高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(一)导学案新人教A版必修4
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第一章 三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、 教学目标:1、知识与技能(1)推广角的概念、引入大于360︒角和负角;(2)理解并掌握正角、负角、零角的定义;(3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法;(5)树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念;(6)揭示知识背景,引发学生学习兴趣.(7)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境:“转体720︒,逆(顺)时针旋转”,角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等,引入正角、负角和零角的概念;角的概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角,画出终边所在的位置,找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方法,巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法,学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度?[取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向旋转,有时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间,这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1.初中时,我们已学习了0360︒︒~角的概念,它是如何定义的呢?[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1,一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ,就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720︒” (即转体2周),“转体1080︒”(即转体3周)等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒;图1.1.3(2)中,正角210α︒=,负角150,660βγ︒︒=-=-;这样,我们就把角的概念推广到了任意角(any angle ),包括正角、负角和零角. 为了简单起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中,我们常在直角坐标系内讨论角,为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合。
§ 1.2.1 任意角三角函数(1)..…学习目标1. 掌握任意角的正弦,余弦,正切的定义.2. 掌握正弦,余弦,正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.学习过程一、课前准备(预习教材Pn~ P15,找出疑惑之处)在初中,我们利用直角三角形来定义锐角三角函数,你能说出锐角三角函数的定义吗?探探索新知问题1:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?问题2:改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗?为什么?问题3:怎样将锐角三角函数推广到任意角?问题4:锐角三角函数的大小仅与角A的大小有关, 与直角三角形的大小无关,任意角的三角函数大小有无类似性质?问题5:随着角的确定,三个比值是否唯一确定?依据函数定义,可以构成一个函数吗?问题6:对于任意角的三角函数思考下列问题:①定义域;②函数值的符号规律③三个函数在坐标轴上的取值情况怎样?④终边相同的角相差2的整数倍,那么这些角的同一三角函数值有何关系?例1已知角的终边经过点P (2,-3), 求2sin cos tanA. (2k ,(2k 1) ) , k ZB. [2k -,(2k 1) ] , k Z2C [k 2,(k 1) ],k Z变式训练⑴:已知角的终边经过点P (2a, -3a ) (a 0),求2sin cos tan 的值.变式训练⑵:角的终边经过点P (-X , -6 )且cos5,求X的值.13例2:确定下列三角函数值的符号7(1) cos 12 (2)s in (-465 o) (3)tan11变式训练⑴:若cos >0且tan <0,试问角为第几象限角变式训练⑵:使sin cos<0成立的角的集合为( )A.k k,k Z12B2k2k,k Z12C.2k 32k 2 ,k Z 2D.2k2k Z122动手试试1、函数、• sin x cosx的定义域是(D. [2k ,(2k 1) ] , k Z2、若B 是第三象限角,且 COS —0,则一是() 2 2 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角 D •第四象限角3、已知点P ( tan ,cos )在第三象限,则角在 () A 第一象限B •第二象限 C.第三象限D •第四象限三角函数的定义及性质, 特殊角的三角函数值, 三角函数的符号问题 符号规律可概括为:“一正二正弦,三切四余弦” .丄 学习评价探 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1、若角a 终边上有一点 P(a,|a|)(a R 且a 0),则Sin 的值为J2 &2 A 、二 B 、一二 22— C 土上2D 、以上都不对2 2、下列各式中不成立的一个是() A cos260 0 B 、tan( 1032 ) 06 17C sin 0D 、tan 1^ 0 5 3 3、已知a 终边经过 P( 5,12),则sin .4、若a 是第二象限角,则点 A(sin ,cos )是第 几 ____________ 象限的点4、已知 sin tan> 0,则的取值集合为 各象限的三角函数的5、已知角0的终边在直线y = x 上,3贝H sin 0 = _______ ; tan = ___________ .7、(1)已知角 的终边经过点P(4, — 3),求2sin +cos 的值; (2)已知角 的终边经过点 P(4a, — 3a)(a 丰0),求2sin +cos(3)已知角 终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3 : 4 (且均不为零), 求2sin +cos 的值. 尹课后作业6、设角x 的终边不在坐标轴上,求函数 sin x cosx tanx |sinx| | cosx| |tanx| 的值域• 的值;。
第二课时三角函数线及其应用[提出问题]在平面直角坐标系中,任意角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴,过A(1,0)作AT⊥x轴,交终边或其反向延长线于点T.问题1:根据上面的叙述画出α分别取135°,30°,225°和-60°时的图形.提示:问题2:由上面的图形结合三角函数定义,可以得到sin α,cos α,tan α与MP,OM,AT的关系吗?提示:可以,|sin α|=|MP|,|cos α|=|OM|,|tan α|=|AT|.[导入新知]1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段.2.三角函数线三角函数线的四个注意点(1)位置:三条有向线段中有两条在单位圆内,一条在单位圆外;(2)方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点,余弦线由原点指向垂足,正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点;(3)正负:三条有向线段中与x 轴或y 轴同向的为正值,与x 轴或y 轴反向的为负值; (4)书写:有向线段的始点字母在前,终点字母在后.[例1] 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线.[解] 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴,垂足为M ,过A (1,0)作单位圆的切线AT ,与3π4的终边的反向延长线交于点T ,则3π4的正弦线为MP ,余弦线为OM ,正切线为AT .[类题通法] 三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x 轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.(2)作正切线时,应从A (1,0)点引单位圆的切线,交角的终边或终边的反向延长线于一点T ,即可得到正切线AT .[活学活用]作出-9π4的正弦线、余弦线和正切线.解:如图所示,-9π4的正弦线为MP ,余弦线为OM ,正切线为AT .[例2] 分别比较sin 3与sin 5;cos 3与cos 5;tan 3与tan π5的大小.[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示.以x 轴非负半轴为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点,作PM ⊥Ox ,垂足为M .由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 的垂线与OP 的反向延长线交于T 点,则sin2π3=MP ,cos 2π3=OM ,tan 2π3=AT .同理,可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线,sin 4π5=M ′P ′,cos 4π5=OM ′,tan4π5=AT ′.由图形可知,MP >M ′P ′,符号相同,则sin2π3>sin 4π5;OM >OM ′,符号相同,则cos 2π3>cos 4π5;AT <AT ′,符号相同,则tan 2π3<tan 4π5.[类题通法]利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:①角的位置要“对号入座”;②比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负.[活学活用] 设π4<α<π2,试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度.如果π2<α<3π4,上述长度关系又如何?解:如图所示,当π4<α<π2时,角α的正弦线为MP ,余弦线为OM ,正切线为AT ,显然在长度上,AT >MP >OM ;当π2<α<3π4时,角α的正弦线为M ′P ′,余弦线为OM ′,正切线为AT ′,显然在长度上,AT ′>M ′P ′>OM ′.[例3] (1)sin α<-12;(2)cos α>32.