中考数学一轮复习：一元二次方程

2025年湖南省中考数学一轮复习第五讲　整式方程(组)的概念及解法学生版知识要点对点练习1.整式方程(组)的定义 1.(1)下列是一元一次方程的是( )A.3-2xB.6+2=8C.x2-49=0D.5x-7=3(x+1)(2)下列是二元一次方程组的是( )A.{x2-y3=1y-z=2B.{2x2+y=13y-x=4C.{3x-y3=2x+y=5D.{x+y=73y+x=0(3)(教材再开发·湘教九上P28练习T1改编)下列方程中,不是一元二次方程的是( )A.x2-1=0B.x2+1x+3=0C.x2+2x+1=0D.3x2+　2x+1=02.方程(组)的解(1)方程的解:使方程两边的的值.只含一个未知数的方程的解,也叫 2.如果方程x-y=3与下面方程中的一个组成的方程组的解为{x=4y=1,那么这个方程可以是( )A.3x-4y=16B.14x+2y=5方程的.(2)方程组的解:使方程组中的各个方程都的未知数的值. C.12x+3y=8D.2(x-y)=6y3.等式的性质(1)等式两边同时(或)同一个整式,等式仍然成立.(2)等式两边同时或同一个的整式,等式仍然成立. 3.下列变形不正确的是( )A.若x=y,则x+5=y+5B.若x=y,则xa=yaC.若x=y,则1-3x=1-3yD.若a=b,则ac=bc续表知识要点对点练习4.整式方程(组)的解法 4.(1)研究下面解方程1+4(2x-3)=5x-(1-3x)的过程:去括号,得1+8x-12=5x-1-3x,①移项,得8x-5x+3x=-1-1+12,②合并同类项,得6x=10,③系数化为1,得x=53.对于上面的解法,你认为( )A.完全正确B.变形错误的是①C.变形错误的是②D.变形错误的是③(2)(教材再开发·湘教九上P33例3改编)一元二次方程x 2-4x -8=0的解是()A .x 1=-2+2　3,x 2=-2-2　3B .x 1=2+2　3,x 2=2-2　3C .x 1=2+2　2,x 2=2-2　2D .x 1=2　3,x 2=-2　3(3)关于x 的一元二次方程(m +1)x |m |+1+4x +2=0的解为()A .x 1=1,x 2=-1B .x 1=x 2=1C .x 1=x 2=-1 D.无解(4)下列关于x 的一元二次方程没有实数根的是( )A .x 2+2x -5=0B .x 2-6=xC .5x 2+1=5D .x 2-2x +2=0(5)方程组{2x +y =1x -2y =8的解是{x =2y =-3.(6)已知x 1,x 2是一元二次方程2x 2+3x -5=0的两个根,则x 1+x 2=32,x 1x 2=52.(7)目前以5G 为代表的新兴产业蓬勃发展,某市2021年底有5G 用户20万户,计划到2023年底该市5G 用户数累计达到33.8万户.设该市5G 用户数年平均增长率为x ,则x 的值是 .考点1　整式方程(组)的解【例1】(1)(2024·聊城模拟)已知方程组{ax +by =0x +2by =-3c 的解是{x =3y =-1则a -b +c 的值为()A .1B .0C .-2D .-1(2)(2024·凉山州中考)若关于x 的一元二次方程(a +2)x 2+x +a 2-4=0的一个根是x =0,则a 的值为()A .2B .-2C .2或-2D .12【方法技巧】“让根回家”来求值　已知方程的根,一般将其代回原方程,得到关于未知系数(参数)的方程(组)求解,注意还要符合“二次项系数不为0”等隐含条件.【变式训练】1.(2024·聊城模拟)关于x 的一元一次方程2x -3m =6-x 的解是负数,则m 的取值范围是()A .m <-1B .m <-2C .m >1D .m >02.(2024·吉林模拟)若方程组{2x +y =m 2x -y =10的解为{x =3y =n ,小亮求解时不小心滴上了两滴墨水,刚好遮住了m 和n 两个数,则这两个数分别为( )A .6和4B .10和0C .2和-4D .4和23.(2024·深圳中考)一元二次方程x 2-3x +a =0的一个解为x =1,则a = .考点2　一次方程(组)的解法【例2】(1)解方程:x -12-2x +36=1.(2)解方程组:{2x +3y =83x -2y =-14.【自主解答】(1)x -12-2x +36=1,去分母得,3(x -1)-(2x +3)=6,去括号得,3x -3-2x -3=6,移项得,3x -2x =6+3+3,合并同类项得,x =12.(2){2x +3y =8①3x -2y =-14②,①×2得4x +6y =16③,②×3得9x -6y =-42④,③+④得13x =-26,解得x =-2,把x =-2代入①得-2×2+3y =8,解得y =4,所以原方程组的解是{x =-2y =4.【变式训练】1.(2024·西安模拟)已知关于x ,y 的方程组{2x -y =5ax +by =2和{x +y =4ax +2by =10有相同的解,那么2a +b 值是( )A .3B .4C .5D .62.(2024·南阳模拟)解方程(组).(1)x 2=2-x 3+1.(2){3x +2y =122x -y =1.考点3　一元二次方程的解法【例3】(1)(2024·阜阳模拟)4位同学以接龙的方式解一元二次方程,每人负责完成一个步骤,如图所示,其中有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是()A .小张B .小王C .小李D .小赵(2)(2023·新疆中考)用配方法解一元二次方程x 2-6x +8=0,配方后得到的方程是()A .(x +6)2=28B .(x -6)2=28C .(x +3)2=1D .(x -3)2=1【方法技巧】方程解法选择的“优胜劣汰”1.未指明用什么方法的前提下,优先考虑因式分解法.2.特殊形式,如a(x+b)2=b(b≥0),可用直接开平方法.3.判断不明时,当选公式法.提醒:配方法烦琐,但二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,一般运用配方法.【变式训练】1.(2024·贵州中考)一元二次方程x2-2x=0的解是( )A.x1=3,x2=1B.x1=2,x2=0C.x1=3,x2=-2D.x1=-2,x2=-12.(2024·滨州中考)解方程:x2-4x=0.3.(2024·齐齐哈尔中考)解方程:x2-5x+6=0.考点4　根的判别式及根与系数的关系【例4】(2023·岳阳二模)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-6,则a的值为( )A.-10B.4C.-4D.10【方法技巧】判别式的“双向应用”1.正向:系数已知,可以判断方程根的情况.2.逆向:已知方程根的情况,可以求未知系数或参数的值.提醒:要根据a ≠0和Δ≥0这两个前提进行所求参数值的检验和取舍.【变式训练】1.(2024·自贡中考)关于x 的方程x 2+mx -2=0根的情况是( )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .只有一个实数根D .没有实数根2.(2024·乐山中考)若关于x 的一元二次方程x 2+2x +p =0两根为x 1,x 2,且1x 1+1x 2=3,则p 的值为()A .-23　B .23　C .-6　D .61.(2022·株洲中考)对于二元一次方程组{y =x -1①x +2y =7②,将①式代入②式,消去y 可以得到( )A .x +2x -1=7B .x +2x -2=7C .x +x -1=7D .x +2x +2=72.(2022·常德中考)关于x 的一元二次方程x 2-4x +k =0无实数解,则k 的取值范围是()A .k >4B .k <4C .k <-4D .k >13.(2023·怀化中考)已知关于x 的一元二次方程x 2+mx -2=0的一个根为-1,则m 的值为,另一个根为.4.(2024·湖南中考)若关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个相等的实数根,则k 的值为.5.(2024·长沙中考)为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生,其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是.6.