华约自主招生能力测试数学试题

华约自主招生试题一、数学部分1. 有一个集合A={1,2,3,4,5}，请列举出A中的所有子集。

2. 设集合A={a, b, c}，集合B={1, 2, 3}，则集合A与集合B的笛卡尔积为什么？3. 已知函数f(x) = 3x + 4，求f(-2)的值。

4. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则集合A与集合B的交集为什么？5. 求方程3x^2 - 2x + 1 = 0的解。

6. 在一个等边三角形ABC中，BC=x，求三角形ABC的面积。

7. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x，求f'(x)。

二、英语部分1. 根据所给的短文，回答以下问题：The Great Wall is one of the most famous sights in the world. It is more than 20,000 kilometers long and is known as one of the Seven Wonders of the World. The Great Wall was built over 2,000 years ago to protect the Chinese Empire from invasions. It attracts millions of tourists from all over the world every year.a) How long is the Great Wall?b) Why was the Great Wall built?c) What does the Great Wall attract every year?2. 根据所给的对话，填写空缺处的单词：A: Can you help me with my math homework?B: Sure, what's the problem?A: I can't solve this equation. _______ you show me how?B: Of course, let me take a look. ________ the equation for me.A: It's 3x^2 + 4x - 5 = 0.B: Alright, first we need to find the _______ of the equation. Then we can use the quadratic formula.A: How do we find the _______?B: We look at the coefficient of the x^2 term, which is 3 in this case. Now let's plug the values into the quadratic formula...三、逻辑思维部分1. 莉莉、爱丽丝、汤姆和鲍勃是四个朋友。

