初三 三角函数与二次函数试题

九年级数学（反比例函数、三角函数、二次函数）综合测试卷（时间：120分钟 满分：100分）姓名 ___________________．班级 ___________________．得分 ___________________．一．选择题（共 30分）1、在同一直角坐标系中，函数y=kx －k 与y= kx（k ≠0）的图象大致是 （ ）2、同一时刻，身高2.26m 的姚明在阳光下影长为1.13m ；小林浩在阳光下的影长为0.64m ，则小林浩的身高为（ ）A ．1.28mB ．1.13mC ．0.64mD ．0.32m3、如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）A ． αcos 5B ．αcos 5 C ． αsin 5 D ． αsin 54、若点A (a ,b )在反比例函数y =的图象上，则代数式ab -4的值为（ ）A.0B.-2C.2D.-65、抛物线212y x =-向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位后的抛物线解析式是（ ）6、二次函数 y=ax 2+bx+c ，当 x=2 时，y 取得最大值为﹣4，且二次函数图象还经过点（1，﹣7），则二次函数的表达式为（ ）A ．Y=﹣3x 2+12x ﹣16B ．Y=﹣3x 2+12x ﹣8C ．Y=3x 2+12x ﹣16D ．Y=3x 2+12x ﹣87、如果正三角形的边长为 x ，那么它的面积 y 与 x 之间的函数关系是（ ）8、二次函数 y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x=2，若关于 x 的一元二次方程 ﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在 1＜x ＜5 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ） A ．t ＞﹣5 B ．﹣5＜t ＜3 C ．3＜t ≤4 D ．﹣5＜t ≤49、某同学在用描点法画二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是（ ）A ．﹣11B ．﹣2C ．1D ．﹣510、如图所示，已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点C ，对称轴为直线 x=1．直线 y=﹣x+c 与抛物线 y=ax 2+bx+c 交于 C 、D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于 3，则下列结论：①2a+b+c ＞0；②a ﹣b+c ＜0；③x （ax+b ）≤a+b ；④a ＞﹣1． 其中正确的有（ ）A ．4 个B ．3 个C ．2 个D ．1 个 二．填空题（共27 分）11、下列函数中是反比例函数的有 _________ （填序号）. ①3x y ＝－； ②x y 2＝－； ③x y 23－＝； ④21＝xy ； ⑤1－＝x y ； ⑥2＝xy； ⑦xky ＝（k 为常数，0≠k ） 12、当＝k ______ 时，）－＝（k k y 232－＋k k x 是反比例函数.13.已知点A ),2(1y -，B ),1(2y -和C ),3(3y 都在反比例函数xy 4-=的图象上，则1y ，2y 与3y 的大小关系为 . 14、如左下图，设P （m ，n ）是双曲线 xy 6= 上任意一点，过P 作x 轴的垂线， 垂足为A ，则=∆OAP S _____.15、将抛物线 y=﹣ x 2﹣x+4 化为 y=（x ﹣h ）2+k 的形式， 则对称轴为直线 ____________，最大值是____________；当x _________时，y 随 x 增大而增大；当x _________时，y 随 x 增大而减小． 16、如果函数是关于 x 的二次函数，那么 k 的值是___________________ ．17、（1）已知二次函数y=﹣ x 2+4x+c 的图像与x 轴有2个交点，则c____________；（2）已知二次函数y=﹣ x 2+4x+c 的图像与x 轴有1个交点，则c____________；（3）已知二次函数y=﹣ x 2+4x+c 的图像与x 轴没有交点，则c____________；（4）已知二次函数y=﹣ x 2+4x+c 的图像与x 轴有交点，则c____________。

二次函数与三角函数的综合题目首先，我们来讨论二次函数和三角函数的基本概念和性质。

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

它的图像一般为抛物线，开口方向取决于a的正负。

而三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等等。

这些函数的图像是周期性的波动曲线。

其中，正弦函数的图像沿y 轴偏移sin(a)个单位，余弦函数的图像沿x轴偏移cos(b)个单位，正切函数的图像存在垂直渐近线。

接下来，我们以一个综合题目来展示二次函数和三角函数的运用。

题目：已知函数f(x) = a(x - h)^2 + k与g(x) = A*sin(Bx + C)的图像如下，请求解以下问题：1. 函数f(x)的顶点坐标是多少？2. 函数g(x)的振幅是多少？3. 函数f(x)和g(x)的图像是否有交点？若有，请给出交点坐标。

