概率学 1

取a略小于m，b略大于M，则区间[a，b]是包含样本值的 区间．
再将区间[a，b]等分为l个小区间，分点记为 a t0 t1 tl b 且每个分点ti的值应比样本值多取一位小数． 相应地，样本值也分成了l个数组．
每个小区间 (ti -1 ,ti ] 的长度 h (b a) / l
所以 ( X 1 , X 2 , , X n )的概率密度为 n xi n ne i 1 , f n ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi ) i 1 0,
Байду номын сангаас
( X 1 , X 2 ,, X n ) 的概率密度.
x i 0, 其他.
152.2, 156.9, 157.3, 160.9, 159.5, 163.8, 154.8, 160.4, 158.5, 154.2, 155.1, 156.9, 155.5, 161.9, 159.1, 151.6, 162.3, 160.4, 152.9, 148.6, 160.2, 156.1, 160.4, 162.7, 156.3, 160.1, 153.5, 153.6, 149.1, 154.2, 156.5, 159.9, 159.9, 154.9, 154.7, 156.1, 157.7, 152.5, 157.7, 155.0, 160.9, 152.6, 155.5, 155.5, 165.5, 155.1, 155.7, 155.2, 162.8, 152.9, 152.0, 157.1, 158.6, 153.6, 159.8, 150.9, 158.3, 153.3, 158.5, 150.5, 157.2, 155.8, 159.9, 152.0, 161.1, 152.5, 155.0, 156.7, 157.5, 153.7 164.7, 150.0, 155.0, 158.9, 163.7, 151.5, 164.4, 148.1, 156.0, 163.6, 152.7, 153.8, 156.9, 152.7, 160.7, 151.1, 154.1, 150.8, 147.0, 155.6, 158.8, 151.8, 165.8, 148.5, 161.2, 153.8, 151.3, 150.5, 154.0, 149.6
x
从直观上看，直方图的上边近似于正态密度曲线．
2. 经验分布函数
设总体X的分布函数F(x)是未知的，且 x1 , x2 ,,xn
为X的一个样本值．对任意实数x，样本值中不超过x 的数据的频数记为m(x)，作Fn(x)= m(x)/ n 则称Fn(x)为经验分布函数．
由定义知，经验分布函数Fn(x)是事件{X≤x}的频率，
产品
0
1
2
比率
24∕1000
801∕1000
175∕1000
1.1.2 样本与抽样
样本又称子样，指按某一方式从统计总体中抽取的部分个体， 样本中的每个个体又称为样品． 一个样本中所含样品的个数称为样本容量． 抽取样本的过程称为抽样，抽取样本的方式又称为抽样方法． 样本是具有二重性的．一方面，抽样前样本中的每个样品的取 值都具有随机性，即每个样品都是随机变量；另一方面，抽样 后样本中的样品都是确定的数值．
若 X 1 , X 2 , X n 相互独立，且每个样品 X i (i 1 ,2 ,,n)
都与总体X 有相同的概率分布，则称 X 1 , X 2 , X n
为总体X的一个简单随机样本，简称样本．
样本的联合分布 设总体X的分布函数为F(x) 则样本 X 1 , X 2 , X n 的联合分布函数为
1．频率直方图
设连续型总体X的密度函数 f x 是未知的，
x1 , x2 ,,xn 是X的一个样本值．
作频率直方图的具体方法如下：
（1）将样本值适当分组： 先从样本值中找出最小值m和最大值M，即
m min x1 ,x2 , xn M max x1 ,x2 , xn
F *( x1 , x2 , , xn ) F ( x1 ) F ( x2 ) F ( xn )
若总体X为离散型总体，其分布律为 P{ X = x(i) } = p ( x(i) )，i = 1，2，…，
则样本 X 1 , X 2 , X n 的联合分布律为
P X 1 x1 , X 2 x2 ,,X n xn p ( x1 ) p ( x2 ) p ( xn )
研究生课程—数理统计
第一章 数理统计的基本概念
概率论和数理统计都是研究随机现象统计规律性的学科， 但是它们在研究问题的方法上又有其自身的特点在许多实际问 题中，要想全面地了解所研究的对象的整体情况往往是不现实
的，只能通过试验得到它的局部信息，由于局部和整体是密切
相联系的，还是可以利用这局部信息来推断整体特性的，这就 是数理统计方法的基本思想．
总体X中的每个数值按一定比率分布的规律称为总体分布． 例 设有一批产品共1000件，其中含有甲等品801件、乙 等品175件、次品24件，则这批产品构成一个总体．如果 用“1”，“2”和“0”分别表示三个等级的产品，则该总 体可看成是由801个“1”、175个“2”和24个“0”组成的 一个数集，记为X．由于“1”，“2”，“0”在X中所占的 比率依次为801∕1000，175∕1000，24∕1000，总体X的分布 可以表示为
例
设总体 X 服从参数为 ( 0) 的指数分
布, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自总体的样本, 求样本
e x , x 0, 解 总体 X 的概率密度为 f ( x ) x 0, 0, 因为 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立, 且与 X 有相同的分布,
P{ X 1 x1 , X 2 x2 , , X n xn } P{ X 1 x1 }P{ X 2 x2 } P{ X n xn }
p i 1 (1 p)
xi
n
n
i 1
xi
n
其中 x1 , x2 , , xn 在集合 {0,1} 中取值.
