2010届高三数学立体几何专题测试2

2010 年高考数学试题分类汇编——立体几何（2010上海文数） 6.已知四棱椎P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱PA底面ABCD ，且PA8，则该四棱椎的体积是96。

分析：观察棱锥体积公式V 136896 3（2010湖南文数）13.图2 中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h=4cm（2010 浙江理数）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如下图，则此几何体的体积是___________ cm3 .分析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为 144，此题主要观察了对三视图所表达示的空间几何体的辨别以及几何体体积的计算，属简单题（2010 辽宁文数）（16）如图，格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为.P 分析：填 2 3 画出直观图：图中四棱锥P ABCD 即是，因此最长的一条棱的长为PB 23.A DB C（ 2010 辽宁理数）（15）如图，格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 ______.【答案】 2 3【命题立意】此题观察了三视图视角下多面体棱长的最值问题，观察了同学们的识图能力以及由三视图复原物体的能力。

【分析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为 2 的正方形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，因此最长棱长为22222223（2010 江西理数） 16. 如图，在三棱锥O ABC 中，三条棱 OA ，OB ，OC 两两垂直，且 OA> OB > OC ,分别经过三条棱OA， OB ， OC 作一个截面均分三棱锥的体积，截面面积挨次为S1，S2，S3，则 S1，S2，S3的大小关系为。