4. 若函数f(x)和g(x)的图像相切，求切点的横坐标。

解答：1. 函数f(x)的顶点坐标可以通过将函数转化为顶点形式来求得。

对于二次函数f(x) = a(x - h)^2 + k，顶点坐标即为(h, k)。

根据图像可得，顶点坐标为(-2, 1)。

2. 函数g(x)的振幅可以通过观察图像来求得。

振幅即为函数图像在纵向波动中的最大值的一半。

根据图像可以看出，振幅为3。

3. 函数f(x)和g(x)的图像是否有交点可以通过联立方程求解。

将f(x)和g(x)等式相等，即可得到交点。

联立方程为：a(x - h)^2 + k = A*sin(Bx + C)根据题目给定的图像，我们不妨选择x = 0作为方程求解的初始点。

代入 x = 0，化简得：ah^2 + k = A*sin(C)我们知道正弦函数的取值范围为[-1, 1]，而ah^2 + k为二次函数的常数项。

所以，当 A ≥ |ah^2 + k|时，两个图像相交。

根据给定的图像，可以看出A = 0.5，而|ah^2 + k| = 1，所以A < |ah^2 + k|，即函数f(x)和g(x)的图像没有交点。

九年级数学第二学期单元测试题三角函数 二次函数时间：120分钟 总分：120分2008.12.2一．选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax 2 +bx +c(a ≠0)模型的是( )A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D ．圆的周长与圆的半径之间的关系．2．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（ ） A 也扩大3倍 B 缩小为原来的31C 都不变D 有的扩大，有的缩小3．对称轴平行于y 轴的抛物线的顶点为点(2，3)且抛物线经过点(3，1)，那么抛物线解析式是( )A ．y =-2x 2 + 8x +3B ．y =-2x 2 –8x +3C ．y = -2x 2 + 8x –5D ．y =-2x 2 –8x +24．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则 下列结论正确的是（ ）A ．ab ＞0，c ＞0B ．ab ＞0，c ＜0C ．ab ＜0，c ＞0D ．ab ＜0，c ＜05．把二次函数y =213212---x x 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的解析式是( )A ．x y (21-=- 1)2 +7B ．x y (21-=+7)2 +7C ．x y (21-=+3)2 +4D ．x y (21-=-1)2 +16．如图，在△ABC 中，∠C=90°， AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=53，则BC 的长是（ ）A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、10cm 7． 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为( )8． 已知二次函数y=2x 2+8x+7的图象上有三点A 1(2)y -，，B 21(5)3y -，，C 31(1)5y -，，则 y 1、y 2、y 3的大小关系为( )A ． y 1 > y 2> y 3B ． y 2> y 1> y 3C ． y 2> y 3> y 1D ． y 3> y 2> y 1 9．如果α、β都是锐角，下面式子中正确的是 （ ）A 、sin(α+β)=sin α+sin βB 、cos(α+β)=21时，α+β=600C 、若α≥β时，则cos α≥cos βD 、若cos α>sin β,则α+β>900 10．如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线 BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼 竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼 线C B ''为33，则鱼竿转过的角度是 ( ) A ．60° B ．45° C ．15° D ．90°二．填空题(每题3分，共21分)11．如图，机器人从A 点，沿着西南方向， 行了42个单位，到达B 点后观察 到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为________12．函数y=2x 2 – 4x – 1写成y = a(x –h)2 +k 的形式是________ 13．如图，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米。

中考数学总复习《二次函数与直角三角形综合压轴题》专项测试卷及答案1．如图，一次函数112y x=-+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数212y x bx c=++的图象与一次函数112y x=-+的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为(1,0)-．(1)点B坐标为（______，______）(2)求二次函数的解析式；(3)求四边形BDEC的面积S；(4)在x轴上是否存在点P，使得PBC△是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点A的坐标是(4,0)，并且4OA OC OB==．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上AC之间的动点，过点P作PE垂直于x轴于点E，交直线AC于点D，连接PA、PC，当PAC的面积最大时，求出点P的坐标；(3)抛物线上是否存在点P ，使得ACP △是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．3．在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于(10)(40)A B -，,，两点，与y 轴交于点C ，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图（甲），在x 轴上是否存在点E ，使得以E ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E 坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图（乙），动点P 运动到什么位置时，P 到BC 距离的最大，求出此时P 到BC 距离的最大值及此时点P 的坐标．4．如图，抛物线23y ax bx =+-经过()1,0A -，与y 轴交于点C ，过点C 作BC x ∥轴，交抛物线于点B ，连接AC AB AB 、，交y 轴于点D ，且2BC OA =．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点Q 是抛物线上一点，其横坐标是m ，当点Q 到直线CB 的距离是7时，求m 的值；(3)点P 为抛物线对称轴上一点，连接PA PC 、，若PAC 是以AC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标． 5．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()3,0A -，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．(1)求抛物线的表达式．(2)点P 是抛物线上位于线段AC 下方的一个动点，连接AP ，CP ，求APC △面积最大时点P 的坐标； (3)在抛物线上是否存在点Q ，使得以点A ，C ，Q 为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，已知一次函数0.52y x =+的图象与x 轴交于点A ，与二次图象交于y 轴上的一点B ，二次函数的顶点C 在x 轴上，且2OC =．(1)求二次函数的解析式；(2)设一次函数0.52y x =+的图象与二次函数图象另一交点为D ． ①在抛物线上是否存在点P ，使BCD △面积与BDP △面积相等． ①已知P 为x 轴上一个动点，且PBD △为直角三角形，求点P 坐标．7．如图，已知抛物线2y x bx c =++的顶点P 在直线4y x =-上，且图象与x 轴交于()1,0A -，B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求b ，c 的值；(2)D 是线段BP 上的一个动点，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，点E 的坐标为(),0a ，DCE △的面积为S ． ①求S 的最大值；②在线段BP 上是否存在点D ，使DCE △为直角三角形？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++过A ，B ，三点，点A 的坐标是()3,0，点C 的坐标是()0,3-，动点P 在抛物线上．(1)b = ，c = ，点B 的坐标为 ；(直接填写结果)(2)是否存在点P ，使得ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若动点P 在直线AC 下方的抛物线上运动，求ACP 的边AC 上的高h 的最大值．参考知识：①设1122(,,())A x y B x y 、，则2222121()()AB x x y y =-+-；①若直线11y k x b =+与直线22y k x b =+垂直，则121k k ．9．如图已知抛物线()()31y a x x =-+与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求A B 、两点的坐标；(2)若ABD △为等边三角形，求a 的值；(3)若1a =-，点F 是对称轴与AC 的交点，点P 是抛物线上一点，且横坐标为m ，PE x ⊥轴交AC 于点E ，点P ，E ，F 构成的三角形是直角三角形，求m 的值．10．如图，已知抛物线25y ax bx =++与x 轴交于()1,0A -，()5,0B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C ，B 不重合），连接CD 、BD ，求BDC 面积的最大值； (3)若M 为抛物线对称轴上一动点，使得MBC △为直角三角形，请直接写出点M 的坐标． 11．综合运用如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 223y x x =-++与x 轴交于点 A ．C (点 A 在点 C 的右侧)．与y 轴交于点 B ．直线y kx b =+经过点A ，B ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标及直线AB 的表达式．(2)P 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PQ x ∥轴交直线AB 于点 Q ，设点 P 的横坐标为()0m m <．PQ 的长为 L ．①求L 与m 的函数关系式，并写出m 的取值范围； ①若PQ 与BO 交于点D ，1,3DQ OA =求 m 的值． (3)设抛物线的顶点为M ，问在y 轴上是否存在一点 N ，使得NAM △为直角三角形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴分别交于点()()1,03,0A B -，，与y 轴交于点C (0,−3)，P Q ，为抛物线上的两点．(1)求二次函数的表达式；(2)当P C ，两点关于抛物线对称轴对称，OPQ △是以点P 为直角顶点的直角三角形时，求点Q 的坐标； (3)若点P 在直线BC 的下方，当点P 到直线BC 距离最大时，试求点P 的坐标，并且求出点P 到直线BC 的距离．13．如图，已知一次函数0.52y x =+的图象与x 轴交于点A ，与二次图象交于y 轴上的一点B ，二次函数的顶点C 在x 轴上，且2OC =．(1)求二次函数的解析式；(2)设一次函数0.52y x =+的图象与二次函数图象另一交点为D ．①在抛物线上是否存在点P ，使BCD △面积与BDP △面积相等，若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由．①已知P 为x 轴上一个动点，且PBD △为直角三角形，求点P 坐标．14．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B ，(1,0)A B 在x 轴负半轴，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为D ．(1)用关于a 的式子表示b ；(2)联结AD 、BD ，AD 交y 轴于点E ，若8ABDAEOSS=，求B 坐标；(3)平移抛物线使新抛物线的顶点D 在直线AC 上，B 的对应点B '在y 轴上，C 的对应点为C '，C B ''交直线AC 于H ，若B CH '为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式．15．如图，二次函数28y ax bx =++的图像与坐标轴分别交于点A 、B 、C ，5cos B =:1:2AO BO =．(1)求二次函数表达式；(2)在第二象限内，线段AC 上有一点D ，作PD 平行于x 轴，交二次函数图像于点P 、H （点P 在y 轴左侧），作点Q 与点P 关于y 轴对称．①证明：四边形AQHO 为平行四边形；①若ACQ 是以AC 为斜边的直角三角形，求点P 的横坐标；①直角坐标系内存在点(,)E x y ，使得四边形CQEH 为平行四边形，请直接写出y 与x 的函数表达式，并求当线段PD 的长度最大时，点E 的坐标．参考答案1．【答案】(1)0；1(2)213122y x x =++(3)4.5(4)P 的坐标为(1,0)-或(3,0)-或1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或11,02⎛⎫- ⎪⎝⎭2.【答案】(1)234y x x =-++(2)()2,6(3)存在，()2,6或()2,6--；3．【答案】(1)234y x x =--(2)(4,0)E -或(0,0)(3)P 到BC 的最大距离为22 ()2,6P -4．【答案】(1)2=23y x x --(2)1122m =+ 2122m =-21,3P ⎛⎫⎪⎝⎭或81,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭5．【答案】(1)抛物线的表达式为223y x x =+-(2)点P 的坐标为315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在，满足条件的点Q 的坐标为()1,4--或()2,5或1555-+-+⎝⎭或1555----⎝⎭ 6．【答案】(1)20.522y x x =-+(2)①存在，P 的坐标为()3,0.5 ()1,4.5- ()6,8；①()11,0P 和()27.25,0P 7．【答案】(1)2b =- 3c =-；(2)①当32a =时，CDE 有最大值，最大值为94；②点D 的坐标为()332,6212-+或3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭．8．【答案】(1)−2，-3 ()1,0-；(2)存在，P 的坐标是()1,4-或()2,5-；(3)9289．【答案】(1)()3,0A ()1,0B -；(2)3a =；(3)1m =-或2m =或12m ．10．【答案】(1)245y x x =-++(2)1258(3)()2,7 ()2,3- ()2,6 ()2,1- 11．【答案】(1)()()()3,0,0,3,1,0A B C - 3y x =-+(2)①()2310L m m m =--<<①12存在，30,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭或70,2N ⎛⎫⎪⎝⎭或()0,1N 或()0,3N12．【答案】(1)223y x x =--(2)235,39⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；点P 到直线BC 的距离为92813．【答案】(1)21222y x x =-+(2)①点P 的坐标为()3,0.5 ()1,4.5- ()6,8；①点P 的坐标为：()1,0P 和()7.25,0P ．14．【答案】(1)3b a =--(2)点B 的坐标为()3,0-(3)()215123y x =--- 15．【答案】(1)228y x x =-++(2)①①12- ①21102y x =-+ (4,2)E。