[解] (1)如图①,过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12作x 轴的平行线交单位圆于P ,P ′两点,则sin ∠xOP=sin ∠xOP ′=-12,∠xOP =11π6,∠xOP ′=7π6,故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫7π6+2k π<α<11π6+2k π,k ∈Z .(2)如图②,过点⎝⎛⎭⎪⎫32,0作x 轴的垂线与单位圆交于P ,P ′两点,则cos ∠xOP =cos ∠xOP ′=32,∠xOP =π6,∠xOP ′=-π6, 故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫-π6+2k π<α<π6+2k π,k ∈Z .[类题通法]利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当地寻求点.一般来说,对于sin x ≥b ,cos x ≥a (或sin x ≤b ,cos x ≤a ),只需作直线y =b ,x =a 与单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x 的范围;对于tan x ≥c (或tan x ≤c ),则取点(1,c ),连接该点和原点即得角的终边所在的位置,并反向延长,结合图象可得.[活学活用]利用三角函数线求满足tan α≥33的角α的范围. 答案:⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k ²π+π6≤α<k ²π+π2,k ∈Z2.三角函数线的概念[典例] 已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段,那么角α的终边在( ) A .y 轴的非负半轴上 B .y 轴的非正半轴上 C .x 轴上 D .y 轴上[解析] 由题意可知,sin α=±1,故角α的终边在y 轴上. [答案] D [易错防范]1.本题易错误地认为正弦线是长度为单位长度的有向线段时,sin α=1,从而误选A. 2.若搞错正弦线和余弦线的位置,则易错选C.3.解决此类问题要正确理解有向线段的概念,既要把握好有向线段是带有方向的线段,有正也有负,同时也要把握准正弦线和余弦线的位置.[成功破障]已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段,那么角α的终边在( ) A .直线y =x 上 B .直线y =-x 上C .直线y =x 上或直线y =-x 上D .x 轴上或y 轴上 答案:C[随堂即时演练]1.已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段,则α的终边在( ) A .第一象限的角平分线上B .第四象限的角平分线上C .第二、四象限的角平分线上D .第一、三象限的角平分线上 答案:C2.如果MP 和OM 分别是角α=7π8的正弦线和余弦线,那么下列结论中正确的是( )A .MP <OM <0B .OM >0>MPC .OM <MP <0D .MP >0>OM答案:D3.若角α的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为________. 答案:14.用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小,结果是________. 答案:sin 1>cos 15.若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,利用单位圆证明:sin θ+cos θ>1.证明:如图所示,设角θ的终边交单位圆于点P ,作PM ⊥x 轴于点M .因为sin θ=MP =|MP |,cos θ=OM =|OM |,所以sin θ+cos θ=|MP |+|OM |>|OP |,而|OP |=1,所以sin θ+cos θ>1.[课时达标检测]一、选择题1.角π5和角6π5有相同的( )A .正弦线B .余弦线C .正切线D .不能确定答案:C2.已知α的余弦线是单位长度的有向线段,那么α的终边在( ) A .x 轴上 B .y 轴上 C .直线y =x 上 D .以上都不对 答案:A3.若π4<θ<π2,则sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是( )A .tan θ<cos θ<sin θB .sin θ<tan θ<cos θC .cos θ<tan θ<sin θD .cos θ<sin θ<tan θ答案:D4.设a =sin(-1),b =cos(-1),c =tan(-1),则有( ) A .a <b <c B .b <a <c C .c <a <b D .a <c <b答案:C5.使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π4,π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4 D .[0,π]答案:A 二、填空题6.利用单位圆,可得满足sin α<22,且α∈(0,π)的α的集合为________. 答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,π 7.若0<α<2π,且sin α<32,cos α>12.利用三角函数线,得到α的取值范围是________. 答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3,2π8.若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4,3π2,则sin θ的取值范围是________.答案:⎝⎛⎭⎪⎫-1,22 三、解答题9.试作出角α=7π6的正弦线、余弦线和正切线.试作出角α=7π6的正弦线、余弦线和正切线.解:如图:α=7π6的余弦线、正弦线和正切线分别为OM ,MP 和AT .10.利用单位圆中的三角函数线,求满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0,2cos x -1>0的x 的取值范围.解:由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0,2cos x -1>0,得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0,cos x >12.如图所示,由三角函数线可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π+π k ∈Z ,2k π-π3<x <2k π+π3 k ∈Z .此交集为图形中的阴影重叠部分,即2k π≤x <2k π+π3(k ∈Z).故x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x <2k π+π3,k ∈Z .11.试利用单位圆中的三角函数线证明:当0<α<π2时,sinα<α<tan α.证明:如图,单位圆与α的终边OP 相交于P 点,过P 作PM ⊥x 轴,垂足为M ,连接AP ,过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作AT ⊥x 轴交OP 于点T ,则sin α=MP ,α=AP ,tan α=AT ,由S 扇形OAP <S △OAT,即12OA ²AP <12OA ²AT ,所以AP <AT .又MP <PA <AP ,因此MP <AP <AT ,即sin α<α<tanα.。
1.2.1 《任意角的三角函数》教学设计 课 题 1.2.1 任意角的三角函数 课 型 新授课 核心素养 培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力重点难点 三角函数的定义;任意角的三角函数在各象限的符号;教法学法 启发式教学,自主探究,合作交流教学过程一、导入课题问题提出:如果旋转轮的半径为r ,圆心O 到地面的高度为h ,主持人的右脚与圆心的交点记为A ,当OA 与水平线所成的角为α时,你能求出点A 到地面的高度吗?二、自主学习1、如图:在ABC Rt ∆中,A sin = A cos = A tan =2、前面我们学习了任意角,如果将A 与原点重合,AC 边与x 轴的非负半轴重合,B 的坐标为 ?设B 到原点的距离为r ,即______==r OB (用B 的坐标表示),你能用B 的坐标表示角A 的三角函数吗?_____tan _____,cos _____,sin ===A A A问题:在OB 上移动B 点,角A 的三角函数值会不会改变?3、如果将A 终边上的点B 特殊为让它到原点的距离为单位长度“1”,你能说出点B 的轨迹吗?三、新知点拨单位圆:以 圆心, 为半径的圆叫单位圆设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点中),(y x P ,那么:(1)y 叫做α的正弦,即αsin =y(2)x 叫做α的正弦,即αsin =x(3)x y 叫做α的正切,即αtan =xy 我们把 、 、 统称为三角函数。
四、互动探究 根据上面三角函数的定义,填出下表中三角函数的定义域及各三角函数在每个象限的符号:三角函数 定义域αsinαcosαtanαsin αcos αtan五、新知应用例1:求π35的正弦、余弦和正切值学以致用1:求π47的三角函数值。
例2:已知角α的终边经过点P (-3,-4),求角α的正弦、余弦、正切值.一般地,α是一个任意角,)(y x P ,为α终边上的任意一个点,r 为点P 到原点的距离,则: αsin = αcos = αtan = 其中:r =学以致用2:已知角α的终边过点P (-1,2),则sin α+cos α等于例3 求证:当下列不等式组成立时,角α为第三象限角。