【答案】S3 S2 S1【分析】观察立体图形的空间感和数学知识的运用能力，经过补形，借滋长方体考证结论，特别化，令边长为1，2，3 得S3S2S1。

1.（宣武区）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， （Ⅰ）求这个组合体的体积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111D C B A ABCD -，其中BA B A 11为正方形. （i ）求证：D C AB B A 111平面⊥；（ii ）求证：P 为棱11B A 上一点，求1PC AP +的最小值.解：（Ⅰ）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱 π+=⨯⨯π+⨯⨯=806401042110882V . ……………5分 (Ⅱ)（i ）∵长方体1111D C B A ABCD -∴BA B A AD 11平面⊥ ∵BA B A B A 111平面⊂ ∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥ ∵A AD AB =⋂1∴D C AB B A 111平面⊥. ………………10分（ii ）将上底面1111D C B A 展开，与平面BA B A 11共面时，连结A C 1交11B A 于点P ，即1AC 为最短距离.此时长度为97218822=+.2.（顺义区)一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中D 为11A B 的中点）Ⅰ.求证：1C D ⊥平面11ABB AⅡ.当点F 在棱1BB 上的什么位置时，有1AB ⊥平面1C DF ， 请证明你的结论Ⅲ.对（2）中确定的点F ，求三棱锥11B C DF -的体积．证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的 直三棱柱111ABC A B C -，1112AC B π∠=，棱1AA ⊥平面111A B C，1AA =11111AC B C ==，11A B =______2分 Ⅰ. Q D 为11A B 的中点，∴111C D A B ⊥，Q 1AA ⊥平面111A B C1C D ⊂平面111A B C ，∴11C D AA ⊥，1111AA A B A =I ，∴1C D ⊥平面11ABB A ______5分Ⅱ. 当点F 在棱1BB 上的中点时，有1AB ⊥平面1C DF ______7分 证明：连结DF ，1A B ，∴1||DF A B ，Q 111AA A B =，∴四边形11ABB A 为正方形，∴11AB A B ⊥，∴1AB DF ⊥，由Ⅰ知11C D A B ⊥，1DF C D D =I ∴1AB ⊥平面1C DF ______10分Ⅲ.设1AB DF G =I ，1B G 为三棱锥11B C DF -的高，112B G =，______12分 可求得14C DF S =V，体积V =.______14分俯视图侧视图主视图21112D C 1B 1A 1BCA3．（丰台区）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ABCD ⊥底面，M 为SA 的中点，N 为CD 的中点．（Ⅰ）证明：平面SBD ⊥平面SAC ； （Ⅱ）证明：直线MN SBC 平面‖．证明：（Ⅰ）∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， ………………………………1分∵SA ABCD ⊥底面，∴BD ⊥SA ， ……………2分 ∵SA 与AC 交于A,∴BD ⊥平面SAC, …………………………………4分 ∵BD ⊂平面SBD∴平面SBD ⊥平面SAC …………………6分（Ⅱ）取SB 中点E ，连接ME ，CE ，∵M 为SA 中点，∴ME AB 且ME=12AB, ………8分又∵ABCD 是菱形，N 为CD 的中点，∴CN AB 且CN=12CD=12AB, …………………10分∴CN EM,且CN=EM ，∴四边形CNME 是平行四边形，∴MN CE, …………………12分 又MN ⊄平面SBC, CE ⊂平面SBC,∴直线MN SBC 平面‖ …………………13分B4.（东城区）如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD=DC =4，AD =2，E 为PC 的中点． （1）求证：AD ⊥PC ；（2）求三棱锥A —PDE 的体积；（3）AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD .………………………………………………2分 又因为ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD .……………………3分 因为PD ⋂CD=D ，所以AD ⊥平面PCD . 又因为PC ⊂平面PCD ，所以AD ⊥PC .…………………5分（2）解：因为AD ⊥平面PCD ，所以AD 是三棱锥A —PDE 的高. 因为E 为PC 的中点，且PD =DC =4， 所以.4)4421(2121=⨯⨯⨯==∆∆PDC PDE S S ………………7分又AD =2，所以.38423131=⨯⨯=⋅=∆-PDE PDE A S AD V …………9分（2）解：取AC 中点M ，连结EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，所以EM ∥PA . 又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM . 所以PA ∥平面EDM .………………12分 所以521==AC AM . 即在AC 边上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，AM 的长为5.…………14分侧（左）视图正（主）视图俯视图5．（崇文区选择）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(A) 12（C ）563 （D ）4C 1D 1CA 1BA 6．（崇文区）正方体1111D CB A ABCD -的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：直线1B D ∥平面AEC ； （Ⅱ）求证：⊥D B 1平面AC D 1； （Ⅲ）求三棱锥1D D OC -的体积． 解：（Ⅰ）连接OE ，在1B BD ∆中，∵E 为1BB 的中点，O 为BD 的中点，∴OE ∥1B D 又∵1B D ⊄平面AEC∴直线1B D ∥平面AEC ． --------------------4分 （Ⅱ）在正方体1111D C B A ABCD -中，1B B ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD∴1B B AC ⊥．BD AC ⊥且1BB BD B ⋂= ∴1B D AC ⊥ ∴1AC B D ⊥ 同理可证11B D AD ⊥ ∵1AC AD A ⋂=∴⊥D B 1平面AC D 1. --------------------9分（Ⅲ）11111221333D D OC D DOC DOC V V DD S --∆==⋅⋅=⨯⨯=． -------------14分FE D C 1B 1A 1CBAABCA 1B 1C 1DE FG7.(昌平区) 已知三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ,1==2AB AC AA =，090BAC ∠=, ,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点.（I ）求证：DE //平面ABC ；（II ）求证：11AEF BCC B ⊥平面平面; (III) 求三棱锥A-BCB 1的体积.解：（I ）取AB 中点G ，连DG,CG在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，11BCC B ∴是矩形.∵D,E 分别为AB 1，CC 1的中点， ∴1111//,//22DG BB CE BB ， //,DG CE DGCE ∴是平行四边形DE ∴//GC ……………………………….4分∵GC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，∴DE//平面ABC .（II ）三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC , ∴ AF ⊥CC 1=,AB AC F BC 为中点，AF BC ∴⊥又1BC CC C ⋂=11,AF BCC B ∴⊥平面……………………………………………………..9分 ,AF AEF ⊂又平面∴11AEF BCC B ⊥平面平面…………………………………………………..10分 （III ）由（II ）得，11,AF BCC B ⊥平面在1RT 2,2ABC AB AC BC AF BC ==∴=== 由已知，中，1112BCB S BC BB == 111433A BCB BCB V S AF -∴== ………………………………………………..14分8.(昌平选择) 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱 柱的侧面积为A ．24 B．C．． 24+正视图俯视图 左视图。

