排列与组合教学设计

【课题】3．1排列与组合（一）【教学目标】知识目标：理解排列的定义，掌握排列数的计算公式．能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高．【教学重点】排列数计算公式．【教学难点】排列数计算公式．【教学设计】复习两个计数原理，一方面它是复习回顾，另一方面是做好衔接，为下面的问题及排列数的计算奠定基础．一个排列元素是不可重复的．也就是说，利用排列研究问题时，元素是不可以重复选取．对于元素可以重复选取的问题是直接应用两个计数原理计算的问题．排列的概念中有两个要素．一个是不同的元素，另一个是一定的顺序．从n个不同元素中，取出m(m≤n)个不同元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的排列数，用符号P mn 表示.采用这个符号是执行国家的新规定．有些教材中使用符合A mn表示．例2是巩固排列数公式的题目．例3与例4是排列的实际应用题．其中例3是基础题，解题关键是搞清原来不同元素的个数、取出不同元素的个数、是否有序．例4是综合利用计数原理与排列知识的题目．讲解时要注意进行数学方法的渗透．首先考虑特殊元素或特殊位置，然后再考虑一般元素或位置，分步骤来研究问题，这种研究方法是本章中经常使用的方法．排列数的计算一般的数字都是比较大，比较麻烦，采用计算器来完成计算非常便捷．教材介绍了利用计算器计算排列数的方法．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题3．1排列与组合．介绍了解过 程行为 行为 意图 间*创设情境 兴趣导入基础模块中，曾经学习了两个计数原理．大家知道：（1）如果完成一件事，有N 类方式.第一类方式有k 1种方法，第二类方式有k 2种方法，……，第n 类方式有k n 种方法，那么完成这件事的方法共有N = 1k + 2k +…+n k （种）． （3.1） （2）如果完成一件事，需要分成N 个步骤．完成第1个步骤有k 1种方法，完成第2个步骤有k 2种方法，……，完成第n 个步骤有k n 种方法，并且只有这n 个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有N = 1k · 2k ·…·n k （种）． （3.2）下面看一个问题：在北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起点在前，终点在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数.首先确定机票的起点，从3个民航站中任意选取1个，有3种不同的方法；然后确定机票的终点，从剩余的2个民航站中任意选取1个，有2种不同的方法．根据分步计数原理，共有3×2=6种不同的方法，即需要准备6种不同的飞机票：北京→重庆，北京→上海，重庆→北京，重庆→上海，上海→北京，上海→重庆.播放课件 质疑观看 课件 思考引导 启发学生得出结果15 *动脑思考 探索新知我们将被取的对象（如上面问题中的民航站）叫做元素，上面的问题就是：从3个不同元素中，任取2个，按照一定的顺序排成一列，可以得到多少种不同的排列.一般地，从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，m n <时叫做选排列，m n =时叫做全排列. 总结 归纳 分析 关键 词语 思考 理解 记忆引导学生发现解决问题方法 20 *巩固知识 典型例题例1 写出从4个元素a , b , c , d 中任取2个元素的所有排列．分析 首先任取1个元素放在左边，然后在剩余的元素中任取1个元素放在右边．引领 讲解 观察 思考注意 观察 学生过 程行为 行为 意图 间解 所有排列为,,,,,,,,,.,ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc ．【说明】 如果两个排列相同，那么不仅要求这两个排列的元素完全相同，而且排列的顺序也要完全相同．说明主动 求解是否 理解 知识 点25 *动脑思考 探索新知从n 个不同元素中，取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号P m n表示. 例1中，从4个元素a , b , c , d 中任取2个元素的的排列数为24P ．可以看到24P 12 ． ．下面研究计算排列数的公式． 计算P mn 可以这样考虑：假定有排列顺序的m 个空位（如图3－1）第1位 第2位 第3位 … 第m 位图3－1 第一步，从n 个元素中任选1个元素，填到第1个位置，有n 中方法； 第二步，从剩余的n －1个元素中任选1个元素，填到第2个位置，有n －1种方法；第三步，从剩余的n －2个元素中任选1个元素，填到第3个位置，有n －3种方法；……第m 步，从剩余的n －（m －1）个元素中任选1个元素，填到第m 个位置，有n －m +1种方法；根据分步计数原理，全部填满空位的方法总数为n (n －1)(n －2)…(n －m +1) ．由此得到，从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素的排列数P mn 为P m n =n (n －1)(n －2)…(n －m +1) （3.１）总结 归纳 仔细 分析讲解思考 理解启发引导学生发现解决问题的方法过 程行为 行为 意图 间其中，*m n ∈N ，，且m ≤n ．公式（3.3）叫做排列数公式．当m =n 时，由公式（3.3）得P n n =n (n －1)(n －2)…3×2×1. （3.4）正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，记作n !. 【说明】规定0!1=即 n ! = n (n －1)(n －2)…3×2×1. 