(2023·岳阳中考)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根,且x1+x2+x1·x2=2,则实数m=.7.(2023·常德中考)解方程组:{x-2y=1①3x+4y=23②.2025年湖南省中考数学一轮复习第五讲　整式方程(组)的概念及解法 教师版知识要点对点练习1.整式方程(组)的定义1.(1)下列是一元一次方程的是(D)A .3-2x B .6+2=8C .x 2-49=0D .5x -7=3(x +1)(2)下列是二元一次方程组的是(D)A .{x 2-y3=1y -z =2B .{2x 2+y =13y -x =4C .{3x-y 3=2x +y =5D .{x +y =73y +x =0(3)(教材再开发·湘教九上P28练习T1改编)下列方程中,不是一元二次方程的是(B)A .x 2-1=0B .x 2+1x+3=0C .x 2+2x +1=0D .3x 2+　2x +1=02.方程(组)的解(1)方程的解:使方程两边　相等　的　未知数　的值.只含一个未知数的方程的 2.如果方程x -y =3与下面方程中的一个组成的方程组的解为{x =4y =1,那么这个方程可以是(D)A .3x -4y =16B .14x +2y =5解,也叫方程的　根　.(2)方程组的解:使方程组中的各个方程都　成立　的未知数的值.C .12x +3y =8 D .2(x -y )=6y 3.等式的性质(1)等式两边同时　加上　(或　减去　)同一个整式,等式仍然成立. (2)等式两边同时　乘　或　除以　同一个　不为0　的整式,等式仍然成立.3.下列变形不正确的是(B)A .若x =y ,则x +5=y +5B .若x =y ,则x a =y aC .若x =y ,则1-3x =1-3yD .若a =b ,则ac =bc续表知识要点对点练习4.整式方程(组)的解法 4.(1)研究下面解方程1+4(2x -3)=5x -(1-3x )的过程:去括号,得1+8x -12=5x -1-3x ,①移项,得8x -5x +3x =-1-1+12,②合并同类项,得6x =10,③系数化为1,得x =53.对于上面的解法,你认为(B)A.完全正确B.变形错误的是①C.变形错误的是②D.变形错误的是③(2)(教材再开发·湘教九上P33例3改编)一元二次方程x 2-4x -8=0的解是(B)A .x 1=-2+2　3,x 2=-2-2　3B .x 1=2+2　3,x 2=2-2　3C .x 1=2+2　2,x 2=2-2　2D .x 1=2　3,x 2=-2　3(3)关于x 的一元二次方程(m +1)x |m |+1+4x +2=0的解为(C)A .x 1=1,x 2=-1B .x 1=x 2=1C .x 1=x 2=-1 D.无解(4)下列关于x 的一元二次方程没有实数根的是(D)A .x 2+2x -5=0B .x 2-6=xC .5x 2+1=5D .x 2-2x +2=0(5)方程组{2x +y =1x -2y =8的解是 {x =2y =-3　. (6)已知x 1,x 2是一元二次方程2x 2+3x -5=0的两个根,则x 1+x 2=　-32　,x 1x 2=　-52　.(7)目前以5G 为代表的新兴产业蓬勃发展,某市2021年底有5G 用户20万户,计划到2023年底该市5G 用户数累计达到33.8万户.设该市5G 用户数年平均增长率为x ,则x 的值是　30%　.考点1　整式方程(组)的解【例1】(1)(2024·聊城模拟)已知方程组{ax +by =0x +2by =-3c 的解是{x =3y =-1则a -b +c 的值为(D)A .1B .0C .-2D .-1(2)(2024·凉山州中考)若关于x 的一元二次方程(a +2)x 2+x +a 2-4=0的一个根是x =0,则a 的值为(A)A .2B .-2C .2或-2D .12【方法技巧】“让根回家”来求值　已知方程的根,一般将其代回原方程,得到关于未知系数(参数)的方程(组)求解,注意还要符合“二次项系数不为0”等隐含条件.【变式训练】1.(2024·聊城模拟)关于x 的一元一次方程2x -3m =6-x 的解是负数,则m 的取值范围是(B)A .m <-1B .m <-2C .m >1D .m >02.(2024·吉林模拟)若方程组{2x +y =m 2x -y =10的解为{x =3y =n ,小亮求解时不小心滴上了两滴墨水,刚好遮住了m 和n 两个数,则这两个数分别为(C)A .6和4　B .10和0C .2和-4D .4和23.(2024·深圳中考)一元二次方程x 2-3x +a =0的一个解为x =1,则a =　2　. 考点2　一次方程(组)的解法【例2】(1)解方程:x -12-2x +36=1.(2)解方程组:{2x +3y =83x -2y =-14.【自主解答】(1)x -12-2x +36=1,去分母得,3(x -1)-(2x +3)=6,去括号得,3x -3-2x -3=6,移项得,3x -2x =6+3+3,合并同类项得,x =12.(2){2x +3y =8①3x -2y =-14②,①×2得4x +6y =16③,②×3得9x -6y =-42④,③+④得13x =-26,解得x =-2,把x =-2代入①得-2×2+3y =8,解得y =4,所以原方程组的解是{x =-2y =4.【变式训练】1.(2024·西安模拟)已知关于x ,y 的方程组{2x -y =5ax +by =2和{x +y =4ax +2by =10有相同的解,那么2a +b 值是(B)A .3B .4C .5D .62.(2024·南阳模拟)解方程(组).(1)x 2=2-x 3+1.(2){3x +2y =122x -y =1.【解析】(1)x 2=2-x 3+1,去分母得,3x =2(2-x )+6,去括号得,3x =4-2x +6,移项,合并同类项得,5x =10,系数化为1得,x =2,∴原方程的解为x =2.(2){3x +2y =12①2x -y =1②,由①+②×2得,7x =14,解得x =2,将x =2代入②式得,2×2-y =1,解得y =3,∴原方程组的解为{x =2y =3.考点3　一元二次方程的解法【例3】(1)(2024·阜阳模拟)4位同学以接龙的方式解一元二次方程,每人负责完成一个步骤,如图所示,其中有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是(D)A .小张B .小王C .小李D .小赵(2)(2023·新疆中考)用配方法解一元二次方程x 2-6x +8=0,配方后得到的方程是(D)A .(x +6)2=28B .(x -6)2=28C.(x+3)2=1D.(x-3)2=1【方法技巧】方程解法选择的“优胜劣汰”1.未指明用什么方法的前提下,优先考虑因式分解法.2.特殊形式,如a(x+b)2=b(b≥0),可用直接开平方法.3.判断不明时,当选公式法.提醒:配方法烦琐,但二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,一般运用配方法.【变式训练】1.(2024·贵州中考)一元二次方程x2-2x=0的解是(B)A.x1=3,x2=1B.x1=2,x2=0C.x1=3,x2=-2D.x1=-2,x2=-12.(2024·滨州中考)解方程:x2-4x=0.【解析】∵x2-4x=0,∴x(x-4)=0,∴x=0或x-4=0,解得x1=0,x2=4.3.(2024·齐齐哈尔中考)解方程:x2-5x+6=0.【解析】∵x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,则x-2=0或x-3=0,解得x1=2,x2=3.考点4　根的判别式及根与系数的关系【例4】(2023·岳阳二模)已知m ,n 是关于x 的一元二次方程x 2-3x +a =0的两个解,若(m -1)(n -1)=-6,则a 的值为(C)A.-10B.4C.-4D.10【方法技巧】判别式的“双向应用”1.正向:系数已知,可以判断方程根的情况.2.逆向:已知方程根的情况,可以求未知系数或参数的值.提醒:要根据a ≠0和Δ≥0这两个前提进行所求参数值的检验和取舍.【变式训练】1.(2024·自贡中考)关于x 的方程x 2+mx -2=0根的情况是(A)A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .只有一个实数根D .没有实数根2.(2024·乐山中考)若关于x 的一元二次方程x 2+2x +p =0两根为x 1,x 2,且1x 1+1x 2=3,则p 的值为(A)A .