2010年广州市高三数学训练题(三) 平面向量、立体几何（2）（时间：100分钟 满分100分）（由广州市中学数学教研会高三中心组编写，本卷命题人:杨 斗 修改：吴永中） 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只（1）已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （A ）0° （B ）45°（C ）90°（D ）180°（2）在空间四边形ABCD 中，AB=BC ，AD=DC ，则对角线AC 与BD 所成角的大小是 （A ）90︒ （B ）60︒ （C ）45︒（D ）30︒（3）将函数12++=x x y 的图象按向量()1,1a =-平移后所得图象的函数解析式为（A ）252++=x x y （B ）xy 1= （C ）21+=x y （D ）x x y 12+=（4）已知(1,0,2)a λλ=+，(6,21,2)b μ=-，若//a b ，则λ与μ的值分别为 （A ）－5，－2 （B ）5，2（C ）21,51--（D ）21,51 （5）若向量、的坐标满足(2,1,2)a b +=--，(4,3,2)a b -=--，则·等于（A ）5- （B ）5 （C ）7（D ）1-（6）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM （A ）是AC 和MN 的公垂线 （B ）垂直于AC ，但不垂直于MN （C ）垂直于MN ，但不垂直于AC（D ）与AC 、MN 都不垂直（7）地球表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经30°）的球面距离为（地球半径为R ）（A ）R （B ）42Rπ （C ）3R π（D ）2Rπ（8）如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（A ）61cm （B ）157cm （C ）1021cm（D ）3710cm（9）在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值是（ ）（A ）52-（B ）52 （C ）53 （D ）1010 （10）平面内有1230OP OP OP ++=且122331OP OP OP OP OP OP ==，则113PPP∆一定是 （A ）钝角三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形（D ）等边三角形（11）在棱长为2的正方体AC 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离是（A ）32（B ）34（C ）332 （D ）322 （12）设PA ，PB ，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是 （A ）21（B ）23 （C ）33 （D ）36 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）（13）C B AP 、、、是球O 面上的四个点，PC PB PA 、、两两垂直，且1===PC PB PA ，则球的体积为__________．（14）设{|(2,2)2(cos ,sin )}M a a θθ==+，{|(2,0)(2,2)}N a a λ==+，则M N ⋂= （15）已知：,2||,2||==与的夹角为45°，要使-λ与垂直，则λ= ． （16）向量的命题：①若非零向量),(y x a =，向量),(x y b -=，则b a ⊥；②四边形ABCD 是菱形的充要条件是==③若点G 是ABC ∆的重心，则0=++ ④ABC∆中,和CA 的夹角为A -︒180,其中正确的命题序号是 __________．三、解答题（本大题共4小题，共40分）（17）（本小题满分8分）平行四边形ABCD 中，已知：13DE DC = ,14DF DB =, 求证：A 、E 、F 三点共线。

2010年高考数学试题分类汇编——立体几何（2010浙江理数）（6）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m //解析：选B ，可对选项进行逐个检查。

本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题（2010全国卷2理数）（11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B ）3 （C ）2 （D ）3 【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（2010陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]（A ）2 （B ）1（C ）23（D ）13解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为122121=⨯⨯⨯（2010辽宁文数）（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 的表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π解析：选A.由已知，球O 的直径为22R SC ==，∴表面积为244.R ππ=（2010辽宁理数）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是(A)（0,62+） (B)（1,22） (C) (62-,62+） (D) （0,22）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。