三角函数问题1.小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30o，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60o，求旗杆的高度。

2.如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为030，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为060，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）3.大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得踏顶B处的仰角为60º，爬到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30º，求塔BC的高度。

DB三角函数问题1.一段路基的横断面是直角梯形，如图1，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图2的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？2.超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：=1.41，=1.73）AD 45°30°3.如图，在斜坡AB 上有一棵树BD ，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上C 点处测得树顶部D 的仰角为60°，测得坡角∠BAE ＝30°，AB ＝6米，AC ＝4米．求树高BD 的长是多少米？(结果保留根号)4.某风景区内有一古塔AB ，在塔的北面有一建筑物，当光线与水平面的夹角是30°时，塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD ；而当光线与地面的夹角是45°时，塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 有15米的距离（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度（结果保留根号）．图5B80°CA25°20°5.如图5，客轮在海上以30 km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东80°，测得C 处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20°，则C 到A 的距离是（ ）A.615kmB.215kmC.)26(15+kmD.)236(5+km二次函数1、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系 2、已知函数 y ＝(m ＋2) 22-mx 是二次函数，则 m 等于（ ）A 、±2B 、2C 、－2D 、±3、函数 y ＝2 (x －1)2 图象的开口，对称轴为 ，顶点坐标为 。

A九年级数学期末复习〔二次函数、圆、三角函数〕一、选择题(每题3分，共30分)1．抛物线42-=x y 的顶点坐标是 A ．〔2，0〕 B ．〔—2，0〕 C ．〔1，—3〕 D ．〔0，—4〕 2．两圆的半径分别为3cm ，和5cm ， 圆心距是6cm ，那么两圆的位置关 A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 3．圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，那么圆锥的侧面积是A ． 6cm 2B ． 3πcm 2C ．6πcm 2D ．23πcm 2 4．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，那么cosA 的值是 CA ．21 B ．22C ．23D ．3 5．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，∠B =25°，那么∠D 等于 A ．25° B ．50° C ．30° D ．40°6．如下图，小红同学要用纸板制作一个高4cm 、底面周长是6πcm 的圆锥形漏斗模型， 假设不计接缝和损耗，那么她所需纸板的面积是A ．12πcm 2B ．15πcm 2C ．l8πcm 2D ．24πcm 27．如图，⊙O 的半径为2，直线P A 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，假设P A ⊥PB ，那么 OP 的长为A ．42B ．4C ．22D ．28．两个半径不等的圆相切，圆心距为6cm ，且大圆半径是小圆半径的2倍，那么小圆的半径为 A ．3 B ．4 C ．2或4 D ．2或69．如图，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，将正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B 落在抛物线y ＝ax 2〔a ＜0〕的图像上，那么该抛物线的解析式为 A ．232x y -B ．232x y - C ．y －2x 2 D ．221x y -10．如图，A 、B 两点的坐标分别为(－2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，－1)，半径为1．假设D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，那么△ABE 面积的最大值是A ．3B ．311C ．310D ．4二、填空题(每题3分，共24分) 11．两圆的半径分别为3和7，圆心距为7，那么两圆的位置关系是12．反比例函数y ＝8x-的图象经过点P 〔a ＋1，4〕， 那么a ＝ ；抛物线y ＝7x 2＋ 28x ＋30的顶点坐标为13．假设把函数322--=x x y 化为k m x y +-=2)(的形式，那么m k += —314．如图，在直径AB ＝12的⊙O 中，弦CD ⊥AB 于M ，且M 是半径OB 的中点，那么弦CD 的长是_______〔结果保存根号〕ABC ·DE y x O Bx yA C15．如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，点D 、E 、F 是⊙O 上三个点，EF//AB ， 假设EF=32，那么∠EDC 的度数为__16．扇形的半径为3cm ，面积为3πcm 2，那么扇形的圆心角是 _ °，扇形的弧长是_______cm 〔结果保存π〕17．一个半圆形工件，未搬动前如下图，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧局部不受损伤，先将半圆作如下图的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，那么圆心O 所经过的路线长是 米 18．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为），322(-，直线AB 为⊙O 的一条切线，B 为切点，那么B 点的坐标为 三、解答题(共66分) 19．(3分)计算：︒--+--60tan )4(12210x20．(5分)：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，△ABC 的外角平分线BD 交⊙O 于D ，DE 与⊙O 相切，交CB 的延长线于E.〔1〕判断直线AC 和DE 是否平行，并说明理由；〔2〕假设∠A=30°，BE=1cm ，分别求线段DE 和 BD ⌒的长〔直接写出最后结果〕21．(7分)如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D 过D 作DE ⊥MN 于E ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)假设DE=6，AE=32，求⊙O 的半径；(3)在第(2)小题的条件下，那么图中阴影局部的面积为22．(6分)小明家新买了一辆小汽车，可是小区内矩形停车场ABCD 只有9个已停满车的车 位(图1中的小矩形APQR 等)，该矩形停车场的可用宽度(CD)只有5米．由于种种原因，车 位不能与停车场的长边BC 垂直设计．为了增加车位，小明设计出了图2的停车方案，每个 车位(图2中的小矩形EFGH 等)与该停车场的长边的夹角为37°，且每个车位的宽与原来车 位保持不变，每个车位的长比原来车位少1米．这样，总共比原来多了3个车位．设现在每 个车位的长为x 米，宽为y 米．(参考数据：5337sin =︒，4cos375︒=，3tan 374︒=) D E A O BC·(1)请用含x 的代数式表示BE ；用含y 的代数式表示AH ； (2)求现在每个车位的长和宽各是多少米?分)：如图，⊙A 与y 轴交于C 、D 两点，圆23．(10心A 的坐标为〔1，0〕，⊙A 的半径为5，过点C 作⊙A 的切线交x 轴于点B 〔－4，0〕 〔1〕求切线BC 的解析式；〔2〕假设点P 是第一象限内⊙A 上一点，过点P 作⊙A 的切线与直线BC 相交于点G ， 且∠CGP ＝120°，求点G 的坐标；〔3〕向左移动⊙A 〔圆心A 始终保持在x 轴上〕，与直线BC 交于E 、F ，在移动过程中 是否存在点A ，使得△AEF 是直角三角形？假设存在，求出点A 的坐标，假设不存在，请 说明理由．24．(10分)如图，二次函数()220y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交于点A 〔-1，0〕，与y 轴正半轴交与点B ，顶点为P ，且OB=3OA ，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B ． 