-23B .23C .-6D .61.(2022·株洲中考)对于二元一次方程组{y =x -1①x +2y =7②,将①式代入②式,消去y 可以得到(B)A .x +2x -1=7B .x +2x -2=7C .x +x -1=7D .x +2x +2=72.(2022·常德中考)关于x的一元二次方程x2-4x+k=0无实数解,则k的取值范围是(A)A.k>4B.k<4C.k<-4D.k>13.(2023·怀化中考)已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根为-1,则m的值为　-1　,另一个根为　2　.4.(2024·湖南中考)若关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个相等的实数根,则k 的值为　2　.5.(2024·长沙中考)为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生,其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是　2009　.6.(2023·岳阳中考)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根,且x1+x2+x1·x2=2,则实数m=　3　.7.(2023·常德中考)解方程组:{x-2y=1①3x+4y=23②.【解析】①×2+②得5x=25,解得x=5,将x=5代入①得5-2y=1,解得y=2,所以原方程组的解是{x=5y=2.。

专题11 一元二次方程【考查题型】【知识要点】知识点一 一元二次方程有关概念一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

【判断一元二次方程的条件】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。

一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

考查题型一 一元二次方程的解题型1．已知关于x 的方程230x mx +=+的一个根为1x =，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．4-C ．3D ．3-题型1-1．（2022年四川省资阳市中考数学真题）若a 是一元二次方程2230x x +-=的一个根，则224a a +的值是___________．题型1-2．（2022年广东省中考数学真题试卷）若1x =是方程220x x a -+=的根，则=a ____________．题型1-3．（2022年江苏省连云港市中考数学真题）若关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +-=≠的一个解是1x =，则m n +的值是___．易错点总结：知识点二：解一元二次方程（重点） 方法一：直接开平方法概念：形如2()(0)x a b b +=≥的方程两边直接开平方得x a +=x a +=，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。

【注意】1) 若b >0，方程有两个不相等的实数根；2）若b =0，方程有两个相等的实数根； 3)若b<0，方程无解。

方法二 配方法概念：将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)配方为(x+m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2） 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (x+p)2=q （q ≥0）的形式； 【注意】：1）当q <0时，方程无解2）如q ≥0时，方程的根是x=-p ±q 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解。

河北省沧州市献县2016届中考一轮数学专题复习：一元二次方程及应用测试题1．（来宾）已知实数1x ，2x 满足127x x +=，1212x x =，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（ ）A ．27120x x -+= B ．27120x x ++= C ．27120x x +-= D ．27120x x --= 【答案】A ． 试题分析：以1x ，2x 为根的一元二次方程27120x x -+=，故选A ．2．（贵港）若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 【答案】B ．试题分析：∵关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△=2(2)8(1)a ---=1280a -≥且10a -≠，∴32a ≤且1a ≠，∴整数a 的最大值为0．故选B ．3．（钦州）用配方法解方程21090x x ++=，配方后可得（ ）A ．2(5)16x +=B ．2(5)1x +=C ．2(10)91x +=D ．2(10)109x += 【答案】A ．试题分析：方程21090x x ++=，整理得：2109x x +=-，配方得：2102516x x ++=，即2(5)16x +=，故选A ．4．（成都）关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠ 【答案】D ．试题分析：∵是一元二次方程，∴0k ≠，∵有两个不想等的实数根，则0∆>，则有224(1)0k ∆=-⨯->，∴1k >-，∴1k >-且0k ≠，故选D ．5．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．10 【答案】B ．试题分析：解方程2430x x -+=，（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得13x =，21x =；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形； ∴等腰三角形的底为1，腰为3； ∴三角形的周长为1+3+3=7． 故选B ．6．（达州）方程21(2)304m x mx --+=有两个实数根，则m 的取值范围（ ）A ．52m >B ．52m ≤且2m ≠ C ．3m ≥ D ．3m ≤且2m ≠【答案】B ．试题分析：根据题意得：220301(34(2)04m m m m ⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=---⨯≥⎩，解得52m ≤且2m ≠．故选B ．7．（南充）关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C ．8．（佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）A ．7mB ．8mC ．9mD ．10m 【答案】A ．试题分析：设原正方形的边长为xm ，依题意有：（x ﹣3）（x ﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m ．故选A ．9．（安顺）若一元二次方程220x x m --=无实数根，则一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第（ ）象限． A ．四 B ．三 C ．二 D ．一 【答案】D ．试题分析：∵一元二次方程220x x m --=无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m ）=4+4m ＜0，∴m ＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m ﹣1＜﹣1﹣1，即m ﹣1＜﹣2，∴一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第一象限，故选D ．10．（山西省）我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是（ ）A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想【答案】A ．