松岗中学高三数学立体几何测试2010.3.6.一．选择题：1. 三个平面两两相交有三条交线，则这三条交线的位置关系是（A ）互相平行 （B ）相交于一点 （C ）互相平行或交于一点（D ）与以上不同的答案2. 已知异面直线a 、b 分别在平面αβ、内，且c =βα 那么直线c （A ）与a 、b 都相交 （B ）与a 、b 都不相交（C ）只与a 、b 中的一条相交（D ）至少与a 、b 中的一条相交3. 已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中的假命题是 （A ）若a ∥b ，则α∥β （B ）若α⊥β，则a ⊥b（C ）若a 、b 相交，则α、β相交 （D ）若α、β相交，则a 、b 相交4. 已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是（A ）2F+V=4； （B ）2F －V=4；（C ）2F+V=2； （D ）2F －V=2； 5.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是一个正方形，PD 垂直于底面ABCD ，则这个四棱锥的五个面中，互相垂直的平面共有 （A ）3对 （B ）4对（C ）5对（D ）6对6. 设m ，n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面。

给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β。

其中正确命题的序号是：（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ (D ）①和④7. 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为 （A ）40 （B ）48 （C ）52 （D ）56DABCP8. 在空间四边形ABCD 中，AB=BC ，AD=DC ，则对角线AC 与BD 所成角的大小是 （A ）90︒（B ）60︒ （C ）45︒（D ）30︒9. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM （A ）是AC 和MN 的公垂线 （B ）垂直于AC ，但不垂直于MN （C ）垂直于MN ，但不垂直于AC（D ）与AC 、MN 都不垂直10. 地球表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经30°）的球面距离为（地球半径为R ） （A ）R（B ）42Rπ （C ）3R π（D ）2Rπ 二．填空题11. 已知Rt ΔABC ，∠ACB ＝90°，点P 是ΔABC 所在平面α外的一点，若PA ＝PB ＝PC ，则平面PAB 与平面α的位置关系是 ．12. C B AP 、、、是球O 面上的四个点，PC PB PA 、、两两垂直，且1===PC PB PA ，则球的体积为__________．13. 如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为 。