〔1〕求一次函数解析式； 〔2〕求顶点P 的坐标；〔3〕平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan 2OAM ∠=，求点M 坐标； 〔4〕设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，假设点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN 的最小值．25．(11分)梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A =120°,E 是AB 的中点，过E 点作射线EF//BC ，交CD 于点G ，AB 、AD 的长恰好是方程224250x x a a -+++=的两个相等实数根，动点P 、Q 分别从点A 、E 出发，点P 以每秒1个单位长度的速度沿射线AB 由点A 向点B 运动，点Q 以每秒2个单位长度的速度沿EF 由E 向F 运动，设点P 、Q 运动的时间为t . 〔1〕求线段AB 、AD 的长；〔2〕如果t > 1，DP 与EF 相交于点N ，求DPQ ∆的面积S 与时间t 之间的函数关系式. 的情况，如果存在请求出时间t ,如〔3〕当t >0时，是否存在DPQ ∆是直角三角形果不存在，说明理由．26．(14分)如图，二次函数2212+-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点P 从A 点出发，以1个单位每秒的速度向点B 运动，点Q 同时从C 点出发，以相同的速度向 y 轴正方向运动，运动时间为t 秒，点P 到达B 点时，点Q 同时停止运动．设PQ 交直线 AC 于点G ．〔1〕求直线AC 的解析式；〔2〕设△PQC 的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式；〔3〕在y 轴上找一点M ，使△MAC 和△MBC 都是等腰三角形，直接写出所有满足条件 的M 点的坐标；〔4〕过点P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，当P 说明理由．EG Q y CNGFQ P E DC BA参考答案一、DCBCDBCDBB二、11．内切 12．—3 (—2，2) 13．—3 14．63 15．︒30 16．︒120 π2三、19．原式=12- =3323- 20．⑴ 平行联结OD ，∵DE 与⊙O 相切，∴ OD ⊥DE.∵ OB=OD ， ∴∠ODB=∠OBD. ∵ BD 是∠ABE 的平分线，即∠ABD=∠DBE ， ∴ ∠ODB=∠DBE. ∴ OD ∥BE.∴ BE ⊥DE ，即DE ⊥CE.∵ AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∴AC ⊥CE. ∴ AC ∥DE. ⑵ 3，32π. 21．〔1〕证明：连结OD ，∵OA=OD∴∠OAD ＝∠ODA ∵AD 平分∠CAM ∴∠OAD ＝∠DAE ∴∠ODA=∠DAE ∴DO ∥MN ∵DE ⊥MN ∴DE ⊥OD ∵OD 是半径∴DE 是⊙O 的切线〔2〕解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=∴==连结CD ，∵AC 是⊙O 直径， ∴∠ADC=∠AED=90° 又∵∠CAD=∠DAE ∴△ACD ∽△ADE∴AD ACAEAD == ∴AC =∴⊙O的半径〔3〕8π-22．(1)∵∠GHE=∠B=90°．∴∠AHG+∠BHE=90°，∠BEH+∠BHE=90°． ∴∠AHG=∠BEH=37°．∴在Rt △AHG 中，AH=HG ·cos ∠AHG=y ·cos37°=45y ．在Rt △BHE 中，BH=HE ·sin ∠BEH=x ·sin37°=35x ． BE ：HE ·cos ∠BEH=x ·cos37°=45x ． (2)在Rt △EFI 中，∠EIF=37°，∴5sin sin 373EF y EI y EIF ===∠︒．根据题意，得()()43555459391.53y x x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪++⨯=+⎪⎩， 解得52.5.x y =⎧⎨=⎩，所以，现在每个车位的长为5m ，宽为2．5m ．23．解：〔1〕连接AC ，∵BC 是⊙A 的切线，∴90ACB ∠=︒．∴90ACO BCO ACB ∠+∠=∠=︒．∵90COA COB ∠=∠=︒，∴18090ACO CAO COA ∠+∠=︒-∠=︒，∴BCO CAO ∠=∠．∴△BCO ∽△CAO ，∴CO BOAO CO =．即2414CO AO BO =⋅=⨯=，∴2CO =．∴C 点坐标是〔0，2〕．设直线BC 的解析式为y kx b =+，∵该直线经过点B 〔－4，0〕与点C 〔0，2〕，∴402k b b -+=⎧⎨=⎩ 解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴该直线解析式为122y x =+．〔2〕连接AG ，过点G 作GH AB ⊥． 由切线长定理知111206022AGC CGP ∠=∠=⨯︒=︒．在Rt ACG ∆中，∵tan ACAGC CG ∠=，∴tan AC CG AGC ====∠． 在Rt BOC ∆中，由勾股定理得BC =． ∴3BG BC CG =+=．又∵90,BOC BHG CBO CBH ∠=∠=︒∠=∠．∴BOC ∆∽BHG ∆，∴HG BGOCBC =，∴22BG OCHG BC⨯⋅===+．那么2+是点G 的纵坐标，∴1222x +=+，解得x =． ∴点G的坐标(33+．……………4分(3)如图示，当A 在点B 的右侧时∵E 、F 在⊙A 上，∴AE AF =．假设△AEF 是直角三角形，那么90EAF ∠=︒，且为等腰直角三角形． 过点A 作AM EF ⊥，在Rt AME ∆中由三角函数可知sin sin 452AM AE AEM =⋅∠=︒==．又∵BOC ∆∽ BMA ∆，∴OC BCAM BA = ，∴222BC AM AB OC ⋅===．∴42OA OB AB =-=-，∴点A坐标是(4,0)2-．当A 在点B 的左侧时：同理可求点A坐标是(4,0)2--．24．解：〔1〕∵A 〔-1，0〕,∴OA=1∵OB=3OA ，∴B 〔0，3〕∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3(2)∵二次函数()220y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A 〔-1，0〕，与y 轴正半轴交与点B 〔0，3〕，∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为：223y x x =-++∴抛物线223y x x =-++的顶点P 〔1，4〕 (3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+ ∵直线3y x b =+过P 〔1，4〕 ∴b=1∴平移后的直线为31y x =+∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠= 设M 〔x,3x+1〕① 当点M 在x 轴上方时，有31312x x +=+，∴13x = ∴11(,2)3M ②当点M 在x 轴下方时，有31312x x +-=+，∴59x =- ∴25(,9M -23-〕 〔4〕作点D 关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N ⊥PD 于点N25．解：根据题意可知，)52(4422++-=∆a a ()0142=+-=a∴1-=a 原方程可化为：0442=+-x x∴221==x x ∴2==AB AD(2) 过点P 作PM ⊥DA ，交DA 的延长线于M,过点D 作DK ⊥EF︒=∠120A ,AD//BC 且2==AB AD ∴︒=∠60B ,3=AHE 是AB 中点，且EF//BC ，23==DK AO t AP =∴t PM 23=∴2323-=t PS , E 是AB 中点，AD//EF,AB =2,∴PA PE AD EN = ∴tt EN )1(2-=∴tt t QN )1(22--= ∴DPQ S ∆)232323)()1(22(21+---=t tt t =2323232+-t t 2323232+-=t t S (3)根据题意可知：,21t AM =∴t DM 212+=∴222)()(PM DM DP += 222)23()212(t t DP ++=，4222++=t t DP 根据勾股定理可得：222)2122()23(--+=t DQ7104)2122()23(2222+-=--+=t t t DQ ，22222)2)1(3()212(-+-+=+=t t t PN QN PQ14722+-=t t PQ ，当︒=∠90PDQ ，222PD DQ PQ +=，1472+-t t =71042+-t t +422++t t解之得：16-=t 〔舍负〕 ①当︒=∠90DPQ 222PD PQ DQ +=，71042+-t t =1472+-t t +422++t t解之得：126-=t 〔舍负〕 ②当︒=∠90DQP ,222PQ DQ PD +=，422++t t =1472+-t t +71042+-t t解之得：564±=t 综上，当564±=t ，126-=t ，16-=t 时DPQ ∆是直角三角形. 26．解：(1)2y x =+(2) 221(02)21(24)2t t t s t t t ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ (3)一共四个点，(0，2)，(0，0)，(0，2-，〔0，－2〕。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）（请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ）。

