体的展开图有关的数字问题主要是相对面的找法，
确定了三组相对面，数字问题便可迎刃而解．正方体的平面展开图共有11种，可分为四类：
(1)1－4－1型：中间四个一连串，两边各一随便放
相对面的确定：
①第一行与第三行的正方形是相对面；②中间一行的4个正方形中，相隔一个是相对面．
(2)2－3－1型：二三相连错一个，三一相连随便放
相对面的确定：①第一行的正方形与第三行的左边第1个正方形是相对面；②中间一行第1个与第3个为相对面；
第
2个与第三行第2个为相对面．(3)2－2－2型：二二相连各错一◆初一(上)数学讲义
把生活变成梦想，把梦想变成现实
第7页相对面的确定：
①第一行的第1个与第二行的第2个是相对面；②第二行第1个与第三行的第2个是相对面；③第
三
行的第1个与第一行的第2个为相对面．
(4)3－3型：三三相连错一个
相对面的确定：
①第一行的第1个与第3个为相对面；②第二行的第1个与第3个为相对面；③第一行的第2个与第
二行的第2个为相对面．◆正方体折叠问题拓展
★拓展A：哪些图形不能折叠成正方体？
①“凹”字形
②“7”字形
③“田”字形
④“五子相连”
★拓展B：正方体折叠规律拓展
展开图沿横、竖方向展开时，一个方向必定由4个图形组成，而另一个方向必须是3个图形(一种例外)。
3-3型例外： 一个图形折叠以后能不能围成长方体或正方体，只要横着看、竖着看。先横着看，数一数有几排，再
竖着看，数一数有几列。如果横看时数得三排，那么，竖看时必须数得四列；如果横看时数得四排，那
么，竖看时必须数得三列；只有符合上面的要求，折叠以后才能围成长方体或正方体；如果不符合上面
的要求，折叠以后就不能围成长方体或正方体。
★拓展C：正方体折叠后相对面的确定