1.2.1 任意角的三角函数(一)学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一 任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P ,作PM ⊥x 轴于M ,设P (x ,y ),|OP |=r .思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么? 答案 sin α=yr ,cos α=x r ,tan α=y x.思考2 对确定的锐角α,sin α,cos α,tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变?答案 不会.因为三角函数值是比值,其大小与点P (x ,y )在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.思考3 在思考1中,当取|OP |=1时,sin α,cos α,tan α的值怎样表示? 答案 sin α=y ,cos α=x ,tan α=y x. 梳理 (1)单位圆在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么: ①y 叫做α的正弦,记作sin α, 即sin α=y ;②x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x ; ③y x 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=y x(x ≠0).对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角α,sin α,cos α,tan α都有意义吗?答案由三角函数的定义可知,对于任意角α,sin α,cos α都有意义,而当角α的终边在y轴上时,任取一点P,其横坐标x都为0,此时yx无意义,故tan α无意义.梳理三角函数的定义域知识点三正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义,你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗?答案由三角函数定义可知,在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=yx.当α为第一象限角时,y>0,x>0,故sin α>0,cos α>0,tan α>0,同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号,如图所示.梳理记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.知识点四诱导公式一思考当角α分别为30°,390°,-330°时,它们的终边有什么特点?它们的三角函数值呢?答案它们的终边重合.由三角函数的定义知,它们的三角函数值相等.梳理诱导公式一类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x ,3)(x ≠0),且cos θ=1010x ,求sin θ,tan θ. 解 由题意知r =|OP |=x 2+9, 由三角函数定义得cos θ=x r=xx 2+9. 又∵cos θ=1010x ,∴x x 2+9=1010x . ∵x ≠0,∴x =±1. 当x =1时,P (1,3), 此时sin θ=312+32=31010,tan θ=31=3. 当x =-1时,P (-1,3), 此时sin θ=3(-1)2+32=31010,tan θ=3-1=-3. 反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法:①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ,y ),设P 到原点的距离为r (r >0),则sin α=yr,cos α=xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P (-3a ,4a )(a ≠0),求2sin α+cos α的值. 解 r =(-3a )2+(4a )2=5|a |.①若a >0,则r =5a ,角α在第二象限,sin α=y r =4a 5a =45,cos α=x r =-3a 5a =-35,∴2sin α+cos α=85-35=1.②若a <0,则r =-5a ,角α在第四象限, sin α=4a -5a =-45,cos α=-3a -5a =35,∴2sin α+cos α=-85+35=-1.综上所述,2sin α+cos α=±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y =-3x 上,求10sin α+3cos α的值.解 由题意知,cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ,-3k )(k ≠0),则x =k ,y =-3k ,r = k 2+(-3k )2=10|k |.(1)当k >0时,r =10k ,α是第四象限角, sin α=y r=-3k10k=-31010,1cos α=r x =10k k =10,∴10sin α+3cos α=10×⎝ ⎛⎭⎪⎫-31010+310=-310+310=0.(2)当k <0时,r =-10k ,α是第二象限角,sin α=y r =-3k -10k =31010,1cos α=r x =-10k k=-10, ∴10sin α+3cos α=10×31010+3×(-10)=310-310=0.综上所述,10sin α+3cos α=0.反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ,b ),则对应角的三角函数值分别为sin α=b a 2+b2,cos α=a a 2+b2,tan α=ba. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y =3x 上,求sin α,cos α,tan α的值. 解 因为角α的终边在直线y =3x 上,所以可设P (a ,3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点, 则r =a 2+(3a )2=2|a |(a ≠0). 若a >0,则α为第一象限角,r =2a , 所以sin α=3a 2a =32, cos α=a 2a =12,tan α=3aa= 3.若a <0,则α为第三象限角,r =-2a , 所以sin α=3a -2a =-32,cos α=-a 2a =-12,tan α=3aa= 3.类型二 三角函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角,则点P (sin α,cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 D解析 ∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0, ∴点P 在第四象限,故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°;②cos(-43°);③tan 7π4.解 ①∵182°是第三象限角, ∴sin 182°是负的,符号是“-”. ②∵-43°是第四象限角,∴cos(-43°)是正的,符号是“+”. ③∵7π4是第四象限角,∴tan 7π4是负的,符号是“-”.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定,解题的关键是准确确定角的终边所在的象限,同时牢记各三角函数值在各象限的符号,记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.跟踪训练3 (1)已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则α是第 象限角. 答案 二解析 由题意知tan α<0,cos α<0, ∴α是第二象限角. (2)判断下列各式的符号.①sin 145°cos(-210°);②sin 3·cos 4·tan 5. 解 ①∵145°是第二象限角,∴sin 145°>0. ∵-210°=-360°+150°,∴-210°是第二象限角, ∴cos (-210°)<0,∴sin 145°cos(-210°)<0. ②∵π2<3<π<4<3π2<5<2π,∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0, ∴sin 3·cos 4·tan 5>0. 类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值.(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫-11π6+cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°=22×32+12×12=64+14=1+64. (2)原式=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2π+π6+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π+2π5·tan(4π+0)=sin π6+cos 2π5×0=12.反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数,也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数,即实现了“负化正,大化小”. 跟踪训练4 求下列各式的值. (1)cos 25π3+tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-15π4;(2)sin 810°+tan 765°-cos 360°. 解 (1)原式=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π+π3+tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-4π+π4 =cos π3+tan π4=12+1=32.(2)原式=sin(90°+2×360°)+tan(45°+2×360°)-cos 360°=sin 90°+tan 45°-1=1+1-1=1.1.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α等于( ) A.45 B.35 C.-35D.-45答案 D解析 由题意可知x =-4,y =3,r =5,所以cos α=x r =-45.故选D.2.cos(-11π6)等于( )A.12B.-12C.32D.-32答案 C解析 cos(-11π6)=cos(-2π+π6)=cos π6=32.3.若点P (3,y )是角α终边上的一点,且满足y <0,cos α=35,则tan α等于( )A.-34B.34C.43D.-43答案 D 解析 ∵cos α=332+y 2=35, ∴32+y 2=5,∴y 2=16, ∵y <0,∴y =-4,∴tan α=-43.4.当α为第二象限角时,|sin α|sin α-cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.-2答案 C解析 ∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0. ∴|sin α|sin α-cos α|cos α|=sin αsin α-cos α-cos α=2.5.已知角α的终边上有一点P (24k ,7k ),k ≠0,求sin α,cos α,tan α的值. 解 当k >0时,令x =24k ,y =7k , 则有r =(24k )2+(7k )2=25k ,∴sin α=y r =725,cos α=x r =2425,tan α=y x =724.当k <0时,令x =24k ,y =7k ,则有r =-25k ,∴sin α=y r =-725,cos α=x r =-2425,tan α=y x =724.1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关,角α所在象限确定,则三角函数值的符号一定确定,规律是“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等,但两个角的某一个函数值相等,不一定有角的终边相同,更不一定有两角相等.课时作业一、选择题1.sin(-1 380°)的值为( ) A.-12B.12C.-32D.32答案 D解析 sin(-1 380°)=sin(-360°×4+60°) =sin 60°=32. 2.已知α是第二象限角,P (x ,5)为其终边上一点,且cos α=24x ,则x 的值为( ) A. 3 B.