A.y=(x －1)(x+2) B.y=21(x+1)2 C.y=2(x+3)2－2x 2 D.y=1－3x 22、直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为…………………………………………………………（ ）A ．(0，3)B ．(0，－1)C ．(2，－1)D ．(－2，1)3、已知ΔABC 的三边长分别为6cm ，7.5cm ，9cm ，ΔDEF 的一边长为4cm ，当ΔDEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角相似……………………………（ ） A ．2cm 3cm B ．4cm 5cm C ．5cm 6cm D ．6cm 7cm4、已知α为锐角，且3sin(10)2α-=，则α等于………………………（ ） A ．70° B ．60° C ．40° D ．55° 5.已知cosA ＞21,则锐角∠A 的取值范围是（ ）。

A. 0°＜∠A ＜ 30° B. 30°＜∠A ＜ 90° C. 0°＜∠A ＜ 60° D. 60°＜∠A ＜ 90°6、已知反比例函数)0(<=k xk y 的图像上有两点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是…………………………………………………………（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．不能确定 7、在△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∠ACD ＝α，若tan α＝23，则sinB ＝（ ） A ．553 B ．552 C ．13133 D ．131328、如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有………………………………………………………………………………( )A ．ΔADE ∽ΔAEFB ．ΔECF ∽ΔAEFC ．ΔADE ∽ΔECFD ．ΔAEF ∽ΔABF9．二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图2所示，则下列结论：①a ＞0； ②b ＞0； ③c ＞0；④b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是（ ）。