试题分析：我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A ．11．（枣庄）已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为12x =-，24x =，则m+n 的值是（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．2 【答案】A ．12．（烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10 【答案】B ．13．（甘孜州）若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程27120x x -+=的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为 ． 【答案】5．试题分析：方程27120x x -+=，即(3)(4)0x x --=，解得：13x =，24x =，则矩形ABCD 的对角线长是：2234+=5．故答案为：5．14．（达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x 元，可列方程为 ． 【答案】（40﹣x ）（20+2x ）=1200．15．（广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)y m x =-和关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx +++=中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是________． 【答案】2-．试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴250m ->，∴25m <，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m=0代入2(1)10m x mx +++=中得，210x +=，△=﹣4＜0，无实数根； 将1m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，10x -+=，1x =，有实数根，但不是一元二次方程；将2m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，2210x x +-=，△=4+4=8＞0，有实数根． 故m=2-．故答案为：2-．16．（毕节）一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L ，则每次倒出的液体是 L ． 【答案】20．试题分析：设每次倒出液体xL ，由题意得：40401040xx x ---⋅=，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案为：20．17．（日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式2222015n mn m -++= ． 【答案】2026．考点：根与系数的关系．18．（自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．试题分析：设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．试题解析：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：125x=，24x=，∴另一边为8米或50米．答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．19．（崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，市政府共3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年的增长率相同．（1）求每年市政府的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）18．试题分析：（1）设每年市政府的增长率为x．根据6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计÷单位面积所需钱数可得结果．试题解析：（1）设平均增长率为x，根据题意得：23(1) 6.75x+=，解得10.5x=，22.5x=-（不符合题意舍去）答：政府平均增长率为50%；（2）212(10.5)18+=（万平方米）答：建设了18万平方米廉租房．对应练习1．一元二次方程x2＝2x的根是( C )A．x＝2 B．x＝0C．x1＝0, x2＝2 D．x1＝0, x2＝－22．方程x2－4＝0的根是( C )A．x＝2 B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝43．方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是( D )A．x＝0 B．x＝3C．x＝3或x＝－1 D．x＝3或x＝04．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为( D )A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(3x －1)2＝1D ．(x －1)2＝235．一元二次方程x (x －2)＝0根的情况是( A ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根6．已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( D ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．37．当m 满足m <4.5时，关于x 的方程x 2－4x ＋m －12＝0有两个不相等的实数根．8．方程2x 2＋5x －3＝0的解是x 1＝－3，x 2＝12.9．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，则m ＝1，另一根是－3.10．(四川宜宾)某城市居民每月最低生活保障在是240元，经过连续两年的增加，到提高到345.6元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是20%.11．(山东滨州)某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x, 可列方程为289(1－x )2＝256.12．解方程： (x －3)2＋4x (x －3)＝0. 解：(x －3)2＋4x (x －3)＝0， (x －3)(x －3＋4x )＝0， (x －3)(5x －3)＝0.于是得x －3＝0或5x －3＝0，x 1＝3，x 2＝35.13．一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是( D ) A ．－1 B ．2C ．1和2D ．－1和214．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p 、q 的值分别是( A )A ．－3,2B ．3，－2C ．2，－3D ．2,315．关于x 的方程x 2＋2kx ＋k －1＝0的根的情况描述正确的是( B ) A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种16．已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则代数式(a －b )(a ＋b －2)＋ab 的值等于－1.17．已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a 、b ，则1a ＋1b 的值是－65. 18．如图X2－1－4，邻边不等的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m ．