± 3 C.- 2D.- 3答案 D解析 ∵cos α=x r=x x 2+5=24x , ∴x =0或2(x 2+5)=16,∴x =0或x 2=3,∴x =0(∵α是第二象限角,∴舍去)或x =3(舍去)或x =- 3.故选D. 3.已知sin θ<0,且tan θ<0,则θ为( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角答案 D4.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3,cos 2π3,则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.4π3D.11π6答案 D解析 ∵sin 2π3=32,cos 2π3=-12.∴角α的终边在第四象限, 且tan α=cos2π3sin2π3=-33,∴角α的最小正值为2π-π6=11π6. 5.已知角α的终边经过点P (3,4t ),且sin(2k π+α)=-35(k ∈Z ),则t 等于( )A.-916B.916C.34D.-34答案 A解析 sin(2k π+α)=sin α=-35<0,则α的终边在第三或第四象限.又点P 的横坐标为正数,所以α是第四象限角,所以t <0.又sin α=4t 9+16t2,则4t9+16t 2=-35,所以t =-916.6.某点从(1,0)出发,沿单位圆x 2+y 2=1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-32D.⎝⎛⎭⎪⎫-32,12 答案 A解析 由三角函数定义可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3,sin 2π3,cos 2π3=-12,sin 2π3=32.7.如果点P (sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角θ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 由题意知sin θ+cos θ<0,且sin θcos θ>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ<0,cos θ<0,∴θ为第三象限角.8.若角α的终边在直线y =-2x 上,则sin α等于( ) A.±15B.±55C.±255D.±12答案 C 二、填空题9.tan 405°-sin 450°+cos 750°= . 答案32解析 tan 405°-sin 450°+cos 750°=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(720°+30°)=tan 45°-sin 90°+cos 30°=1-1+32=32. 10.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角. 答案 一或二解析 要使原式有意义,需cos αtan α>0, 即需cos α,tan α同号,所以α是第一或第二象限角.11.若角α的终边与直线y =3x 重合且sin α<0,又P (m ,n )是α终边上一点,且|OP |=10,则m -n = .答案 2解析 ∵y =3x 且sin α<0,∴点P (m ,n )位于y =3x 在第三象限的图象上,且m <0,n <0,n =3m .∴|OP |=m 2+n 2=10|m | =-10m =10,∴m =-1,n =-3,∴m -n =2.12.函数y =|sin x |sin x +|cos x |cos x -2|sin x cos x |sin x cos x的值域是 . 答案 {-4,0,2}解析 由sin x ≠0,cos x ≠0知,x 的终边不能落在坐标轴上,当x 为第一象限角时,sin x >0,cos x >0,sin x cos x >0,y =0;当x 为第二象限角时,sin x >0,cos x <0,sin x cos x <0,y =2;当x 为第三象限角时,sin x <0,cos x <0,sin x cos x >0,y =-4;当x 为第四象限角时,sin x <0,cos x >0,sin x cos x <0,y =2.故函数y =|sin x |sin x +|cos x |cos x -2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{-4,0,2}. 三、解答题13.化简下列各式:(1)sin 72π+cos 52π+cos(-5π)+tan π4; (2)a 2sin 810°-b 2cos 900°+2ab tan 1 125°.解 (1)原式=sin 32π+cos π2+cos π+1 =-1+0-1+1=-1.(2)原式=a 2sin 90°-b 2cos 180°+2ab tan(3×360°+45°)=a 2+b 2+2ab tan 45°=a 2+b 2+2ab =(a +b )2.四、探究与拓展14.已知角θ的终边上有一点P (x ,-1)(x ≠0),且tan θ=-x ,则sin θ+cos θ= .答案 0或- 2解析 ∵θ的终边过点P (x ,-1)(x ≠0),∴tan θ=-1x. 又tan θ=-x ,∴x 2=1,即x =±1.当x =1时,sin θ=-22,cos θ=22, 因此sin θ+cos θ=0;当x =-1时,sin θ=-22,cos θ=-22, 因此sin θ+cos θ=- 2.故sin θ+cos θ的值为0或- 2.15.已知1|sin α|=-1sin α,且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限;(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35,m ,求m 的值及sin α的值. 解 (1)∵1|sin α|=-1sin α, ∴sin α<0.①∵lg(cos α)有意义,∴cos α>0.② 由①②得角α在第四象限.(2)∵点M (35,m )在单位圆上, ∴(35)2+m 2=1,解得m =±45. 又α是第四象限角,∴m <0,∴m =-45. 由三角函数定义知,sin α=-45.。
1.2.1 任意角的三角函数(一)阅读教材第11-13页例3止的内容,找出疑惑之处,完成知识归纳思考1:(1)初中是如何定义锐角的三角函数的?你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?小结:如图在直角坐标系中,设锐角α的顶点与_________重合,始边与________________重合,那么它的终边在______象限. 在α的终边上任取一点P (a,b ),它与原点的距离r =________>0. 过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为________,线段MP 的长度为__________.根据初中的三角函数的定义,有sin α=_____,cos α=_____,tan α=_____.思考2:上面结论中的三个比值会不会随着点P 在α的终边上的位置的改变而改变?为什么?思考3:为了使sin α,cos α的表示式更简单,你认为点P 的位置选在何处最好?定义:在直角坐标系中,以________为圆心,以___________为半径的圆为单位圆.思考4:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),为了与当α为锐角时的三角函数保持统一,你认为α对应的三角函数该如何定义?三角函数的定义:在直角坐标系中,设角α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y )那么,sin α=_____,cos α=_____,tan α=_____.这样,任意角的正弦、余弦、正切都是以_____为自变量,以坐标的_____________为函数值的函数,统称为三角函数. 当角用弧度表示时,三角函数可看成是自变量为________的函数.M y例1已知角α的终边与单位圆的交点是)23,21(-p ,求角α的正弦、余弦和正切值 .例2求35π的正弦、余弦和正切值.变式:求下列角的三个三角函数值:(1)76π (2)2π.例3已知角α的终边经过点)4,3(0--p ,求角α的正弦、余弦和正切值 .任意角的三角函数定义推广:在直角坐标系中,设角α终边上任意一点P 的坐标为(x ,y ),它与原点的距离为r =________>0,则sin α=_____,cos α=_____,tan α=_____.变式:已知角α的终边在32y x =上,求α的正弦、余弦、正切 .思考与探究:330tan 330cos 330sin )4(200tan 200cos 200sin )3(105tan 105cos 105sin )2(40tan 40cos 40sin 1)(判断下列各式的符号:将你发现的规律填入图中:例4确定下列三角函数值的符号.⑴o 250cos ⑵)4sin(π-⑶)672tan(o - ⑷π3tan【总结提升】谈谈你的这节课收获:【课后作业】1、 课本P15练习第1题、第2题、第3题、第5题、第6题.2、(1)已知角α的终边在射线2(0)y x x =≥上,求α的正弦、余弦和正切值;(2)已知角α的终边在直线2y x =上,求α的正弦、余弦和正切值.课后思考?390tan 30tan )3(390cos 30cos )2(390sin 30sin )1(角函数公式思考:你发现了什么三求下列各式的值:。
任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,解决简单的实际问题.本节以锐角三角函数为引子,利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用.利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.三维目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符.2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.重点难点教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等.教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符;利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.我们把角的范围推广了,锐角三角函数的定义还能适用吗?譬如三角形内角和为180°,那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗?类比角的概念的推广,怎样修正三角函数定义?由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义,然后再在适当时机联系锐角三角函数,这也是一种不错的选择.思路 2.教师先让学生看教科书上的“思考”,通过这个“思考”提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题,以引导学生回忆锐角三角函数概念,体会引进象限角概念后,用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义,从而为定义任意角的三角函数奠定基础.