三角函数与二次函数综合卷21．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD ＞AE），下列结论：①∠AEF=∠BCE；②AF+BC＞CF；③S△CEF=S△EAF+S△CBE；④若=，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）2．已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，（1）求tan∠ABD的值；（2）求AD的长.3．海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE＝10海里，DE ＝30海里，且DE⊥EC，cos∠D＝3.5（1）求小岛两端A、B的距离；（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值.EABFDC4．如图，在△ABC中，90ACB∠=，AC BC=，点P是△ABC一点，且135APB APC∠=∠=．ABCP（1）求证：△CPA∽△APB；（2）试求tan PCB∠的值．5．如图，在梯形ABCD中，︒=∠=∠90BA，=AB25，点E在AB上，︒=∠45AED，6=DE,7=CE.（1）求AE的长；（2）求BCE∠sin的值．6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=23，AD=4．（1）求BC的长；（2）求tan ∠DAE 的值．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数xk y =在第一象限的图象分别交OA 、AB 于点C 和点D ，连结OD ，若4=∆BOD S ，(1)求反比例函数解析式；(2)求C 点坐标．8．如图,在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，22AB =6BD =并且12ABD CBD ∠=∠.求AC 的长.B9．下图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m ，拱桥的跨度为10 m ，桥洞与水面的最大距离是5 m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m 的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下右图）.（10分）（1）求抛物线的关系式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离.10．已知二次函数的图象的一部分如图所示，求：（1）这个二次函数关系式，（2）求图象与x轴的另一个交点，（3）看图回答，当x取何值时y ﹤0.（12分）11．如图，直线l经过A（3,0），B（0,3）两点与二次函数y＝x2＋1的图象在第一象限相交于点C.（1）求△AOC的面积；（2）求二次函数图象的顶点D与点B，C构成的三角形的面积．12．抛物线y=－x2＋（m－1）x＋m与y轴交于点（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）画出这条抛物线大致图象；（4）根据图象回答：①当x取什么值时，y＞0 ？②当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？13．立定跳远时，以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴（假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上），地平线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），则小明此跳重心所走过的路径是一条形如y=-0.2（x-1）2+0.7的抛物线，在最后落地时重心离地面0.3m （假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上）．（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面多少米？此时他离起跳点的水平距离有多少米？（2）小明此跳在起跳时重心离地面有多高？（3）小明这一跳能得满分吗（2.40m为满分）？1．①③④【解析】试题分析：∵EF ⊥EC ，∴∠AEF+∠BEC=90°，∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠AEF=∠BCE ，故①正确；又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF ∽△BCE ， ∴ECEF BE AF =， ∵点E 是AB 的中点，∴AE=BE ， ∴ECEF AE AF =， 又∵∠A=∠CEF=90°，∴△AEF ∽△ECF ，∴∠AFE=∠EFC ，过点E 作EH ⊥FC 于H ，则AE=DH ，在Rt △AEF 和Rt △HEF 中，⎩⎨⎧==EHAE EF EF ， ∴Rt △AEF ≌Rt △HEF （HL ），同理可得△BCE ≌△HCE ，∴BC=CH ，∴AF+BC=CF ，故②错误；∵△AEF ≌△HEF ，△BCE ≌△HCE ，∴S △CEF =S △EAF +S △CBE ，故③正确； 若23=CD BC ，则tan ∠BCE=323222121=⨯====CDBC CD BC AB BC BE BC ， ∴∠BEC=60°，∴∠BCE=30°∴∠DCF=∠ECF=30°，又∵∠D=∠CEF, CF=CF∴△CEF ≌△CDF （AAS ），故④正确，综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．考点：1、矩形的性质；2、全等三角形；3、三角函数；4、相似三角形2．（1）1；（2【解析】试题分析：（1）过点D 作DE ⊥BC 于点E ，根据∠C=60°求出CE 、DE ，再求出BE ，从而得到DE=BE ，然后求出∠EDB=∠EBD=45°，再求出∠ABD=45°，然后根据特殊角的三角函数值解答.（2）过点A 作AF ⊥BD 于点F ，求出，再求出BD ，然后求出DF ，在Rt △ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解．⊥于点E. 试题解析：（1）如图，作DE BC∵在Rt△CDE 中，∠C=60°，∵==∴DE BE 3.∴在Rt△BDE 中，∠EDB= ∠EBD=45º.∵AB⊥BC，∠ABC=90º，∴∠ABD=∠ABC-∠EBD=45º.∴tan∠ABD=1.⊥于点F.（2）如图，作AF BD在Rt△ABF 中，∠ABF=45º, AB=1，==，∵在Rt△BDE 中，DE BE3∴在Rt△AFD考点：1.勾股定理；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值．3．(1) 16.7（海里）．(2)725． 【解析】试题分析：（1）在Rt △CED 中，利用三角函数求出CE ，CD 的长，根据中点的定义求得BE 的长，AB=BE-AE 即可求解；（2）设BF=x 海里．在Rt △CFB 中，利用勾股定理求得CF 2=CB 2-BF 2=252-x 2=625-x 2．在Rt △CFE 中，列出关于x 的方程，求得x 的值，从而求得sin ∠BCF 的值．（1）在Rt △CED 中，∠CED=90°，DE=30海里，∴cos ∠D=35DE CD ， ∴CE=40（海里），CD=50（海里）．∵B 点是CD 的中点，∴BE=12CD=25（海里） ∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）．答：小岛两端A 、B 的距离为16.7海里．（2）设BF=x 海里．在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF 2=CB 2-BF 2=252-x 2=625-x 2．在Rt △CFE 中，∠CFE=90°，∴CF 2+EF 2=CE 2，即625-x 2+（25+x ）2=1600．解得x=7．∴sin ∠BCF=725BF BC =． 考点: 解直角三角形的应用．4．（1）证明见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）应用△ABC 中角的关系求出∠PAC=∠PBA 和∠APB=∠APC 即可证得；（2）由等腰直角三角形，相似三角形的性质和锐角三角函数定义即可求得.试题解析：（1）∵在△ABC 中，∠ACB=90º,AC=BC∴∠BAC=45º，即∠PAC+∠PAB=45º，又在△APB 中，∠APB=135º，∴∠PBA+∠PAB=45º，∴∠PAC=∠PBA ，又∠APB=∠APC ，∴△CPA ∽△APB.（2）∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴21=AB CA , 又∵△CPA ∽△APB ， ∴21===AB CA PB PA PA CP ， 令CP=k ，则，PB=2k ，又在△BCP 中，∠BPC=360º-∠APC-∠BPC=90º，∴2tan ==∠PCPB PCB 考点：1. 等腰直角三角形的性质；2.相似三角形的判定和性质；3.锐角三角函数定义.5．（1）AE =（2）sin 7BCE ∠=． 【解析】试题分析：（1）在DAE Rt ∆中，∠A=90°，∠AED=45°，DE=6，根据这些条件利用余弦函数求AE ；（2）在BCE Rt ∆中，EC=7，再利用（1）的解答结果，根据正弦函数来解答sin BCE ∠的值．试题解析：（1）在DAE Rt ∆中，︒=∠90A ,︒=∠45AED ,6=DE ∵DEAE AED =∠cos ∴AED DE AE ∠⨯=cos =︒⨯45cos 6=23 ；（2）∵AE AB BE -= ∴222325=-=BE在BCE Rt ∆中，7=EC ,CE BE BCE =∠sin =722． 考点：解直角三角形．6．（1）4；（2. 【解析】试题分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt △ADC ，得出DC=4；解Rt △ADB ，得出AB=6，根据勾股定理求出然后根据BC=BD+DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE 的值，则DE=CE-CD ，然后在Rt △ADE 中根据正切函数的定义即可求解．试题解析：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，∴DC=AD=4．在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=23，AD=4， ∴AB=6sin AD B =∴=∴BC=BD+DC=4（2）∵AE 是BC 边上的中线，∴CE=122，∴2，∴tan ∠DAE=DE AD = 考点: 解直角三角形.7．（1）xy 8=；（2）（2，4）． 【解析】试题分析：(1)由4=∆BOD S ，且OB=4，可求BD 的长，因此D 点坐标可求，从而确定反比例函数解析式.（2）过点C 作CE ⊥OB 于点E ．在AOB Rt ∆中，利用锐角三角函数可求出CE 和OE 的长，从而求出C 点坐标．试题解析：（1）设D （x ，y ），则有OB=x ，BD=y ．由 4=∆BOD S ，得42=⋅BD OB ，42=xy ， xy=8． 由xk y =可得，k=xy ，∴k=8， ∴x y 8=（2）过点C 作CE ⊥OB 于点E ．在AOB Rt ∆中，︒=∠90ABO ，4=OB ，8=AB ，∴tan ∠AOB 2==BOAB ， ∴2=EOCE ，CE=2EO ， 设C 点坐标为（a ，2a ），把点C （a ，2a ）代入xy 8=中，得 822=a ，解得2±=a ，∵点C 在第一象限，∴a>0，取a=2．∴C 点坐标为（2，4）．考点: 反比例函数综合题．8．42【解析】试题分析：在Rt △ABD 中，tan ∠ABD=AD BD =即可求出∠ABD=30°，从而判断△ABC 为直角三角形，且∠C=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AC 的长.试题解析：在Rt △ABD 中，∠BDA=90°，AB=，∴tan ∠ABD=AD BD =∴∠ABD=30°，∠A=60°∵∠ABD=12∠CBD ∴∠CBD=60°，∠ABC=90°在Rt △ABD 中，cos AB AC A==考点: 解直角三角形．9．（1）y= （x-5）2 ＋5（0≤x ≤10）. （2）两景观灯间的距离为5米.【解析】试题分析：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y 轴交点坐标是（0，1）设抛物线的解析式是y=A （x ﹣5）2+5把（0，1）代入y=A （x ﹣5）2+5得A=﹣∴y=﹣（x ﹣5）2+5（0≤x ≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4∴4=﹣（x ﹣5）2+5∴（x ﹣5）2=1∴x 1=，x 2=∴两景观灯间的距离为﹣=5米考点：二次函数的应用10．（1）二次函数关系式为y=2x 2 -4x-6；（2）与x 轴的另一个交点是（-1，0），（3）-1﹤x ﹤3【解析】试题分析：（1）由图象可知，抛物线顶点为（1，-8）所以可设二次函数为y=A （x-1）2-8，则该二次函数过（3,0）这个点所以4A-8=0；即A=2所以二次函数关系式为：y=2（x-1）2-8= y=2x 2 -4x-6;（2）当y=0时， 2x 2 -4x-6=0所以（x-3）（x+1）=0；得x=3或者x=-1所以图像与x 轴的另一个交点为（-1,0）；（3）根据图象可知：当-1＜x ＜3时，y ＜0考点：二次函数的图象及性质11．（1）3；（2）1【解析】试题分析：（1）由A （3,0），B （0,3）两点可求出一次函数的解析式为y ＝－x ＋3.联立⎩⎨⎧+=+-=132x y x y 并根据图中点C 的位置，得C 点坐标为（1,2）．∴S △AOC ＝12·|OA|·|y C |＝12×3×2＝3. （2）二次函数y ＝x 2＋1的顶点坐标为D （0,1）．∴S △BCD ＝12·|BD|·|x C |＝12×|3－1|×1＝1. 考点：1.函数图象的交点；2.二次函数性质12．（1）抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）抛物线与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0）；（3）详见解析；（4）①当-1＜x＜3时，y＞0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小．【解析】试题分析：（1）将（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m求得m，即可得出抛物线的解析式；（2）令y=0，求得与x轴的交点坐标；令x=0，求得与y轴的交点坐标；（3）得出对称轴，顶点坐标，画出图象即可；（4）当y＞0时，即图象在一、二象限的部分；当y＜0时，即图象在一、二象限的部分；在对称轴的右侧，y的值随x的增大而减小．试题解析：（1）∵抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点，∴m=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）令y=0，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴抛物线与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0）；令x=0，得y=3，∴抛物线与y轴的交点坐标（0，3）；（3）对称轴为x=1，顶点坐标（1，4），图象如图，（4）如图，①当-1＜x＜3时，y＞0；当x＜-1或x＞3时，y＜0；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小．考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数的图象；3．待定系数法求二次函数解析式．13．（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面0.7米，此时他离起跳点的水平距离有1米；（2）小明此跳在起跳时重心离地面有0.5米高；（3）小明这一跳能得满分；【解析】试题分析：（1）由解析式即可得到；（2）在解析式中令x=0,则可得到小明在起跳时重心离地面有高度；（3）在解析式中令y=0，解方程即可得到；试题解析：（1）由解析式y=-0.2（x-1）2+0.7可知抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，0.7），所以小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面0.7米，此时他离起跳点的水平距离有1米；（2）令x=0,则y=-0.2（x-1）2+0.7=-0.2+0.7=0.5，即小明此跳在起跳时重心离地面有0.5米高；（3）令y=0，则有-0.2（x-1）2+0.7=0，解得x1=2142+≈2.87>2.4，x2=2142-<0（舍去）所以小明这一跳能得满分；考点：二次函数的应用。