若矩形的面积为4 m 2，则AB 的长度是 1或2m(可利用的围墙长度超过6 m)．图X2－1－4 C 级 拔尖题19．三角形的每条边的长都是方程x 2－6x ＋8＝0的根，且该三角形不是等边三角形，求三角形的周长．解：解方程x 2－6x ＋8＝0得x ＝2，x ＝4， ∴三角形的三条边的长只能是4,4,2， ∴周长是10.20．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年3月份的14 000元/m 2下降到5月份的12 600元/m 2.(1)问4、5两月平均每月降价的百分率约是多少？(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10 000元/m 2？请说明理由．(参考数据：0.9≈0.95)解：(1)设4,5月份平均每月降价的百分率为x ，根据题意得14 000(1－x )2＝12 600， 化简得(1－x )2＝0.9，解得x 1≈0.05，x 2≈1.95(不合题意，舍去)． 因此4,5月份平均每月降低的百分率约为5%.(2)如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为12 600(1－x )2＝12 600×0.9＝11 340>10 000，因此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10 000元/m 2. 21．关于x 的一元二次方程x 2－3x －k ＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根． 解：(1)方程有两个不相等的实数根，∴(－3)2－4(－k )＞0，即4k >－9，解得k >－94.(2)若k 是负整数，k 只能为－1或－2. 如果k ＝－1，原方程为x 2－3x ＋1＝0， 解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52.如果k ＝－2，原方程为x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.22．如图X2－1－5，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，AD ＝6 cm.动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向B 移动，一直到点B 为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．(1)P、Q两点从出发开始多长时间，四边形PBCQ的面积是33 cm2；(2)P、Q两点从出发开始多长时间，点P与点Q间的距离是10 cm.图X2－1－5解：(1)设P、Q两点从出发开始x s时，四边形PBCQ的面积是33 cm2，则AP＝3x cm，PB＝(16－3x) cm，CQ＝2x cm，由梯形的面积公式，得[2x＋(16－3x)]×6÷2＝33，解得x＝5.所以P、Q两点从出发开始5 s时，四边形PBCQ的面积是33 cm2.(2)过点Q作QH⊥AB，则HB＝BC＝6，HB＝QC＝2x，所以PH＝16－5x，在Rt△PHQ中，PQ2＝PH2＋HQ2＝(16－5x)2＋62＝102，即(16－5x)2＝64，解得x1＝1.6，x2＝4.8.当x＝4.8时，16－5x＝－8，不符题意，舍去．所以P、Q两点从出发1.6s时，点P与点Q间的距离是10 cm.。

2025年武汉市中考数学一轮复习：一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．一元二次方程4x2﹣6x＝1化成一般式后，其常数项为﹣1，则二次项、一次项分别是（）
A．4，﹣6B．4x2，﹣6x C．4，6D．4x2，6x
2．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意，下列方程正确的是（）
A．x（x﹣1）＝1980B．x（x+1）＝1980 C．oK1)2=1980D．or1)2=1980
3．一元二次方程x2+4x+1＝0配方后可变形为（x+2）2＝k，则k的值是（）
A．3B．2C．1D．0
4．参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（）
A．12o+1)=90B．x（x+1）＝90
C．12o−1)=90D．x（x﹣1）＝90
5．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）
x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
6．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（）
A．x+x（1+x）＝64B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64D．x（1+x）＝64
7．下列方程为一元二次方程的是（）
A．2x﹣y＝0B．x2﹣y＝0
C．x2＝1D．x2﹣（x﹣1）2＝0
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1 / 3中考数学专题复习题：一元二次方程一、单项选择题（共10小题）1．已知方程260x x +−=的两个根是a b ，，则ab 的值为（ ）A ．1B ．1−C ．6D ．6−2．在下列方程中，不属于一元二次方程的是（ ）A．2152x −=xB ．7x 2=0C ．0.3x 2+0.2x =4D ．x (1-2x 2)=2x 2 3．如果关于x 的方程240x x m −+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．关于x 的不等式x ﹣2a ＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定5．若关于的一元二次方程2210kx x +−=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k >−B ．且0k ≠C ．1k ≥−且D ．1k <−且6．如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，下列方程正确的是（ ）A ．x (x +1)=81B ．1+x +x 2=81C ．1+x +x (x +1)=81D ．1+(x +1)2=817．已知关于x 的方程220x kx +−=的一个解与方程131x x +=−的解相同，则方程的另一个解是（ ）A ．B ．2−C ．1D ．28．从4−，，，0，1，2，4，6这八个数中随机抽一个数，记为a ，数a 使关于xx 1k >−0k ≠0k ≠220x kx +−=1−2−1−2 / 3的一元二次方程()22240x a x a −−+=有实数解，关于y 的分式方程1311y a y y+−=−−有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ）A ．B ．C ．D ．29．已知ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足方程a 2x 2-(c 2-a 2-b 2)x +b 2=0，则方程根的情况是（ ）A ．有两相等实根B ．有两相异实根C ．无实根D ．不能确定10．三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程216600x x −+=的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24B ．24或 C ．48或D ．二、填空题（共5小题）11．已知x =-2是方程x 2+mx -6=0的一个根，则方程的另一个根是________.12．在国际象棋比赛中，若要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为________.13．一元二次方程23670x x −−=的二次项系数是________，常数项是________． 14．把方程232x x −=用配方法化为2()x m n +=的形式，则m =______，n =______． 15．