2010年高考试题分类练习(理科：立体几何）（二）答案曾劲松 整理一．选择题1．B ．2．D ．3．D ．解析：直线B 1D 上取一点P ，连接P A 、PB 、PC 、PC 1、P A 1、PD 1，易知△P AB ≌△PCC 1≌△P A 1PD 1，于是这3个三角形的高相等，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等，所以有无穷多点满足条件，故选D .4．B ．解析：根据对称性可知，外接球的球心为上下两底连线的中点，在1R t AO O ∆中，1123232a AO O O =⨯==，2222()3212a O A R ==+=1272a,所以27744123a a S R πππ==⨯=球372a π. 5．B ．解析：过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD ，交AB 与P ，设点P 到CD 的距离为h ，则有AB CD11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时，max h ==m ax 3V =6．D ．解析：面EFQ 即为面11DCB A ，连结1AD ，由正方体的性质可得⊥1AD 面11DCB A ，过P 作PN ∥1AD ，交D A 1于N 点，则有⊥PN 面11DCB A ，即⊥PN 面EFQ ，又z PD PN 2245cos =︒=，222121211=⨯⨯=⨯=∆C B EF S EFQ ，由z z PN S V EFQ EFQ P 312223131=⨯=⨯=∆-.7．C ．解析：设底面边长为a ，则高212)22(222aa SAh -=-=，所以体积54221123131aa h a V -==，设642112a a y -=，则53348a a y -='，当y 取最值时，解得a =0或a =4时（a =0舍去），体积最大，此时22122=-=ah .二．填空题8．144． 9．4． 104．解析：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线.垂足为D ．连结AD ，可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角l αβ--的平面角，为60°．又由已知，∠ABD ＝30°．连结CB ，则∠ABC 为A B 与平面β所成的角．设AD ＝2，则ACCD ＝1，AB ＝sin 30A D ＝4，∴sin ∠ABC＝4A C A B=．11．321S S S <<．解析：由题意OC OB OA ,,，两两垂直，可将其放置在以O 为一顶点的长方体中，设三边OC OB OA ,,分别为c b a >>，从而易得22121cb a S +=，22221ca b S +=，22321bac S +=，()(222222214141ca b aS S -+=-)(222222241baccb a b-=+ )()2222241baccb -=+，又b a >，所以02221>-S S，即21S S >．同理，用平方后作差法可得32S S >．∴123S S S <<．三．解答题12.方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）解：易得10,,12E F ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1(0,2,4)A D =-．于是1113cos ,5EF A D EF A D EF A D==-．所以异面直线E F 与1A D 所成角的余弦值为35．（2）证明：已知(1,2,1)AF = ,131,,42EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,11,,02E D ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ．于是A F ·1E A =0，A F ·E D=0.α∙AB∙βCD∙因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂=，所以A F ⊥平面1A ED ．(3)解：设平面E F D 的法向量(,,)u x y z = ，则 ,即102102y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩．不妨令x =1,可得(1,21u →=-）．由（2）可知，A F →为平面1A ED 的一个法向量．于是2cos,==3||A F A F|A F|u u u →→→→→→∙，从而sin ,=3AF u →→．所以二面角1A -ED -F的正弦值为3．方法二：（1）解：设AB =1，可得AD =2,AA 1=4,CF =1.CE =12．连接B 1C ,BC 1，设B 1C 与BC 1交于点M ,易知A 1D ∥B 1C ，由1C E C F 1==C BC C 4,可知EF ∥BC 1.故BMC ∠是异面直线EF 与A 1D所成的角，易知BM =CM=11B C 2,所以2223cos 25BMC MBCBM C BM CM +-∠==,所以异面直线FE 与A 1D 所成角的余弦值为35（2）证明：连接AC ，设AC 与DE 交点N 因为12C D EC BCAB==，所以RtDCE ～RtCBA ， 从而CDE BCA ∠=∠， 又由于90CDE CED ∠+∠=︒, 所以90BCA CED ∠+∠=︒，故AC ⊥DE ,又因为CC 1⊥DE 且1CC AC C ⋂=，所以DE ⊥平面ACF ，从而AF ⊥DE . 连接BF ，同理可证B 1C ⊥平面ABF ,从而AF ⊥B 1C ,所以AF ⊥A 1D 因为1DE A D D ⋂=，所以AF ⊥平面A 1ED .(3)解：连接A 1N .FN ,由（2）可知DE ⊥平面ACF ,又NF ⊂平面ACF , A 1N ⊂平面ACF ，所∙以DE ⊥NF ,DE ⊥A 1N ,故1A N F ∠为二面角A 1-ED -F 的平面角.易知R t C N ER t C ∆∆ ，所以C N E C B CA C=，又AC =所以5C N =，在1305Rt N C F N F Rt A AN ∆==中，在中，在Rt △A 1AN中，15N A ==.连接A 1C 1,A 1F在111Rt A C F A F ∆==中，222111112cos 23A N FN A FRt A N F A N F A N FN +-∆∠==∙在中，．所以1sin 3A N F ∠=所以二面角A 1-DE -F正弦值为3.13．方法一：（Ⅰ）解：取EF 的中点H ，连结A H '， A E A F ''=及H 是EF 的中点，∴A H EF '⊥． 又因为平面A E F '⊥平面BEF ，及A H '⊂平面.A EF '所以A H '⊥平面BEF ． 如图建立空间直角坐标系.A xyz -则(2,2,(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).A C F D '故(2,2,(6,0,0)FN FD =-=．设(,,)n x y z = 为平面A F D '的一个法向量，所以22060x y x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩．取(0,z n ==-则．