关于数项级数敛散性的判定
1、问题的提出
数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的.
2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理
2.1数项级数收敛的定义
数项级数
∑∞
=1
n n
u
收敛⇔数项级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列{}n S 收敛于S .
这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{}
n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少.
2.2数项级数的性质
（1）若级数
∑∞
=1n n
u
与
∑∞
=1
n n
v
都收敛，则对任意常数c,d, 级数
∑∞
=+1
)(n n n
dv cu
亦收敛，且
∑∑∑∞
=∞
=∞
=+=+1
1
1
)(n n n n n n n
v d u c dv cu
;相反的，若级数∑∞
=+1
)(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞
=1
n n u 与
∑∞
=1
n n
v
都收敛.
注：特殊的，对于级数
∑∞
=1n n
u
与
∑∞
=1
n n
v
，当两个级数都收敛时，
∑∞
=±1
)(n n n
v u
必收敛；当其中一个
收敛，另一个发散时，
∑∞
=±1
)(n n n
v u
一定发散；当两个都发散时，∑∞
=±1
)(n n n v u 可能收敛也可能发散.
例1 判定级数∑∞
=+1)5131(n n n 与级数∑∞
=+1)21
1(n n n
的敛散性.
解：因为级数∑∞
=131n n 与级数∑∞=15
1n n 收敛，故级数∑∞
=+1)51
31(n n n 收敛.
因为级数∑∞
=11n n 发散，级数∑∞=121n n 收敛，故级数∑∞
=+1)21
1(n n n
发散.
（2）改变、增加或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性.
（3）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的敛散性，也不改变它的和.即收敛的级数在不改变各项顺序的情况下，对它的各项任意加括号后，得到的新级数还是收敛的；加括号后得到的新级数发散，那么原级数也是发散的.
例2 判定级数
++-
-+
++1
11
11
21-
1
-21n n 的敛散性.
解：先考察级数∑∞
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+--1111
1n n n ，因为12
11
11-=+--=
n n n u n ，而级数∑∞
=-1
12n n 发
散，由于加括号后得到得新级数发散，则原级数发散. （4）级数收敛的必要条件 若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则0lim =∞
→n n u .若0lim ≠∞
→n n u ，则级数
∑∞
=1
n n
u
发散.
2.3判定定理
2.3.1级数收敛的柯西准则
级数
∑∞
=1
n n
u
收敛⇔0>∀ε,*
N
N ∈∃,使得当m N >以及*
N
p ∈∀,都有
ε<++++++p m m m u u u 21.
例1 用柯西准则判别级数∑n
n
2
2sin 的敛散性. 证明：由于
p
m p m m m m m p
m m m u u u ++++++++++
++=+++22sin 22sin 22sin 221121
m
p m m p m m m 21
21212121212
1
<
-=
+++
<
++++ 因此，对于任意的0>ε.取⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
=ε1log 2N 使得当N m >及任意的*
∈N p ,由上式就有
ε<++++++p m m m u u u 21成立，故由柯西准则可推出原级数收敛. 2.3.2正项级数判别法
（1）正项
∑∞
=1
n n
u
收敛⇔它的部分和数列{}n S 有界.