如图是一块矩形菜地ABCD ，AB=a （m ），AD=b （m ），面积为2()s m ，现将边AB 增加1m.（1）如图1，若a=5，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变，则b 的值是________. （2）如图2，边AD 增加2m ，有且只有一个a 的值，使得到的矩形面积为22()s m ，则s 的值是________.三、解答题（共7小题）16．解方程：（1）x 2-2x =1；（2）(x +3)2-2(x +3)=0 6−4−2−3 / 317．已知关于x 的方程x 2+9x +25+m =0，（1）若此方程有实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）条件下m 取满足条件的最大整数时，求此时方程的解.18．一次函数5y x =−+与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于A ，B 两点，其中()1,A a ．（1）求反比例函数表达式；（2）若把一次函数的图象向下平移b 个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b 的值．19．先化简再求值：2221(1)11m m m m m −−÷−−−+，其中m 是方程22016x x −=的解． 20．现有一块长20cm ，宽10cm 的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm 2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．21．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3=0，当Rt △ABC 的斜边a且两直角边b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长.22．已知关于的一元二次方程22(12)10k x k x +−+=有两个不相等的实数根.（1）求的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为12x x ，，且满足121223x x x x +=−，求的值.5y x =−+k y x=x k k。

专题11 一元二次方程及其应用一、单选题1．（2022·全国九年级课时练习）下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．()223232x x x -=-C ．213x x -=D ．242x x x -=2．（2022·全国九年级课时练习）下列各数是方程212x x -=的根的是（ ）A ．3x =B ．4x =C ．5x =D ．10x =3．（2022·全国九年级课时练习）已知方程2(3)210k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．4k < B ．4k ≤ C ．4k <且3k ≠ D ．4k ≤且3k ≠ 4．（2022·全国九年级课时练习）一元二次方程24410x x -+=的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 5．（2022·全国九年级课时练习）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．22990x x --=化为2(1)100x -= B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 6．（2022·珠海市九洲中学九年级一模）已知关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a =B ．1a >且0a ≠C ．1a <且0a ≠D ．1a ≤或0a ≠7．（2022·全国九年级课时练习）已知一个三角形的一边长为5，其他两边的长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ）A ．9B ．11C ．11或13D ．9或118．（2022·全国九年级课时练习）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x 元，则有（ ）A ．180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭B ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭C ．(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭D ．(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭ 9．（2022·全国九年级课时练习）如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条宽均为m x 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为2551m ，根据图中数据，求得小路宽x 的值为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.510．（2022·全国九年级课时练习）某市2012年有人口100万，2013年人口增长率为5%，“单独二胎”政策开放后，2014年人口增长率约为7%，若2013年、2014年人口年平均增长率为x ，则（ ） A ．6%x = B ．6%x > C ．6%x < D ．不能确定二、填空题11．（2022·沭阳县怀文中学九年级月考）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x ．则可列方程为________________．12．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）已知关于x 的方程x 2k ﹣14＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______．13．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）九年级（1）班部分学生去秋游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去秋游的人数是____人．14．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2＋3x ＋m 2﹣4＝0有一个解是0，则m 的值为_____．15．（2022·全国九年级课时练习）认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当．（1）245x =，应选用________法；（2）2165x x +=，应选用_______法；（3）2(2)(1)(2)(4)x x x x +-=++，应选用__________法；（4）22330x x --=，应选用__________法．三、解答题16．（2022·福建省福州杨桥中学九年级开学考试）解方程：230x x +-=．17．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）解方程：（1）3x 2﹣4x ＝1；（2）（3y ﹣2）2＝（2y ﹣3）2．18．（2022·贵阳市第十九中学九年级月考）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；（2）按照这样的增长速度，预计2022年该省将新增多少万个公共充电桩？19．（2022·重庆市育才中学九年级开学考试）中秋来临之际，重百超市看准商机，连续两周进行节日大促销活动，该超市从厂家购进A ，B 两种月饼进行销售，每周都用25000元购进250盒A 种月饼和150盒B 种月饼．重百超市在第一周销售时，每盒A 种月饼的售价比每盒B 种月饼的售价的2倍少10元，且两种月饼在一周之内全部售完，总盈利为5000元．（1）求重百超市在第一周销售B 种月饼每盒多少元？