教科书在定义任意角的三角函数之前,作了如下铺垫:直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数. 推进新课新知探究提出问题问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?活动:教师提出问题,学生口头回答,突出它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数,教师并对回答正确的学生进行表扬,对回答不出来的同学给予提示和鼓励.然后教师在黑板上画出直角三角形.教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系,画出角α的终边;学生给出相应点的坐标,并用坐标表示锐角三角函数.图1如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b.根据初中学过的三角函数定义,我们有sin α=OP MP =r b ,cos α=OP OM =r a ,tan α=OP MP =ab . 讨论结果:①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数.②sin α=OP MP =rb ,cos α=OP OM =r a ,tan α=OM MP =a b . 提出问题问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?活动:教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种关系来.然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的比值,获得具体认识,并由相似三角形的性质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变.过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化.此时sin α=OPMP =b,cos α=OP OM =a,tan α=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.图2如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y;(2)x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=xy (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.教师出示定义后,可让学生解释一下定义中的对应关系.教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点.用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数,与学生在锐角三角函数学习中建立的已有经验有一定的距离,与学生在数学必修一的学习中建立起来的经验也有一定的距离.学生熟悉的函数y=f(x)是实数到实数的一一对应,而这里给出的三角函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应,这就给学生的理解造成一定的困难.教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上,先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系,在直角坐标系中考查锐角三角函数,得出用角的终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论,然后再“特殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论.在此基础上,再定义任意角的三角函数.在导学过程中教师应点拨学生注意,尽管我们从锐角三角函数出发来引导学生学习任意角的三角函数,但任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系.教师在教学中应当使学生体会到,用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数,不仅简单、方便,而且反映本质.教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么,对应关系有什么特点,函数值是什么.特别注意α既表示一个角,又是一个实数(弧度数).“它的终边与单位圆交于点P(x,y)”包含两个对应关系.从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数.值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sin α不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.讨论结果:①这三个比值与终边上的点的位置无关,根据初中学过的三角函数定义,有sin α=OP MP =rb ,cos α=OP OM =r a , tan α=OP MP =a b . 由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变.②能.提出问题问题①:学习了任意角,并利用单位圆表示了任意角的三角函数,引入一个新的函数,我们可以对哪些问题进行讨论?问题②:根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的?活动:教师引导学生结合在数学必修一中的有关函数的问题,让学生回顾所学知识,并总结回答老师的问题,教师对学生总结的东西进行提问,并对回答正确的学生进行表扬,回答不正确或者不全面的学生给予提示和补充.教师让学生完成教科书上的“探究”,教师提问或让学生上黑板板书.按照这样的思路,我们一起来探究如下问题:请根据任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符填入图3中的括内. 三角函数定义域 sin αcos αtan α图3教师要注意引导学生从定义出发,利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符等结论.对于正弦函数sin α=y,因为y 恒有意义,即α取任意实数,y 恒有意义,也就是说sin α恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数tan α=x y ,因为x=0时,xy 无意义,即tan α无意义,又当且仅当角α的终边落在纵轴上时,才有x=0,所以当α的终边不在纵轴上时,xy 恒有意义,即tan α恒有意义,所以正切函数的定义域是α≠2π +k π(k∈Z ).(由学生填写下表) 三角函数定义域 sin αR cos αR tan α {α|α≠2π+k π,k∈Z } 三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符,取决于x,y 的符,当点P 在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P 在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示);同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.从而完成上面探究问题.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.讨论结果:①定义域、值域、单调性等.②y=sin α与y=cos α的定义域都是全体实数R ,值域都是[-1,1].y=tan α的定义域是{α|α≠2π +k π(k∈Z )},值域是R . 应用示例思路1例1 已知角α的终边经过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.活动:教师留给学生一定的时间,学生独立思考并回答.明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数,但用单位圆上点的坐标来定义,既不失一般性,又简单,更容易看清对应关系.教师要点拨引导学生习惯画图,充分利用数形结合,但要提醒学生注意α角的任意性.如图4,设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上任意一点,点P 与原点的距离r=22y x +>0,那么:图4①r y 叫做α的正弦,即sin α=ry ; ②r x 叫做α的余弦,即cos α=rx ; ③x y 叫做α的正切,即tan α=x y (x≠0). 这样定义三角函数,突出了点P 的任意性,说明任意角α的三角函数值只与α有关,而与点P 在角的终边上的位置无关,教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点. 解:由已知,可得OP 0=22)4()3(-+-=5.图5如图5,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P 、P 0作x 轴的垂线MP 、M 0P 0,则|M 0P 0|=4,|MP|=-y,|OM 0|=3,|OM|=-x,△OMP∽△OM 0P 0,于是sin α=y=1y =||||OP MP -=||||000OP P M -=54-; cos α=x=1x =||||OP OM -=||||00OP OM -=53-;tan α=x y =a cos sin =34. 点评:本例是已知角α终边上一点的坐标,求角α的三角函数值问题.可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上,再由定义得解.变式训练求35π的正弦、余弦和正切值.图6解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=35π,如图6. 易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(21,23-), 所以sin 35π=23-,cos 35π=21,tan 35π=3-. 例2 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.⎩⎨⎧><.0tan ,0sin θθ 活动:教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符有什么样的关系,提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系.可以知道:三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符,取决于x,y 的符,当点P 在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P 在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的;同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.证明:我们证明如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.