2010年清华大学等五校合作自主选拔通用基础测试数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1、设复数其中为实数，若的实部为，则的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】复数的基本概念和运算．基础题．【解析】 A ．∴的实部为虚部为．2、设向量满足则的最小值为（ ）A ．2BC ．D【分析】向量的模长与数量积．基础题．【解析】 D ．，∴，当时取到等号．3、如果平面直线点满足：且与所成的角为与所成的角为那么与所成角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】异面直线所成角．本题用常规的作平行线的方法的话不容易求，由已知条件作出与所成的角后，注意到与垂直，转化为求与所成的角，问题会比较简单． 【解析】 B ．如图，设在内的射影为，则．作于，则． 由三垂线定理，．2i 1i a w +æö=ç÷+èø，a w 2w 32-12-1232()()()()22i 1i 11i 44a a a w +-++-éùéùëûëû==w()()221124a a a +--==()()221113422a a a +--==-,ab !!1a b a b m ==×=!!!!，，()a tb t +ÎR !!1()222222221211a tb a tb ta b t mt t m m m +=++×=++=++--!!!!!!≥a tb +!!≥t m =-a b ，，m n ，，A B ，m n A m B n a b a b ÌÌÎÎ∥，，，，，ABa π4n AB m ⊥，，AB π3，m n π3π4π6π8AB a BAH Ðn AH AH m B a H π4BAH Ð=BC m ^C π3BAC Ð=AC CH ^设，则，． 又，所以面，所以． 于是与所成的角为．4、在四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为（ ） A ． B ． C ．D ．【分析】割补法求体积． 【解析】 C ．设四棱锥的体积为，则，，，∴．5、在中，三边长满足则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】正弦定理与三角恒等变换．先将已知条件的边的关系转化为角的等式，再利用三角公式把所有的角都转成，最后化简就可以得出结果． 【解析】 C ．H Cβαnm BA1AB =12AC =AH =π4CAH Ð=n AB n BH ^^，n ^ABH n AH ^m n π4P ABCD -11B D ，PB PD ，11AB CD P ABCD -1:61:51:41:3B 1D 1DCBAPP ABCD -V 112B ABC P ABC V V --=112D ACD P ACD V V --=1114P B D C C PBD V V --=1114P B D A A PBD V V --=11111244A B D C V V V V V -=--=ABC △a b c ，，3a c b +=，tan tan 22A C1514122322A C，3a c b +=sin sin 3sin A C B Þ+=2sincos 6sin cos 2222A C A CB B+-Þ=．【总结】和差化积公式作为三角恒等变换的重要公式，需要熟记．和差化积公式：6、如图的两条高线交于其外接圆圆心为过作垂直于与相交于则与面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】相似三角形的面积比．如果学过平面几何的竞赛知识的话，知道是的欧拉线，马上可以得出是的重心，，结论也就很显然了．如果没学过欧拉线的相关知识的话，纯粹的平面几何方法相对难想，可以考虑用三角结合平面几何求解与的比例关系． 【解析】 A由，可得，又是的欧拉线，所以 另解：中，由正弦定理，有（为的半径），所以．又，所以，于是所求比值为．7、设过点且平行于轴的直线与曲线的交点为曲线过点的切线交轴于点则的面积的最小值是（ ） A ．1BC ．D ．【分析】用导数求最值．cos3sin 22A C B -Þ=cos 3cos 22A C A C-+Þ=cos cos sin sin 3cos cos 3sin sin 22222222A C A C A C A C Þ+=-4sin sin 2cos cos 2222A C A C Þ=1tan tan 222A C Þ=sin sin 2sin cos22a ba ba b +-+=sin sin 2cossin22a ba ba b +--=cos cos 2cos cos22a b a ba b +-+=cos cos 2sin sin22a b a ba b +--=-ABC △AD BE ，H ，O ，O OF BC F ，OH AF G ，OFG △GAH △FD BCO GH EA1:41:32:51:2OGH ABC △G ABC △12OG GH =AH OF OF AH ∥OGF HGA △△∽OGH ABC △12OG GH =ABH △2sin sin sin AH AB ABR ABH AHB C===ÐÐR ABC △2sin 2cos AH R ABH R A =Ð=cos OF R A =2AH OF =1:4()()e 0ax f x a =>，()0P a ，y ():C y f x =Q ，C Q x R ，PQR △e 22e 4【解析】 B由已知得，，切线方程为，令，解得．所以，于是．令，则，可得处取得最小值．因此．8、设双曲线椭圆，若的短轴长与的实轴长的比值等于的离心率，则在的一条准线上截得线段的长为（ ） A ．B ．C ．D ．4【分析】圆锥曲线的参数．本题唯一的难点是准线的概念，其它的按常规来算就可以了．【解析】D． 将的一条准线（其中，解出，所以截线段长为．【总结】椭圆（）的准线方程有两条，为左准线，为右准线，其中．由椭圆的第二定义，椭圆上的点到左焦点的距离与到左准线的距离比为常数，等于椭圆的离心率．