因此公式（3.4）还可以写成P nn =n ! （3.5）一般地，P (1)(2)m n n n n n m =--(-+1)(1)(2)(1)21=()21n n n n m n m ---+⨯-⨯!)!n n m =-（ 因此，当m ＜n 时，公式（3.3）还可以写成!P )!m n n n m =-（ （3.6）关键 词语记忆40*巩固知识 典型例题【例题】例2 计算25P 和44P 解 25P =5×4=20，44P 4432124==⨯⨯⨯=！．例3 小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙3位同学，每人1本，共有多少种选法？分析 选出3本不同的书，分别送给甲、乙、丙3位同学，书的不同排序，结果是不同的.因此选法的种数是从5个不同元素中取3个元素的排列数．引领讲解 说明引领观察 思考 主动 求解 观察注意 观察 学生 是否 理解 知识 点过 程行为 行为 意图 间解 不同的送法的种数是37P 765210=⨯⨯=．即共有210种不同送法．说明 公式（3.3）与公式（3.6）都是计算排列数的公式.计算排列数，通常使用公式（3.3）；进行有关排列数的证明与研究通常使用公式（3.6）.例4 用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的3位数？分析 因为百位上的数字不能为0，所以分成两步考虑问题．第一步先排百位上的数字；第二步从剩余的数字中任取2个数排列．解 所求三位数的个数为1299P P 9(98)648⋅=⨯⨯=．【说明】 象例4这样，“首先考虑特殊元素或特殊位置，然后再考虑一般元素或位置，分步骤来研究问题”是本章中经常使用的方法．分析说明 引领 讲解 说明 思考 理解 思考 主动 求解 学生 自我 发现 归纳55 *动脑思考 探索新知【计算器使用】利用计算器，可以方便地求出任意一个正整数的阶乘.以计算4！为例，计算方法是：输入数字4，然后依次按键SHIFT 、 !x 、 = ， 显示24.即4！=24. 利用计算器，可以方便地计算排列数.以计算36P 为例，计算方法是：输入数字6，然后依次按键SHIFT 、 Pr n ，然后输入数字3，按键 = ，显示120.即36P =120.仔细分析讲解关键词语思考 记忆 启发引导学生发现解决问题的方法60 *运用知识 强化练习1.填空（1）已知2nP =56，那么n= .（2）用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，共有 个.2.在A ，B ，C ，D 四个候选人中，选出正副班长各一个，选法的种数是多少？提问巡视指导 动手 求解及时 了解 学生 知识 掌握 情况65 *理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：质疑回答师生共同过 程行为 行为 意图 间排列数计算公式的内容是什么？ 结论：从n 个不同元素中任取m(m ≤n)个元素的排列数m nP 为m n P =n (n －1)(n －2)…(n －m +1)归纳强调理解 强化归纳强调重点70*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆75 *自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数有多少个？ 提问巡视指导 反思 动手 求解 培养反思学习过程的能力 85 *继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题3．1（必做）；学习指导3．1（选做）(3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题 说明记录分层次要求 90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况 学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活； 是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】3．1排列与组合（二）【教学目标】知识目标：理解组合的定义，掌握组合数的计算公式．能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高．【教学重点】组合数计算公式．【教学难点】组合数计算公式．【教学设计】组合与排列的区别是，组合与顺序无关．因此判断是排列问题还是组合问题的关键是看元素是否有序．从n个不同元素中取m（m≤n）个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号C mn表示．组合数的计算公式及组合数的性质中，教学重点是组合数计算公式和性质1．利用它们可以方便地计算组合数．例5是组合数计算问题．例6 是组合的实际应用．与排列数的计算一样，教材介绍了利用计算器计算组合数．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题3．1排列与组合．*创设情境兴趣导入在北京、重庆、上海3个民航站的直达航线之间，有多少种不同的飞机票价（假设两地之间的往返票价和舱位票价是相同的）：飞机票的价格有如下三种：北京——重庆（重庆——北京）北京——上海（上海——北京）重庆——上海（上海——重庆）这个问题，是从3个不同的元素中任取2个，不管是怎样的顺序总认为是一组，求一共有多少个不同的组．一般地，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合．三地之间不同的飞机票价种数，就是从3个不同元素中，取出2个不同元素的所有组合的个数．【注意】：组合问题与排列问题的区别是：从n个不同元素取m（m ≤n）个元素的一个组合，与m个元素排列的顺序无关，而从n个不同元素中取m（m≤n）个元素的一个排列，与m个元素的排列顺序有关．