专题17二次函数与三角函数综合问题【例1】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标为；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．【例2】（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD＝MN，求N点的坐标．【例3】（2021•荆州）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t．（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA 的面积为，当t＝时，求抛物线的解析式．【例4】（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．1．（2021•镇江二模）已知抛物线y＝ax2+bx+10交x轴于点A（﹣10，0）和点B（2，0），其对称轴为直线l，点C在l上，坐标为（m，﹣3），射线AB沿着直线AC翻折，交l于点F，如图（1）所示．（1）a＝，b＝；（2）如图（2），点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线l上，EP＝EB且∠BPE＝∠BAF，求证：AB •BE＝PB•AF．（3）在（2）的条件下，直接写出tan∠BAF的值＝；直接写出点P的坐标（，）．2．（2021•慈溪市校级四模）如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PM⊥OA于点M，点Q的坐标为（0，3），连接PQ．（1）求出抛物线的解析式；（2）当点P与点A或点C重合时，PQ+PM＝，小聪猜想：对于A，C间的任意一点P，PQ与PM之和是一个固定值，你认为正确吗，判断并说明理由；（3）延长MP交BC于点N，当∠NPQ为锐角，cos∠NPQ＝时，求点P的坐标．3．（2021•道里区二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2交y轴于点A，该抛物线的顶点为B（2，﹣4）．（1）如图（1），求a，b的值；（2）如图（2），过点B作x轴的垂线，点C为垂足，横坐标为t的点P在抛物线上，点P在第四象限且位于BC右侧，连接PA，PC，△ACP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，不要求写出自变量t 的取值范围；（3）如图（3），在（2）的条件下，连接PB，点D与点A关于原点对称，过点D作x轴的平行线与抛物线在第二象限交于点E，点F在第三象限，点G在CB的延长线上，若EF＝PC，∠DEF+∠BCP＝150°，∠DEG﹣∠PFG＝30°，tan∠EGF＝，求点P的坐标．4．（2021•金坛区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象与y轴交于点B，抛物线的对称轴是直线l，顶点是A，过点B作CD⊥BA交x轴于点C，交抛物线于点D，连接AD．将线段AB沿线段AD平移得到EF（点E与点A对应、点F与点B对应），连接BF．（1）填空：线段OA＝；（2）若点F恰好落在直线L上，求AF的长；（3）连接DF并延长交抛物线于点Q，若tan∠ADF＝，求点Q的坐标．5．（2021•仙桃校级模拟）如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣2），且经过点A（﹣2，2），动直线l的解析式为：y＝﹣4x+e．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1向上平移两个单位得到新抛物线C2，过点A的直线交抛物线C2于M、N两点（M位于点N的左边），动直线经过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点；（3）图3中，在（1）的条件下，x轴正半轴上有一点B（1，0），M为抛物线C1上在第一象限内的点，若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，直接写出点M的横坐标x的取值范围．6．（2021•台安县模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式．（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合），①求线段EH的长；②连接DF，求tan∠FDE的值；③试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021•江阴市模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象交x轴于点A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，与其对称轴交于点D，直线BD交y轴于点E，BD＝2DE．（1）求点A的坐标；（2）①连接AC，BC，若△ABC外接圆的圆心正好在x轴上，求二次函数表达式；②连接CD，若tan∠CDB＝tan∠OBD，求此时二次函数表达式．8．（2021•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E 为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2020•海安市一模）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a（a＞0）与y轴相交于A 点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点．直线y＝kx﹣k（k＞a）与抛物线L相交于C，D两点（点C在点D的左侧），与y轴交于E点，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接EH交x轴于G 点．（1）若a＝1，k＝2，求DH的长；（2）当a=13时，求cos∠AHE的值；（3）连接BC，求证：四边形BCGH是平行四边形．10．（2020•惠山区二模）已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2+2mx﹣4（m≠0）的图象与x 轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数的图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP＝2，求出点P的横坐标．11．（2020•肥城市四模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴A（﹣4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE，D是第二象限内的抛物线上一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）求△ADE面积的最大值并写出此时点D的坐标；（3）若tan∠AED=13，求此时点D的坐标．12．（2020•历下区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED=13，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．14．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y=−12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC=12时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t （0≤t≤5），请直接写出S与t的函数关系式．15．（2020•成都校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+4交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（6，7）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F，作PM⊥CD于点M．（1）求抛物线的解析式及sin∠PFM的值．（2）设点P的横坐标为m：①若P在CD上方，用含m的代数式表示线段PM的长，并求出线段PM长的最大值；②当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．16．（2020•武汉模拟）如图，抛物线y═−13x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，5）．有一宽度为1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2020•河东区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2019•新都区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A和点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B两点，且其对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P是抛物线上一动点，若在此抛物线上，有且仅有三个点P，使△ABP的面积等于定值S，请求出该定值S和这三个P点的坐标；（3）如图2，动点C，D分别在x轴上方、下方的抛物线上运动，且满足∠CAO＝∠DAO，连接CD交x轴于点E，当点C，D运动时，∠CEO的度数发生变化吗？若不变，求出sin∠CEO的值；若变化，请求出∠CEO的变化范围．。