因为①sin θ<0成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上;又因为②式tan θ>0成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.于是角θ为第三象限角.反过来请同学们自己证明.点评:本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符,其条件以一个不等式出现,在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚,然后再给出证明.这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.变式训练(2007北京高考)已知cos θ·tan θ<0,那么角θ是( )A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角答案:C例3 求下列三角函数值: (1)sin390°;(2)cos 619π;(3)tan(-330°). 活动:引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点,终边相同的角相差2π的整数倍,那么这些角的同一三角函数值有何关系?为什么?引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论,然后再用三角函数的定义证明.由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一):sin(α+k·2π)=sin α,cos(α+k·2π)=cos α,tan(α+k·2π)=tan α,其中k∈Z .利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”. 解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=21; (2)cos 619π=cos(2π+67π)=cos 67π=23-; (3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=33. 点评:本题主要是对诱导公式一的考查,利用公式一将任意角都转化到0—2π范围内求三角函数的值.思路2例1 已知角α的终边在直线y=-3x 上,则10sin α+3sec α=.活动:要让学生独立思考这一题目,本题虽然是个填空题,看似简单但内含分类讨论思想,可以找两个学生来板演这个例题.对解答思路正确的学生给以鼓励,对思路受阻的学生要引导其思路的正确性.并适时地点拨学生:假如是个大的计算题应该怎样组织步骤.解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则 x=k,y=-3k,r=22(-3k)k +=10|k |.(1)当k>0时,r=10k ,α是第四象限角,sin α=r y =kk 103-=10103-,sec α=x r =k k 10=10,∴10sin α+3sec α=10×10103-+310=-310+310=0. (2)当k<0时,r=k 10-,α为第二象限角,sin α=r y =kk 103--=10103,sec α=x r =k k 10-=10-, ∴10sin α+3sec α=10×10103+3×(10-)=310-310=0. 综合以上两种情况均有10sin α+3sec α=0.点评:本题的解题关键是要清楚当k>0时,P(k,-3k)是第四象限内的点,角α的终边在第四象限;当k<0时,P(k,-3k)是第二象限内的点,角α的终边在第二象限内,这与角α的终边在y=-3x 上是一致的.变式训练设f(x)=sin 3πx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值. 解:∵f(1)=sin3π=23,f(2)=sin 32π=23,f(3)=sin π=0, f(4)=sin 44π=23-,f(5)=sin 35π=23-,f(6)=sin2π=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.而f(7)=sin 37π=sin 3π,f(8)=sin 38π=sin 32π,…,f(12)=sin 312π=sin2π, ∴f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0.求函数y=a sin +tan α的定义域.活动:让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点,并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求,根据函数有意义的特征来求自变量的范围.对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行.求含正切函数的组合型三角函数的定义域时,正切函数本身的定义域往往被忽略,教师提醒学生应引起注意这种情况.同时,函数的定义域是一个集合,所以结论要用集合形式表示.解:要使函数y=a sin +tan α有意义,则sin α≥0且α≠k π+2π(k∈Z ). 由正弦函数的定义知道,sin α≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负. ∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上,即2k π≤α≤π+2k π(k∈Z ).∴函数的定义域是{α|2k π≤α<2π+2k π或2π+2k π<α≤(2k+1)π,k∈Z }.点评:本题的关键是弄清楚要使函数式有意义,必须sin α≥0,且tan α有意义,由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.变式训练求下列函数的定义域:(1)y=sinx+cosx;(2)y=sinx+tanx; (3)y=xx x tan cos sin +;(4)y=x sin +tanx. 解:(1)∵使sinx,cosx 有意义的x∈R ,∴y=sinx+cosx 的定义域为R .(2)要使函数有意义,必须使sinx 与tanx 有意义.∴有⎪⎩⎪⎨⎧+≠∈2ππk x R x ∴函数y=sinx+tanx 的定义域为{x |x≠k π+2π,k∈Z }. (3)要使函数有意义,必须使tanx 有意义,且tanx≠0. ∴有⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠πππk x ,k x 2(k∈Z ),∴函数y=xx x tan cos sin +的定义域为{x |x≠2πk ,k∈Z }. (4)当sinx≥0且tanx 有意义时,函数有意义, ∴有⎪⎩⎪⎨⎧+≠+≤≤2x ,1)(2k 2k ππππk x (k∈Z ). ∴函数y=sinx +tanx 的定义域为[2k π,2k π+2π)∪(2k π+2π,(2k+1)π](k∈Z ). 知能训练课本本节练习.解答: 1.sin 67π=21-;cos 67π=23-;tan 67π=33 点评:根据定义求某个特殊角的三角函数值.2.sin θ=135;cos θ=1312-;tan θ=125-. 点评:已知角α终边上一点的坐标,由定义求角α的三角函数值.3. 角α0° 90° 180° 270° 360° 角α的弧度数 0 2π Π 23π 2πsinα0 1 0 -1 0cosα 1 0 -1 0 1tanα0 不存在0 不存在0点评:熟悉特殊角的三角函数值,并进一步地理解公式一.4.当α为钝角时,cosα和tanα取负值.点评:认识与三角形内角有关的三角函数值的符.5.(1)正;(2)负;(3)零;(4)负;(5)正;(6)正.点评:认识不同位置的角对应的三角函数值的符.6.(1)①③或①⑤或③⑤;(2)①④或①⑥或④⑥;(3)②④或②⑤或④⑤;(4)②③或②⑥或③⑥.点评:认识不同象限的角对应的三角函数值的符.7.(1)0.874 6;(2)3;(3)0.5;(4)1.点评:求三角函数值,并进一步地认识三角函数的定义及公式一.课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义,并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域,任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展,是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比,记忆方法可用锐角三角函数类比记忆,至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.本节课我们重点讨论了两个内容,一是三角函数在各象限内的符,二是一组公式,两者的作用分别是:前者确定函数值的符,后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数,这两个内容是我们日后学习的基础,经常要用,请同学们熟记.作业课本习题1.2A组题1—9.设计感想关于三角函数定义法,总的说来就两种:“单位圆定义法”与“终边定义法”.这两种方法本质上是一致的.正因为此,各种数学出版物中,两种定义方法都有采用.在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习.理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键,也是学好本章内容的关键.在教学中,教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力,以巩固对知识的理解和掌握.教师在教学中,始终引导学生紧扣三角函数的定义,善于利用数形结合.在利用三角函数定义进行求值时,应特别强调要注意横向联系,即不仅仅能求出该值,还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系,找出规律来求解.(设计者:房增凤)第2课时导入新课思路 1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?思路 2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来.推进新课新知探究提出问题问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢?问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?活动:指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过P 作x 轴的垂线,垂足为M;过A 作单位圆的切线,这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标.显然,线段OM 的长度为|x|,线段MP 的长度为|y|,它们都只能取非负值. 当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段:如果x>0,OM 与x 轴同向,规定此时OM 具有正值x;如果x<0,OM 与x 轴正向相反(即反向),规定此时OM 具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x.