又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =，故cos ,3||||n m n m n m ⋅<>==⋅．3（Ⅱ）解：设x FM =，£¬(4,0,0)FM x M x =+则．因为翻折后，C 与A 重合，所以CM =A M '．∙故222222(6)80(2)2x x -++=--++，得214x =．经检验，此时点N 在线段BG 上，所以21.4F M =方法二：（Ⅰ）解：取截段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连结A G '，NH ，GH ． 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点，所以A 'H //EF ． 又因为平面A 'EF ⊥平面BEF ，所以A 'H `⊥平面BEF ， 又AF ⊂平面BEF ，故A H AF '⊥，又因为G ，H 是AF ，EF 的中点，易知GH //AB ， 所以GH AF ⊥，于是AF ⊥面A 'GH ， 所以A GH '∠为二面角A '—DF —C 的平面角，在Rt A GH '∆中，2,A H G H A G ''===，所以cos 3A G H '∠=故二面角A '—DF —C 的余弦值为3．（Ⅱ）解：设FM x =，因为翻折后，G 与A '重合，所以CM A M '⊥， 而222228(6)CMDC DMx =+=+-，222222222(2)2A MA H M HA HM G G Hx '''=+=++-+++，得214x =经检验，此时点N 在线段BC 上，所以21.4F M =14．（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，因为45ABC ∠=°，BC =4，AB =所以2222cos 458AC AB BC AB BC =+-⋅⋅=，因此AC =． 故222BCACAB =+，所以090B A C ∠=．又PA ⊥平面ABCDE ，AB //CD ，所以,C D P A C D A C ⊥⊥.又P A ，AC ⊂平面P AC ，且P A ∩AC =A ，所以CD ⊥平面P AC ，又CD ⊂平面PCD ， 所以平面PCD ⊥平面P AC ． （Ⅱ）解法一：因为A P B ∆是等腰三角形，所以PA AB ==4PB ==．又AB //CD ，所以点B 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离． 由于CD ⊥平面P AC ，在Rt PAC ∆中，P A A C ==PC =4．故PC 边上的高为2，此即为点A 到平面PCD 的距离，所以B 到平面PCD 的距离为 2.h = 设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，则21sin 42h P Bθ===，又[,0]2πθ∈，所以.6πθ=解法二：由（Ⅰ）知AB ，AC ，AP 两两相互垂直，分别以AB ，AC ，AP 为x 轴，z 轴建立如图． 所示的空间直角坐标系，由于P A B ∆是等腰三角形，所以PA AB ==又AC =，因此(0,0,0),0,0),(0,0),(0,0,A B C P 因为AC //DE ，CD AC ⊥， 所以四边形ACDE 是直角梯形，因为02,45,//AE ABC AE BC =∠=．所以0135B A E ∠=，因此045C A E ∠=，故0sin 4522C D AE =⋅=⨯=，所以(0)D ．因此(0,(0,0)C P C D =-=． 设(,,)m x y z =是平面PCD 的一个法向量，则0,0m C P m C D ⋅=⋅=，解得0,x y z ==，取1,(0,1,1)y m ==得．又(0,BP =-，设θ表示向量B P与平面PCD 的法向量m 所成的角，则1cos 2||||m B P m B P θ⋅== ， 所以3πθ=，因此直线PB 与平面PCD 所成的角为.6π（Ⅲ）因为AC //ED ，CD AC ⊥，所以四边形ACDE 是直角梯形．因为02,45,//AE ABC AE BC =∠=， 所以0135B A E ∠=， 因此045C A E ∠=．故0sin 4522C D AE =⋅=⨯=， 0cos 4522ED AC AE =-⋅=⨯=所以 3.2A C D E S ==四边形 又PA ⊥平面ABCDE ，所以133P C D E V -=⨯⨯=15.解法一 ：（I ）⊥A A 1 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，BC A A ⊥∴1.AB 是圆O 的直径， AC BC ⊥∴.又A A A AC =1 ， ⊥∴BC 平面11ACC A ，而⊂BC 平面11BCC B ，所以平面11ACC A ⊥平面11BCC B ． （II ）（i ）设圆柱的底面半径为r ，则r AA AB 21==， 故三棱柱111_C B A ABC 的体积r AC V ⋅⋅=⋅⋅=BC AC 2r BC 211．又22224r AB BC AC==+ ， 22222r BC ACBC AC =+≤⋅∴．当且仅当r BC AC 2==时等号成立．从而，312r V ≤．而圆柱的体积3222r r r V ππ=⋅=，故ππ1223321=≤=rrVV p ，当且仅当r BC AC 2==，即AB OC ⊥时等号成立．所以，p 的最大值等于π1．（ii ）由（i ）可知p 取最大值时，AB OC ⊥.于是以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz O -（如图）. 则)0,0,(r C ，)0,,0(r B ，)2,,0(1r r B .⊥BC 平面11ACC A ，)0,,(r r BC -=∴→是平面11ACC A 的一个法向量.设平面OC B 1的法向量),,(z y x n =→.由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥→→→→1OBn OCn ，得⎩⎨⎧=+=020rz ry rx ，解得⎩⎨⎧-==z y x 20.取1=z ，得平面OC B 1的一个法向量为)1,2,0(-=n .900≤<θ，解法二：（I ）同解法一（II ）（i ）设圆柱的底面半径为r ，则r AA AB 21==， 故三棱柱111_C B A ABC 的体积r AC V ⋅⋅=⋅⋅=BC AC 2r BC 211设)900(<<=∠ααBAC ，则ααcos 2cos r AB AC ==，αsin 2r BC =， 由于22222sin 2cos sin 4r r r BC AC ≤==⋅ααα，当且仅当12sin =α即45=α时等号成立，故312r V ≤．而圆柱的体积3222r r r V ππ=⋅=，故ππ1223321=≤=rrVV p ，当且仅当12sin =α即45=α时等号成立．所以，p 的最大值等于π1．（ii ）同解法一． 解法三：（I ）同解法一．（II ）（i ）设圆柱的底面半径r ，则r AA AB 21==，故圆柱的体积3222r r r V ππ=⋅=． 因为VV p 1=，所以当1V 取得最大值时，p 取得最大值．又因为点C 在圆周上运动，所以当AB OC ⊥时，ABC ∆的面积最大．进而，三棱柱111_C B A ABC 的体积最大，且其最大值为322221r r r r =⋅⋅⋅．故p 的最大值等于π1．（ii ）同解法一．。

