线段的垂直平分线性质定理与判定定理

八年级数学《线段垂直平分线角平分线》知识点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1；∵ CD ⊥AB ；且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2；∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点；并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形；则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形；则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形；则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之；也成立。

4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.图1图2定理的数学表示：如图4；∵ OE 是∠AOB 的平分线；F 是OE 上一点；且CF ⊥OA 于点C ；DF ⊥OB 于点D ； ∴ CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形；它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5；∵点P 在∠AOB 的内部；且PC ⊥OA 于C ；PD ⊥OB 于D ；且PC ＝PD ； ∴点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点；并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6；如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线；那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ；则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.图4。

线段垂直平分线的判定定理
线段垂直平分线判定定理是平面几何学一个重要的定理。

它指出，如果给定的任意一
条线段，它的任意一点P可以被称为该线段的垂直平分点，即PP'等于半条线段PQ的长度，则从点P出发的垂线做线段PQ的垂直平分线，这条垂直平分线一定也过线段PQ的中点。

线段垂直平分线判定定理的证明：假设给定的线段PQ的中点是M，设点P到P'的距
离为半线段PQ的长度n，且垂足为R，令OA平行于PQ，使得 OA=PM。

由此可知，MR=ON，而OQ=OP+PN=2n。

结合OA=PM，M为PQ的中点，MR=ON，得MR=MQ=QO的一半，即MR=OQ的一半，所以
MR=OB，故BR=RM，于是BR=OM，因此OM=BR。

又由OM=BR，MR=RM，可得OM=BM，即O为PQ
的中点M的对称中心。

因此点R为线段PQ的垂直平分点，而由点R出发的垂线为PQ的垂
直平分线，这条垂直平分线一定也过PQ的中点M，证毕。

线段垂直平分线判定定理的存在为几何图形的研究和推理提供了可靠的依据，给几何
图形的仿射、对称、对称中心等直接性质的研究提供了有力的理论支撑，同时也为许多类
似的几何学问题的解决提供了有益的参考，加强了几何学的连贯性，具有显著的教育意义。

线段的垂直平分线1、垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 .定理的数学表示：如图1，∵CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝BD ，∴AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵AC ＝BC.∴点C 在线段AB 的垂直平分线上3、三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.4、三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 2、已知：△ABC 中，（1）AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= （2）AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 （3），AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是3 . 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。

4. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B 的大小为________________。

5、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ，求证：BD ＝AC ＋CD.6.如图，AC =AD ，BC =BD ，则（ ）A.CD 垂直平分ADB.AB 垂直平分CDC.CD 平分∠ACBD.以上结论均不对m图2DABC图8BCD A m图1DABCji k图3O BCA7.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是三角形8.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则斜边的中点；若三角MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个9.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，求△DBC的周长10.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥B C.11.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.。

垂直平分线的定理
1 垂直平分线的定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。

垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。

2 垂直平分线定理
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。

垂直平分线定理为：垂直平分线垂直且平分其所在线段。

垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

3 垂直平分线的逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

4 垂直平分线的判定方法
1、利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。

2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。

线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质知识点梳理1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2、 角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.D21P CABEO1、 等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半4、 等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 ◆ 命题、公理、定理命题：判断性的语句 陈述句，一般由题设和结论组成，写成“如果……，那么……”的形式 几个重要的公理（不需证明）： （1） 两点之间线段最短；（2） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （3） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4） 同位角相等，两直线平行； （5）两直线平行，同位角相等。

1、已知：如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E 。

求证：BD ＋EC ＝DE 。

2、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.3、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。

求证：90o ACB ∠=CA4、如图，已知：在,90,30ooABC C A ∆∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。

线段的垂直平分线与角平分线专题复习知识点复习：1、线段垂直平分线的性质（1)垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示:如图１,∵ CD ⊥AB,且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用:证明两条线段相等 （2)线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，∵ AC=BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.３、关于线段垂直平分线性质定理的推论(1）关于三角形三边垂直平分线的性质:三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用:证明三角形内的线段相等.（２）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部． 反之,也成立。

4、角平分线的性质定理：图1图2角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示:如图4，∵ O Ｅ是∠ＡOB 的平分线,F 是ＯE 上一点,且CF ⊥OA 于点Ｃ,DF ⊥OB 于点Ｄ， ∴ C Ｆ＝ＤF ．定理的作用:①证明两条线段相等;②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线．5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理:在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5,∵点P 在∠ＡＯB 的内部,且PC ⊥O Ａ于C ，PD ⊥OB 于D ，且ＰＣ＝PD ，∴点Ｐ在∠A ＯB 的平分线上．定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线６、关于三角形三条角平分线的定理：（1)关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△A ＢC 的内角∠BAC 、 ∠AB Ｃ、∠ＡCB 的平分线,那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I;② 若ID 、ＩE 、IF 分别垂直于B Ｃ、CA 、ＡB 于点D 、E 、Ｆ,则DI=ＥI=FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题． (2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.７、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:(1）会作已知线段的垂直平分线; (2)会作已知角的角平分线；图4(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.精品习题：1.在△ABC 中，∠C=90º,BD 是∠A ＢC 的平分线.已知，ＡC=３２,且AD ：DC ＝５:３，则点Ｄ到AB 的距离为____＿＿_.2．如图,在△AB Ｄ中，A Ｄ＝4,AB=3,AC 平分∠ＢAD ，则:ABC ACD S S ∆∆= （ ) A ．3:4 Ｂ．4:3 C ．16:19 D.不能确定3．如图,ΔA ＢC 的三边A Ｂ、BC 、ＣＡ的长分别是２0、30、40、其中三条角平分线将ΔABD 分为三个三角形,则S ABO ∆：S BCO ∆：S CAO ∆等于__＿__＿.4.如图所示，∠BAC ＝105°，若MP 和ＮQ 分别垂直平分ＡB 和AC ．则∠ＰAQ 的度数为 .５．AD ∥BC,∠Ｄ=90︒,AP 平分∠D ＡB,PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上,则ＰＤ与ＰC 的关系是（ )A ．PD>ＰCB ．PD<P ＣC ．PD=PC D.无法判断6．如图,有A 、B 、Ｃ三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修一个超市,使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A.在ＡC 、B Ｃ两边高线的交点处 B ．在AC 、BC 两边中线的交点处C.在ＡC、BC两边垂直平分线的交点处Ｄ.在∠A、∠B的角平分线的交点处7.如图,CＤ是Rｔ△ABＣ斜边ＡB上的高,将△BＣD沿ＣD折叠,B点恰好落在ＡB的中点Ｅ处，则∠A等于（）A．25º B.30ºＣ.45ºＤ.6０º8.AC=AＤ,BC=BD,则有（）A．AＢ垂直平分ＣD B．CD垂直平分AＢC．AＢ与CＤ互相垂直平分ﻩＤ．CD平分∠AＣＢ9．如图，OP平分∠AＯB,ＰA⊥OA，PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( ）A．P A＝PBﻩB．PO平分∠ＡPＢ C.OA＝OBﻩＤ.AＢ垂直平分OP１0．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示)，建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有（)处。