1.1.3 频率直方图与经验分布函数
vi f ( xi ) yi h
（3）作频率直方图： 在每个小区间 (ti-1 ,ti ] 上，以小区间为底，以 yi 为高作矩形，矩形面积即为 vi 由l个矩形构成的图形就叫做频率直方图． 频率直方图近似总体密度函数f(x)的图形， 且样本容量n愈大，近似程度愈好．
例 某厂生产圆钉的长度L是一个连续型随及变量，从中 抽取100个测量其长度后得数据如下：
所以，数理统计讨论问题的出发点是试验数据，它的基本 任务是研究如何对随机现象进行观察或试验以获得具有代表性
的局部数据，以及如何对收集到的局部数据进行整理、分析，
并对所研究的对象的整体特性做出尽可能准确的推测和判断．
数理统计的内容十分丰富，大体上可分为收集数据和统计 推断两个方面：
（1）收集数据 研究如何对随机现象进行观察或试验， 以便获得能够很好地反映整体情况的局部数据．其内容 包括抽样技术、试验设计等．
0.15 0.12 0.10
0.100
0.075 0.060 0.050
161.95～163.95
163.95～165.95
6
5
0.06
0.05
0.030
0.025
频率直方图如图
fi /n 0.1 0.075 0.05 0.025
o 145.95 149.95 153.95 157.95 161.95 165.95
在理论研究中，我们把样本中的每个样品都看作随 机变量，总体X的一个容量为n的样本通常是用n个 随机变量
X 1 , X 2 , X n 来表示，进行一次具体的
抽样之后得到n个确定的数值 x1 , x2 ,,xn 样本的一个观测值，简称为样本值．
，称为
抽样方法可分为随机抽样和判断抽样两大类．
随机抽样是从总体中随机地抽取部分个体，即所取得的样本中 的每个样品是从总体中随意抽取的； 判断抽样是根据抽样人员的判断从总体中有选择地抽取具有代 表性的部分个体． 随机抽样又分为重复抽样（或返回抽样）和非重复抽样（或无 返回抽样）两种．
总体的容量有限称为有限总体,否则称为无限总体．
例 在研究某省份学生今年的高考总分时, 该省份今 年参加高考的考生总分的全体就构成一个总体, 每 个考生的总分就是个体.
说明1 一个总体对应一个随机变量X, 我们将不区分 总体和相应的随机变量, 统称为总体X.
说明2 在实际中遇到的总体往往是有限总体, 它对 应一个离散型随机变量; 当总体中包含的个体的个数 很大时, 在理论上可认为它是一个无限总体.
其中 x1 , x2 ,, xn 每一个值都在X所有可能取的值 x(1)，x(2)，…之中； 若总体X为连续型总体，其密度函数为f(x) 则样本
X 1 , X 2 , X n 的联合密度函数为
f *( x1 , x2 , , xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn )
频数 fi 1 5 10 16
频率νi =fi /100 0.01 0.05 0.10 0.16
yi =νi / 2 0.005 0.025 0.050 0.080
153.95～155.95
155.95～157.95 157.95～159.95 159.95～161.95
20
15 12 10
0.20
为了使样本既能很好地反映总体情况，又在数学 上便于处理，对所抽取的样本常常提出某些要求， 最基本的要求有两个：
（1）样本中的各个样品是独立的随机变量，称为 独立性；
（2）样本中的每一个样品都与总体有相同的概率 分布，称为同一性． 基于上述要求，我们引入简单随机样本的概念：
定义1.1 设 X 1 , X 2 , X n 是来自总体X的一个样本，