2010年高考数学试题分类汇编——立体几何（2010上海文数）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，S =-3π(r -0.4)2+0.48π，所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米； (2) 当r =0.3时，l =0.6，作三视图略．（2010湖南文数）18.（本小题满分12分）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1（2010浙江理数）（20）（本题满分15分）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF V 翻折成'A EF V ，使平面'A EF BEF ⊥平面.（Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值；（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长。

解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。

（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ，连结'A H ，因为'A E ='A F 及H 是EF 的中点，所以'A H EF ⊥, 又因为平面'A EF ⊥平面BEF . 如图建立空间直角坐标系A-xyz则'A （2，2，22），C （10，8，0），F （4，0，0），D （10，0，0）.故'FA →=（-2，2，22），FD →=（6，0，0）. 设n →=（x,y,z ）为平面'A FD 的一个法向量， -2x+2y+22z=0 所以6x=0.取2z =，则(0,2,2)n =-。

1．如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点．（1）FD∥平面ABC；（2）AF⊥平面EDB．2．已知线段PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点。

（1）求证：MN//平面PAD；（2）当∠PDA＝45°时，求证：MN⊥平面PCD；FCBAEDAB C DEF3．如图，在四面体ABCD 中，CB=CD,BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB,BD 的中点．求证： （1）直线EF// 面ACD ；（2）平面⊥EFC 面BCD ．4．在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC （1）若D 是BC 的中点，求证AD ⊥CC 1；（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1， 求证 截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由]C12010届立体几何大题训练(3)5. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点．求证：（1）MN//平面ABCD；（2）MN⊥平面B1BG．6. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．_G_M_D_1_C_1_B_1_A_1_N_D_C_B_AA1F2010届立体几何大题训练(4)7、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB=4，BC=CD=2，AA 1=2，E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥面FCC 1；(2)证明：平面D 1AC ⊥面BB 1C 1C 。