9、欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】组合最值．典型的竞赛题，因为三角形的个数为，如果不同的三角形使用不同的3色组合，则，即．如果刚好是的话，则种颜色应该是平等的，它们染的线段的条数应该一样，但顶点的连线数不是的倍数，这说明6种不行．然后尝试举出7种可行的例子．【解析】 B如果是种颜色的话，因为种颜色的色组合有种，而正六边形的顶点所形成的三角形共个，由题设，这些三角形的色组合都不同，所以种颜色所有的色组合都恰好出现一次．另一方面，个顶点的连线共条，因此存在一种颜色只有条，含有这种颜色的三角形只有个，但含有此种颜色的色组合却有种，这与色组合都出现一次矛盾，故种颜色不行．2(,e )a Q a ()e ax f x a ¢=22e e ()a a y a x a -=-0y =1x a a=-1,0R a a æö-ç÷èø2111||||e 22a PQR S PR PQ a =×=××△2e ()a g a a =221()2e a g a a æö¢=-ç÷èø()g a ()min12PQR S g ==△()2212:204x y C k a k a -=>>，，2222:14x y C a +=2C 1C 2C 1C 2C 2244a k =Þ=+2C 2a x c =c ==2224a y k c -=2y =±422221x y a b +=0a b >>2a x c =-2a x c=c =n n 36C 336C C n !6n ≥6626C 15=666336C 36C 363626C 15=2248´=325C 10=36染种颜色时，如图，各条线上的数字代表染的颜色，有种，剩下的条对角线染第种颜色，则满足要求．10、设定点是以点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线为轴满足条件的旋转，用表示空间关于所在平面的镜面反射，设为过中点与中点的直线，用表示空间以为轴的旋转，设表示变换的复合，先作，再作，则可以表示为（ ） A ． B ． C ． D ．【分析】空间想象力与代数变换．【解析】 D记四面体为，则，即、分别互换．而故可以表示为，选D ．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11、 （本题满分14分）在中，已知，外接圆半径．⑴ 求角的大小；⑵ 求面积的最大值． 【分析】解三角形与均值不等式．基础题． 【解析】 ⑴ 解得或（舍去），于是．⑵ 由正弦定理，又，得．从而仅当时取到．∴面积的最大7637123456654321A B C D 、、、O s OA ()B C s =t OCD l AB CD w l 180°s t !t s w s t s t s !!!!s t s t s t !!!!!t s t s t !!!!s t s s t s !!!!!(),,,A B C D ()(),,,,,,A B C D B A D C w =,A B ,C D (),,,A B C D s t s s t s !!!!!()()(),,,,,,,,,A C D B B C D A C D B A s t s s t s t s s s t s ===!!!!!!!!!()()(),,,,,,,,,D B C A D A C B B A D C s t s ===!w s t s s t s !!!!!ABC △22sin cos 212A BC +-=2R =C ABC △22sin cos 212A BC +-=()()21cos 2cos 11A B C Û-+--=22cos cos 10C C Û--=1cos 2C =-cos 1C =2π3C =2sin c R C ==2222cos 22cos 3c a b ab C ab ab C ab =+--=≥243c ab =!1sin 2sin 2ABC S ab C C ==△≤2a b ==ABC △12、（本题满分14分）设为抛物线上不同的四点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线．设到直线直线的距离分别为已知．⑴ 判断是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； ⑵ 若的面积为240，求点的坐标及直线的方程．【分析】圆锥曲线问题．第一问是探索性问题，由已知的等式强算的话，是不可行的．需要有一定的联想和猜测能力，由结论反推，很多条件就会豁然开朗，解答也就顺理成章了．如果第一问解决了，第二问会比较简单．【解析】 ⑴ 设、、、，则切线方程为，∴切线斜率为，于是．，于是、因此，．从而．又，∴，∴为直角三角形． ⑵ 由⑴，，．∴，解得，于是点的坐标为，进而容易算得对应的方程为．【总结】对于隐藏一些中间结论，需要一定的观察和联想力的解析几何题，除了平时的扎实基础外，丰富的经验也是不可或缺的．看看下面这道题：已知抛物线上的三个点，抛物线在三点上的切线两两相交，交点分别为，求证：．13、 （本小题满分14分）⑴ 正三棱锥的体积求正三棱锥的表面积的最小值； ⑵正四棱锥的体积求正四棱锥的表面积的最小值； A B CD ，，，24x y =A D ，BC D l D AB ，AC 12d d ，，12d d AD +=ABC △ABC △A BC ()00,A x y -()00,D x y ()11,B x y ()22,C x y ()002x x y y =+02x 02BCxk=2020204AC y y x x k x x --==+104AB x x k -=234BC x x k +=230204AC AB x x x k k +-+==AC AB k k =-12d d =12d d +=45BAD CAD Ð=Ð=°ABC △1AC k =1AB k =-204x x -=104x x -=-))()()201000142422ABC S AC AB x x x x x x =×=++=+-+△240=08x =±A ()8,16±BC 412y x =±-24x y =A B C ，，A B C ，，D E F ，，2ABC DEF S S =△△V =V =⑶ 一般地，设正棱锥的体积为定值，试给出不依赖于的一个充分必要条件，使得正棱锥的表面积取得最小值．