（2）重百超市在第二周销售时，受到各种因素的影响，每盒A 种月饼的售价比第一周A 种月饼的售价每盒增加了53%m ，但A 种月饼的销售盒数比第一周A 种月饼的销售盒数下降了%m ；每盒B 种月饼的售价比第一周B 种月饼的售价每盒下降了%m ，但B 种月饼的销售盒数与第一周B 种月饼的销售盒数相同，结果第二周的总销售额为30000元，求m 的值．20．（2022·西安高新一中实验中学九年级开学考试）解方程：（1）24142x x x x +=-+ （2）22530x x +-=（3）2(2)36x x +=+21．（2022·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学）已知：关于x 的方程()228440--+=x m x m 有两个不相等的实数根1x ，2x ．（1）求实数m 的取值范围．（2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足1212x x x x +=，求出符合条件的m 的值．22．（2022·陕西九年级月考）用一块长8dm ，宽6dm 的矩形薄钢片制作成一个无盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．（1）若要做成的盒子的底面积为15dm2时，求截去的小正方形的边长；（2）当这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5：6时，求截去的小正方形的边长．23．（2022·宁波市海曙外国语学校九年级开学考试）某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量与销售单价基本满足一次函数关系，并且当销售单价为26元时，每天销售量28台；当销售单价为32元时，每天销售量16台，设台灯的销售单价为x（元），每天的销售量为y（台）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？（3）若该商场每天想获得150元的利润，在保证销售量尽可能大的前提下，应将销售单价定为多少元？。

中考数学专题复习题：一元二次方程一、单项选择题（共10小题）1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．220+−=x x−=B．2410x xC．2x x352=+2430x x−+=D．22．学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（）A．625(1−x)2=400B．()2x+=4001625C．2x=D．400(1−x)2=6256254003．用配方法解方程2440x x−−=，则方程可变形为（）A．()228x−=D．()228x−= x+=B．()220x−=C．()2154．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．291240−+=x x=B．22x xx x++=C．210++=D．()450x x5．2020年某汽车累计销量为150万辆，销量逐年增加，预计到2022年销量达到486万辆.若2020年到2022年的年平均增长率为x，则x的值为（）A．80%B．120%C．112%D．150%6．M同学与N同学一起写作业，在解一道一元二次方程时，M同学在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；N同学在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原来的方程是（）A．2650−+=x xx x++=B．27100C．2520x xx x−−=−+=D．261007．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋2x﹣35＝0即x(x＋2)＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆图注》中记载的方法是：构造如图，图中的大方形的面积是(x＋x＋2)2；它又等于四个矩形面积加上中间小正方形的面积，即4×35＋22，据此易得x＝5，那么在下面的四个构图中，能够说明x 2﹣2x ﹣8＝0的正确构图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x +3＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜13B ．k ＞﹣C ．k ＞﹣且k ≠0D ．k ＜且k ≠0 9．某种商品的标价为160元/件，经过两次降价后的价格为90元/件，若两次降价的百分率都为x ，则可列方程（ ）A ．290160x =B ．2160(1)90x +=C ．2160(1)90x −=D ．290(1)160x += 10．下列结论：①当3m =时，若220x mxy x +−=，则32x y +=；②无论x 取任何实数，等式230x mxy x +−=都恒成立，则()29x my +=；③若227x xy x +−=，228y xy y +−=，则5x y +=；131313④满足()()22420x xy x y xy y +−+−−<的整数解(),x y 共有12个．正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共8小题）11．关于的一元二次方程2680x x m −+−=有实数根，则m 的最小值为________． 12．2210ax x +−=是关于的一元二次方程，则a 的取值范围是________．13．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程260x x n −+=的两个根，则n 的值为________．14．已知一元二次方程220x mx m −+−=的两个实数根为1x 、2x ，且1212()3x x x x +=，则的值是________.15．定义：若3432n n −−（n 为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，则称n 为“智慧数”．（1）当010n <<时，请任意写出一个智慧数：________；（2）当0500n <<时，则“智慧数”n 的最大值为________．16．某同学用一块面积为2400cm 的正方形纸片，沿边的方向裁出一块面积为2222cm 的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2，则这个长方形的边长分别是________． 17．三角形的两边分别2和6，已知第三边是方程210210x x −+=的解，则三角形周长为________.18．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，D 是AC 边上的一点，2C CBD ∠=∠，E ，F 分别是BC ，BD 上的点，且2BEF CAE ∠=∠，AB BE =．（1）设CBD α∠=，则BEF ∠=________(用含α的式子表示)；（2）若2EF =，1CE =，则BE 的长为________．三、解答题（共5小题） 19．如图，要设计一幅长24cm ，宽10cm 的矩形图案，其中有一横两竖的彩条，横竖x x xm彩条的宽度相同，如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，那么彩条的宽度应该为多少厘米？20．某水果超市调查一种水果的销售情况，该水果的进价是每千克22元，当售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，则每天的销量将增加120千克，超市每天要获得利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的售价．21．解方程：（1）2230x x −−=；（2）2212x x −=．22．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m 2？23．如图，四边形AOBC 为正方形，为的中点，连接OE，OE =．（1）求点C 的坐标；（2）为上一点，2FOB AOE ∠=∠，①求点的坐标；②作点A 关于OF 的对称点H ，连接AH 和BH ，则AHB ∠的度数为_______；的长度为_______（直接写出结果）．E ACF AC FBH。