立体几何 20109．如图1，ABC 为正三角形，'''////AA BB CC ，''''32CC BB CC AB ⊥===平面ABC 且3AA ，则多面体'''ABC A B C -的正视图(也称主视图)是提示：选D18.(本小题满分14分)如图4，AEC AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F满足FC ⊥平面BED ，FB =5a . （1）证明：EB FD ⊥；（2）求点B 到平面FED 的距离.（1） 证明：∵FC ⊥平面BED ，BE ⊂面BED ，∴FC⊥BE ，∵在半圆弧点E 为AC 的中点，∴BE ⊥BC ，又BC ∩FC=CBE ⊥面BCF ，FD ⊂面BCF ，∴EB FD ⊥（2）点B 到平面FED 的距离是锥体B-EFD 的高，并设为h ，下面先求△EFD 的面积，∵△EBC 为等腰直角△，BC=a ，FB =5a .FC=2a∴EC=a 2∴EF=a 6，ED=a 5，FD=a 5，从而得△EFD 底边EF 上的高是a a a 214)26(522=-， ∴△EFD 的面积为2221214621a a a =⨯ 另一方面锥体B-EFD 的体积就是锥体F-BED S △EFD =2221a a a =⨯锥体F-BED 的高是FC=2a ，利用体积相等得a a h a 222122⨯=⨯ ∴h=21214既点B 到面FED 的距离为21214 20117．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）A ．20B ．15C ．12D ．10【命题意图】本题考查学生的空间想象能力，难度较大.【解析】下底面有5个点，每个下底面的点对应上底面的5个点中，符合条件的只有2个，故总共有10条，选D.9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 2【命题意图】本题考查简单几何体的三视图和体积计算，是中档题.【解析】由三视图知，此几何体是底面边长为2，短对角线为2的菱形，顶点在底面上的射影为菱形的中心，一条侧棱长为，∴底面积为2121142-⨯⨯=，高为22(23)(3)-=3，故12333V =⨯⨯=，故选C.18（本小题满分13分）如图所示，将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面水平向右平移得到的，,,,A A B B ''分别为,,,,CD C D DE D E ''''的中点，1122,,,'O O O O '分别为,,,CD C D DE D E ''''的中点．（Ⅰ）证明：12',,,O A O B '四点共面；（Ⅱ）设G 为AA '中点，延长1''A O 到H ',使得11''O H A O ''=,证明: 2'BO ''⊥面H B G ．【命题意图】本题考查空间点共面、线线平行与垂直，线面垂直与平行等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是中档题.【解析】(Ⅰ)易得：∵1O A C CEE ''''⊥面,2BO C CEE ''⊥面，∴12//O A BO ''，∴12,,,O A B O ''共面. (Ⅱ) ∵2H B O B ''''⊥，H B BB '''⊥，∴2H B O B B '''⊥面，∴2O B H B ''⊥，延长1AO 至H ，使1O H =1AO ，连结1HO ',1O A ',1O A '交GH '于点I ，显然211////O B HO O A '''， 在正方形AA H H ''中，tan GH A ''=1tan O A A '=12， ∴1GH A O A A '''∠=∠，∴1GH A H A O ''''∠+∠=0190O A A H A O '''∠+∠=，∴090H IA ''∠=，即1H G A O ''⊥， ∴2O B H G ''⊥， ∴2BO H B G '''⊥面.20127．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )()A 72π ()B 48π ()C π30 ()D π24【解析】选C 几何体是半球与圆锥叠加而成 它的体积为3222141335330233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯-= 18.(本小题满分13分)如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//,AB CD PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且12DF AB =，PH 为PAD ∆中AD 边上的高。