【分析】立体几何最值．设出参数，表面积的表达式都很好表达，就是计算有点复杂，由求导求最小值，也可以用均值不等式，但不太好凑．【解析】 设底面中心到底面的边的距离为，底面积为，正棱锥的高为，体积为，表面积为，则． 对于底面的正边形，有，可得．于是，由，可得． 设，则 ，令，求导，得． 令，解得．当时，；当时，，所以（）在时取到最小值，最小值是，故时，侧面与底面所成的角的大小为而且． 对于第⑴问，，，所以正四棱锥表面积的最小值为． 对于第⑵问，，所以正四棱锥表面积的最小值为．对于第⑶问，当正棱锥的体积为定值时，正棱锥的表面积取得最小值的一个充要条件是棱锥侧面与底面的夹角大小为14、（本小题满分14分）假定亲本总体中三种基因型式：的比例为 且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个．⑴ 求子一代中，三种基因型式的比例；n V n n d d S h V S d VS h3=n πtan d d d n S n 1æö2×=ç÷2èøπtan d S d n n 2=πtan dd d d S S S d n S S n d æ2æö=2×=+=1+çç÷çèøèπtan d V S d n h n 23==223223ππtan 9tan d V d S d n V n h n n h æöæöæö==ç÷ç÷ç÷èøèøèø2d x h æö=ç÷èøππtan tan d d S S V n V n x n h n 33323322ææææö=1+=91+=9×1+çççç÷çççèøèèè()32π9tan 1f x V n x n æ=×+ççè())2π9tan 21f x V n x n ¢=-()0f x ¢=18x =108x <<()0f x ¢<18x >()0f x ¢>()f x 3S 18x =2π72tan V n n S 18x =hd=arctan 4d S S =3V n ===4V n ==4=4n n arctan AA Aa aa ，，:2:(0002u v w u v w u v >>>+，，，1)w +=⑵ 子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由．【分析】统计问题. 【解析】 ⑴ 列表如下：∴⑵ 记，，则．⑴中比例为．因此子二代的比例为．于是子二代与子一代的比例相同．15、（本小题满分14分） 设函数且存在函数满足． ⑴ 证明：存在函数满足； ⑵ 设证明：． 【分析】函数、数列与不等式综合．对于数列的分式型递推，通常用不动点法求通项公式． 【解析】 ⑴ ， ∴ 即． 上式对一切恒成立，对比系数必有，， ∴，． 又，． 由 对比系数，有，，∴存在函数． ⑵ 用不动点法，求得，∴ AA AA +AA Aa +AA aa +Aa AA +Aa Aa +Aa aa +aa AA +aa Aa +aa aa +AA 2u uv 0uv 2v 0000Aa 0uv uw uv 22v vw wu wv 0aa 00002v vw 0wv 2w ()()()22222::2:2222:2AA Aa aa u uv v uv uw vw v v w vw =+++++++()()()()22:2:u v u v v w v w =++++u v x +=v w y +=1x y +=22:2:x xy y ()()()()222222:2:xxy x xy xy y xy y ++++22:2:x xy y =()1x m f x x +=+，()102s t at b t a f æö==+>¹ç÷èø，，2121t s f t s -+æö=ç÷èø()()0t s cs d s f ==+>，2121s t f s t +-æö=ç÷èø()11312n n x x f x n +===!，，，，，1123n n x --!()212121212121311t mm t t t mt t f t t t t t t-++---+æö===ç÷--+-èø+()2121221at b s at b s at b at b +++++==++()2122131m t at b t at b+-++=-+()()()()2131221m t at b t at b Þ+-+=-++éùëû()()()()2222663221m at bm b a t b at b a t b +++--=++--+12t >4m =3a =1b =-()41x f x x +=+()31s t t j ==-12421161213121s s s f f s s s s++++æöæö=+==ç÷ç÷+èøèø++()2121cs d t t cs d +--=+221cs d cs d +-=+()()22612216666322131s cs d cs d c s d cs d c s d s cs d++-=Þ+++=+-++-++3c =1d =()31s s y =+()12531n n n x x -+=×--()114123531n n n x ---=×--!（∵当为奇数时，当为偶数时，）【总结】对于型如的递推数列，求通项公式的方法：令，解得的两个根，这两个根叫做数列的不动点． 当时，是等比数列；当时，由，两边取倒数，令，可得到关于的一阶递推式，求出的通项公式就可得到的通项公式．1n -()11153115343n n n ---×--=+×>×1n -()11153153143n n n ---×--=×-×≥1n n n ax bx cx d++=+ax bx cx d+=+x a b ，a b ¹n n x x a b ìü-íý-îþa b =1n n n ax b x cx d a a ++-=-+1n n y x a =-n y n y n x。