中考数学一轮复习《一元二次方程》练习题（含答案）一、单选题1．解一元二次方程2210x x +-=，配方得到()21x a +=，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ＋m ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜23．用配方法解一元二次方程27120x x -+=，配方后的方程为（ ） A ．27124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．27124x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()2737x -=D ．()2737x +=4．某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x 元，可列方程为（ ）A ．（45-30-x ）（300+50x ）=5500B ．（x -30）（300+50x ）=5500C ．（x -30）[300+50（x -45）]=5500D ．（45-x ）（300+50x ）=55005．铜罗中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场．若整个比赛一共赛了45场，则有几个球队参赛？设有x 个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ） A ．x （x +1）=45B ．1(1)452x x +=C ．x （x ﹣1）=45D ．1(1)452x x -=6．一元二次方程22560x x -+=的根的情况为（ ） A ．无实数根B ．有两个不等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能判定7．已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k <C ．14k >-且0k ≠D ．14k <且0k ≠ 8．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣9x +18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．15D ．12或159．某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为（ ）A ．100＋100（1＋x ）＋100（1＋x ）2＝500B ．100（1＋x ）2＝500C ．100＋100（1＋x ）2＝500D ．100（1＋x ）＝50010．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽x 米，则可列方程为（ ）A ．32203220100x x ⨯--=B ．()()23220100x x x --+=C ．23220100x x x +=+D ．()()3220100x x --=11．对于任意实数k ，关于x 的方程222(5)24500x k x k k -++++=的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．无实数根 C ．有两个不相等的实数根D ．无法判定12．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降，两年前生产一吨药的成本是6000元，现在生产一吨药的成本是5000元．设生产成本的年平均下降为x ，下列所列的方程正确的是（ ） A ．6000（1+x ）2＝5000 B ．5000（1+x ）2＝6000 C ．6000（1﹣x ）2＝5000D ．5000（1﹣x ）2＝6000二、填空题 13．方程290x 的根是_________．14．若关于x 的一元二次方程2210++-=x x m 有一个根为0，则m =________．15．关于x 的一元二次方程()21210m x x -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_______．16．已知关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为_________． 17．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为________． 18．一元二次方程2430x x -+=配方为()22x k -=，则k 的值是______．19．已知x ＝﹣2时，二次三项式x 2﹣2mx +4的值等于﹣4，当x ＝_____时，这个二次三项式的值等于﹣1．20．常态化防疫形势下，某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请x 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请x 个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为__________________．三、解答题21．用适当的方法解下列方程： (1)23650x x +-= (2)2670x x +-= (3)2760x x += (4)()()22333x x x =--22．已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=． (1)如果该方程有两个相等的实数根，求m 的值； (2)如果该方程有一个根小于0，求m 的取值范围．23．已知关于x 的一元二次方程23210x x a -+-=有两个不相等的实数根． （1）求a 的取值范围；（2）若a 为正整数，求方程的根．24．如图，在长方形ABCD 中，6cm,7cm ==AB BC ，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为s t ．多少秒后三角形BPQ 的面积等于25cm25．为应对新冠疫情，较短时间内要实现全国医用防护服产量成倍增长，有效保障抗击疫情一线需要，某医用防护服生产企业1月份生产9万套防护服，该企业不断加大生产力度，3月份生产达到12.96万套防护服．(1)求该企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率．(2)若平均增长率保持不变，4月份该企业防护服的产量能否达到16万套？请说明理由．26．某商店以每件16元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件25元上涨到每件36元，此时每月可售出160件商品． (1)求该商品平均每月的价格增长率；(2)因某些原因商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降0.5元，每个月多卖出1件，当降价多少元时商品每月的利润可达到1800元．27．金都百货某小家电经销商销售一种每个成本为40元的台灯，当每个台灯的售价定为60元时，每周可卖出100个，经市场调查发现，该台灯的售价每降低2元．其每周的销量可增加20个．(1)台灯单价每降低4元，平均每周的销售量为 个．(2)如果该经销商每周要获得利润2240元，那么这种台灯的售价应降价多少元？ (3)在（2）的条件下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？28．位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；(2)据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？29．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元． (1)商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？(2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a 元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a 盒，于是月销售利润达到了1650元，求a 的值。