介绍播放课件质疑了解观看课件思考引导启发学生得出结果15*动脑思考探索新知一般地，从n个不同元素中取m（m≤n）个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号C mn表示．下面我们通过研究计算34C的方法来研究组合数的计算公式．我们用两种不同的方法来计算34P．方法1：34P=4×3×2．方法2：从4个不同元素中取3个不同元素的一个排列，过 程行为 行为 意图 间可以分两步完成．第一步，从4个不同元素中取3个元素组成一组，有34C 种取法；第二步，对每一组中的3个不同元素进行全排列． 根据分步计数原理，得3344P C 3!=，所以 3344C 3!P =． 类似地，可以得到组合数的计算公式．一般地，求从n 个不同元素中取m （m ≤n ）个不同元素的组合数为P (1)(2)...(1)C 3.7P !m m n n m m n n n n m m ---+== （） 由于 !P ()!mn n n m =-， P C P m m m n n m =，故组合数公式还可以写作!C 3.8!()!m nn m n m =- （） 其中*,n m N ∈，并且m ≤n ．可以证明，组合数具有如下性质（证明略）： 性质1 C C m n m n n -= （m ≤n ）．利用这个性质，当m ＞2n 时，通过计算C n mn -可以简单得到C mn 的值，如18201822020202019C C C 1902!-⨯====． 性质2 11C C C m m m n n n -+=+（m ≤n ）．性质2反映出组合数公式中的m 与n 之间存在的联系．总结 归纳分析关键词语思考 理解 记忆引导学生发现解决问题方法35 *巩固知识 典型例题过 程行为 行为 意图 间例5 计算3474C C 、和05C ．解 343777P 765C C 353!3!⨯⨯====； 4444P C 14!4!4⨯3⨯2⨯1===； 055!5!C 10!(50)!5!===-．说明 一般地，可以得到0C 1C 1n n n ==，． 例6 圆周上有10个点，以任意三点为顶点画圆内接三角形，一共可以画多少个？分析 只要选出三个点三角形就唯一确定，与三个点的排列顺序无关，所以是计算从10个不同元素中取3个元素的组合数问题．解 可以画出的圆内接三角形的个数为310C 1203!10⨯9⨯8==个．即可以画出120个圆内接三角形．说明 公式（3．7）与公式（3．8）都是计算组合数的公式．计算组合数，通常使用公式（3．3）；进行有关组合数的证明与研究通常使用公式（3．6）． 引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点50*动脑思考 探索新知【计算器使用】利用计算器可以方便地计算组合数．以计算26C 为例，计算方法为：输入数字6，依次按键 SHIFT 、nCr ,然后输入数字2，按键 = ，显示15．即 26C =15．仔细 分析讲解 关键 词语思考记忆引导学生发现解决问题方法 60 *运用知识 强化练习1． 计算下列各数：（1）27C ；（2）45C ；（3）38C；（4）1012C ．2． 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？3． 从3，5，7，11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不相等的积？提问巡视指导 动手 求解及时 了解 学生 知识 掌握 情况65教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：组合数计算公式的内容是什么？ 结论：从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素的组合数C m n为P (1)(2) (1)C P !m m n nm m n n n n m m ---+==．质疑 归纳强调回答 理解 强化师生共同归纳强调重点70*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导回忆75 *自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？2 现有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，共有多少种不同的选法？ 提问 巡视 指导反思 动手 求解培养反思学习过程的能力85 *继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题3．1（必做）；学习指导3．1（选做）(3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题 说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况 学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】3．1排列与组合（三）【教学目标】知识目标：利用排列数组合数计算公式解决简单的应用问题．能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高．【教学重点】排列与组合的综合应用．【教学难点】排列与组合的综合应用．【教学设计】实际应用过程中，要注意区分以下3点：（1）元素是否允许重复．元素不允许重复的是排列与组合问题；元素允许重复的是直接应用计数原理的问题．（2）元素是否有序．有序是排列问题，无序是组合问题．（3）是否需要分类或分步骤来进行研究．例7是简单的排列与组合训练题．要注意分清是排列问题还是组合问题．例8是产品检验的抽样计算问题，是组合应用的典型问题．在题目的说明中，介绍了对立事件．例9是照相排队问题，是排列应用的典型问题．