华约自主招生试题及答案一、选择题1. 根据题目所给的选项，选择最符合题意的一项。

A. 选项一B. 选项二C. 选项三D. 选项四答案：C2. 请从下列选项中选出正确答案。

A. 选项AB. 选项BC. 选项CD. 选项D答案：B二、填空题3. 请在横线上填写正确的内容。

题目：地球的自转周期是______。

答案：24小时4. 根据题目要求，填写相应的信息。

题目：______是中国古代四大发明之一。

答案：指南针三、简答题5. 请简述牛顿第二定律的内容。

答案：牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用在其上的合外力成正比，与物体的质量成反比。

6. 请简要说明什么是光的折射现象。

答案：光的折射现象是指光线从一种介质进入另一种介质时，光线传播方向发生改变的现象。

四、论述题7. 论述中国传统文化对现代社会的影响。

答案：中国传统文化对现代社会有着深远的影响。

它不仅体现在人们的日常生活习惯、价值观、道德观等方面，还对现代教育、艺术、科技等领域产生了积极的推动作用。

8. 请分析全球化对世界经济的影响。

答案：全球化促进了世界经济的一体化，加强了各国之间的经济联系，提高了生产效率，但也带来了诸如文化冲突、经济不平衡等问题。

五、计算题9. 已知一个物体的质量为5千克，受到的重力加速度为9.8米/秒²，求该物体所受的重力大小。

答案：根据公式G = m * g，可得G = 5 * 9.8 = 49牛顿。

10. 若一个物体以10米/秒的速度做匀速直线运动，求其在5秒内通过的路程。

答案：根据公式s = vt，可得s = 10 * 5 = 50米。

六、实验题11. 请设计一个实验来验证阿基米德原理。

答案：实验步骤如下：a. 准备一个弹簧秤、一个物体和水。

b. 使用弹簧秤测量物体在空气中的重力。

c. 将物体浸入水中，并记录此时弹簧秤的读数。

d. 计算物体在水中所受的浮力，验证阿基米德原理。

12. 描述如何使用显微镜观察细胞结构。

“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题（满分150分）5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA uu u v 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅I ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量3,1)a =-v ,13(,22b =v .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+-v v v ,tan d ma b θ=-+u v v v ,且c d ⊥v u v .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22Λ+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅I 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-U2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21Λ。

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“华约”自主招生试题解析一、选择题■1.设复数vv = (—)2,其中d为实数，若R的实部为2,则w的虚部为() 1 + /3 (A)——(B) -- (C)丄3(D)-2 2 222.设向量“”，满足\a\=^b\= \,a b=m ,则\a+tb\(t^R)的最小值为()(A) 2(B) y/l + m2(C) 1(D) Jl_屛3。

缺4。

缺A r5.在AABC中，三边长a.b.c ,满足“ + <? = 3/儿贝ij tan — tan —的值为()2 2(A) —(B) — (C) —(D)—5 4 2 36.如图，AABC的两条髙线AD、BE交于H ,其外接圆圆心为0 ,过O作OF垂直BC于F , OH 与AF相交于G,则△OFG与NGAH而积之比为()(A) 1:4 (B) 1:3 (C) 2:5 (D) 1:27.设/(x) = e at(«>0)・过点P(aO)且平行于y轴的直线与曲线C:y = f(x)的交点为曲线C过点Q的切线交X轴于点R ,则APQR的而积的最小值是()(A) 1 (B) —(C) - (D)—2 2 4X2 V2V2 V28.设双曲线G :r—— = k(d>2K>0)，椭圆G：r + — = 1・若G的短轴长与G的实轴长cr 4 4的比值等于c?的离心率，则G在c?的一条准线上截得线段的长为()(A) 2丿2 + «(B) 2 (C) 4J4 + R (D) 49.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为〃种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则〃的最小值为()(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 910.设定点A、B、C、D是以O点为中心的正四面体的顶点，用o■表示空间以直线Q4为轴满足条件b(3) = C的旋转，用7•表示空间关于OCD所在平而的镜而反射，设/为过AB中点与CD中点的直线，用。

