L的本征方程

类型
定解问题中的 边界条件
分离变量后的 边界条件
本征函数系
(1)
(2) (3) (4)
利克莱条件：(1) 连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只 有有限个极值点，则 f (x) 在 [–l, l ] 上可展开为傅里叶级数
利用三角函数的正交关系，可得
量子力学中的正交完备矢量组： 设 F 为厄米算符，则 F 对应于不同本征值的本征矢
相互正交，这些本征矢构成正交完备矢量组。记正交完 备矢量组为 { | i > (i =1, 2, …)}，有
数集的正交性只是这里的特殊例子。
等本征函
4. 完备性定理 若函数 f (x) 在区间 [a,b] 有连续的一阶导数和分段连
续的二阶导数，且满足本征值问题的边界条件，则可利用 本征函数系{yn(x)} 将它展开为绝对且一致收敛的广义傅 里叶级数，即
其中展开式的系数为
备忘：傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数 f (x)，若在区间 [–l, l ] 满足狄
二阶线性常微分方程的普遍形式为 (6-4-1)
其中：A(x), B(x), C(x)——已知函数
—— 分离变量过程中引入的常数
方程 (6-4-1) 化为以下施图姆—刘维尔方程 (施—刘型方程)
(6-4-2)
其中：
核函数
已知函数
权函数
参数 勒让德方程、连带勒让德方程、贝塞尔方程均可化 为施—刘型方程：
(1) 存在无穷多个实的、分立的本征值 = n (n = 1,2,…)，
且对应着无穷多个本征函数 yn (x) (n = 1,2,…)； (2) 当同一本征值对应的本征函数不止一个时，称为简并。
证明：本征值 是实的。 若 为复数，施—刘型方程及其复共轭为

2
当平面波按 δ 函数归一化时
p ~ p + dp 之间的概率密度幅
[对分立谱
设 ϕ n 是某力学量 A 的与本征值 α n 对应的本征态
ψ ( x ) = ∑ c nϕ n
n
7.3 ]
c n 是在ψ ( x) 态中测量力学量 A 得到值 α n 的概率
一 态的矩阵表述
2
矩阵表示的实质是选取态空间的一套基底后 以分立谱为例 态空间的基底

A 表象和 B 表象
ˆϕ = α ϕ A n n n
A 表象以 { ϕ n } 为基底
ˆψ = β ψ B i i i
B 表象以 { ψ i }为基底
7.27 设这两套基底都是正交归一基底
ij
(ϕ n , ϕ m ) = δ nm
任意态 Ψ 可以用 { ϕ n } 展开
(ψ ,ψ ) = δ
i j
7.28
* * ˆ ˆ ϕn ,∑ S* Fij′ = ∑ S in jm Fϕ n = ∑ S in S jm ϕ n , Fϕ m m n n,m + = ∑ S in Fnm S * jm = ∑ S in Fnm S mj
(
)
7.40
( )
n ,m
h ,m
矩阵形式为
F ′ = SFS +
7.46 7.47
An B m
2 3 算符对态的作用
exp( A)
[ A, B] 等
7.48
Φ = FΨ ⇔ Φ ′ = F ′Ψ ′
本征方程和本征值
′ = λkφ k ′ Fφ k = λ k φ k ⇔ F ′φ k
7.49
可见

则称本征值
是
重简并的。称 为简并度
简并态的选择不是唯一的
矩阵代数中的厄米矩阵 矩阵代数中的本征矢 物理量算符 微观粒子的定态 与定态对应的 物理量的确定值
18
矩阵代数中的本征值
通常一个力学量 的本征值是简并的,这时必定存 在独立于 ,而又与它对易的其它力学量 。 力学量算符的对易关系
ˆ [ x, px ] i
的本征态。
4
自由粒子的 薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为P 的自由粒子 的波函数
时间偏导
位置偏导
( x, t ) i E ( x, t ) t ( x, t ) i E ( x, t ) t
i p x
二阶偏导
2 2 p2 i (E ) 2 t 2m x 2m
8
The upside-down capital delta symbol also called "nabla" used to denote the gradient and other vector derivatives (From Wolfram MathWorld)
9
定义算符：
2 2 2 2 2 2 2 x y z
在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值，不一定有确定值 （因为不确定关系）。若其中某个力学量有确定的测量值，则该 波函数所描述的状态是该力学量的本征态。 量子体系的运动状态由波函数来描述, 力学量用力学量算符来描述。 下面简单介绍量子力学算符和经典力学中的力学量的对应关系
11
§3 力学量用算符表达和本征方程 力学量算符 从上面推导可知有如下对应关系
2 p2 2 2 x 2 2 p2 2 2m x 2m

2 d 2 Z V3 ( z ) E 2 dz2
2 d 2 [ V1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 2 d x 2 d 2 [ V2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 2 d y 2 d 2 [ V3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 2 d z
虽然，波函数ψ(-x) 也是满足S方程的，且也属于能 量E的波函数。
空间反演算符P
定义 一维
P ( r ) ( r ) P ( x ) ( x )
对于任意波函数，满足
P ( x) P ( x) ( x)
2
本征值方程
P ( x) C ( x)
V * ( x) V ( x)
2 d 2 [ V ( x)] * ( x) E * ( x) 2 2 dx
• 即ψ*(x)也满足同一个能量本征方程，并且对应的能 量本征值也是E。
• 无简并：能量本征方程的解只有一个，即一个E对应一 个波函数。 • 简并：能量本征方程的解不止一个，即一个E对应多 个波函数，称为多重简并。 推论：按定理1，假设对应于能量的某个本征值是E，能量 本征方程的解无简并，则可取为实解。 • 证明 若ψ(x)是能量本征值为E的一个解， ψ*(x)也是能量 本征值为E的一个解，由于无简并，必有： ψ(x)= Cψ*(x)， 且ψ* (x)= C*（ψ*(x）)*= C*ψ (x）=C* Cψ*(x) 故C* C=1，即C=e ia,a可取任易实数，则取a=0 ψ(x)= Cψ*(x)= ψ*(x)， ψ(x)为实函数
2 2 2 2 d d d [ 1 ( x ) V2 ( y ) V 3 ( z )] ( x , y , z ) V 2 2 2 X ( x )Y ( y ) Z ( z ) 2 dx dy dz