如果y>0,把MP 看作与y 轴同向,规定此时MP 具有正值y;如果y<0,把MP 看作与y 轴反向,规定此时MP 具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MP=y.引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段. 于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有sin α=r y =1y =y=MP, cos α=r x =1x =x=OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线.类似地,我们把OA 、AT 也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识,就有tan α=x y =OAAT =AT. 这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角α的正切线.讨论结果:①能.②被看作带有方向的线段叫做有向线段.提出问题问题①:怎样把三角函数线与有向线段联系在一起?问题②:正弦线、余弦线、正切线在平面直角坐标系中是怎样规定的?当角α的终边变化时,它们有什么变化?活动:师生共同讨论,最后一致得出以下几点:(1)当角α的终边在y 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.(2)当角α的终边在x 轴上时,正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x 轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.讨论结果:①略.②略.示例应用思路1例1 如图7,α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交图7射线OP 于点T,交射线OQ 的反向延长线于T′,点P 、Q 在x 轴上的射影分别为点M 、N,则sin α=______________,cos α=______________,tan α=______________,sin β=______________,cos β=______________,tan β=______________.活动:根据三角函数线的定义可知,sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT,sin β=NQ,cos β =ON,tan β=AT′.答案:MP OM AT NQ ON AT′点评:掌握三角函数线的作法,注意用有向线段表示三角函数线时,字母的书写顺序不能随意颠倒.变式训练利用三角函数线证明|sin α|+|cos α|≥1.解:当α的终边落在坐标轴上时,正弦(或余弦)线变成一个点,而余弦(或正弦)线的长等于r,所以|sin α|+|cos α|=1.当角α终边落在四个象限时,利用三角形两边之和大于第三边有|sin α|+|cos α|=|OM |+|MP |>1,∴|sin α|+|cos α|≥1.例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α=21;(2)sin α≥21. 活动:引导学生画出单位圆,对于(1),可设角α的终边与单位圆交于A(x,y),则sin α=y,所以要作出满足sin α=21的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为21的点A,则OA 即为角α的终边;对于(2),可先作出满足sin α=21的角的终边,然后根据已知条件确定角α的范围.图8。
1.2.1 任意角的三角函数(一)学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一 任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P ,作PM ⊥x 轴于M ,设P (x ,y ),|OP |=r .思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么? 答案 sin α=yr ,cos α=x r ,tan α=y x.思考2 对确定的锐角α,sin α,cos α,tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变?答案 不会.因为三角函数值是比值,其大小与点P (x ,y )在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.思考3 在思考1中,当取|OP |=1时,sin α,cos α,tan α的值怎样表示? 答案 sin α=y ,cos α=x ,tan α=y x. 梳理 (1)单位圆在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么: ①y 叫做α的正弦,记作sin α, 即sin α=y ;②x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x ; ③y x 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=y x(x ≠0).对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角α,sin α,cos α,tan α都有意义吗?答案由三角函数的定义可知,对于任意角α,sin α,cos α都有意义,而当角α的终边在y轴上时,任取一点P,其横坐标x都为0,此时yx无意义,故tan α无意义.梳理三角函数的定义域知识点三正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义,你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗?答案由三角函数定义可知,在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=yx.当α为第一象限角时,y>0,x>0,故sin α>0,cos α>0,tan α>0,同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号,如图所示.梳理记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.知识点四诱导公式一思考当角α分别为30°,390°,-330°时,它们的终边有什么特点?它们的三角函数值呢?答案它们的终边重合.由三角函数的定义知,它们的三角函数值相等.梳理诱导公式一类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x ,3)(x ≠0),且cos θ=1010x ,求sin θ,tan θ. 解 由题意知r =|OP |=x 2+9, 由三角函数定义得cos θ=x r=xx 2+9. 又∵cos θ=1010x ,∴x x 2+9=1010x . ∵x ≠0,∴x =±1. 当x =1时,P (1,3), 此时sin θ=312+32=31010,tan θ=31=3. 当x =-1时,P (-1,3), 此时sin θ=3(-1)2+32=31010,tan θ=3-1=-3. 反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法:①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ,y ),设P 到原点的距离为r (r >0),则sin α=yr,cos α=xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P (-3a ,4a )(a ≠0),求2sin α+cos α的值. 解 r =(-3a )2+(4a )2=5|a |.①若a >0,则r =5a ,角α在第二象限,sin α=y r =4a 5a =45,cos α=x r =-3a 5a =-35,∴2sin α+cos α=85-35=1.②若a <0,则r =-5a ,角α在第四象限, sin α=4a -5a =-45,cos α=-3a -5a =35,∴2sin α+cos α=-85+35=-1.综上所述,2sin α+cos α=±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y =-3x 上,求10sin α+3cos α的值.解 由题意知,cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ,-3k )(k ≠0),则x =k ,y =-3k ,r = k 2+(-3k )2=10|k |.(1)当k >0时,r =10k ,α是第四象限角, sin α=y r=-3k10k=-31010,1cos α=r x =10k k =10,∴10sin α+3cos α=10×⎝ ⎛⎭⎪⎫-31010+310=-310+310=0.(2)当k <0时,r =-10k ,α是第二象限角,sin α=y r =-3k -10k =31010,1cos α=r x =-10k k=-10, ∴10sin α+3cos α=10×31010+3×(-10)=310-310=0.综上所述,10sin α+3cos α=0.反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ,b ),则对应角的三角函数值分别为sin α=b a 2+b2,cos α=a a 2+b2,tan α=ba. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y =3x 上,求sin α,cos α,tan α的值. 解 因为角α的终边在直线y =3x 上,所以可设P (a ,3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点, 则r =a 2+(3a )2=2|a |(a ≠0). 若a >0,则α为第一象限角,r =2a , 所以sin α=3a 2a =32, cos α=a 2a =12,tan α=3aa= 3.若a <0,则α为第三象限角,r =-2a , 所以sin α=3a -2a =-32,cos α=-a 2a =-12,tan α=3aa= 3.类型二 三角函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角,则点P (sin α,cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 D解析 ∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0, ∴点P 在第四象限,故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°;②cos(-43°);③tan 7π4.解 ①∵182°是第三象限角, ∴sin 182°是负的,符号是“-”. ②∵-43°是第四象限角,∴cos(-43°)是正的,符号是“+”. ③∵7π4是第四象限角,∴tan 7π4是负的,符号是“-”.