一．任意凸四边形的两条对角线长分别为a、b，两条对角线所夹锐角为α，求证：四边形的面积S=ab sinα/2二．如图,BC为半圆O的直径,D,E两点在直线BC上,DB=BC=CE,A为半圆O上任意一点，求tan∠DAB与tan∠EAC的乘积。

三．角A在0到45°之间时，他的正弦，余弦和正切的大小顺序怎么样的？四．在△ABC中，已知a/cosA=b/cosB=c/cosC,求证：a=b=c（纯属娱乐，放松心情）五．已知y=x²- 2x + m 与x轴交于点A（x1，0）B（x2，0) (x2>X1)设抛物线的顶点为M，若△AMB 是直角三角形，求m值(很简单吧？)六．1. 已知二次函数图象顶点为C（1，0），直线y=x+m 与该二次函数交于A，B两点，其中A点（3，4），B点在y轴上.（1）求m值及这个二次函数关系式；（2）P为线段AB上一动点（P不与A，B重合），过P做x轴垂线与二次函数交于点E，设线段PE长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x取值范围；（3）D为线段AB与二次函数对称轴的交点，在AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由（没什么难度，就是比较烦）。

七．已知二次函数y=x²-(m²+8)x+2(m²+6),设抛物线顶点为A,与x轴交与b，c两点，问是否存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形，如果存在m；若不存在说明理由（做多了就习惯了）。

八．（这是我看到的比较有意思的一道题）九．锐角三角形ABC中，已知AB=4，AC=5，BC=6，AD、BE、CF分别是边BC，CA，AB上的高，D，E，F为垂足，求三角形DEF与三角形ABC的面积之比。

十．已知圆O为△ABC的内切圆，DE//BC,且DE与圆O相切。

三角形ABC的周长为8.求DE的最大值。