第一题：已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件①数字两两不等②任意两个数字之和不等于9 ⑴B 中有多少个两位数，多少个三位数 ⑵B 中是否有五位数？是否有六位数？将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。

先想如何确定一个元素，合理的方法应该是从高位开始依次按照要求选择各个数位上的数字，理解到这里之后就是简单地排列组合计算了。

【参考答案】 解：①对于两位数来说，当一位数m 确定以后，根据题意，另一位数只有除9-m 和m 以外8个可能选择的数字，那么B 中包含的两位数个数是9872⨯=个。

记一个三位数为abc ，其中a 有9种选择，依次b 有8种，c 有6种，所以三位数的个数为986432⨯⨯=个②依照上面的规律，四位数个数为98641728⨯⨯⨯=个，五位数个数为986423456⨯⨯⨯⨯=个，当是六位数的时候，前面的五个数字确定后，第六个数字将不存有，所以没有六位数。

证明能够用抽屉原理解决，非常简单。

③两位数和三位数共有504个，故第1081个数是四位数，设为abcd 。

我们只需找出四位数中的第1081-504=577个数字就是所要求的数字。

当1a =时，bcd 有864192⨯⨯=种组合，依次类推，2a =有192个数字，故1,2,3a =时 共有1923576⨯=个数字，故第577个数字也就是整体第1081个数字就是4012.第二题：已知sin x +sin y =13，cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos()x y +【试题分析】很简单的三角函数计算题，需要熟练掌握三角函数的合角公式和差角公式，对整体的数学思维也有一定的要求，因为三角函数的计算往往无法避免多值问题，如果能对已知的等式实行整体的运算那么就会避免非常复杂的讨论，直接得到希望的结果。

2013年“华约” 高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟1数学与逻辑A 1/2B 2/5C 3/5D 4/73．正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系（ ） （A ）θγβα<<<（B ）γθβα<<<（C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<< 4. 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈R ），且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（ ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个5.平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两面三刀点的距离为（ ）A ．556 B ．5512 C ．538 D ．53166. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（ ）．（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个 7．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++L n n n n na a a a a n n n 201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为( ). A 4025 B 4250 C 3650 D 4425 8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为9,,2,1Λ的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且1 2 3 4 5 6 7 89“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D1209．设a n =2n，b n =n ，（n=1，2，3，。

自主招生华约试题分析一、选择题(1) 设复数 z 知足 |z|<1且 | z4 3C2D AB3 54 解：由 | z 1 |5 得 | z |21 去），1z 2。

21 | 5 则 |z| = ( )z 2125 | z | ，已经转变成一个实数的方程。

解得 |z| =2（舍2 (2) 在正四棱锥 P-ABCD 中， M 、N 分别为 PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2 。

则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为 ( ) A1B1C1D136812[ 剖析 ] 本题有很多条件，能够用“求解法” ，即假定题中的一部分因素为已知，利用 这些条件来确立其余的因素。

本题中可假定底面边长为已知（不如设为 2），利用侧面与底面所成二面角可确立其余因素，如正四棱锥的高等。

而后我们用两种方法，一种是成立坐标系，另一种是平移此中一条线段与另一条在一同。

z PMDNCOyABx解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2 得高为2 。

如图成立坐标系，则 A (1 ，-1 ，0) ，B (1 ，1，0) ，C (-1 ， 1， 0) ， D (-1 ，-1 ，0) ，P (0 ，0， 2 )，则 M(1, 1 ,2),N(1,1, 2) ， DM ( 3 , 1 , 2),AN ( 1,3, 2)。

2 222 2 22 222 2 2DM AN 1设所成的角为 θ，则 cosAN。

DM6解法二：如图，设底面边长为 2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2 得高为2 。

平移 DM 与 AN 在一同。

即 M 移到 N ， D 移到 CD 的中点 Q 。

于是 QN = DM = AN 。

而 PA=PB=AB =2，因此 QN=AN=3，而 AQ= 5 ，简单算出等腰AQN 的顶角PMDNQCAB1 cos ANQ。

6解法三：也能够平移AN 与 DM 在一同。

即A 移到 M ， N 移到 PN 的中点 Q 。