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定,解题的关键是准确确定角的终边所在的象限,同时牢记各三角函数值在各象限的符号,记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.跟踪训练3 (1)已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则α是第 象限角. 答案 二解析 由题意知tan α<0,cos α<0, ∴α是第二象限角. (2)判断下列各式的符号.①sin 145°cos(-210°);②sin 3·cos 4·tan 5. 解 ①∵145°是第二象限角,∴sin 145°>0. ∵-210°=-360°+150°,∴-210°是第二象限角, ∴cos (-210°)<0,∴sin 145°cos(-210°)<0. ②∵π2<3<π<4<3π2<5<2π,∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0, ∴sin 3·cos 4·tan 5>0. 类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值.(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫-11π6+cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°=22×32+12×12=64+14=1+64. (2)原式=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2π+π6+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π+2π5·tan(4π+0)=sin π6+cos 2π5×0=12.反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数,也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数,即实现了“负化正,大化小”. 跟踪训练4 求下列各式的值. (1)cos 25π3+tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-15π4;(2)sin 810°+tan 765°-cos 360°. 解 (1)原式=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π+π3+tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-4π+π4 =cos π3+tan π4=12+1=32.(2)原式=sin(90°+2×360°)+tan(45°+2×360°)-cos 360°=sin 90°+tan 45°-1=1+1-1=1.1.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α等于( ) A.45 B.35 C.-35D.-45答案 D解析 由题意可知x =-4,y =3,r =5,所以cos α=x r =-45.故选D.2.cos(-11π6)等于( )A.12B.-12C.32D.-32答案 C解析 cos(-11π6)=cos(-2π+π6)=cos π6=32.3.若点P (3,y )是角α终边上的一点,且满足y <0,cos α=35,则tan α等于( )A.-34B.34C.43D.-43答案 D 解析 ∵cos α=332+y 2=35, ∴32+y 2=5,∴y 2=16, ∵y <0,∴y =-4,∴tan α=-43.4.当α为第二象限角时,|sin α|sin α-cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.-2答案 C解析 ∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0. ∴|sin α|sin α-cos α|cos α|=sin αsin α-cos α-cos α=2.5.已知角α的终边上有一点P (24k ,7k ),k ≠0,求sin α,cos α,tan α的值. 解 当k >0时,令x =24k ,y =7k , 则有r =(24k )2+(7k )2=25k ,∴sin α=y r =725,cos α=x r =2425,tan α=y x =724.当k <0时,令x =24k ,y =7k ,则有r =-25k ,∴sin α=y r =-725,cos α=x r =-2425,tan α=y x =724.1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关,角α所在象限确定,则三角函数值的符号一定确定,规律是“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等,但两个角的某一个函数值相等,不一定有角的终边相同,更不一定有两角相等.课时作业一、选择题1.sin(-1 380°)的值为( ) A.-12B.12C.-32D.32答案 D解析 sin(-1 380°)=sin(-360°×4+60°) =sin 60°=32. 2.已知α是第二象限角,P (x ,5)为其终边上一点,且cos α=24x ,则x 的值为( ) A. 3 B.± 3 C.- 2D.- 3答案 D解析 ∵cos α=x r=x x 2+5=24x , ∴x =0或2(x 2+5)=16,∴x =0或x 2=3,∴x =0(∵α是第二象限角,∴舍去)或x =3(舍去)或x =- 3.故选D. 3.已知sin θ<0,且tan θ<0,则θ为( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角答案 D4.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3,cos 2π3,则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.4π3D.11π6答案 D解析 ∵sin 2π3=32,cos 2π3=-12.∴角α的终边在第四象限, 且tan α=cos2π3sin2π3=-33,∴角α的最小正值为2π-π6=11π6. 5.已知角α的终边经过点P (3,4t ),且sin(2k π+α)=-35(k ∈Z ),则t 等于( )A.-916B.916C.34D.-34答案 A解析 sin(2k π+α)=sin α=-35<0,则α的终边在第三或第四象限.又点P 的横坐标为正数,所以α是第四象限角,所以t <0.又sin α=4t9+16t2,则4t9+16t2=-35,所以t =-916.6.某点从(1,0)出发,沿单位圆x 2+y 2=1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-32D.⎝⎛⎭⎪⎫-32,12 答案 A解析 由三角函数定义可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3,sin 2π3,cos 2π3=-12,sin 2π3=32.7.如果点P (sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角θ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 由题意知sin θ+cos θ<0,且sin θcos θ>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ<0,cos θ<0,∴θ为第三象限角.8.若角α的终边在直线y =-2x 上,则sin α等于( ) A.±15B.±55C .±255D.±12答案 C 二、填空题9.tan 405°-sin 450°+cos 750°= . 答案32解析 tan 405°-sin 450°+cos 750°=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(720°+30°)=tan 45°-sin 90°+cos 30°=1-1+32=32. 10.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角. 答案 一或二解析 要使原式有意义,需cos αtan α>0, 即需cos α,tan α同号,所以α是第一或第二象限角.11.若角α的终边与直线y =3x 重合且sin α<0,又P (m ,n )是α终边上一点,且|OP |=10,则m -n = .答案 2解析 ∵y =3x 且sin α<0,∴点P (m ,n )位于y =3x 在第三象限的图象上,且m <0,n <0,n =3m .∴|OP |=m 2+n 2=10|m | =-10m =10,∴m =-1,n =-3,∴m -n =2.12.函数y =|sin x |sin x +|cos x |cos x -2|sinx cos x |sin x cos x 的值域是 .答案 {-4,0,2}解析 由sin x ≠0,cos x ≠0知,x 的终边不能落在坐标轴上,当x 为第一象限角时,sin x >0,cos x >0,sin x cos x >0,y =0;当x 为第二象限角时,sin x >0,cos x <0,sin x cos x <0,y =2;当x 为第三象限角时,sin x <0,cos x <0,sin x cos x >0,y =-4;当x 为第四象限角时,sin x <0,cos x >0,sin x cos x <0,y =2.故函数y =|sin x |sin x +|cos x |cos x -2|sin x cos x |sin x cos x 的值域为{-4,0,2}.三、解答题13.化简下列各式:(1)sin 72π+cos 52π+cos(-5π)+tan π4;(2)a 2sin 810°-b 2cos 900°+2ab tan 1 125°.解 (1)原式=sin 32π+cos π2+cos π+1=-1+0-1+1=-1.(2)原式=a 2sin 90°-b 2cos 180°+2ab tan(3×360°+45°)=a 2+b 2+2ab tan 45°=a 2+b 2+2ab =(a +b )2.四、探究与拓展14.已知角θ的终边上有一点P (x ,-1)(x ≠0),且tan θ=-x ,则sin θ+cos θ= .答案 0或- 2解析 ∵θ的终边过点P (x ,-1)(x ≠0),∴tan θ=-1x .又tan θ=-x ,∴x 2=1,即x =±1.当x =1时,sin θ=-22,cos θ=22,因此sin θ+cos θ=0;当x =-1时,sin θ=-22,cos θ=-22,因此sin θ+cos θ=- 2.故sin θ+cos θ的值为0或- 2.15.已知1|sin α|=-1sin α,且lg(cos α)有意义.(1)试判断角α所在的象限;(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35,m ,求m 的值及sin α的值.解 (1)∵1|sin α|=-1sin α,∴sin α<0. ①∵lg(cos α)有意义,∴cos α>0. ②由①②得角α在第四象限.(2)∵点M (35,m )在单位圆上, ∴(35)2+m 2=1,解得m =±45.又α是第四象限角,∴m <0,∴m =-45.由三角函数定义知,sin α=-45.。