要注意“先考虑特殊元素或特殊位置，再考虑一般元素或位置”这种分步骤研究方法的使用．例10是排列组合综合应用问题．“先取出元素，然后再安排”是这类问题的典型方法．例11元素可以重复，不是排列与组合问题，直接应用分步计数原理计算．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题3．1 排列与组合． 介绍 了解1 *巩固知识 典型例题例7 从5名学生中，选出2名学生． （1）去参加一个调查会，有多少种不同的选法？ （2）担任两项不同的工作，有多少种不同的选法？ 分析 两个人参加一个调查会，是无序的，是组合问题；两个人担任两项不同的工作，是有序的，是排列问题． 解 （1）不同的选法共有2554C 1021⨯==⨯（种）．（2）不同的选法共有25P 5420=⨯=（种）．例8 100件产品中有两件次品，从中任意抽取3件产品进行检查．问 （1）一共有多少种不同的抽取方法？ （2）抽取的3件产品中，恰有一件是次品的不同抽取方法有多少种？ （3）抽取的3件产品中，至少有一件是次品的不同抽取方法有多少种？ 解 （1）不同的抽取方法的总数为从100件产品中取出3件的组合数21001009998C 161700321⨯⨯==⨯⨯．（2）分成两步来完成．第一本从2件次品中抽出1件，第二步从98件正品中抽出的2件中.由分步计数原理知，恰有引领 讲解 说明 引领 讲解 说明 引领 分析观察 思考 主动 求解 观察 思考 主动 求解 观察注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点过 程行为 行为 意图 间1件次品的不同抽取方法的种数为182989897C C 2950621⨯⋅=⨯=⨯．（3）从任意抽取不同的3件产品的抽取方法总数中，减去3件全是正品的抽取方法种数，就是至少有一件是次品的不同抽取方法种数．即3310098C C 1617001520969604-=-=．【想一想】例8（3）是否还有其他的解法？ 例9 如果7名学生照集体像，要排成一列，有两名学生必须要相邻，那么共有多少种不同的排法？ 分析 分成两步来排队．第一步，将这两个人的顺序排好；第二步，将这两个人作为一个总体，与剩下的5名学生一起排队． 解 不同的排法共有2626P P 216543211440⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=（种）．【说明】 要注意“先考虑特殊元素或特殊位置，再考虑一般元素或位置”这种分步骤研究方法的使用． 例10 从6名男生和5名女生中选出3名男生和2名女生排成一行，有多少种不同排法? 分析 可以首先将男生选出，再将女生选出，然后对选出的5名学生排序． 解 不同排法的总数为32565565454C C P 543212400032121⨯⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯（种）． 例11 某城市的电话号码是从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中取8个数字组成（允许数字重复），但0和1不能作为电话号码的首位数．问该城市最多可以装多少部电话？ 分析 将一个电话号码的组成分成两个步骤．第一步，选首位数字，从2、3、4、5、6、7、8、9中取1个数；第二步，从第2位至第8位，每个位置填入上述10个数字中的任意一个数．再根据分步计数原理计算． 解 城市最多可以装电话的数量为111111117810101010101010C C C C C C C C 81080000000⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯=（部）． 【注意】研究实际问题的时候，一定要注意区别是否允许重复，是说明 引领 讲解 说明思考 理解 思考 主动 求解学生 自我 发现 归纳过程行为行为意图间否有序的问题．45 *运用知识强化练习1．平面内有8个点．（1）以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？2．某城市的电话号码是由0到9中的7个数字组成（允许重复），问该城市最多可以装多少部电话？3．有11个队参加的篮球比赛分成两个阶段进行．第一阶段，分组成2个小组，第1小组5个队，第2小组6个队，各组都进行单循环比赛；第二阶段，各组的前两名进行单循环比赛确定冠、亚军．问共需要多少场比赛？提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握情况65*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：分类计数原理和分步计数原理的区别是什么？结论：分类计数原理的特点：各类办法间相互独立，各类办法中的每种办法都能独立完成这件事（一步到位）．分步计数原理的特点：一步不能完成，依次完成各步才能完成这件事（一步不到位）．确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断能否一次完成．质疑归纳强调回答理解强化师生共同归纳强调重点70*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？袋中共有10个不同的球，其中白色球友8个，红色球有2个．从中任意取出3个球，（1）取出的3个球全部是白球的取法共有多少种？（2）取出的3个球中恰好有1个是红球的方法共有多少种？（3）取出的3个球中至少有1个是红球的方法共有多少种？提问巡视指导反思动手求解培养反思学习过程的能力85*继续探索活动探究(1)读书部分：教材说明记录分层次要过程行为行为意图间(2)书面作业：教材习题3．1（必做）；学习指导3．1（选做）(3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；。